Tài liệu PPDH Toán ở Tiểu học 3 (Trình độ cao đẳng ngành giáo dục Tiểu học )

0 
 TRƯỜNG ĐH PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
--------------- * ------------- 
BÀI GIẢNG 
 PPDH TOÁN Ở TIỂU HỌC 3 
BẬC CAO ĐẲNG NGÀNH GIÁO DỤC TIỂU HỌC 
TẠ THANH HIẾU 
Quảng Ngãi: 4 / 2016 
1 
LỜI NÓI ĐẦU 
Tập bài giảng này là tài liệu được biên soạn dựa vào  1 Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng 
Quang, Kiều Đức Thành (2000), Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học(Tập 2, Phần 
thực hành giải toán), NXB Giáo dục, Hà Nội;  2 Trần Diên Hiển (2009), Thực hành 
giải toán tiểu học (Tập 1, 2),NXB ĐHSP Hà Nội;  3 Trần Ngọc Lan (2009), Rèn luyện 
tư duy cho học sinh trong dạy học toán tiểu học, NXB Trẻ, TP HCM và theo đề cương 
chi tiết học phần: Phương pháp dạy học toán ở tiểu học 3 của Trường Đại học Phạm 
Văn Đồng dùng cho sinh viên năm thứ ba, bậc cao đẳng ngành giáo dục tiểu học. 
Đây là tài liệu thuộc học phần chuyên chọn nhằm hướng đến cho sinh viên có cơ sở hiểu 
biết và kĩ năng vận dụng phù hợp các phương pháp suy luận và phát triển các năng lực 
tư duy cho học sinh qua dạy học môn toán ở tiểu học. 
Tài liệu gồm 4 chương, cơ cấu cho 3 tín chỉ (45 tiết). 
Ở mỗi chương , mục đều có câu hỏi, bài tập đánh giá. Cụ thể: 
Chương 1: Suy luận trong dạy học toán ở tiểu học 
Chương 2: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học môn toán 
Chương 3: Phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi 
Chương 4: Tổ chức hoạt động ngoại khóa toán trong nhà trường tiểu học 
Nội dung học phần có tính chất tổng hợp, đặc trưng của phương pháp tư duy toán học, 
vì vậy trên cơ sở nội dung kiến thức và yêu cầu chung qui định trong chương trình môn 
toán tiểu học và để sử dụng tài liệu hiệu quả ngoài việc tự nghiên cứu, thảo luận ở các 
nhóm trên lớp theo các nội dung yêu cầu cụ thể của giảng viên, sinh viên cần liên hệ 
thực tế qua các đợt TTSP nhằm linh hoạt trong cách vận dụng, khai thác phát triển tư 
duy phù hợp với từng loại đối tượng học sinh thông qua việc giải các dạng bài tập trong 
SGK Toán tiểu học. 
Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc biên soạn tài liệu song chắc chắn không tránh 
khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong đón nhận các ý kiến đóng góp để tập bài 
giảng được thiết thực đầy đủ hơn. 
 Người biên soạn 
 Tạ Thanh Hiếu 
2 
Chương 1 SUY LUẬN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC 
A. MỤC TIÊU 
- Giúp Sinh viên hiểu biết về khái niệm, phán đoán, suy luận; nắm vững các 
phương pháp suy luận thường dùng trong dạy học toán ở Tiểu học. 
- Có kỹ năng vận dụng trong nghiên cứu chương trình toán tiểu học. 
- Có ý thức trách nhiệm, nghiêm túc trong học tập bộ môn. 
B. NỘI DUNG 
1.1 Khái niệm, phán đoán, suy luận 
1.1.1 Khái niệm 
Để chỉ một tập hợp các đối tượng có cùng những đặc tính chung nào đó, người ta đưa ra 
một khái niệm mới. (Khái niệm cũng được gọi là sự phản ánh mối quan hệ giữa các đối 
tượng). Nhờ vậy, việc đưa ra các khái niệm cho phép ta tiến hành sự nghiên cứu không 
phải trên từng đối tượng riêng biệt mà là trên một tập hợp các đối tượng có chung những 
đặc tính (thuộc tính bản chất) nào đó. 
Chẳng hạn; 
Trong các hình tứ giác, ta thấy có những hình có hai cạnh đối diện song song, lại có 
những hình có các cặp cạnh đối diện song song. 
Để phân biệt chúng ta đặt ra khái niệm: Hình thang ; hình bình hành. 
Trong chương trình toán tiểu học có rất nhiều khái niệm: Số tự nhiên, Phân số, Số thập 
phân, các hình hình học, các phép tính,  
Một khái niệm thường là tên gọi của một tập hợp các đối tượng có cùng những đặc tính 
chung. Theo đó, một khái niệm thường được biểu hiện trên hai phương diện: 
Nội hàm và Ngoại diên. 
Nội hàm: Các đặc tính chung xác định tập hợp các đối tượng được phản ảnh trong khái 
niệm. 
Ngoại diên: Bản thân tập hợp các đối tượng đó. 
Ví dụ: 
Khái niệm hình vuông 
- Nội hàm: Hình có 4 cạnh bằng nhau, có 4 góc vuông 
- Ngoại diên: Tập hợp các các hình vuông 
Khái niệm số tự nhiên 
3 
- Nội hàm: Có số bé nhất là số không, không có số lớn nhất, mỗi số tự nhiên có một số 
liền sau, giữa hai số liền nhau không có số tự nhiên nào khác. 
Ngoại diên: Tập hợp các số tự nhiên 
Hiểu biết về một khái niệm có nhiều mức độ khác nhau. Tạm chia thành hai mức: 
Mức 1: Nhận biết một số phần tử thuộc ngoại diên và biết được một số đặc tính chung 
thuộc nội hàm của khái niệm . 
Mức 2: Xác dịnh được toàn bộ ngoại diên và xác định được thuộc tính bản chất của 
khái niệm 
Ở tiểu học chỉ yêu cầu mức 1, chẳng hạn chỉ giới thiệu cho học sinh nhận biết một số 
phần tử thuộc ngoại diên và một vài đặc tính chung thuộc nội hàm của khái niệm nên 
thường gọi là khái niệm ban đầu. 
Việc hình thành các khái niệm cho học sinh tiểu học chủ yếu thông qua các hoạt động 
thực hành, kiểm nghiệm từ đó giúp các em tiếp cận khái niệm, có biểu tượng đúng về 
đối tượng, mô tả được các đặc điểm cơ bản của đối tượng đó, gọi tên đúng đối tượng 
theo quy ước . 
Câu hỏi, bài tập: 
1. Hãy nêu nội hàm và ngoại diên của các khái niệm sau đây ở tiểu học: phân số, số thập 
phân, hình chữ nhật, hình bình hành, hình lập phương, độ dài , diện tích,. 
2. Hãy nêu mức độ yêu cầu nắm bắt các khái niệm ấy qua các lớp ở Tiểu học 
1.1.2 Phán đoán (mệnh đề) 
1.1.2.1 Định nghĩa: 
Phán đoán là một hình thức của tư duy, khẳng định một dấu hiệu nào đó thuộc hay 
không thuộc về một đối tượng xác định. 
Trong Lôgic hình thức, phán đoán có tính chất hoặc đúng, hoặc sai. 
( Phán đoán cũng được hiểu là sự phản ánh mối quan hệ giữa các khái niệm) . 
Ví dụ: 
Trong chương trình toán tiểu học các nhận xét, kết luận, quy tắc, ghi nhớ ,...xem là 
những phán đoán toán học. 
1.1.2.2 Các loại phán đoán 
Phán đoán trực tiếp: Diễn đạt kết quả của quá trình tri giác một đối tượng toán học: 
chẳng hạn: Trái đất có dạng hình cầu. 
4 
Phán đoán gián tiếp: được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy 
luận. 
Ngoài ra người ta còn phân thành phán đoán đơn và phán đoán phức 
Trong logic hình thức, phán đoán chính là các mệnh đề toán học. 
Phán đoán đơn là các mệnh đề đơn giản, phán đoán phức là các mệnh đề phức tạp 
Ví dụ: 
 - 35 chia hết cho 3 
- Một số phân số là số tự nhiên, .. là các mệnh đề đơn giản 
- 15 chia hết cho 3 và 5 
- Một số tự nhiên không chẵn thì lẻ,... là các mệnh đề phức tạp. 
Từ các mệnh đề đơn giản,có thể lập nên các mệnh đề phức tạp nhờ các phép toán lôgic. 
Trong ngôn ngữ thông thường các phép toán lôgic được biểu thị bằng từ hoặc cụm từ: 
Không phải ; và ; hoặc ; nếu.thì ; khi và chỉ khi. 
 p (không phải p) : Đúng khi p sai và sai khi p đúng 
 p ^ q (p và q) : chỉ đúng khi p và q đều đúng 
 p  q (p hoặc q) : chỉ sai khi p và q đều sai 
 p q (nếu P thì q) : chỉ sai khi p đúng và q sai 
 p q (p khi và chỉ khi q) : đúng khi p và q cùng đúng hoặc cùng sai 
Ở tiểu học, các mệnh đề được nêu ra thường xuyên trong quá trình dạy học toán nên cần 
chú ý đến tính đúng sai khi học sinh phát biểu một mệnh đề toán học. 
Việc xác định giá trị chân lý của mệnh đề nhờ vào logic hình thức. 
Ở mức độ nào đó, có thể giúp học sinh vận dụng và hiểu được tính đúng- sai của một 
phát biểu. 
Ví dụ: Nói 3+7=10 và 2>3 là sai, nhưng nếu nói 3+7=10 hoặc 2>3 lại là đúng. 
Câu hỏi, bài tập: 
1 .Nêu một số mệnh đề trong chương trình toán tiểu học. 
2. Bằng các phép toán logic hãy lập các mệnh đề phức tạp từ hai mệnh đề đơn giản nào 
đó rồi tìm giá trị chân lý của chúng. 
1.1.3 Suy luận 
1.1.3.1 Định nghĩa 
Suy luận là hình thức tư duy phản ánh nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, xuất phát 
từ một hay nhiều điều đã biết để đi đến những phán đoán mới. 
5 
Trong lôgic hình thức, suy luận được hiểu là sự phản ảnh quan hệ giữa các mệnh đề. 
Có thể hiểu đơn giản: Khi ta rút ra một mệnh đề nào đó (gọi là kết luận) từ một số mệnh 
đề cho trước (gọi là các tiền đề) vậy là ta đã có một suy luận. 
Một suy luận thường gồm ba yếu tố: 
- Phần tiền đề (gồm các mệnh đề cho trước) 
- Phần kết luận (mệnh đề cần rút ra) 
- Qui tắc suy luận 
Ví dụ 1: 
 - Những số có tận cùng là 5 hoặc 0 thì chia hết cho 5 ( tiền đề 1) 
 - Số 2005 có tận cùng là 5 ( tiền đề 2) 
 - Vậy 2005 chia hết cho 5 (kết luận) 
Vi dụ 2 : 
- 672 chia hết cho 3 (tiền đề 1) 
- 672 chia hết cho 4 (tiền đề 2) 
- vậy 672 chia hết cho 3 và 4 (kết luận) 
+ Suy luận ở ví dụ1, 2 có phần tiền đề: Các mệnh đề 1 và 2 (tiền đề 1,2) 
 Phần kết luận: Là mệnh đề thứ 3 (kết luận) 
+ Qui tắc suy luận: 
ở ví dụ 1 là: Nếu p q đúng và p đúng thì q đúng 
 Có dạng: 
,p q p
q
ở ví dụ 2 là: Nếu p , q đúng thì p^ q đúng 
 Có dạng: 
,p q
p q
Chú ý 
Khi trình bày một suy luận, nói chung người ta không cần chỉ rõ qui tắc suy luận nào đã 
được sử dụng mà chỉ cần làm rõ đâu là phần tiền đề, đâu là phần kết luận. 
Do vậy, chúng ta thường dùng các cặp từ sau để tách phần tiền đề và phần kết luận: 
Nếuthì ; vìnên ; ta cóvậy. ; từsuy ra ; giả sử.khi đó 
Trong giải toán tiểu học, thay cho việc trình bày đầy đủ một suy luận, ở mức độ yêu cầu 
cơ bản chỉ yêu cầu học sinh viết phần kết luận mà không yêu cầu viết phần tiền đề của 
suy luận đó. 
6 
Ví dụ: 
An có 5 bông hoa, Bình có nhiều hơn An 2 bông hoa.Hỏi Bình có bao nhiêu bông hoa ? 
Thay cho việc trình bày đầy đủ câu lời giải (một suy luận): 
Vì An có 5 bông hoa và Bình có nhiều hơn An 2 bông hoa nên Bình có số bông hoa là: 
5 + 2 = 7 (bông hoa) thì chỉ cần viết: Bình có số bông hoa là: 5 + 2 = 7 (bông hoa) 
1.1.3.2 Các kiểu suy luận: 
Có hai kiểu suy luận: Suy luận diễn dịch và suy luận có lý (hay suy luận nghe có lý). 
a/ Suy luận diễn dịch (suy luận hợp logic): 
Là suy luận theo những quy tắc suy luận tổng quát, từ những tiền đề đúng ta rút ra được 
kết luận luôn đúng (suy luận này xem là phép chứng minh gọi là chứng minh suy diễn) 
b/ Suy luận có lí (tiêu biểu là phép qui nạp không hoàn toàn, phép tương tự): 
Là suy luận không theo một qui tắc suy luận tổng quát nào và từ những tiền đề đúng ta 
rút ra kết luận chưa chắc chắn đúng. 
Lưu ý: 
+ Hai suy luận trên không mâu thuẫn nhau mà kết hợp bổ sung cho nhau trong nhận 
thức toán học. Dựa vào suy luận có lí để phát hiện ra kết luận, giả thuyết nào đó và bằng 
suy luận diễn dịch để kiểm chứng, khẳng định chân lý về kết luận, giả thuyết đó. 
+ Tư duy của học sinh tiểu học còn đang trong quá trình hình thành và phát triển, nó còn 
đang trong giai đoạn tư duy cụ thể, chưa hoàn chỉnh, khái quát còn là vấn đề khó đối với 
các em. Vì vậy trong dạy học toán chưa thể chủ quan, nôn nóng yêu cầu các em đạt 
ngay được các yêu cầu cơ bản của nhận thức toán học.Điều quan trọng đối với giáo viên 
là nhận thức rõ bản chất của đối tượng toán học, phân biệt rõ chứng minh suy diễn với 
thực nghiệm, kiểm nghiệm thực tế, dự đoán dựa trên trực giác, quan sát hay kinh 
nghiệm cảm tính với chứng minh; suy luận chứng minh với suy luận có lý; đồng thời 
nắm vững sự phát triển có qui luật của tư duy các em, đánh giá đúng khả năng hiện thực 
và khả năng tiềm tàng cần giúp đỡ phát triển để có những biện pháp sư phạm thích hợp 
với trình độ phát triển tâm lý và với việc nhận thức các kiến thức toán học ở tiểu học. 
Câu hỏi, bài tập: 
1. Hãy nêu vài suy luận và trình bày đầy đủ các thành phần có trong suy luận đó. 
2. Nêu vài bài tập toán và trình bày đầy đủ các suy luận khi giải các bài toán đó. 
3. Tìm một bài toán mà khi trình bày bài giải phải vượt qúa mức yêu cầu cơ bản khi 
trình bày . 
7 
1.2. Các phương pháp suy luận trong dạy học toán ở tiểu học 
1.2.1 Suy luận diễn dịch (suy diễn) 
Suy luận diễn dịch là suy luận theo những qui tắc suy luận tổng quát và bằng những tiền 
đề đúng ta rút ra được kết luận chắc chắn đúng. 
Ví dụ 1: Số 2016 có chia hết cho 9 ? 
Những số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 (tiền đề 1) 
Số 2016 có tổng các chữ số chia hết cho 9 (tiền đề 2) 
Vậy số 2016 chia hết cho 9 (kết luận) 
Một số qui tắc suy luận thường gặp 
 Qui tắc kết luận (khẳng định): Có dạng 
,p q p
q
Nếu p q đúng và p đúng thì q đúng (vì nếu q sai và p đúng thì p q sai) 
Ở Ví dụ 1 trên ta đã sử dụng quy tắc suy luận này, trong đó tiền đề 1 chính là p q , 
tiền đề 2 chính là p, Kết luận chính là q. 
Ví dụ 2: Số 2015 có chia hết cho 5 ? 
 - Những số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 (tiền đề 1) 
 - Số 2015 có tận cùng là 5 (tiền đề 2) 
 - Vậy 2015 chia hết cho 5 (kết luận) 
 Qui tắc phản chứng: Có dạng 
,p q q
p
 Nếu p q đúng và q đúng (q sai) thì p sai ( p đúng) 
Ví dụ 3 Số 116 có chia hết cho 6 ? 
 - Những số chia hết cho 6 thì chia hết cho 3 (tiền đề 1) 
 - Số 116 không chia hết cho 3 (tiền đề 2) 
 - Vậy 116 không chia hết cho 6 (kết luận) 
Ví dụ 4 Số 2015 có chia hết cho 9 ? 
 - Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9 (tiền đề 1) 
 - Số 2015 có tổng các chữ số không chia hết cho 9 (tiền đề 2) 
 - Vậy 2015 không chia hết cho 9 (kết luận) 
Nhận xét các suy luận sau: 
1/ Nếu một số chia hết cho 5 thì có tận cùng là 5 
 Số 2000 không có tận cùng là 5 
8 
 Vậy số 2000 không chia hết cho 5 
2/ Nếu một số có tận cùng là 5 thì chia hết cho 5 
 Số 2000 không có tận cùng là 5 
 Vậy số 2000 không chia hết cho 5 
Kết luận của hai suy luận trên đều không đúng vì tiền đề 1 ở ví dụ 1 không luôn đúng, 
còn ở ví dụ 2 suy luận không đúng qui tắc 
 Qui tắc bắc cầu: Có dạng 
rP
rqqP
 ,
 Nếu p q đúng và q r đúng thì p r đúng 
Ví dụ 5 
 Nếu a chia hết cho 6 thi a chia hết cho 3 
 Nếu a chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 
 Vậy, nếu a chia hết cho 6 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 
 Qui tắc lựa chọn (loại trừ): Có dạng 
,p q p
q

 hoặc 
,p q q
p

 Nếu p  q đúng và p đúng (p sai) thì q đúng 
Ví dụ 6 Một số tự nhiên hoặc là chẵn hoặc là lẻ (tiền đề 1) 
 Số tự nhiên A không là số chẵn (tiền đề 2) 
 Vậy số tự nhiên A là một số lẻ (kết luận) 
Câu hỏi: Trình bày một số ví dụ suy luận diễn dịch có trong chương trình toán tiểu học 
và cho biết các thành phần trong suy luận đó và quy tắc suy luận đã sử dụng. 
1.2.2 Suy luận qui nạp 
Là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ các trường hợp riêng cụ thể đến trường hợp 
chung mang tính khái quát. 
Có hai dạng qui nạp: 
+ Qui nạp hoàn toàn: 
Là suy luận mà kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở đã xét tất cả các trường 
riêng, cụ thể và chỉ cho các trường hợp ấy thôi. 
Ví dụ: 
Từ các trường hợp cụ thể: 5 5 , 10 5 , 15 5 , 20 5 , 25 5 , 30 5 ta rút ra kết luận: 
Các số tự nhiên không quá 30 có tận cùng là 0 hoặc 5 đều chia hết cho 5. 
Hoặc khi tìm số tự nhiên x, biết: 2,5 x < 7 ta đã chọn được x = 0, 1, 2 để 2,5 x < 7 
9 
Làm như vậy là đã dùng phép qui nạp hoàn toàn. 
Nhận xét: Kết luận của phép qui nạp hoàn toàn luôn đúng. 
+ Qui nạp không hoàn toàn (gọi tắt là qui nạp): 
Là suy luận mà kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở chỉ xét một số trường 
hợp riêng, cụ thể. 
Theo ví dụ trên, nếu ta rút ra kết luận: Mọi số tự nhiên có tận cùng là 0 hoặc 5 đều chia 
hết cho 5, như vậy là ta đã dùng phép qui nạp không hoàn toàn. 
Hoặc khi xét một số trường hợp, ta thấy: 
 0 + 1 = 1 + 0 , 1+ 2 = 2 + 1, 2 + 5 = 5 + 2; 1 x 2 = 2 x 1 , 2 x 5 = 5 x 2 ; 0 x 7 = 7 x 0 
Từ đó ta có kết luận khái quát: 
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi 
 (Tính chất giao hoán của phép cộng hai số tự nhiên: a + b = b + a) 
Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi 
 (Tính chất giao hoán của phép nhân hai số tự nhiên: a x b = b x  ... n 1 lít nước mắm loại 2 là: 
 648000 : (11 + 16) = 24000 (đồng) 
Giá tiền 1 lít nước mắm loại 1 là: 
 24000 + 6000 = 30000 (đồng) 
 Đáp số: Loại 1: 30000 đồng 
 Loại 2: 24000 đồng 
3.3.8 Khái quát cách giải một số dạng bài toán Tìm hai số trong các trường hợp 
sau: (dựa phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng) 
1/ Biết hiệu của hai số đó bằng a với các điều kiện: 
a/ Tăng số bé lên một số lần (4 lần) và hiệu mới bằng b (hoặc tổng mới bằng c). 
Ta có sơ đồ: 
65 
 4 lần số bé: 
 a b 
 Số lớn: 
 ? 
Theo sơ đồ, 3 lần số bé là: b + a 
 Số bé là: (b + a) : 3 
 Số lớn là: Số bé + a 
Ta có sơ đồ: 
 4 lần số bé: 
 Số lớn: a c 
 ? 
Theo sơ đồ, 5 lần số bé là: c – a 
 Số bé là: (c – a) : 5 
 Số lớn là: Số bé + a 
b/ Tăng số lớn lên một số lần (4 lần) và hiệu mới bằng b (hoặc tổng mới bằng c). 
Cách 1: 
Ta có sơ đồ: ? 
 Số bé: 
 4 lần số lớn: a 
 b 
Theo sơ đồ, 3 lần số lớn là: b – a 
 Số lớn là: (b – a) : 3 
 Số bé là: Số lớn – a 
Cách 2: 
Ta có sơ đồ: ? 
 Số bé: 
 4 lần số lớn: a a a a 
 b 
Theo sơ đồ, 3 lần số bé là: b – (a + a + a + a ) = b – 4a 
 Số bé là: (b – 4a) : 3 
 Số lớn là: Số bé + a 
Cách 1: 
66 
Ta có sơ đồ: ? 
 Số bé: 
 4 lần số lớn: a c 
Theo sơ đồ, 5 lần số lớn là: c + a 
Số lớn là: (c + a) : 5 
Số bé là: Số lớn – a 
Cách 2: 
Ta có sơ đồ: ? 
 Số bé: 
 4 lần số lớn: a a a a c 
Theo sơ đồ, 5 lần số bé là: c – 4a 
Số bé là: (c – 4a) : 5 
Số lớn là: Số bé + a 
c/ Tăng số bé lên 5 lần và số lớn lên 3 lần với hiệu mới là b 0 (hoặc tổng mới bằng c). 
Trường hợp 1: 
 Ta có sơ đồ: ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: a a a b 
Theo sơ đồ, vì 3 lần số lớn cộng thêm b bằng 5 lần số bé nên 2 lần số bé là: 
 (a + a + a) + b = 3a + b 
Số bé là: (3a + b) : 2 
Số lớn là: số bé + a 
 ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: a a a c 
Theo sơ đồ, 8 lần số bé là: c – (a + a + a) = c – 3a 
Số bé là: (c – 3a) : 8 
Số lớn là: số bé + a 
Trường hợp 2: 
67 
 Ta có sơ đồ: ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: a a a 
 b 
Theo sơ đồ, vì 3 lần số lớn bớt đi b bằng 5 lần số bé nên 2 lần số bé là: 
 (a + a + a) – b = 3a – b 
Số bé là: (3a – b) : 2 
Số lớn là: số bé + a 
Ta có sơ đồ: 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: a a a c 
Theo sơ đồ, 8 lần số bé là: c – (a + a + a) = c – 3a 
Số bé là: (c – 3a) : 8 
Số lớn là: số bé + a 
Trường hợp nếu b = 0 , khi đó ta có: 5 lần số bé bằng 3 lần số lớn. 
Ta có sơ đồ: 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: a a a 
Theo sơ đồ, 2 lần số bé là: a + a + a = 3a 
Số bé là: 3a : 2 
Số lớn là: số bé + a 
Cách khác: Vì 5 lần số bé bằng 3 lần số lớn nên tỉ số giữa số bé và số lớn là: 
3
5
Ta có sơ đồ: Số bé: 
 Số lớn: 
 a 
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 3 = 2 (phần) 
Số bé là: a : 2 x 3 
Số lớn là: số bé + a 
2/ Biết tổng của hai số đó bằng a với các điều kiện: 
a/ Tăng số bé lên một số lần (4 lần) và hiệu mới bằng b (hoặc tổng mới bằng c). 
68 
Ta có sơ đồ: 
 Số bé : ? a 
 Số lớn: ? 
 4 lần số bé: 
 b 
Theo sơ đồ, 5 lần số bé là: b + a 
 Số bé là: (b + a) : 5 
 Số lớn là: a – Số bé 
Ta có sơ đồ: 
 Số bé : ? a 
 Số lớn: ? 
 4 lần số bé: c 
Theo sơ đồ, 3 lần số bé là: c – a 
 Số bé là: (c – a) : 3 
 Số lớn là: a – Số bé 
b/ Tăng số lớn lên một số lần (4 lần) và hiệu mới bằng b (hoặc tổng mới bằng c). 
Ta có sơ đồ: 
 ? 
 Số bé: a 
 Số lớn: ? 
 4 lần số lớn: 
 b 
Theo sơ đồ, 5 lần số lớn là: b + a 
 Số lớn là: (b + a) : 5 
 Số bé là: a – số lớn 
Ta có sơ đồ: 
 ? 
 Số bé: a 
 Số lớn: ? 
 4 lần số lớn: c 
69 
Theo sơ đồ, 3 lần số lớn là: c – a 
 Số lớn là: (c – a) : 3 
 Số bé là: a – số lớn 
c/ Tăng số bé lên 5 lần và số lớn lên 3 lần với hiệu mới là b 0 (hoặc tổng mới bằng c). 
Trường hợp 1: 
Ta có sơ đồ: ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: b 
3 lần tổng hai số là: a x 3 = 3a 
Vì 3 lần số lớn cộng thêm b bằng 5 lần số bé nên 8 lần số bé là: 3a + b 
Số bé là: (3a + b) : 8 
Số lớn là: a – Số bé 
Ta có sơ đồ: ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: c 
3 lần tổng hai số là: a x 3 = 3a 
2 lần số bé là: c – 3a 
Số bé là: (c – 3a) : 2 
Số lớn là: a – số bé 
Trường hợp 2: 
Ta có sơ đồ: ? 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: 
 b 
3 lần tổng hai số là: a x 3 = 3a 
Vì 3 lần số lớn bớt đi b bằng 5 lần số bé nên 8 lần số bé là: 3a – b 
Số bé là: (3a – b) : 8 
Số lớn là: a – số bé 
Ta có sơ đồ: 
 5 lần số bé: 
70 
 3 lần số lớn: c 
3 lần tổng hai số là: a x 3 = 3a 
2 lần số bé là: c – 3a 
Số bé là: (c – 3a) : 2 
Số lớn là: a – số bé 
Trường hợp: b = 0 , khi đó ta có: 5 lần số bé bằng 3 lần số lớn. 
Ta có sơ đồ: 
 5 lần số bé: 
 3 lần số lớn: 
3 lần tổng hai số là: a x 3 = 3a 
Nếu thay 3 lần số lớn bằng 5 lần số bé thì 8 lần số bé là : 3a 
Số bé là: 3a : 8 
Số lớn là: a – số bé 
Cách khác: 
Vì 5 lần số bé bằng 3 lần số lớn nên tỉ số giữa số bé và số lớn là: 
3
5
Ta có sơ đồ: 
 Số bé: ? a 
 Số lớn: ? 
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần) 
Số bé là: a : 8 x 3 
Số lớn là: a – số bé 
Bài tập: 
1/ Sinh viên tự lập các bài toán có nội dung cụ thể theo từng trường hợp nêu trên, rồi 
trình bày bài giải . 
2/ Sinh viên tự nghiên cứu, trình bày cách giải tương tự theo từng trường hợp nêu trên 
bằng cách thay tăng thành giảm. 
71 
3/ Sinh viên tự hệ thống và trình bày bài giải tất cả các bài toán điển hình trong SGK 
Toán 4, toán 5 về các dạng toán sau đây: 
Bài toán về số trung bình cộng; bài toán về tìm 2 số khi biết tổng và hiệu của hai số đó; 
về tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó ; về tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ số của hai 
số đó . 
Chương 4 TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG NGOẠI KHÓA TOÁN 
TRONG NHÀ TRƯỜNG TIỂU HỌC 
A. MỤC TIÊU 
- Giúp sinh viên nắm vững mục đích, ý nghĩa của hoạt động ngoại khóa trong nhà 
trường; biết được các hình thức, nội dung của các hoạt động ngoại khóa toán ở nhà 
trường Tiểu học. 
- Thực hành xây dựng các hoạt động ngoại khóa toán trong dạy học. 
- Ý thức trong việc vận dụng toán học vào sự đa dạng hoạt động của HS 
B. NỘI DUNG 
4.1.Mục đích, ý nghĩa tổ chức hoạt động ngoại khóa toán 
4.1.1 Mục đích 
Hoạt động ngoại khóa toán là những hoạt động dạy học toán ngoài những tiết được 
quy định chính thức trong chương trình, nhằm bổ sung một số kiến thức, kỹ năng 
toán học, đồng thời thông qua đó bồi dưỡng một số phẩm chất, học toán, nhằm gây 
hứng thú học tập toán cho các em 
4.1.2 Ý nghĩa 
Thông qua hoạt động ngoại khóa giúp các em xem xét, nhìn nhận, so sánh, liên hệ và 
vận dụng các kiến thức được trang bị trong sách vở với những thực tiễn phong phú ở 
ngoài cuộc sống. Tạo cho các em cơ hội vận dụng tri thức vào thực tiễn và từ đó kích 
thích ngược lại quá trình tiếp nhận tri thức giúp các em học tập tốt môn học hơn 
4.2.Các hình thức và nội dung tổ chức hoạt động ngoại khóa toán 
4.2.1 Các hình thức 
Ở nhà trường tiểu học hiện nay, hoạt động ngoại khóa toán có các hình thức như: 
-Thảo luận trao đổi học tập bộ môn giữa các học sinh. 
-Phát động phong trào thi đua học tập bộ môn 
-Thông báo, tin tức; 
72 
-Khảo sát thực tế ứng dụng của một nội dung kiến thức nào đó. 
4.2.2 Nội dung 
Các nội dung có thể trong hoạt động ngoại khóa toán ở trường tiểu học như là 
-Tìm hiểu tiểu sử các nhà toán học và các công lao xây dụng đối với sự phát triển của 
toán học. 
-Tìm hiểu thực tế các số liệu được trình bày trong SGK hay một tài liệu nào đó. 
-Những báo cáo điển hình về học giỏi môn toán . 
- Thi giải toán, thi đó vui để học 
-Tổ chức các Câu lạc bộ bạn yêu toán. 
-Thực hành, tham quan các công trình ứng dụng toán học. 
Môt số yêu cầu khi lựa chọn nội dung ngoại khóa toán: 
 Nội dung phải phù hợp trình độ, nhu cầu của người học, giúp người học nắm và 
thu được những điều bổ ích. 
 Nộidung phải đáp ứng kịp thời mục đích dạy học toán trong chương trình, tạo 
điều kiện giúp các em vận dung kiến thức đã học vào thực tiễn. 
 Cần tổ chức hoạt động ngoại khóa như một hoạt động dạy học với những nội 
dung, biện pháp, phương pháp sư phạm thích hợp, tạo được không khí học tập 
thoải mái, nhẹ nhàng, trật tự. 
4.2.3 Giới thiệu một số dạng nội dung hoạt động ngoại khóa toán. 
4.2.3.1 Câu đố toán học. 
 Quan niệm: 
Trong một chừng mực nào đó, câu đố toán học cũng có thể coi là bài tập toán học. 
Tuy nhiên chúng ta thường quan niệm câu đố toán học phải có những nét khác với 
bài tập toán học thuần túy. Một số nét khác đó là: 
1. Về mục đích sử dụng: Bài tập toán phục vụ cho việc dạy học toán một cách bắt 
buộc còn câu đố dùng cho các hoạt động ngoại khóa hoặc đưa vào bài dạy như 
phần tự nguyện mang tính chất hỗ trợ. 
2. Về nội dung: Câu đố nên có nội dung chứa nhiều yếu tố “ phi toán” hơn thuần 
túy toán; nội dung đó phải hấp dẫn để không gây cảm giác “ quá nghiêm túc” như 
khi học tiết giải toán 
3. Về lời giải: Lời giải của câu đố không phải chi tiết, tỉ mĩ như lời giải bài tập 
toán. Nói chung chỉ cần học sinh nêu đúng đáp số và đưa ra một đôi lời giải thích 
73 
cơ bản, ngắn gọn. Câu đố hấp dẫn là câu đố có một lời giải ngắn gọn, thông minh 
gây bất ngờ thú vị. 
 Sưu tầm, sáng tạo và sử dụng câu đố toán học: 
- Giáo viên cần sưu tầm, sáng tạo và tích lũy được nhiều câu đố toán học 
nhằm phục vụ dạy học toán phù hợp với mỗi lớp, mỗi bài học hoặc mỗi phần 
của kiến thức 
- Giáo viên có thể sáng tạo ra những câu đố rất hấp dẫn bằng cách đưa thêm 
nội dung từ cuộc sống vào bài tập toán. 
- Câu đố phải đưa ra đúng lúc, đúng chỗ, sát với nội dung bài học và thực sự 
gây được hứng thú cho học sinh. 
 Một số ví dụ: 
1. Có 10 cây, làm thế nào để trồng thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây ? 
2. Nhà kia có 2 chị và 2 em. Vậy nhà ấy có mấy chị em ? 
3. Không cần tính, làm thế nào biết được kết quả sau đây là đúng hay sai ? 
 24 + 33 + 57 + 54 – 25 = 144 
4. Trung bình 6 số lẻ liên tiếp là 12. Vậy số lớn nhất trong 6 số đó là số mấy ? 
5. Có 
4
5
 m dây, không dùng thước đo làm thế nào để cắt ra 0,6 m ? 
4.2.3.2 Trò chơi toán học. 
 Quan niệm: 
Trò chơi toán học là trò chơi trong đó có chứa một yếu tố toán học nào đó. Trò chơi có 
thể phân loại theo số người chơi theo tính chất hoạt động (vận động, trí tuệ hoặc kết hợp 
cả hai). Trò chơi có thể tổ chức như một hoạt động dạy học toán. Hình thức này thường 
được học sinh hưởng ứng và tích cực tham gia. 
Trò chơi toán học nói chung nhằm mục đích: 
1. Dẫn dắt hình thành tri thức mới 
2. Củng cố kiến thức, luyện tập kĩ năng 
3. Ôn tập, rèn luyện tư duy trong giờ ngoại khóa 
 Chuẩn bị và tổ chức một trò chơi toán học 
Căn cứ nội dung kiến thức, trình độ học sinh và điều kiện hiện có, giáo viên lựa chọn trò 
chơi phù hợp mục đích, yêu cầu bài dạy và phù hợp với thực tế trường, lớp, đối tượng 
74 
học sinh để đưa vào dạy học như một hoạt động dạy học toán. Chú ý xác định được rõ 
mục đích học tập của trò chơi. Các trò chơi được trình bày theo dàn ý: 
- Mục đích (mục đích toán học của trò chơi) 
- Phương tiện (sân bãi, dụng cụ cần chuẩn bị cho trò chơi) 
- Luật chơi (cách chơi, cách xác định thắng thua) 
 Một số ví dụ: 
1/ Giành bông hoa cuối cùng (nhóm 2 học sinh) 
- Mục đích: Luyện tập cộng trừ nhẩm phạm vi 20 
- Phương tiện: Băng giấy kẻ 20 ô, 20 bông giấy (hoặc vật tượng trưng) 
- Luật chơi: Chọn người đi trước, lần lượt lấy hoa. Mỗi lần một người lấy ít nhất là 1 
và nhiều nhất là 2 bông hoa. Ai lấy được bông hoa cuối cùng thì thắng cuộc. 
 (áp dụng tương tự thi đếm cách 2) 
2/ Bịt mắt chọn hình 
- Mục đích: Luyện tập kĩ năng nhận dạng hình 
- Phương tiện: Các hình bằng giấy bìa (giống, khác nhau, kích cở) 
- Luật chơi: Mỗi học sinh sau khi bịt mắt phải lấy đủ số lượng hình mình đã chọn 
trước. Trong thời gian qui định, ai lấy đủ, đúng, nhanh hơn là thắng cuộc. 
3/ Phân số đi tìm bạn 
- Mục đích: Củng cố kiến thức về phân số bằng nhau 
- Phương tiện: Trên 1 số tấm bìa, mỗi tấm bìa viết sẵn 1 phân số bằng nhau, không 
bằng nhau với phân số đã được chọn trước. 
- Luật chơi: Sau thời gian ấn định nhóm nào tìm được nhiều phân số bằng với phân số 
mà nhóm mình đã chọn trước là thắng cuộc. 
Ngoài ra, trò chơi điền số vào ô trống, vẽ hình, xếp hình, xếp hình bằng que tính,  
cũng góp phần phát huy tính tích cực học tập và làm cho việc dạy học toán đạt hiệu quả 
cao, gây hứng thú học toán cho học sinh. 
4.2.3.3 Truyện kể toán học. 
 Quan niệm: 
Truyện kể toán học là bất cứ câu chuyện nào có nội dung liên quan chút ít với toán học, 
với các nhà toán học hay với dạy học toán ở tiểu học. Truyện kể toán học ở tiểu học có 
thể là: 
- Câu chuyện, trong đó có nội dung kiến thức toán học 
75 
- Câu chuyện về cách vận dụng tư duy toán học để xử lí thông minh trong các 
tình huống khó khăn của con người, đặc biệt của những người nổi tiếng. 
- Câu chuyện trong đó có sử dụng thuật ngữ của toán học. Để hiểu câu chuyện 
người nghe phải hiểu ý nghĩa của thuật ngữ đó hoặc sau khi nghe câu chuyện 
người nghe thấy cần phải đi tìm hiểu thuật ngữ đó. 
 Sưu tầm, sáng tạo và sử dụng truyện kể 
Giáo viên cần sưu tập các câu chuyện hoặc cốt truyện về các nhà toán học, danh nhân 
VN và thế giới. Truyện về các thần đồng, những câu chuyện lí thú dân gian hoặc tự nghĩ 
ra các câu chuyện toán học để sử dụng trong tiết dạy như một phương pháp dạy học. 
Hình thức này có thể sử dụng vào nhiều dịp khác nhau và căn cứ vào nội dung kiến 
thức, giáo viên lựa chọn câu chuyện hoặc tình tiết phù hợp để đưa vào bài học hoặc có 
thể cải biến cho phù hợp hơn với học sinh ở mỗi vùng, mỗi lớp. Sau câu chuyện giáo 
viên có thể nêu câu hỏi hoặc nêu vấn đề cho học sinh suy nghĩ, trao đổi. 
4.2.4 Thực hành vận dụng thiết kế hoạt động ngoại khóa toán ở tiểu học 
 Sinh viên làm việc nhóm để tạo ra sản phẩm 
76 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành (2000), Phương pháp dạy 
học Toán ở tiểu học (Tập 2, Phần thực hành giải toán), NXB Giáo dục, Hà Nội 
[2] Trần Diên Hiển (2009), Thực hành giải toán tiểu học (Tập 1, 2),NXB ĐHSP Hà Nội 
[3] Trần Ngọc Lan (2009), Rèn luyện Tư duy cho học sinh trong dạy học toán tiểu học, 
NXB Trẻ, TP HCM 
[4] Trần Diên Hiển (2008), giáo trình chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học, 
NXB ĐHSP Hà Nội 
[5] Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán các lớp 1,2,3,4,5 NXB Giáo dục, Hà nội 
 -------------------------------------- 
77 
MỤC LỤC 
 Trang 
Lời nói đầu .. 1 
Chương 1: Suy luận trong dạy học toán ở tiểu học .  2 
1.1 Khái niệm, mệnh đề, suy luận  2 
1.2 Các phương pháp suy luận trong dạy học toán ở tiểu học  7 
1.3 Vận dụng phương pháp suy luận trong dạy học toán ở tiểu học .. 14 
Chương 2: Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học môn toán 
 19 
2.1 Tư duy và nhiệm vụ phát triển tư duy cho học sinh . 19 
2.2 Rèn luyện các thao tác tư duy tư duy cho học sinh .. 24 
2.3 Rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán  27 
2.4 Rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo  30 
2.5 Rèn luyện và phát triển tư duy logic . 33 
Chương 3: Phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán  36 
3.1 Phát hiện học sinh có năng khiếu toán .. 36 
3.2 Phương pháp bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán  37 
3.3 Hệ thống bài tập bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán .. 38 
Chương 4: Tổ chức hoạt động ngoại khóa toán trong nhà trường tiểu học 70 
4.1 Mục đích ý nghĩa, tính chất hoạt động ngoại khóa toán  70 
4.2 Các hình thức và nội dung tổ chức hoạt động ngoại khóa toán  70 
Tài liệu tham khảo . 75 
 --------------------- * ---------------------