Dạy học phân số ở Tiểu học: Một nghiên cứu khai thác các biểu diễn trực quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 15, No. 1 (2018): 27-39
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
27 
DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC: 
MỘT NGHIÊN CỨU KHAI THÁC CÁC BIỂU DIỄN TRỰC QUAN 
Lê Thị Hoài Châu*1, Nguyễn Lâm Hồng Thắm2 
1 Khoa Toán - Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh 
2 Trường Tiểu học Tân Thạch A - Bến Tre 
Ngày nhận bài: 26-9-2017; ngày nhận bài sửa: 17-10-2017; ngày duyệt đăng: 22-01-2018 
TÓM TẮT 
Vì sao việc học chủ đề phân số ở trường tiểu học đặt ra nhiều vấn đề như vậy? Đâu là nguồn 
gốc của những khó khăn mà học sinh phải đương đầu trong học tập? Làm thế nào để giúp các em 
vượt qua chúng? Trước hết chúng tôi làm rõ một số yếu tố trả lời cho những câu hỏi đó. Đối với 
câu hỏi cuối cùng, giải pháp chúng tôi đưa ra là khai thác các mô hình biểu diễn trực quan nhằm 
giúp học sinh hiểu nghĩa phép toán và sau đó có thể sử dụng chúng vào việc giải quyết những vấn 
đề được đặt ra. Thực nghiệm mà chúng tôi giới thiệu tóm tắt trong phần cuối cùng cho phép khẳng 
định tính thỏa đáng của giải pháp mà chúng tôi lựa chọn. 
Từ khóa: phân số, mô hình biểu diễn, phép nhân phân số. 
ABSTRACT 
Teaching the fraction in primary school: 
a study aiming at exploiting models of concrete representation 
Why is fraction learning so difficult in primary school? What are the difficulties students 
face in learning fractions and operations? What is the origin of these difficulties? How can 
fractions be taught to overcome these difficulties? At first, we tried to look for answers to these 
questions. To the last question, our solution consists of exploiting models of representations 
allowing to give the meanings of the notion of fraction as well as those of the operations. The 
experimental study presented briefly in the last part shows the relevance of our solution. 
Keywords: fraction, representation model, multiplication of fraction. 
1. Mở đầu: khó khăn của việc học phân số ở tiểu học 
Trong những kiến thức toán dạy ở bậc tiểu học, phân số được xem như một chướng 
ngại lớn. Để chứng tỏ việc dạy học phân số đang đặt ra nhiều vấn đề cần xem xét, nhóm 
các nhà nghiên cứu ở Đại học Libre- Bruxelles (2009) đã phân tích kết quả thu được qua 
các kì đánh giá học sinh giai đoạn 1994 - 2004 trong cộng đồng nói tiếng Pháp ở Bỉ. 
Chúng tôi trích dưới đây vài kết quả minh họa cho việc hiểu và sử dụng khái niệm phân số: 
* Email: chaulth@hcmup.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
28 
Đề bài: 
A. Hãy tô màu 1/5 hình vẽ 
B. Hãy tô màu 3/4 hình vẽ 
C. Hãy tô màu 1/3 hình vẽ 
D. Hãy tô màu 3/8 hình vẽ 
Tỉ lệ học sinh thành công: 
A: 84%; B: 71%; C: 57%; D: 47% 
Đề bài: 
Phần hình vẽ được tô màu xám ứng 
với phần nào? 
Hãy khoanh tròn câu trả lời đúng. 
Tỉ lệ học sinh thành công: 47% 
Đây là hình vẽ của một mặt của 
một ngôi nhà. Thang tỉ lệ được sử 
dụng để biểu diễn trên hình vẽ này là 
1/20. Kích thước trên thực tế của mặt 
nhà này là bao nhiêu? (đừng quên chỉ 
rõ đơn vị đo) 
(Carette V. và các tác giả, 2009, tr. 9-11) 
Tác giả còn đưa ra nhiều kết quả nghiên cứu khác để minh họa cho khó khăn của học 
sinh khi học khái niệm phân số và nhận xét : 
“... để làm chủ các kiến thức cơ bản về phân số, học sinh thuộc cộng đồng nói tiếng Pháp1 có 
nhiều khó khăn. Kết quả này cũng tương tự với những gì quan sát được ở một số nước khác, chẳng 
hạn như Pháp (Bolon 1997), Mĩ (Behr, Lesh, Poste & Silver, 1983) hay Cộng hòa Síp 
(Charalambou, 2007).” 
(Carette V và các tác giả, 2009, tr. 8) 
Thực tế giảng dạy ở Việt Nam cho thấy học sinh tiểu học cũng gặp những khó khăn 
tương tự. Chẳng hạn, nhiều học sinh cho rằng ଶ
ଷ
= 	 ସ
ହ
 (cộng 2 vào tử và mẫu của phân số thứ 
nhất) thay vì ଶ
ଷ
= 	 ସ
଺
 (nhân 2 vào tử và mẫu của phân số thứ nhất). Quy tắc cộng, trừ phân số 
cũng được nhiều em thực hiện theo kiểu ௔
௕
+ 	 ௖
ௗ
= 	 ௔ା	௖
௕ା	ௗ
 Như vậy, rõ ràng là học sinh ở 
nhiều nước có những khó khăn chung trong việc hiểu khái niệm phân số, thực hiện các quy 
1 Ở Bỉ (ND) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
29 
tắc tính toán và sau đó sử dụng vào việc giải quyết những vấn đề của toán học hay ngoài 
toán học. 
Câu hỏi đầu tiên chúng tôi bận tâm là những khó khăn sinh ra từ đâu? và Làm thế 
nào để giúp trẻ vượt qua hay tránh chúng? 
2. Tính đa nghĩa của khái niệm phân số 
Để hiểu khó khăn của học sinh, cần phải làm sáng tỏ khái niệm phân số. Tuy nhiên, 
đây không phải là việc dễ dàng. 
Phân số dẫn ta đến với số hữu tỉ. Một số hữu tỉ tương ứng với thương của hai số 
nguyên, có thể được biểu diễn ở dạng phân số (ví dụ 3/4) hay dạng thập phân (0,75). Khái 
niệm phân số được xem là khó hiểu đối với học sinh. Theo nhiều nhà nghiên cứu, chính 
tính đa nghĩa của khái niệm phân số tạo nên một khó khăn quan trọng. 
Nhiều nghĩa khác nhau có thể gán cho phân số. Kieren (1976) là người đầu tiên tách 
phân số thành bốn nghĩa có quan hệ gắn bó với nhau: Tỉ số, toán tử, thương, đo lường. Tác 
giả không xem “phân số như một phần của tổng thể” là một nghĩa riêng mà cho rằng nó 
được chứa đựng trong bốn nghĩa đã liệt kê. Behr, Lesh, Poste & Silver (1983) thì đề nghị 
một mô hình lí thuyết cho phép liên kết các nghĩa khác nhau của phân số, nhưng lại tách 
“phân số - một phần của tổng thể” ra một nghĩa riêng biệt. Một số tác giả khác cũng đưa ra 
những mô hình của riêng mình, cố gắng mô tả tính đa nghĩa của khái niệm phân số. Những 
mô hình này có phần trùng nhau nhưng không tương đương, trong cả việc xác định các 
nghĩa khác nhau lẫn mối liên hệ giữa chúng. 
Dưới đây, chúng tôi kết hợp các mô hình do Nune T. & Bryant P. (1996) và Rouche 
N. (1998) đề nghị để đưa ra năm nghĩa chủ yếu của phân số. 
 Phân số: phần - tổng thể 
Thuật ngữ phân số trong tiếng Anh và tiếng Pháp đều là fraction, sinh ra từ gốc 
Latinh fractio, ý muốn nói là sự cắt, sự gãy. Một phần của một đối tượng bị cắt ra được 
biểu diễn bởi một phân số. Theo gốc từ này, phân số trước hết biểu diễn một phần của tổng 
thể (trong phần còn lại của bài báo, chúng tôi sẽ viết ngắn gọn là “phần – tổng thể”). Một 
cách trừu tượng, phân số là một số (ví dụ: 1/2 biểu diễn một nửa của 1). Như vậy, phân số 
cũng biểu diễn các số lượng. Thế nhưng, số lượng này không chỉ được tạo thành từ những 
giá trị nguyên (chẳng hạn, số lượng lê có thể là 1/2 quả, khoảng cách có thể là 1 ଷ
ସ
	݇݉, 
nghĩa là 1km và một phần của 1km nữa). Ở đây, tổng thể có thể là một yếu tố hay một tập 
hợp các yếu tố. Chẳng hạn: Em đã tô màu 1/4 hình vuông, hay 1/4 số bi của em có màu 
xanh (Hình 1). 
Hình 1. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
30 
 Phân số: kết quả của phép chia 
Phân số biểu diễn kết quả của phép chia một đại lượng thành các phần, ví dụ phép 
chia 2:3 được biểu diễn là ଶ
ଷ
	. 
Trong trường hợp này, người ta nói là “hai chia cho ba” chứ không nói là “hai phần 
ba”. Điều đó làm phức tạp thêm cách hiểu phân số. Thế nhưng, rõ ràng là giữa “hai chia 
cho ba” và “hai phần ba” có một mối liên hệ, như tình huống dưới đây: 
Ba người bạn chia nhau hai cái bánh pizza. Mỗi người được bao nhiêu ? 
Vấn đề là chia hai cho ba, và kết quả được biểu diễn bởi ଶ
ଷ
. Để tìm câu trả lời, ta có 
thể tưởng tượng là chia cái pizza đầu tiên, mỗi người được một phần ba. Sau đó, chia cái 
pizza thứ hai và thứ ba tương tự. 
Cuối cùng, mỗi người nhận được “hai phần ba” cái bánh pizza. 
(Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2008, tr.36) 
 Phân số: tỉ số 
Phân số còn được dùng để chỉ tỉ số. Các khái niệm tỉ lệ, tỉ lệ xích, phần trăm cũng 
được chúng tôi nhóm vào đây. 
Tỉ số biểu thị sự so sánh giữa hai đại lượng có cùng bản chất, nhờ phép chia. Ta lại 
thấy ở đây quan hệ với phép chia. Chẳng hạn, nếu trong một nhóm có 3 học sinh nam và 4 
học sinh nữ thì ta nói tỉ số giữa số nam và số nữ là ଷ
ସ
. Trong trường hợp này ta có tỉ số giữa 
một phần của một tập hợp với một phần khác cũng của tập hợp đó. Cũng tình huống ấy, ta 
lại có thể nói tỉ số học sinh nam trong nhóm là ଷ
଻
. Đây là tỉ số giữa một phần của tập hợp 
với toàn thể tập hợp. 
 Phân số: số đo đại lượng 
Phân số còn biểu diễn kết quả số đo một đại lượng. Đại lượng có thể là độ dài, diện 
tích, thể tích, vận tốc... Nếu kết quả của phép đo đó không bằng một số nguyên lần đơn vị 
đo thì người ta phải dùng phân số (hay số thập phân – một dạng viết khác của các phân số 
thập phân). 
 Phân số: toán tử 
Phân số biểu diễn toán tử của phép tính trong tình huống phải thực hiện phép nhân 
một số với phân số. Ví dụ: một người đã bị thua 1/4 số bi của mình, hay đã dùng 70% số 
tiền 500 ngàn đồng. 
Nắm vững khái niệm phân số nghĩa là hiểu các nghĩa khác nhau của nó để có thể sử 
dụng trong những tình huống khác nhau. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
31 
3. Một số mô hình biểu diễn trực quan khái niệm phân số 
Ngôn ngữ trong toán học rất đa dạng, không chỉ có lời nói, ngôn từ. Trong giao tiếp 
toán học, người ta có những mô hình cụ thể (que tính, khối lập phương...), nửa cụ thể 
(đường thẳng khắc vạch, hình vẽ minh họa...), kí hiệu (chữ số, chữ, các dấu phép tính...), 
và đương nhiên cả lời nói, với các từ (có thể nghe được, đọc được, viết được). Một đối 
tượng toán học có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Những cách thức biểu 
diễn này cho phép khai thác nhiều kiểu tư duy. Mối liên hệ giữa các cách thức biểu diễn 
được mô tả bằng Sơ đồ 1. Sơ đồ này cho phép khai thác nhiều con đường dẫn đến nhận 
thức cũng như thiết lập mối liên hệ giữa các ý tưởng mà việc học tập không thể bỏ qua. 
Giáo viên có thể sử dụng các cách thức khác nhau để biểu diễn một khái niệm toán học cho 
học sinh, và đến lượt mình thì học sinh lại sử dụng chúng để giải các bài toán hay để diễn 
đạt các ý tưởng của bản thân. 
Sơ đồ 12: Liên hệ giữa các cách thức biểu diễn 
(Ministère l’Éducation de l’Ontario, 2008, tr.9) 
Việc dạy học toán sẽ có hiệu quả hơn khi giáo viên hiểu, tận dụng được thế mạnh của 
mỗi cách biểu diễn và mối liên hệ giữa chúng. Điều đó đặc biệt quan trọng với dạy học 
toán ở tiểu học, khi mà tri thức toán học có tính trừu tượng và khái quát cao, còn tư duy 
của học sinh tiểu học lại phải gắn với các đối tượng cụ thể, hình tượng, có tính trực quan. 
Đối với các em, trí nhớ trực quan – hình tượng phát triển, chiếm ưu thế hơn trí nhớ từ ngữ - 
logic. 
Đối với khái niệm phân số, nhiều mô hình trực quan có thể được sử dụng. 
 Mô hình diện tích 
Mô hình diện tích thuận tiện cho trường hợp biểu diễn nghĩa “phần - tổng thể” (tô hai 
phần ba băng giấy) và “kết quả của phép chia” (chia hai cái bánh cho ba người). Ở bậc tiểu 
học, khi học về phân số người ta thường khai thác diện tích của hình tròn, hình vuông, hình 
2 Các từ trong Sơ đồ 1 được dịch là: Modes de présentation: các cách thức biểu diễn; Contexte: ngữ cảnh; En mots: bằng 
từ; Modèles: các mô hình; Symbolique: kí hiệu; Concret: cụ thể; Semi-concret: nửa cụ thể. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
32 
chữ nhật như một phương tiện trực quan để biểu diễn phân số. Trong cách biểu diễn này, 
điều quan trọng là tổng thể phải được chia thành những phần có diện tích bằng nhau. 
Cần lưu ý rằng với mô hình này, có thể học sinh sẽ cho những câu trả lời sai liên 
quan đến khái niệm phân số bằng nhau hay vấn đề so sánh các phân số. Chẳng hạn, các em 
có thể cho rằng 1/3 (biểu diễn trên băng giấy hình chữ nhật) lớn hơn 1/2 (biểu diễn bằng 
cái bánh hình tròn). Vấn đề ở đây là các “tổng thể” khác nhau. 
 Mô hình độ dài 
Giống như mô hình diện tích, đoạn thẳng thuận tiện cho trường hợp biểu diễn nghĩa 
“phần - tổng thể”. Ngoài ra, nó còn cho phép gắn với nghĩa “số đo đại lượng”, đặc biệt là 
chiều dài. 
Chẳng hạn, có một sợi dây dài 1m. Bạn An cắt ra ଶ
ଷ
 sợi dây để làm lồng đèn. Như 
vậy, đoạn dây cắt ra có độ dài là ଶ
ଷ
݉. Chúng ta có thể dùng mô hình độ dài biểu diễn phân 
số ଶ
ଷ
 như ở Hình 2. 
 Mô hình tập hợp 
Khi biểu diễn các tình huống liên quan đến phân số người ta còn có thể dùng mô 
hình tập hợp. Hiển nhiên, mô hình này thuận tiện khi ta cần nói đến các nghĩa “biểu thị kết 
quả của phép chia” và “tỉ số”. Chẳng hạn: Một rổ đựng 12 quả táo, trong đó có ଵ
ଷ
 táo đỏ. 
Chúng ta có thể dùng mô hình tập hợp biểu diễn ଵ
ଷ
 táo đỏ như ở Hình 3. 
 Mô hình tia số 
Tia số (và mặt phẳng số) là một sáng tạo của các nhà toán học để biểu diễn các số. 
Mô hình này thuận lợi cho việc biểu diễn các nghĩa “phần – tổng thể”, “kết quả phép chia”, 
“tỉ số”, “số đo đại lượng” (đặc biệt là chiều dài). 
Ngoài ra, mô hình tia số có ba lợi thế quan trọng. Thứ nhất, nó mang lại một kĩ thuật 
để so sánh hai phân số; phân số nào càng gần gốc tọa độ O thì càng nhỏ và ngược lại. Thứ 
hai, nó là cái giá quan trọng mang lại thông tin về khái niệm phân số bằng nhau: các phân 
số bằng nhau đều có chung một điểm biểu diễn. Thứ ba, nó cho phép chuyển từ phân số 
gắn với những tình huống cụ thể sang phân số với tư cách là một hư số. Nói cách khác, nó 
cho phép tách khái niệm phân số khỏi đơn vị cụ thể để chuyển sang đơn vị trừu tượng (mọi 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
33 
đơn vị bây giờ đều được biểu diễn bởi đoạn thẳng đơn vị). Lúc này thì sai lầm kiểu so sánh 
1/3 băng giấy hình chữ nhật với 1/2 cái bánh hình tròn khó mà xảy ra. 
Lưu ý rằng, tiếp theo các mô hình trực quan dùng để biểu diễn tình huống, điều quan 
trọng là học sinh phải chuyển được qua việc sử dụng từ ngữ và kí hiệu để nói về tình 
huống ấy. 
4. Khai thác các mô hình biểu diễn trong dạy học phép nhân phân số 
Khái niệm phân số có nhiều nghĩa khác nhau, kéo theo việc hiểu nghĩa các phép toán 
phân số không phải là dễ dàng đối với học sinh tiểu học. Chính điều này là nguyên nhân 
của những sai lầm liên quan đến việc sử dụng các quy tắc tính toán (được dạy theo kiểu 
algorithme – thuật toán) và vận dụng vào giải toán. Để thiết kế tình huống dạy học giúp 
học sinh vượt qua khó khăn, ta phải xuất phát từ nghĩa của phép toán cần dạy. Trong khuôn 
khổ có hạn của bài báo, chúng tôi chỉ bàn đến việc sử dụng các mô hình trực quan nhằm 
giúp học sinh hiểu nghĩa của các phép toán nhân phân số. Đối với các phép toán cộng, trừ, 
chúng tôi chỉ muốn nhấn mạnh hai điểm: thứ nhất, để xây dựng các phép toán này thì con 
đường tiếp cận xuất phát từ nghĩa “phần – tổng thể” mang lại nhiều thuận lợi. Thứ hai, 
chính vì điểm thứ nhất mà các mô hình diện tích, đoạn thẳng mang lại nhiều ưu thế cho 
việc mô tả tình huống. Cách tiếp cận phép cộng như thế có thể được khai thác để mang lại 
nghĩa cho phép nhân số tự nhiên với phân số, nhưng không khai thác được cho trường hợp 
nhân hai phân số. Phép toán chia thì phức tạp hơn, vì nó đòi hỏi học sinh phải hiểu được vì 
sao “chia cho một phân số thì chuyển về nhân với phân số đảo ngược”. 
Như vậy, đối với các phép toán nhân, chia phân số thì nhiều mô hình cần phải được 
khai thác một cách hợp lí. Điều quan trọng là giáo viên (sau đó là học sinh) biết chọn mô 
hình phù hợp với tình huống và hiểu được lợi thế cũng như hạn chế của mỗi loại mô hình. 
4.1. Nghĩa của phép nhân và những mô hình phù hợp 
Trong phép nhân hai số tự nhiên, a b được hiểu là phép cộng lặp lại. Cách hiểu này 
vẫn được mở rộng cho trường hợp nhân số tự nhiên với phân số. Chẳng hạn, 8	 × 	ଵ
ସ
 có thể 
hiểu như 8 lần ଵ
ସ
	, nghĩa là: 8	 × 	14 	= 	14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 + 14 = 	84 
Vì lúc này phép nhân được hiểu theo nghĩa cộng lặp lại nên mô hình diện tích hay 
đoạn thẳng vẫn có thể dùng để biểu diễn kết quả (ví dụ như ở Hình 4). 
Nhưng khi tính chất giao hoán của phép nhân phân số chưa được nghiên cứu thì mô 
hình diện tích khó mà đưa lại nghĩa cho phép nhân một phân số với một số tự nhiên, chẳng 
hạn như ଵ
ଶ
× 6. Trong thực tế, phép toán này biểu thị ଵ
ଶ
 của 6. Như đã phân tích trên, về bản 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
34 
chất thì ở đây phân số ଵ
ଶ
 lấy nghĩa “toán tử”. Lúc này mô hình tập hợp lại thuận tiện hơn 
cho việc hiểu nghĩa của phép toán. Chẳng hạn Hình 5 biểu diễn cho tình huống: An có 12 
viên bi, ଵ
ସ
 trong số đó là bi đỏ, ଶ
ଷ
 là bi xanh. Hỏi An có bao nhiêu bi đỏ? Bao nhiêu bi xanh? 
Trong tình huống này phép toán cần thực hiện là ଵ
ସ
	× 	12 và ଶ
ଷ
	× 	12. Mẫu số cho biết số 
phần bằng nhau cần phải chia ra từ tập hợp các đối tượng đã cho, còn tử số là số phần phải 
lấy ra. 
Đó là những tình huống khởi đầu khi học phép nhân phân số với số tự nhiên. Sau đó 
phải đưa vào những tình huống mà kết quả không phải là số tự nhiên. Ví dụ: 
Xác định ଶ
ଷ
 của 7 cái bánh. Lúc này, 7 cái bánh phải chia thành 3 (mẫu số) phần bằng 
nhau và lấy ra 2 (tử số) phần. 
Mô hình đoạn thẳng cũng có thể sử dụng để giúp học sinh hiểu nghĩa và quy tắc thực 
hiện phép nhân phân số với số tự nhiên. Chẳng hạn trong tình huống sau thì mô hình đoạn 
thẳng lại trực quan hơn mô hình diện tích: Trong một cuộc chạy tiếp sức, cả đội phải chạy 
3km. Bạn thứ nhất đã chạy ଶ
ହ
	quãng đường. Hỏi bạn ấy chạy được bao nhiêu km? 
Những tình huống đi kèm mô hình trực quan nêu trên mang lại nghĩa của phép nhân 
phân số với số tự nhiên: ௔
௕
	× 	݊ là ௔
௕
	 của n, thu được bằng cách lấy n chia cho mẫu số (b) 
rồi nhân với tử số (a). Lưu ý rằng, bằng cách liên hệ với tính chất của các phép nhân, chia 
cho số tự nhiên, ta đi đến quy tắc: Muốn nhân một phân số với số tự nhiên, ta nhân tử với 
số đó rồi chia cho mẫu. 
Nghĩa của phép nhân phân số với số tự nhiên được mở rộng cho tích hai phân số: 
௔
௕
	× 	 ௖
ௗ
 là ௔
௕
 của ௖
ௗ
. Mô hình diện tích và mô hình tập hợp thuận lợi hơn cả cho việc mang 
lại nghĩa này. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
35 
4.2. Một tình huống dạy học phép nhân phân số 
Nghiên cứu trên đã làm rõ nghĩa của phép toán nhân và những mô hình biểu diễn cho 
phép mang lại nghĩa đó. Căn cứ vào nghiên cứu này, chúng tôi đã thiết kế một thực nghiệm 
tiến hành với học sinh lớp 4. 
 Thực nghiệm được thiết kế theo quan điểm dạy học tích hợp 
Chúng tôi theo đuổi hai hướng tích hợp đã đề xuất trước đây (tham khảo Lê Thị Hoài 
Châu, 2014): Thứ nhất là tích hợp trong nội bộ môn toán, thứ hai là tích hợp theo phương 
thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn. 
Theo hướng thứ nhất, chúng tôi liên kết các phân môn toán học lại với nhau. Kiến 
thức toán học được liên kết chặt chẽ với nhau trong một mạng lưới đa chiều, nên cho dù 
toán học có được phân thành các phân môn khác nhau, thì người ta vẫn có thể đại số hóa 
hình học cũng như hình học hóa số học - đại số - giải tích để khai thác phân môn này cho 
việc nghiên cứu các phân môn kia. Phân tích lịch sử toán học cho thấy việc sử dụng ngôn 
ngữ hình học đã từng giúp giải thích cho tính hợp thức của nhiều khái niệm trừu tượng 
được hình thành trong nội tại toán học bằng con đường suy diễn (tham khảo Lê Thị Hoài 
Châu, 2008, tr.40-44). Đặc biệt, đối với học sinh tiểu học, do đặc điểm tâm sinh lí lứa tuổi, 
việc hình học hóa số học để đưa vào những khái niệm trừu tượng càng cần thiết. Vấn đề 
khai thác các biểu diễn trực quan mà chúng tôi xem xét ở trên chính là một cách thực hiện 
dạy học tích hợp theo phương thức này. 
Hướng thứ hai thể hiện sự phối hợp của các phương thức tích hợp đa môn, liên môn, 
xuyên môn, làm cho toán học dạy trong nhà trường gần với thực tiễn. Theo hướng này, dạy 
học toán được gắn với hoạt động thực hành, quan sát thực tế. Phương thức tích hợp đó 
cũng phù hợp cho học sinh đầu cấp tiểu học. Tuy nhiên, ở lứa tuổi này thì việc tích hợp đa 
môn theo kiểu phải huy động kiến thức nhiều môn học để giải quyết vấn đề không phải là 
dễ. Vì vậy, cách thức tích hợp chỉ dừng lại ở mức độ gắn việc học tập với vui chơi, dạy 
kiến thức kĩ năng thông qua hoạt động thực hành và quan sát thực tế. 
Thừa nhận hai phương thức dạy học tích hợp vừa nêu, chúng tôi đã thiết kế một dãy 
tình huống dạy học các phép tính trên tập hợp các phân số. Dưới đây là một số trong những 
tình huống được xây dựng để dạy học phép nhân với mục đích giúp học sinh hiểu nghĩa 
của phép toán. Tình huống được cấu tạo từ ba pha với những hoạt động mà ở đó học sinh 
phải thao tác với mô hình biểu diễn phù hợp. 
Pha 1: nhân số tự nhiên với phân số 
Hoạt động 1: Giải bài toán 1 
Để trang trí cho chiếc váy của búp bê, Mai đã mua 2 sợi dây ruy băng màu đỏ và 
xanh, mỗi sợi dài ଵ
ଷ
m. Hỏi Mai đã mua cả thảy bao nhiêu mét dây ruy băng? 
Hoạt động này được thực hiện tập thể. Giáo viên hướng dẫn học sinh toàn lớp giải 
bài toán bằng việc sử dụng mô hình đoạn thẳng và qua đó hình thành nghĩa “phép nhân số 
tự nhiên với phân số chính là phép cộng lặp lại”. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
36 
Hoạt động 2: Giải bài toán 2 
Có 3 chai đựng nước. Mỗi chai chứa ଶ
ହ
	lít nước. Hỏi có tất cả bao nhiêu lít nước 
trong 3 chai đó? 
Với bài toán này học sinh có thể sử dụng mô hình đoạn thẳng hoặc diện tích. Tuy 
nhiên, để tránh cho các em khó khăn với việc tìm cách biểu diễn trực quan vấn đề, trong 
phiếu học tập chúng tôi ấn định dùng mô hình diện tích. 
Hoạt động 2 được tổ chức theo nhóm. Hai học sinh ngồi cạnh nhau lập thành một 
nhóm. Mỗi nhóm được phát một phiếu học tập (Phiếu số 1) trên đó có những câu hỏi và 
các em phải thảo luận với nhau để viết câu trả lời. Cùng với phiếu học tập, mỗi nhóm còn 
được phát 1 cái kéo, 1 bút màu, 1 lọ hồ dính, 3 băng giấy hình chữ nhật bằng nhau, trên 
mỗi băng giấy đã có vạch chia thành 5 phần có cùng diện tích. 
Phiếu số 1 
1. Viết phép tính cần thực hiện để tìm số lít nước trong ba chai: 
2. Các em hãy dùng vật liệu được cung cấp để tìm kết quả phép toán. 
Hướng dẫn: 
- Mỗi băng giấy đã phát cho các em biểu thị 1 lít nước. Theo các em, mỗi phần bằng nhau 
ứng với bao nhiêu lít nước? 
- Hãy tô màu phần băng giấy biểu thị số nước trong mỗi chai. 
- Cắt rồi ghép phần tô màu của ba băng giấy rời. 
3. Viết phân số chỉ phần tô màu đó: 
4. Dựa vào kết quả hoạt động, hãy cho biết: 
- Số lít nước trong ba chai là: 
- Vậy ଶ
ହ
	× 	3 = ⋯ 
Hình 7 là hình mà chúng tôi dự kiến kết quả hoạt động của học sinh và các em sẽ căn 
cứ vào đó để điền câu trả lời vào hai dòng cuối của Phiếu số 1. 
Hoạt động 3 (làm việc tập thể): Học sinh được yêu cầu phát biểu quy tắc nhân một 
số tự nhiên với một phân số. Cuối cùng, giáo viên thể chế hóa quy tắc. 
Pha 2: Nhân phân số với số tự nhiên 
Hoạt động 4 (theo nhóm 2 HS): giải bài toán 3 
1. An có 12 viên bi, ଵ
ସ
 trong số đó là bi đỏ. Hỏi An có bao nhiêu viên bi đỏ? 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
37 
2. Một rổ táo có 6 quả. Hỏi ଶ
ଷ
 số táo trong rổ là bao nhiêu quả? 
Với bài toán này chúng tôi hướng dẫn học sinh sử dụng mô hình biểu diễn là tập hợp 
bằng cách yêu cầu các em vẽ 12 viên bi, sau đó là 6 quả táo. Như đã phân tích ở phần 4.1, 
những tình huống này mang lại nghĩa cho phép nhân phân số với số tự nhiên. 
Pha 3: Nhân phân số với phân số 
Pha này gồm hai phần với hai bài toán được lấy lại trong Sách giáo khoa Toán 4 của 
Việt Nam và sách giáo khoa Toán 5 của Singapor. 
Hoạt động 5: giải bài toán 43 
Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài ସ
ହ
݉ và chiều rộng ଶ
ଷ
݉. 
Chúng tôi tổ chức cho học sinh làm việc hoạt động theo nhóm đôi. Các nhóm thảo 
luận và thực hiện những yêu cầu trên Phiếu số 2. 
Phiếu số 2 
1. Viết phép tính để tính diện tích hình chữ nhật: 
2. Dùng hình vẽ để tìm kết quả bài toán. 
Hướng dẫn: 
Các em hãy vẽ một hình vuông. 
Giả sử độ dài mỗi cạnh là 1m. 
Diện tích hình vuông là: 
3. Chia độ dài một cạnh hình vuông thành 5 phần bằng nhau. Đánh dấu 4 phần bằng nhau trên 
cạnh đó. Độ dài của đoạn được đánh dấu là bao nhiêu mét? Đó là chiều dài hay chiều rộng hình 
chữ nhật? 
Thực hiện tương tự với cạnh đối diện. 
4. Chia độ dài một cạnh kế tiếp của hình vuông thành 3 phần bằng nhau. Đánh dấu 2 phần bằng 
nhau trên cạnh đó. Độ dài đoạn được đánh dấu là bao nhiêu mét ? Đó chính là chiều dài hay 
chiều rộng hình chữ nhật ? 
Thực hiện tương tự với cạnh đối diện. 
5. Nối các phần được chia trên mỗi cạnh hình vuông theo chiều ngang và chiều dọc của hình. 
Hình vuông được chia thành mấy ô bằng nhau ? Mỗi ô có diện tích là bao nhiêu ? 
Hình chữ nhật gồm tất cả mấy ô bằng nhau ? 
Tô màu hình chữ nhật đó. Diện tích hình chữ nhật là bao nhiêu ? 
6. Ngoài cách đếm, em có thể thực hiện phép toán nào để tìm số ô trong hình vuông và trong 
hình chữ nhật ? 
7. Viết phân số biểu diễn phần diện tích hình chữ nhật. Có nhận xét gì về tử số và mẫu số của 
phân số này với các phép tính em vừa thực hiện ở trên ? 
Với những hướng dẫn trong phiếu, chúng tôi dự kiến học sinh có thể vẽ được Hình 8. 
3 Bài toán này được lấy từ Đỗ Đình Hoan, 2005, tr.132. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 1 (2018): 27-39 
38 
Quan sát mô hình trên các em tính được diện tích 
hình chữ nhật là ଼
ଵହ
݉ଶ và từ đó có kết quả phép toán : 
ସ
ହ
× ଶ
ଷ
= 	 ଼
ଵହ
. 
Việc giải bài toán 4 theo hướng dẫn cho phép hình 
thành quy tắc nhân hai phân số. Tuy nhiên, nghĩa của phép 
toán chưa được làm rõ qua biểu diễn trực quan này. 
Hoạt động 6 (làm việc tập thể) : Học sinh được yêu 
cầu phát biểu bằng lời quy tắc nhân hai phân số, cuối cùng giáo viên thể chế hóa. 
Hoạt động 7 :giải bài toán 54 (được đưa trên Phiếu số 3) 
Phiếu số 3 
Bạn An vẽ một hình chữ nhật và tô màu ସ
ହ
 hình, sau đó An gạch sọc vào ଶ
ଷ
 phần tô màu đó. 
1. Tìm ଶ
ଷ
	× 	ସ
ହ
2. Vẽ hình chữ nhật của bạn An. 
Tô màu	ସ
ହ
 hình. Gạch sọc ଶ
ଷ
 phần đã tô màu. 
Có bao nhiêu phần bằng nhau trong hình chữ nhật? 
Trả lời:  
Trong các phần bằng nhau ấy, có bao nhiêu phần đã được gạch sọc? 
Trả lời: . 
Hãy viết phân số ứng với phần mà bạn An đã gạch sọc. 
Trả lời: .. 
Hình 9 là sản phẩm mà chúng tôi mong đợi ở 
học sinh. Nó cho phép hình thành nghĩa của phép 
nhân hai phân số : ௔
௕
	× 	 ௖
ௗ
 biểu thị ௔
௕
	 của ௖
ௗ
 . 
5. Kết luận 
Dạy học chủ đề phân số đặt ra nhiều vấn đề 
cần nghiên cứu. Chính tính đa nghĩa của khái niệm 
phân số là nguồn gốc của những khó khăn mà học 
sinh phải đương đầu. Làm thế nào để giúp học sinh tiểu học vượt qua khó khăn, nắm được 
nghĩa của khái niệm cũng như các phép toán, và có thể sử dụng chúng vào việc giải quyết 
những vấn đề thường gặp ? 
Thừa nhận mối liên hệ giữa các biểu diễn số với quá trình tư duy, chúng tôi đã xác 
định những mô hình biểu diễn trực quan phù hợp với khái niệm phân số và phù hợp với 
4 Bài toán này được chúng tôi lấy ý tưởng từ một tình huống có trong sách giáo khoa Toán 5A của Singapor (Fong Ho 
Kheong, Chelvi Ramakrishnan, Michelle Choo, 2007, tr.102. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
39 
từng phép toán. Thuật ngữ “phù hợp” sử dụng ở đây theo nghĩa là biểu diễn được lựa chọn 
phải có thể mang lại nghĩa cho khái niệm hay phép toán được bàn đến, từ đó giúp mô tả 
vấn đề được đặt ra và tìm cách giải quyết nó. Giáo viên cần hiểu rõ vai trò của các mô hình 
biểu diễn để tổ chức dạy học, không chỉ nhằm truyền thụ tri thức mà còn dạy học sinh khai 
thác các mô hình này, qua đó bồi dưỡng năng lực giao tiếp cho các em. 
Chuỗi hoạt động trong tình huống trên được thiết kế với mục đích khai thác các mô 
hình biểu diễn trực quan nhằm giúp học sinh hiểu nghĩa của phép nhân phân số. Trong tình 
huống, ba mô hình (diện tích, đoạn thẳng, tập hợp) đã được sử dụng. Ở đây, học sinh cũng 
cần biết vận dụng một số kĩ năng của các môn vẽ, kĩ thuật, Tiếng Việt để giải quyết những 
vấn đề được nêu ra. 
Tình huống đã được triển khai thực nghiệm với một lớp 4 của Trường Tiểu học Tân 
Thạch A (huyện Châu Thành, tỉnh Bến Tre). Trong thực tế, chúng tôi còn tổ chức thực 
nghiệm tình huống dạy học phép chia. Sau các thực nghiệm này, chúng tôi đã tổ chức đánh 
giá học sinh để xem xét hiệu quả của các tình huống dạy học đã thiết kế và thực hiện. Kết 
quả thu được cho thấy, nói chung là các em đã vận dụng được kiến thức của một số môn 
học khác để thiết lập các mô hình biểu diễn trực quan và sau đó biết sử dụng mô hình để 
giải quyết vấn đề đặt ra. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Behr, Lesh, Poste & Silver (1983), Rational numbers concepts. In R. Lesh & M. Landau (Eds.) 
Acquisition of Mathematics Concepts and Processes, 91-125. New York: Academic Press. 
Carette V, Content A.,Rey B., Coché F., Gabriel F. (2009). Etude de l’apprentissage des nombres 
rationnels et des fractions dans une approche par compétences à l’école primaire. 
Đỗ Đình Hoan (2005), Toán 4, Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Fong Ho Kheong, Chelvi Ramakrishnan, Michelle Choo. (2007). Maths 5A, Marshall Cavendis. 
Kieren T.E. (1976), On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational 
numbers. In R. Lesh (Ed.) Number and Measurement: Papers frome a Researche Worksop 
ERIC/SMEAC, 101-144, Columbus, OH. 
Lê Thị Hoài Châu (2014), Tích hợp trong dạy học toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Đại học Sư 
phạm TP Hồ Chí Minh. 
Lê Thị Hoài Châu (2015), Dạy học Hình học ở trường phổ thông, Hà Nội: NXB Giáo dục. 
Ministère de l’Éducation de l’Ontario (2008), Guide d’enseignement efficace des mathématiques de 
la 4e à la 6e année. Canada. 
Nguyễn Lâm Hồng Thắm (2017), Dạy học các phép toán phân số ở Tiểu học theo quan điểm tích 
hợp. Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Giáo dục Tiểu học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh. 
Nune T. & Bryant P. (1996). Children Doing Mathecarics. Oxford, U.K.: Blackwell. 
Rouche N. (1998). L’esprit des sciences. Pourquoi ont-ils inventé les fractions?. Paris: Ellipses.