Giáo trình Thống kê trong khoa học xã hội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
———————–
THỐNG KÊ TRONG KHOA HỌC XÃ HỘI
Dùng cho các lớp thuộc ngành xã hội
ĐỒNG THÁP 2014-2015
MỞ ĐẦU
"Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê" là tài liệu được biên soạn cho các sinh
viên ngành Khoa học Xã hội như: Công tác Xã hội, Việt Nam học, Thư viện Thông
tin, Giáo dục Thể chất,...
Mục đích của bài giảng là trang bị cho các sinh viên kiến thức về thống kê trong
khoa học xã hội từ đó nghiên cứu, thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội...
Bài giảng bao gồm 4 chương. Chương 1: Khái quát những khái niệm cơ bản về lý
thuyết xác suất để làm nền tảng cho việc nhiên cứu phần thống kê. Bao gồm: xác suất
cổ điển, xác suất theo quan điểm thống kê, tính chất của xác suất, các biến ngẫu nhiên,
hàm phân phối và một số phân phối quan trọng. Chương 2: Mẫu ngẫu ngẫu nhiên và
ước lượng tham số. Chương này mục đích đưa ra các khái niệm về mẫu ngẫu nhiên,
các đặc trưng mẫu và các ước lượng tham số. Chương 3: Kiểm định giả thiết. Chương
này trình bày một số bài toán kiểm định giả thiết như: kiểm định trung bình, kiểm
định tỷ lệ, kiểm định phương sai, kiểm định tính độc lập, quy luật phân phối và các
bài toán so sánh.Chương 4 trình bày về tương quan và hồi quy tuyến tính.
Trong tất cả các chương đưa ra đều có những ví dụ minh họa cụ thể cho từng dạng
bài toán, sau cuối của mỗi chương đều có hệ thống bài tập khá đa dạng và phong phú.
Vì nhiều lý do, chắc chắn bài giảng không tránh khỏi những sai xót. Chúng tôi
mong được sự đóng góp của đồng nghiệp và các bạn sinh viên.
Tác giả
2
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Bổ túc về giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Các nguyên lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6. Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3. Tính chất của xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.4. Các công thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3. Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2. Phương sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.6.3. Mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4. Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Một số phân phối thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1. Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2. Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.3. Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.4. Tính gần đúng phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Véc tơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2. Biến ngẫu nhiên liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8.3. Các đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Bài tập chương 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Chương 2. Lý thuyết chọn mẫu và ước lượng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
2.1. Mẫu ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1. Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2. Hàm phân phối - Đa giác tần số và tổ chức đồ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.3. Mẫu ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1. Ước lượng không chệch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
2.2.2. Ước lượng vững. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3. Ước lượng hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.4. Ước lượng hợp lý cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.5. Ước lượng điểm cho kỳ vọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.2.6. Ước lượng điểm cho phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.4. Ước lượng điểm cho xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. Ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1. Ước lượng khoảng đối với giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2. Ước lượng khoảng đối với giá trị tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3. Ước lượng khoảng đối với phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
Bài tập chương 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Chương 3. Kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
3.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1. Trường hợp phương sai σ2 đã biết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2. Trường hợp phương sai σ2 chưa biết n ≥ 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.3. Trường hợp phương sai σ2 chưa biết n < 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3. Kiểm định tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4
3.3.1. Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2. Kiểm định một phía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Kiểm định phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1. Trường hợp chưa biết µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2. Trường hợp đã biết µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.5. Kiểm định về tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Kiểm định giả thiết về luật phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7. Bài toán so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7.1. Bài toán so sánh hai giá trị trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7.2. Bài toán so sánh hai giá trị tỷ lệ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
Bài tập chương 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Chương 4. Tương quan và hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1. Tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.3. Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.4. Ý nghĩa của hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2. Hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Bài tập chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Các bảng số thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
5
Chương 1
Các khái niệm cơ bản về xác suất
1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp
1.1.1 Các nguyên lý đếm cơ bản
a) Nguyên lý cộng
Giả sử có k công việc, việc thứ nhất có n1 scách làm, việc thứ hai có n2 cách làm,..., 
việc thứ k có nk cách làm,... các công việc này không làm đồng thíi. Khi đó ta có n1 + n2 
+ ... + nk cách làm k công việc trổn.
b) Nguyên lý nhân.
Giả sử hành động H được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp H1, H2, H3, ..., Hk.
Giai đoạn H1 có n1 cách làm,...,Hk có nk cách làm.
Khi đó n1.n2...nk cách làm công việc H.
1.1.2 Hoán vị
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập M có n phần tử, mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo
một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của tập M . Gọi số các hoán vị của tập M là:
Pn = n! = 1.2.3...(n− 1)n
Ví dụ 1. a) Ta có 3 người A,B,C xếp vào 3 chỗ ngồi. Khi đó ta có 3! = 3.2.1 = 6 cách
xếp như sau:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
b) Số cách sắp xếp cho 80 sinh viên vào 80 chỗ ngồi là P80 = 80!
1.1.3 Chỉnh hợp
Định nghĩa 1.1.2. Cho tập M có n phần tử, 0 ≤ k ≤ n, một chỉnh hợp chập k của n
phần tử là một bộ sắp thứ tự (phân biệt) lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là
Akn =
n!
(n− k)!
6
Ví dụ 2. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của ba phần tử đó là:
23, 25, 32, 35, 52, 53
b) Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xắp xếp
thời khóa biểu cho mỗi ngày.
HD: Vì mỗi cách xắp xếp thời khóa biểu trong một ngày là ghép 2 môn trong 6
môn. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau
giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6.
A26 = 30
1.1.4 Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.1.3. Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là 1 nhóm thứ tự gồm k phần
tử lấy từ n phần tử đã cho trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2, 3,....k lần trong
nhóm tạo thành. Ký hiệu A
k
n = n
k
Ví dụ 3. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử đó là:
22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55
b) Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1,2,....9. Hỏi có
thể đánh số được bao nhiêu máy.
Mỗi số của máy là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 số: A
k
n = 9
3 = 729
1.1.5 Tổ hợp
Định nghĩa 1.1.4. Tổ hợp chập k của n phần tử, 0 ≤ k ≤ n là một tập con của k
phần tử lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là
Ckn =
Akn
k!
=
n!
k!(n− k)!
Ví dụ 4. Có 10 đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏi
có bao nhiêu trận đấu?
HD: Ta thấy mỗi trận đấu giữa 2 đội đấu với nhau là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử
(Vì hai đội đấu với nhau không cần xếp thứ tự) C210 = 45
1.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố
1.2.1 Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà ta chưa biết trước được kết quả của nó.
Tuy chưa biết trước được kết quả của phép thử nhưng biết được tập tất cả các khả
7
năng và ký hiệu là Ω và gọi là không gian biến cố sơ cấp.
Mỗi ω ∈ Ω gọi là biến cố sơ cấp. Ta ký hiệu phép thử là G
Ví dụ 5. a) Tung đồng tiền thì Ω = {S,N}
b) Tung con xúc xắc: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1.2.2 Biến cố
Khi thực hiện một phép thử có rất nhiều câu hỏi liên quan đến kết qu ...  quy thực nghiệm của y theo x.
Bài tập 7. Cho bảng số liệu sau:
Y X 20 25 30 35
400 12 5 1 1
420 6 18 3 2
450 2 10 9
490 1 10 20
1) Tìm hệ số tương quan mẫu thực nghiệm.
2) Tìm đường hồi quy thực nghiệm của y theo x.
104
MỘT SỐ BẢNG THÔNG DỤNG
Bảng 1: Giá trị của hàm: Pλ(k) = e
−λ λk
k!
k \ λ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0,3679
1 0,0905 0,1637 0,2222 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659 0,3679
2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1217 0,1438 0,1647 0,1839
3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,1284 0,1383 0,1494 0,1613
4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0,0111 0,0153
5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0004 0,0007 0,0012 0,0020 0,0031
6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005
7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001
k 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
0 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1496 0,1353
1 0,3662 0,3614 0,3543 0,3452 0,3347 0,3230 0,3106 0,2975 0,2842 0,2707
2 0,2014 0,2169 0,2303 0,2417 0,2510 0,2584 0,2640 0,2678 0,2700 0,2707
3 0,0738 0,0867 0,0998 0,1128 0,1255 0,1378 0,1496 0,1607 0,1710 0,1804
4 0,0203 0,0260 0,0324 0,0395 0,0471 0,0551 0,0636 0,0723 0,0812 0,0902
5 0,0045 0,0062 0,0084 0,0111 0,0141 0,0176 0,0216 0,0260 0,0309 0,0361
6 0,0008 0,0012 0,0018 0,0026 0,0035 0,0047 0,0061 0,0078 0,0098 0,0120
7 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0011 0,0015 0,0020 0,0027 0,0034
8 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0006 0,0009
9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002
k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0,04998 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001
2 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107 0,0050 0,0023 0,0010 0,0004
3 0,2240 0,1954 0,1404 0,0892 0,0521 0,0286 0,0150 0,0076 0,0037 0,0018
4 0,1680 0,1954 0,1755 0,1339 0,0192 0,0573 0,0337 0,0189 0,0102 0,0053
5 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0,0916 0,0607 0,0378 0,0224 0,0127
6 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0,1221 0,0911 0,0631 0,0411 0,0255
7 0,0216 0,0595 0,1044 0,1377 0,1490 0,1396 0,1171 0,0901 0,0646 0,0437
8 0,0081 0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0,1396 0,1318 0,1126 0,0888 0,0655
9 0,0027 0,0132 0,0363 0,0688 0,1014 0,1241 0,1318 0,1251 0,1085 0,0874
10 0,0008 0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0,0993 0,1186 0,1251 0,1194 0,1048
11 0,0002 0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0,0722 0,0970 0,1137 0,1194 0,1144
12 0,0001 0,0006 0,0034 0,0113 0,0263 0,0481 0,0728 0,0948 0,1094 0,1144
13 0,0000 0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0,0296 0,0504 0,0729 0,0926 0,1056
14 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0071 0,0169 0,0324 0,0521 0,0728 0,0905
15 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0033 0,0090 0,0194 0,0347 0,0534 0,0724
105
Bảng 2: Giá trị hàm Gause: ϕ(x) = 1√
2pi
e−
x2
2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0, 0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
0, 1 0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918
0, 2 0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825
0, 3 0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3725 0,3712 0,3697
0, 4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538
0, 4 0,3683 0,3668 0,3653 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538
0, 5 0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352
0, 6 0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144
0, 7 0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3034 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920
0, 8 0,2879 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2870 0,2756 0,2732 0,2709 0,2685
0, 9 0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444
1, 0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203
1, 1 0,2719 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965
1, 2 0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736
1, 3 0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518
1, 4 0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315
1, 5 0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127
1, 6 0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957
1, 7 0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804
1, 8 0,0790 0,0775 0,0761 0,0748 0,0734 0,0721 0,0707 0,0694 0,0681 0,0669
1, 9 0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551
2, 0 0,0504 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449
2, 1 0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,0363
2, 2 0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0290
2, 3 0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0229
2, 4 0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0180
2, 5 0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139
2, 6 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107
2, 7 0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081
2, 8 0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061
2, 9 0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046
3, 0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034
3, 1 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0025
3, 2 0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0020 0,0019 0,0018 0,0018
3, 3 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0018 0,0013
3, 4 0,0012 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009 0,0009
3, 5 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006
3, 6 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004
3, 7 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
3, 8 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
3, 9 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001
4, 0 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
106
Bảng 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn N(0, 1)
φ(x) = 1√
2pi
∫ x
∞ e
− t2
2 dt
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0, 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0, 1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0, 2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0, 3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0, 4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0, 5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0, 6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0, 7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0, 8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0, 9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1, 0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1, 1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1, 2 0,88849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1, 3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1, 4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1, 5 0,9332 0,9345 0,9537 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1, 6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1, 7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1, 8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1, 9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2, 0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2, 1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2, 2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2, 3 0,9993 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2, 4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2, 5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2, 6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2, 7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2, 8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2, 9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3, 0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3, 1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3, 2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3, 3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3, 4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3, 5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3, 6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3, 7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3, 8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3, 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4, 0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
107
Bảng 4: Phân phối Student: X ∼ t(n)
P[X > t(n, α)] = α
n \ α 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,001
1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 15,895 31,821 63,675 318,309
2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 4,489 6,965 9,925 22,327
3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 10,215
4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,766 2,999 3,747 4,604 7,173
5 0,267 0,559 0,920 1,467 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 5,893
6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,477 2,612 3,143 3,707 5,208
7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,517 2,998 3,499 4,785
8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,449 2,896 3,355 4,501
9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,398 2,821 3,250 4,297
10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,359 2,764 3,169 4,144
11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,328 2,718 3,106 4,025
12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,303 2,861 3,055 3,930
13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,282 2,650 3,012 3,852
14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,264 2,624 2,977 3,787
15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,249 2,602 2,947 3,733
16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,235 2,583 2,921 3,686
17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,224 2,567 2,898 3,646
18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,610
19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,579
20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,552
21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,189 2,518 2,831 3,527
22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,183 2,508 2,819 3,505
23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,177 2,500 2,807 3,485
24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,172 2,492 2,797 3,467
25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,167 2,485 2,787 3,450
26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,435
27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,158 2,473 2,771 3,421
28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,408
29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,396
30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,147 2,457 2,750 3,385
40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,123 2,423 2,704 3,307
50 0,255 0,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 3,261
60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,099 2,390 2,660 3,232
70 0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,093 2,381 2,648 3,211
80 0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,088 2,374 2,639 3,195
90 0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,084 2,368 2,632 3,183
10 100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,081 2,364 2,626 3,174
108
Bảng 5: Phân phối khi bình phương: X ∼ χ2(n)
P[X > χ2(n, α)] = α
n \ α 0,99 0,95 0,90 0,50 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001
1 0,0002 0,0039 0,0158 0,4549 2,7055 3,8415 5,4119 6,6349 10,8276
2 0,0201 0,1026 0,2107 1,3863 4,6052 5,9915 7,8240 9,2103 1,8155
3 0,1448 0,3518 0,5844 2,3660 6,2514 7,8147 9,8374 11,3449 16,2662
4 0,2971 0,7107 1,0636 3,3567 7,7794 9,4877 11,6678 13,2767 18,4668
5 0,5543 1,1455 1,6103 4,3515 9,2364 11,0705 13,3882 15,0863 20,5150
6 0,8721 1,6354 2,2041 5,3481 10,6446 12,5916 15,0332 16,8119 22,4577
7 1,2390 2,1673 2,8331 6,3458 12,0170 14,0671 16,6224 18,4753 24,3219
8 1,6465 2,7326 3,4895 7,3441 13,3616 15,5073 18,1682 20,0902 26,1245
9 2,0879 3,3251 4,1682 8,3428 14,6837 16,9190 19,6790 21,6660 27,8772
10 2,5582 3,9403 4,8652 9,3418 15,9872 18,3070 21,1608 23,2093 27,8772
10 2,5582 3,9403 4,8652 9,3418 15,9872 18,3070 21,1608 23,2093 29,5883
11 3,0535 4,5748 5,5778 10,3410 17,2750 19,6751 22,6179 24,7250 31,2641
12 3,5706 5,2260 6,3038 11,3403 18,5493 21,0261 24,0540 26,2170 32,9095
13 4,1069 5,8919 7,0415 12,3398 19,8119 22,2620 25,4715 27,6882 34,5282
14 4,6604 6,5706 7,7895 13,3393 21,0641 23,6848 26,8728 29,1412 36,1233
15 5,2293 7,2609 8,5468 14,3389 22,3071 24,9958 28,2595 30,5779 37,6973
16 5,8122 7,9616 9,3122 15,3385 23,5418 26,2962 29,6332 31,9999 39,2524
17 6,4078 8,6718 10,0852 16,3382 24,7690 27,5871 30,9950 33,4087 40,7902
18 7,0149 9,3905 10,8649 17,3379 25,9894 28,8693 32,3462 34,8053 42,3124
19 7,6327 10,1170 11,6509 18,3377 27,2036 30,1435 33,6874 36,1909 43,8202
20 8,2604 10,8508 12,4426 19,3374 28,4120 31,4140 35,0196 37,5662 45,3147
21 8,8972 11,5913 13,2396 20,3372 29,6151 32,6706 36,3434 38,9322 46,7990
22 9,4525 12,3380 14,0415 21,3370 30,8133 33,9244 37,6595 40,2894 48,2679
23 10,1957 13,0905 14,8480 22,3369 32,0069 35,1725 38,9693 41,6384 49,7282
24 10,8564 13,8484 15,6587 23,3367 33,1962 36,4150 40,2704 42,9798 51,1786
25 11,5240 14,6114 16,4734 24,3366 34,3816 37,6525 41,5661 44,3141 52,6197
26 12,1981 15,3792 17,2919 25,3365 35,5632 38,8851 42,8558 45,6417 54,5020
27 12,8785 16,1514 18,1139 26,3363 36,7412 40,1133 44,1400 46,9629 55,4760
28 13,5647 16,9279 18,9392 27,3362 37,9159 41,3371 45,4188 48,2782 56,8923
29 14,2565 17,7084 19,7677 28,3361 39,0875 42,5570 46,6927 49,5879 58,3012
30 14,9535 18,4927 20,5992 29,3360 40,2560 43,7730 47,9618 50,8922 59,7031
109
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đào Hữu Hồ, Thống kê xã hội học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2000.
[2]. Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2006.
[3]. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2000.
[4]. Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục, 1999.
[5]. Nguyễn Văn Cao - Trần Thái Ninh, Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê
toán, NXB Thống kê, 2004.
[6]. Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2000.
[7]. Nguyễn Văn Quảng, Giáo trình xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007.
[8]. Phạm Văn Kiều, Giáo trình xác suất và thống kê, NXB Giáo dục, 2005.
[9]. Đinh Văn Gắng, Lý thuyết xác suất và thống kê, NXB Giáo dục, 2006.
[10]. Tống Đình Quỳ, Giáo trình xác suất thống kê, NXB Giáo dục, 1999.
[11]. Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như, Thống kê toán học, NXB
Đại học quốc gia Hà Nội, 2004.
[12]. Lý Hoàng Tú, Trần Tuấn Điệp, Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, NXB
Giao thông vận tải, 1998.
110