Bài giảng Một số bài toán hình học

CHUYÊN ĐỀ: 
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 
 Các bài toán có nội dung hình học ở tiểu học có thể chia thành 4 nhóm : 
 Nhóm 1. Bài toán về nhận dạng các hình hình học . 
 Nhóm 2. Bài toán về chu vi và diện tích các hình học phẳng . 
 Nhóm 3. Bài toán về diện tích , thể tích hình học không gian . 
 Nhóm 4. Bài toán về cắt và ghép hình . 
 Các bài toán có nội dung hình học ở tiểu học có thể chia thành 4 nhóm : 
Nhóm 1 . Bài toán về nhận dạng các hình hình học . 
Nhóm 2 . Bài toán về chu vi và diện tích các hình 
 học phẳng . 
Nhóm 3 . Bài toán về cắt và ghép hình . 
Nhóm 4 . Bài toán về diện tích và thể tích các hình 
 học không gian . 
Nhóm 1. Bài toán về nhận dạng các hình hình học 
Một số kiến thức cần lưu ý : 
3. Hình tam giác có 3 đỉnh , 3 cạnh và 3 góc . 
1. Nối 2 điểm A và B, ta thu được đoạn thẳng AB. Các điểm A 
và B được gọi là hai đầu mút của đoạn thẳng . 
B 
A 
2. Kéo dài mãi đoạn thẳng AB về hai phía , ta được đường 
 thẳng AB. 
A 
B 
 - Tam giác ABC có 3 đỉnh là A, B, C; có 3 cạnh là AB, BC và AC; có 3 góc là góc A, góc B và góc C. 
A 
B 
C 
 - Tam giác ABC có một góc vuông gọi là tam giác vuông . 
A 
B 
C 
4. Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc. 
 5. Hình chữ nhật là một tứ giác có bốn góc vuông . 
 Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là A, B, C, D; có 4 cạnh là AB, BC, CD, AD; có 4 góc là góc A, góc B, góc C và góc D. 
A 
B 
C 
D 
 Hình chữ nhật ABCD có hai chiều dài AD và BC bằng nhau và song song với nhau; hai chiều rộng AB và CD bằng nhau và song song với nhau. 
A 
B 
C 
D 
 - Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau . 
 - Hình vuông ABCD có 4 cạnh AB, BC, CD và AD đều bằng nhau. 
A 
B 
C 
D 
6 . Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông. 
7. Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song . 
 - Hình thang ABCD có hai cạnh AD và BC song song, AD là đáy nhỏ, BC là đáy lớn, AB và DC là các cạnh bên. 
A 
B 
D 
C 
 - Hình thang ABCD có các góc A, góc B vuông là hình thang vuông . 
A 
B 
D 
C 
 8. Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau . 
 - Hình bình hành ABCD có hai cạnh AB và CD song song với nhau và bằng nhau, hai cạnh AD và BC song song và bằng nhau. 
A 
B 
D 
C 
9. Hình thoi ABCD có: AB = BC 
= CD = AD, hai đường chéo AC và 
BD vuông góc với nhau. 
A 
B 
C 
D 
10. Điểm O là tâm của hình tròn. Đường bao quanh hình tròn gọi là đường tròn. 
 Đoạn thẳng nối tâm O với một điểm nằm trên đường tròn gọi là bán kính. Các bán kính của đường tròn đều bằng nhau, các đoạn OA, OB, OM là các bán kính. 
 Đoạn thẳng nối 2 điểm trên đường tròn và đi qua tâm gọi là đường kính, đoạn AB gọi là đường kính. 
O 
M 
B 
A 
 Ví dụ 1 . Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy . Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ ? 
Lời giải 
Cách 1 . ( Phương pháp liệt kê ) 
 - Có 5 tam giác chung cạnh 
AB là ABD, ABE, ABM, ABN, ABC. 
 - Có 4 tam giác chung cạnh AD là : ADE, ADM, AND, ADC. 
 - Có 3 tam giác chung cạnh AE là : AEM, AEN, AEC. 
 - Có 2 tam giác chung cạnh AM là : AMN, AMC. 
 - Có 1 tam giác chung cạnh AN là : ANC. 
 ( Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa ). 
 Vậy số tam giác ta đếm được trên hình vẽ là : 
 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác ). 
A 
B 
C 
D 
E 
M 
N 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
Cách 2. ( Phương pháp lắp ghép ) 
Nhìn trên hình vẽ ta thấy : 
- Có 5 tam giác đơn : (1), (2), (3), (4), (5). 
- Có 4 tam giác ghép đôi : (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5). 
- Có 3 tam giác ghép 3 là : (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5). 
- Có 2 tam giác ghép 4 là : (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5). 
- Có 1 tam gíac ghép 5 là : (1) + (2) + (3) + (4) + (5). 
 Vậy số tam giác đếm được là : 
 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác ) 
A 
B 
C 
D 
E 
M 
N 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
Cách 3: 
 Ta nhận xét: 
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N. 
 Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là: 
 6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng). 
 Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ. 
A 
B 
C 
D 
E 
M 
N 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
Cách 4. ( Phương pháp quy nạp ) 
Ta nhận xét : 
 - Có 3 tam giác đơn là : (1), (2), (3). 
 - Có 2 tam giác ghép đôi là : (1) +(2), (2) +(3). 
 - Có 1 tam giác ghép 3 là : (1) + (2) + (3). 
 Tổng số tam giác đếm được là : 
 3 + 2 + 1 = 6 (tam giác ) 
A 
B 
C 
D 
E 
(1) 
(2) 
(3) 
* Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được : 
 - Có 2 tam giác đơn là : (1), (2). 
 - Có 1 tam giác ghép đôi là : (1) + (2). 
 Tổng số tam giác đếm được là : 
 2 + 1 = 3 (tam giác ) 
A 
B 
C 
D 
(1) 
(2) 
 * Nếu trên cạnh BC, lấy 1 điểm và nối với điểm A thì ta đếm được : 
 Vậy quy luật ở đây là: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là: 
 1 + 2 + 3 ++ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác) 
 Áp dụng: 
 Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm được là: 
 (4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác) 
 Ví dụ 2 . Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 6 đoạn thẳng? 
Lời giải 
Ta nhận xét: 
 - Nếu có 3 điểm thì khi nối chúng lại ta được 3 đoạn thẳng. 
 - Nếu có 4 điểm thì khi nối chúng lại ta được: 
 4 x (4 – 1) : 2 = 6 (đoạn thẳng) 
 Vậy để nối lại được 6 đoạn thẳng ta cần ít nhất 4 điểm. 
 Bài 1 . Cho 6 điểm phân biệt . Hỏi khi nối chúng lại với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng ? ( Đs : 15 đoạn thẳng ). 
 Bài 2 . Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 10 đoạn thẳng ? ( Đs : 5 điểm ). 
 Bài 3. Cho hình thang ABCD. Trên đáy AD, ta lấy 5 điểm rồi nối đỉnh C với mỗi điểm vừa chọn . Trên đáy nhỏ BC, ta lấy 4 điểm rồi nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn . Nối AC. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành trên hình vẽ ? ( Đs : 36 tam giác ). 
 Bài 4 . Cho 4 điểm trên mặt phẳng , trong đó không có 3 điển nào cùng nằm trên 1 đoạn thẳng , Hỏi khi nối lại ta thu được bao nhiêu tam giác ? ( Đs : 4 tam giác ). 
BÀI TẬP: 
 Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Chia mỗi cạnh thành 4 phần bằng nhau rồi nối các điểm chia như hình vẽ . Hỏi đếm được bao nhiêu tứ giác ? ( Đs : 10 tứ giác ) 
C 
A 
B 
D 
 Bài 6. cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài bằng 4 cm, chiều rộng bằng 3 cm. Ta chia chiều dài thành 4 phần bằng nhau và chiều rộng thành 3 phần bằng nhau rồi nối các điểm chia như hình vẽ . 
A 
B 
C 
D 
 a) Có bao nhiêu hình vuông trên hình vẽ . 
 b) Tính tổng các chu vi và tổng các diện tích của các hình vuông tạo thành . 
 Đs : a) 20 hình vuông 
 b) 120cm và 54 
cm 
2 
 Nhóm 2. Các bài toán về cắt và ghép hình 
Loại 1. Các bài toán về cắt hình 
Loại 2. Các bài toán về ghép hình 
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình 
 Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích của hình cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu. 
 Ta thường gặp ở hai dạng sau: 
 +Dạng 1 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước. 
 + Dạng 2 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý. 
Loại 1. Các bài toán về cắt hình 
 Dạng 1 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước . 
 Ví dụ : Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau . 
Lời giải 
 Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối AI rồi dùng kéo cắt theo chiều mũi tên . Ta có : S ABI = S AIC ( vì chung đường cao hạ từ A và đáy BI = CD). 
A 
B 
I 
C 
N 
 Tương tự , ta có 2 cách sau : 
A 
B 
C 
M 
A 
B 
C 
 Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình 
 nhỏ có hình dạng tùy ý. 
 Ví dụ : Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa có diện tích bằng nhau . 
Lời giải : 
 Lấy điểm M bất kì trên cạnh đáy BC. Chia đoạn AM thành 4 phần bằng nhau rồi cắt theo các đường nối từ B và C đến các điểm chia như hình vẽ . 
 Bài toán có vô số cách giải . 
A 
B 
C 
M 
BÀI TẬP 
 Bài 1 . Cho một mảnh bìa hình chữ nhật . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa hình tam giác có diện tích bằng nhau . Hãy giải bài toán bằng 12 cách khác nhau . 
 Bài 2 . Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành mảnh bìa hình tam giác sao cho diện tích mảnh này gấp 3 lần mảnh kia . 
 Bài 3. Cho một mảnh bìa hình tứ giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 3 mảnh bìa có diện tích bằng nhau . 
 Bài 4 . Cho mảnh bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 36cm và chiều rộng bằng 18cm. Từ đỉnh A hãy dùng 2 nhát cắt để chia mảnh bìa đó thành 3 mảnh có diện tích bằng nhau . 
Loại 2. Các bài toán về ghép hình 
 Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích các hình đem ghép bằng diện tích của hình ghép được . Vì vậy, dựa vào tổng diện tích các hình đem ghép, ta sẽ xác định được kích thước của hình cần ghép. 
 Ví dụ: 
 Cho 2 mảnh gỗ hình chữ nhật, 2 mảnh gỗ hình vuông lớn và 5 mảnh gỗ hình vuông nhỏ có kích thước như hình vẽ. Hãy ghép 9 mảnh gỗ nói trên để được một hình vuông . 
2cm 
3cm 
2cm 
2cm 
1cm 
1cm 
Lời giải: 
Tổng diện tích của 9 mảnh gỗ là: 
 2 x 3 x 2 + 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 5 = 25 (cm ). 
 Vậy cạnh của hình vuông ghép được là 5cm. 
Dưới đây là một số cách giải: 
2 
 BÀI TẬP 
 Bài 1. Cho mảnh bìa hình vuông đã được cắt ra như hình vẽ. Hãy ghép 4 mảnh đó lại để được hình tam giác. 
I 
A 
B 
2cm 
2cm 
2cm 
2cm 
2cm 
2cm 
 Bài 2 . Có 8 miếng gỗ hình bình hành, 8 miếng gỗ hình tam giác vuông có kích thước như hình vẽ. Hãy ghép 16 miếng gỗ đó để được một hình chữ nhật. 
4cm 
2cm 
10cm 
4cm 
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình 
 Ví dụ 1. Cho 2 mảnh bìa hình vuông . Hãy cắt 2 mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình vuông . 
Lời giải : 
 Trước hết ta xét trường hợp 2 hình vuông có kích thước bằng nhau . 
Cách 2. 
Cách 1. 
 Trường hợp 2 hình vuông có kích thước khác nhau: 
 Ví dụ 2 . Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 mảnh nhỏ để ghép lại ta được 1 hình tam giác. 
 Lời giải 
 Ta có các cách chia sau: 
(1) 
(2) 
(1) 
(1) 
(1) 
(1) 
(1) 
(2) 
(1) 
(2) 
(2) 
BÀI TẬP 
Bài 1 . Cho một mảnh bìa hình thang . 
a) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình chữ nhật . 
b) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được hại hình chữ nhật . 
c) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được hai hình tam giác có diện thích bằng nhau . 
Bài 2 . Hãy cắt một tấm bìa hình tứ giác thành các mảnh rồi ghép chúng lại để được một hình chữ nhật . Vẽ hình minh họa cách cắt ghép . 
Bài 3 . Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình chữ nhật . 
 Nhóm 2 . Bài toán về chu vi và diện tích 
 các hình học phẳng. 
Loại 1. Các bài toán về vận dụng công thức tính 
 chu vi và diện tích các hình học phẳng 
Loại 2. Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích 
Loại 1 . Các bài toán về vận dụng công thức tính chu vi và diện tích các hình học phẳng: 
Một số kiến thức cần lưu ý: 
1. Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a: 
 P = a x 4 
2. Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b: 
 P = (a + b) x 2 
3. Công thức tính chu vi hình tròn có bán kính r: 
 P = r x 2 x 3,14 
4. Công thức tính diện tích hình tam giác có cạnh đáy 
bằng a và đường cao bằng h (cùng một đơn vị đo): 
 S = a x h : 2 
5. Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a: S = a x a 
6. Công thức tính diện tích hình chữ nhật có cạnh là a và b (cùng một đơn vị đo): S = a x b 
7. Công thức tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy là a, chiều cao là h (cùng một đơn vị đo): S = a x h 
8. Công thức tính diện tích hình thoi có hai đường chéo là m và n (cùng một đơn vị đo): S = m x n : 2 
9 . Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b và đường cao là h (cùng một đơn vị đo): 
 S = (a + b) x h : 2 
10. Công thức tính diện tích hình tròn bán kính r là: 
 S = r x r x 3,14 
Lời giải: 
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có góc A và góc B vuông.Trên AB lấy điểm M,trên CD lấy điểm N sao cho MN song song với AD. 
A 
C 
60cm 
B 
D 
M 
N 
15cm 
35cm 
70cm 
Cho biết AM = 35cm, MB = 15cm, BC = 60cm và AD = 70cm. Tính diện tích của hình thang AMND 
Cách 1 . Nối BN và AN ta có: 
S ABCD = (70 + 60) x (35 + 15) : 2 = 3250 
S NBC = 60 x 15 : 2 = 450 
S NAD = 70 x 35 : 2 = 1225 
 Từ (1) và (2) ta suy ra: 
S NAB = 3250 - (450 + 1225) = 1575 
MN = 1575 x 2 : (35 + 15) = 64 (cm) 
S AMND = (70 + 63) x 35 : 2 = 2327,5 
(cm ) 
2 
(cm ) 
2 
(cm ) 
2 
(cm ) 
2 
(cm ) 
2 
A 
C 
60cm 
B 
D 
M 
N 
15cm 
35cm 
70cm 
Cách 2 : 
P 
B 
C 
60cm 
A 
D 
M 
N 
15cm 
35cm 
70cm 
R 
(cm ) 
2 
Ta có: 
S NCP = S CPD - S NPD 
 = 10 x (15 + 35) : 2 - 10 x 5 : 2 = 75 
RN = 75 x 2 : (15 + 35) = 3 (cm) 
MN = 60 + 3 = 63 (cm) 
S AMND = (63 + 70) x (15 + 35) : 2 
 = 2327,5 
(cm ) 
2 
Lời giải: 
600 
 m 
2 
Ta có sơ đồ sau: 
Diện tích ao cũ: 
Diện tích ao mới: 
(m ) 
2 
Ví dụ 2 . Người ta mở rộng một cái ao hình vuông để được một cái ao hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng. Sau khi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 600 và diện tích ao mới gấp 4 lần ao cũ. Hỏi phải dùng bao nhiêu chiếc cọc để đủ rào xung quanh ao mới? Biết rằng cọc nọ cách cọc kia 1m và ở m ột góc ao người ta để lối lên xuống rộng 2m. 
Ao cũ 
600 
 m 
2 
- Diện tích 1 phần ao mới là: 600 : (4 – 1) = 200 ( ) 
- Diện tích ao mới là: 200 x 4 = 800 ( ) 
- Ta chia ao mới thành hai hình vuông có diện tích như hình vẽ. Diện tích 1 hình vuông là: 800 : 2 = 400 ( ) 
- Cạnh của hình vuông hay chiều rộng của ao mới là 20cm (vì 20 x 20 = 400). 
- Chiều dài của ao mới là: 20 x 2 = 40 (m) 
- Chu vi ao mới là: (40 + 20) x 2 = 120 (m) 
Số cọc cần để rào xung quanh ao mới là: 
 (120 – 3) : 1 = 117 (chiếc) 
 Đáp số: 117 chiếc cọc. 
m 
2 
m 
2 
m 
2 
 BÀI TẬP 
 Bài 1 . Một miếng bìa hình bình hành có chu vi bằng 2m. Nếu bớt chiều dài đi 20 thì ta được miếng bìa hình thoi có diện tích 6 . Tìm diện tích miếng bìa hình bình hành đó ? 
 ( Đs : 9 ) 
 Bài 2. Khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 45m, chiều rộng 32m. Chính giữa khu vườn có một cái ao hình vuông chu vi 18m. Tính diện tích còn lại của khu vườn . 
 ( Đs : 1419,75 ) 
 Bài 3. Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng . Nếu tăng chiều dài thêm 4dm và giảm chiều rộng đi 4dm thì chiều dài sẽ gấp 4 lần chiều rộng . Tính diện tích miếng tôn đó ? ( Đs : 12 ) 
m 
2 
m 
2 
dm 
2 
dm 
2 
Loại 2. Các bài toán giải bằng phương 
 pháp diện tích 
 Phương pháp diện tích dùng để giải các bài toán về tính diện tích bằng cách vận dụng các tính chất của diện tích. 
Các tính chất đó là: 
 1 . Nếu một hình được phân ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu. 
 2 . Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích các hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ. 
 3. Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đường cao thì diện tích của chúng bằng nhau. 
 4. Nếu số đo cạnh dáy không đổi thì số đo diện tích và số đo đường cao của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận. 
 5 . Nếu số đo đường cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận. 
 6 . Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đường cao và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 
 7. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau. 
 8. Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau. 
Ví dụ 1 . Cho hình tứ giác ABCD. Lấy M, N, P, Q là trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. So sánh diện tích tứ giác ABCD và diện tích tứ giác MNPQ. 
Lời giải 
S ANB = 
1 
S ABC 
2 
S BMN = 
1 
S ABN 
2 
Nối A với C và N. 
Vì N là trung điểm của BC nên 
BN = 
1 
2 
BC 
Tam giác ABC và tam giác ABN có chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC nên suy ra: 
Vì M là trung điểm của AB nên tương tự như trên suy ra: 
A 
M 
N 
P 
C 
B 
1 
S ABC 
4 
S BMN = 
1 
S ABC 
2 
1 
2 
X 
= 
Suy ra: 
S DPQ = 
1 
S ADC 
4 
Tương tự: 
Do đó: S BMN + S DPQ = 
S ABCD 
1 
4 
S ADC 
1 
4 
S ABC 
1 
4 
+ 
= 
Tương tự ta có: S CNP + S AMQ = 
S ABCD 
1 
4 
Do đó: S BMN + S DPQ + S BMN + S DPQ 
+ 
S ABCD 
1 
2 
S ABCD 
1 
4 
= 
S ABCD 
1 
4 
= 
Vậy S ABCD gấp đôi S MNPQ. 
A 
M 
N 
P 
C 
B 
Kéo dài AB một đoạn BE bằng AB; BC một đoạn bằng BC; CD một đoạn DH bằng CD và DA một đoạn AK bằng AD. Nối E, G, H, K. Tìm diện tích tứ giác EGHK . 
Ví dụ 2. Cho hình thang ABCD có diện tích 30 
m 
2 
Lời giải 
A 
K 
H 
D 
B 
C 
E 
m 
2 
30 
Ta có: 
 S KAE = S ABD ( vì AK = AD và chung đường cao hạ từ đỉnh B). 
 S KAE = S KAB x 2 (vì S KAB = S KBE do chung đường cao hạ từ dỉnh K và AB = BE) 
Suy ra: S KAE = S ABD x 2 
G 
A 
K 
H 
D 
B 
C 
E 
m 
2 
30 
G 
m 
2 
Tương tự, ta có 
 S GHC = S BCD x 2 
Suy ra: 
 S KAE + S GHC = S ABD x 2 + S BCD x 2 = S ABCD x 2 
Tương tự, ta có: 
 S KHD + S BGE = S ABCD x 2 
Từ đó suy ra: 
 S EGHK = S KAE + S GHC + S BGE + S KHD + S ABCD 
 = S ABCD x 2 = 30 x 5 = 150( ) 
 Đáp số: 150 
m 
2 
 BÀI TẬP 
 Bài 1. Cho hình vuông ABCD. Trên mỗi cạnh của hình vuông được chia thành các phần bằng nhau ( như hình vẽ ). Biết diện tích hình vuông ABCD là 144 . Tính diện tích hình tam giác tô đậm . ( Đs : 39 ) 
cm 
2 
cm 
2 
cm 
2 
 Bài 2. Cho hình tam giác ABCD có goác A là góc vuông và cạnh AB = 6cm, cạnh AC = 9cm. Trên cạnh AB lấy điểm M và N sao cho AM = MN = NB; trên cạnh AC lấy điểm K và H sao cho AK = KH = HC. Tính diện tích hình tứ giác MNHK. ( Đs:9 ) 
A 
B 
C 
D 
 Nhóm 4. Bài toán về diện tích và thể tích các hình học không gian. 
Một số kiến thức cần lưu ý: 
Hình hộp chữ nhật 
 - Hình hộp chữ nhật có sáu mặt là sáu hình chữ nhật có ba kích thước là: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c. 
c 
a 
b 
- Diện tích xung quanh (Tổng diện tích của bốn mặt bên): 
 S xq = (a + b) x 2 x c 
 Diện tích toàn phần (Tổng diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy): S tp = S xq + a x b x 2 
 Thể tích: V = a x b x c 
2. Hình lập phương 
 Hình lập phương có sáu mặt là sáu hình vuông bằng nhau, tất cả các cạnh đều bằng nhau. 
 Diện tích xung quanh: Sxq = a x a x 4 
 Diện tích toàn phần: Stp = a x a x 6 
 Thể tích: V = a x a x a 
c 
a 
b 
3. Hình trụ 
 - Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau. 
 r : Bán kính đáy 
 h: Chiều cao 
 - Diện tích xung quanh: S xq = r x 2 x 3,14 x h 
 - Diện tích toàn phần: S tp = S xq + r x r x 3,14 x 2 
 - Thể tích: V = r x r x 3,14 x h 
h 
r 
4. Hình cầu 
 - Tâm và bán kính của hình cầu 
O 
A 
r 
Nửa hình cầu có mặt cắt là một hình tròn. 
O 
A 
r 
Hình cầu có tâm O và bán kính OA 
 - Diện tích (S) hình cầu được tính theo bán kính (r) như sau: 
 S c = (r x r x 3,14) x 4 
 - Thể tích (V) hình cầu được tính theo bán kính (r) như sau: 
S c 
3 
V = 
(Lưu ý: Trong chương trình lớp 5 hình trụ và hình cầu chỉ giới thiệu hình, chưa đưa công thức tính diện tích và thể tích). 
Ví dụ 1. Người ta ghép hai hình lập phương cạnh 4cm thành một hình hộp chữ nhật. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình hộp chữ nhật đó. 
Lời giải: 
a = 4cm 
 Diện tích một mặt hình lập phương là: 4 x 4 = 16 
 Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật bằng tổng diện tích của 10 mặt hình vuông, mỗi mặt hình vuông có diện tích 16 
 Vậy diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: 
 16 x 10 = 160 
 Thể tích một hình lập phương là: 16 x 4 = 64 
 Thể tích hình hộp chữ nhật là: 64 x 2 = 128 
 Đáp số: 160 ; 128 
( cm ) 
2 
( cm ) 
2 
( cm ) 
3 
( cm ) 
3 
( cm ) 
2 
( cm ) 
3 
Ví dụ 2. Một bê tông có dạng hình trụ bán kính đáy 4dm và cao 6m. Cứ mỗi mét khối bê tông giá 150 000 đồng. Hỏi cây cột đó giá bao nhiêu tiền? 
Lời giải 
( m ) 
3 
( m ) 
2 
Đổi: 4dm = 0,4m 
Diện tích đáy hình trụ là: 0,4 x 0,4 x 3,14 = 0,5024 
Thể tích hình trụ là: 0,5024 x 6 = 3,0144 
 Giá tiền cây cột bằng bê tông là: 
 150 000 x 3,0144 = 45 2160 (đồng) 
 Đáp số: 45 2160 (đồng) 
 BÀI TẬP 
 Bài 1 . Một bể cá hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,2m; chiều rộng 0,4m và chiều cao 0,6m. Mực nước trong bể cao 35cm. Sau khi thả hòn Non Bộ vào trong bể thì mực nước trong bể cao 47cm. Tính thể tích hòn Non Bộ . ( Đs : 0,0576 ) 
m 
3 
 Bài 2 . Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2,8m; chiều rộng và chiều cao 1,5m. Nước trong bể hiện chiếm 45% thể tích của bể . Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước nũa để thể tích nước trong bể chiếm 85% thể tích bể ? 
 ( Đs : 2352 lít nước ) 
 Bài 3. một cái thùng hình trụ có đường kính đáy 6dm, chiều cao 6dm. Hỏi thùng đó đựng tối đa bao nhiêu lít nước ? 
 ( Đs : 169 lít ) 
Xin chân thành cảm ơn