Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sườn bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet và khuếch tán phi tuyến

Khử nhiễu ảnh bảo toàn biên sƣờn bằng phƣơng 
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến 
Đặng Phan Thu Hƣơng, Nguyễn Thúy Anh, Nguyễn Hữu Trung 
Trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội 
Hà Nội, Việt Nam 
Email: trung.nguyenhuu@hust.edu.vn 
Tóm tắt—Trong bài báo này, chúng tôi trình bày thuật 
toán khử nhiễu ảnh bằng phương pháp hỗn hợp Curvelet 
và khuếch tán phi tuyến. Đối với ảnh nói riêng và tín hiệu 
1D, 2D, 3D, MD (nhiều chiều) nói chung, các điểm đột biến 
chứa đựng thông tin quan trọng cần bảo toàn. Bằng việc 
kết hợp giữa Curvelet và khuếch tán phi tuyến có thể tận 
dụng các ưu điểm và hạn chế các nhược điểm của từng 
phương pháp. Đặc biệt, tăng cường tính bền vững của 
khuếch tán phi tuyến trên cơ sở biến đổi Curvelet và tăng 
cường hiệu quả loại trừ nhiễu có khả năng bảo toàn biên 
sườn nhờ biến đổi Curvelet. Kết quả mô phỏng chỉ rõ hiệu 
quả bảo toàn đường biên của phương pháp hỗn hợp so với 
phương pháp truyền thống khác. 
Từ khóa—Loại trừ nhiễu, Biến đổi Curvelet, 
Khuếch tán phi tuyến, Đường biên. 
I. GIỚI THIỆU 
Loại trừ nhiễu và tăng cƣờng ảnh là các nhiệm vụ 
quan trọng trong xử lý ảnh nhằm khôi phục tin cậy ảnh 
quan sát đƣợc dƣới tác động của các loại nhiễu. Đã có 
nhiều phƣơng pháp, nhiều thuật toán tối ƣu đề xuất xử 
lý tín hiệu trong miền tần số (lọc Wiener), miền 
Wavelet, làm trơn Gauss, loại trừ nhiễu mà vẫn bảo 
toàn các thuộc tính quan trọng của ảnh đầu vào [1][2]. 
Biến đổi Curvelet, kế thừa từ biến đổi Wavelet, hiệu 
quả trong việc biểu diễn các đột biến dọc theo các biên 
sƣờn trong ảnh. Đã có nhiều nghiên cứu ứng dụng biến 
đổi Curvelet loại trừ nhiễu ảnh thông thƣờng, ảnh cộng 
hƣởng từ (MR), ảnh CT mang lại kết quả tốt [3]. 
Cùng với biến đổi Curvelet, còn có các công cụ xử 
lý ảnh đƣợc xây dựng từ phƣơng trình vi phân từng 
phần (PDE). Phần lớn các nghiên cứu áp dụng phƣơng 
trình vi phân từng phần để loại trừ nhiễu tín hiệu (1D, 
2D, 3D, MD) đều nhằm vào việc bảo vệ các thuộc tính 
đột biến của tín hiệu – các điểm kỳ dị (singularities). 
Đối với ảnh 2D, đó là các biên sƣờn (edges). Theo cách 
tiếp cận tiên đề, xuất hiện tập các tiên đề riêng dẫn đến 
nghiệm của phƣơng trình vi phân từng phần ứng dụng 
trong loại trừ nhiễu tín hiệu. Các tiên đề có cấu trúc và 
hình thái nhằm đảm bảo quá trình trở thành semigroup 
đủ mềm mại [4]. Nguyên lý “Minimum–Maximum” là 
một trong các tiên đề quan trọng, trong đó, phải đảm 
bảo không tạo ra cực trị địa phƣơng tại bất kỳ thời điểm 
nào để không xuất hiện thành phần phụ không mong 
muốn (artifact) ở tín hiệu đƣợc khuếch tán. Nguyên lý 
này còn đảm bảo, cực trị toàn cục dọc theo tiến trình 
của tín hiệu theo thời gian bị giới hạn bởi cực trị toàn 
cục ở tín hiệu khởi tạo với tín hiệu có bất kỳ chiều, và là 
hàm không giảm (cực trị là minimum) hoặc không tăng 
(cực trị là maximum) nhằm đảm bảo tính bền vững của 
khuếch tán phi tuyến. 
Gần đây, trong [5] các tác giả đã đề xuất một 
phƣơng pháp kết hợp (combined) Curvelet và khuếch 
tán phi tuyến tận dụng các ƣu điểm và hạn chế các 
nhƣợc điểm của từng phƣơng pháp. Cụ thể, phƣơng 
pháp kết hợp đề xuất bao gồm hai bƣớc: (1) áp dụng 
biến đổi Curvelet shrinkage và (2) khuếch tán phi tuyến 
ảnh đã làm mềm bằng Curvelet. Phƣơng pháp nhằm 
giảm hiệu ứng tần số cao (pseudo-Gibbs). Nhƣng, hai 
bƣớc của quá trình là độc lập và bƣớc (1) chính là quy 
trình làm trơn quy tắc hóa (regularization) làm hỏng các 
biên sƣờn đáng lẽ phải bảo toàn của ảnh. 
Bài báo này đề xuất phƣơng pháp hỗn hợp (mixed) 
khử nhiễu ảnh gồm ba bƣớc lồng ghép chính: Bƣớc 1: 
Tạo thông tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi 
tuyến. Bƣớc 2: Tiến hành Curvelet shrinkage nhƣng loại 
trừ hƣớng có biên sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage 
cho phép làm trơn theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi 
tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn 
bằng biến đổi Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ 
bƣớc 1. Các hệ số rời rạc của biến đổi Curvelet có thể 
nhận đƣợc bằng nhiều cách. Trong đó, thuật toán tối ƣu 
về mặt tính toán thực hiện bởi biến đổi FFT 2D [5] 
đƣợc sử dụng trong thuật toán đề xuất. 
Bố cục của bài báo nhƣ sau. Sau phần giới thiệu, 
phần II trình bày cơ sở lý thuyết về biến đổi Curvelet, 
tính toán hệ số Curvelet rời rạc theo FFT, khuếch tán 
phi tuyến, đề xuất mô hình hỗn hợp Curvelet và khuếch 
tán phi tuyến. Phần III trình bày các kết quả mô phỏng 
thuật toán. Phần IV là kết luận và hƣớng phát triển. 
II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
A. Biến đổi Curvelet 
 Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014) 
ISBN: 978-604-67-0349-5 379
Biến đổi Curvelet là hƣớng tiếp cận mới trong xử lý 
tín hiệu. Biến đổi Curvelet đƣợc xây dựng từ ý tƣởng 
biểu diễn một đƣờng cong bằng tổ hợp các hàm có độ 
dài khác nhau tuân theo luật Curvelet, tức là độ rộng 
xấp xỉ bình phƣơng độ dài. Trong miền ảnh hai chiều, 
một cặp các cửa sổ 𝑊 𝑟 và 𝑉(𝑡) đƣợc định nghĩa là 
các cửa sổ radial và angular. Các cửa sổ này là các hàm 
trơn, không âm và giá trị thực. Nhƣ vậy, 𝑉 nhận các giá 
trị dƣơng trên đoạn 𝑡 ∈ −1,1 và 𝑊 trên đoạn 𝑟 ∈
1
2
, 2 . Các cửa sổ thỏa mãn các điều kiện chấp nhận 
 𝑉2 𝑡 − 𝑙 = 1, 𝑡 ∈ ℝ ∞𝑙=−∞ (1) 
 𝑊2 2−𝑗 𝑟 = 1, 𝑟 > 0∞𝑗 =−∞ (2) 
Để xây dựng các hàm Curvelet, ta phải sử dụng các 
hàm cửa sổ đặc biệt. Xét các hàm cửa sổ Meyer có tỷ lệ 
thỏa mãn điều kiện trên nhƣ sau [4] 
𝑉 𝑡 = 
1 𝑡 ≤ 1/3
𝑐𝑜𝑠 
𝜋
2
𝑣 3 𝑡 − 1 1/3 ≤ 𝑡 ≤ 2/3
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
 (3) 
𝑊 𝑟 =
1 5/6 ≤ 𝑟 ≤ 4/3
𝑐𝑜𝑠 
𝜋
2
𝑣 5 − 6𝑟 2/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/6
𝑐𝑜𝑠 
𝜋
2
𝑣 3𝑟 − 4 4/3 ≤ 𝑟 ≤ 5/3
0 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖
 (4) 
trong đó 𝑣 là một hàm trơn thỏa mãn 
𝑣 𝑥 = 
0 𝑥 ≤ 0
1 𝑥 ≥ 1
 , 𝑣 𝑥 + 𝑣 1 − 𝑥 = 1, 𝑥 ∈ ℝ (5) 
Các cửa sổ W và V đƣợc sử dụng để xây dựng họ 
hàm phức có ba thông số: Tỉ lệ 𝑎 ∈ 0,1 ; Vị trí 𝑏 ∈ ℝ2 
và hƣớng 𝜃 ∈ 0,2𝜋 . 
Biến đổi Fourier của một hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 đƣợc 
định nghĩa bởi 𝑓 𝜉 ≜
1
2𝜋
 𝑓 𝑥 𝑒−𝑖 𝑥 ,𝜉 𝑑𝑥
ℝ2
. 
Cho 𝝃 = 𝜉1 , 𝜉2 
𝑇 ∈ ℝ2là biến trong miền tần số 
trong đó 𝑟, 𝜃 biểu thị tọa độ cực tƣơng ứng với 𝜉. Ta 
có 𝑟 = 𝜉 = 𝜉1
2 + 𝜉2
2
 và góc 𝜃 = arctan⁡(
𝜉1
𝜉2
). Ta 
định nghĩa cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑎 𝝃 nhƣ sau 
𝑈𝑎 𝝃 = 𝑎
3/4𝑊 𝑎𝑟 𝑉 𝑎−1/2𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (6) 
Miền giá trị của 𝑈𝑎 đƣợc phân bố trong mỗi cực 
(wedge) phụ thuộc vào miền giá trị của V và W. Cửa số 
tỉ lệ 𝑈𝑎 này đƣợc sử dụng để xây dựng các hàm 
Curvelet. Cho hàm 𝜑𝑎 ,0,0 ∈ 𝐿
2 ℝ2 xác định bởi biến 
đổi Fourier của nó 
𝜑 𝑎 ,0,0 ≜ 𝑈𝑎 𝝃 (7) 
Họ hàm Curvelet đƣợc tạo ra bởi sự dịch và quay 
của hàm cơ sở 𝜑𝑎 ,0,0 
 𝜑𝑎 ,𝑏 ,𝜃 (𝑥) ≜ 𝜑𝑎 ,0,0(𝐑𝜃 𝑥 − 𝑏 ) (8) 
Với hệ số dịch 𝑏 ∈ ℝ2 , và 𝐑𝜃 = 
𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
 là 
ma trận quay 2 × 2 với góc quay 𝜃. 
Sự quay trong miền không gian với góc 𝜃 đúng với 
sự quay trong miền tần số với 𝜃 vì 
𝜑 𝑎 ,𝑏 ,𝜃 𝜉 = 𝑒
−𝑡 𝑏 ,𝜉 𝜑 𝑎 ,0,0 𝐑𝜃𝜉 = 𝑒
−𝑡 𝑏 ,𝜉 𝑈𝑎 𝐑𝜃𝝃 (9) 
Các hệ số của biến đổi Curvelet liên tục của hàm 
𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 đƣợc cho bởi 
𝑐𝑎 ,𝑏 ,𝜃 𝑓 ≜ 𝜑𝑎 ,𝑏 ,𝜃 , 𝑓 = 𝜑𝑎 ,𝑏 ,𝜃 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥ℝ2 (10) 
Biến đổi Curvelet rời rạc 
Hệ Curvelet rời rạc đƣợc biểu diễn bởi ba tham số 
rời rạc: Tham số tỷ lệ 𝑎𝑗 = 2
−𝑗 , 𝑗 ∈ ℕ0; Chuỗi cách đều 
các góc quay 𝜃𝑗 ,𝑙 = 2𝜋𝑙 ∙ 2
− 
𝑗
2
 , 0 ≤ 𝑙 ≤ 2 
𝑗
2
 − 1; và tọa 
độ 𝐱𝑘
 𝑗 ,𝑙 
= 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙
−1 (𝑘12
−𝑗 , 𝑘22
− 
𝑗
2
 )𝑇 , 𝑘1, 𝑘2 ∈ 𝕫
2. Trong 
đó 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙 là ma trận quay với góc 𝜃𝑗 ,𝑙 . Sự lựa chọn này 
làm cho hệ Curvelet rời rạc trở thành khung chặt, và do 
đó tồn tại biến đổi nghịch. Họ các hàm Curvelet rời rạc 
đƣợc định nghĩa nhƣ sau [6] 
𝜑𝑗 ,𝑙 ,𝑘 𝐱 ≜ 𝜑𝑗 ,0,0 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙 𝐱 − 𝐱𝑘
 𝑗 ,𝑙 
 , 𝐱 = 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ
2 (11) 
trong đó 𝜑 𝑗 𝝃 ≜ 𝑈𝑗 (𝝃), là biến đổi Fourier của 𝜑𝑗 . Bây 
giờ với 𝑗 ≥ 0 tƣơng tự trƣờng hợp liên tục, định nghĩa 
cửa sổ tỉ lệ 𝑈𝑗 𝝃 
𝑈𝑗 𝝃 = 2
−3𝑗 /4𝑊 2−𝑗 𝑟 𝑉 2 𝑗 /2 𝜃 , 𝝃 ∈ ℝ2 (12) 
Miền giá trị của 𝑈𝑗 đƣợc phân bố trong mỗi cực 
„wedge‟ đƣợc xác định bởi supp𝑊 2−𝑗 = 2𝑗−1, 2𝑗 +1 
và supp𝑉 2 𝑗 /2 = −2 𝑗 /2 , 2 𝑗 /2 . 
Nhận thấy, trong miền không gian, đặc điểm của 
𝜑𝑗 ,𝑙 ,𝑘 là suy giảm nhanh từ 2
−𝑗 bởi 2−𝑗 /2 hình chữ nhật 
với tâm 𝑥𝑘
 𝑗 ,𝑙 
 và hƣớng 𝜃𝑗 ,𝑙 cùng với trục tung theo x. 
Curvelet ở tỉ lệ mức thô để phân tích tần số thấp 
𝜑−1,0,𝑘 𝑥 ≜ 𝜑−1 𝑥 − 𝑘 , 𝜑 −1 𝜉 ≜ 𝑊0 𝜉 (13) 
Để đơn giản, cho 𝜇 = 𝑗, 𝑙, 𝑘 là tập hợp của ba tham 
số. Hệ Curvelet 𝜑𝜇 biểu diễn khung chặt [6] trong 
𝐿2 ℝ2 , mỗi hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 ℝ2 có thể đƣợc biểu diễn 
𝑓 = 𝑐𝜇 𝑓 𝜑𝜇𝜇 (14) 
Các hệ số Curvelet rời rạc đƣợc xác định nhƣ sau [7] 
 𝑐𝜇 𝑓 ≜ 𝑓, 𝜑𝜇 = 𝑓 𝜉 𝜑 𝜇 𝜉 𝑑𝜉 ℝ2 
= 𝑓 𝜉 𝑈𝑗 𝐑𝜃𝑗 ,𝑙 , 𝜉 
ℝ2
𝑒𝑖 𝑥𝑘
 𝑗 ,𝑙 
,𝜉 𝑑𝜉 (15) 
Chúng ta thấy rằng, các góc 𝜃𝑗 ,𝑙 nằm trong dải −𝜋/4 
và 𝜋/4 không cách đều nhƣng gradient giảm dần. 
 Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014) 
ISBN: 978-604-67-0349-5 380
Phần Đề-các của các hệ số 
𝑐 𝜇 𝑓 = 𝑓, 𝜑 𝜇 = 𝑓 𝜉 𝑈 𝑗ℝ2 𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
−1 𝜉 𝑒𝑖 𝑥 𝑘
 𝑗 ,𝑙 
,𝜉 𝑑𝜉 =
 𝑓 𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
−1 𝜉 𝑈 𝑗ℝ2 𝜉 𝑒
𝑖 𝑘𝑗 ,𝜉 𝑑𝜉 (16) 
Đối với các ứng dụng xử lý ảnh, ngƣời ta cần biến 
đổi Curvelet cho các hàm ảnh. Vì thế, xét 𝜑 𝜇 , lặp lại có 
chu kỳ N 
𝜑 𝜇
𝑝 𝑥 ≜ 𝜑 𝜇 𝑥 − 𝑁𝑛 , 𝑥 ∈ ℝ
2 , 𝑛 = 𝑛1, 𝑛2 𝑛∈𝕫2 (17) 
trong đó 𝑁 ∈ ℕ là cố định, hàm 𝑓 ∈ 𝐿2 Ω , Ω =
 0, 𝑁 2, chu kỳ N. Lúc này, f có thể đƣợc viết dƣới dạng 
𝑓 = 𝑐 𝜇
𝐷
𝜇∈𝑀 𝑓 𝜑 𝜇
𝑝
 (18) 
với một tập hệ số đã biết M 
𝑀 = −1,0, 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑘1, 𝑘2 = 0,  , 𝑁 − 1 ∪
 𝑗, 𝑙, 𝑘1, 𝑘2 : 𝑗 ∈ ℕ0 (19) 
Chuỗi Fourier 2D của 𝑓 
𝑓 𝑥 = 𝑑𝑚 𝑓 𝑒
2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 
𝑁 𝑚∈𝕫2 (20) 
𝑑𝑚 𝑓 ≜
1
𝑁2
 𝑓(𝑥)𝑒2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁𝑑𝑥
Ω
 (21) 
Các hệ số Curvelet có thể nhận đƣợc bởi biến đổi 
FFT 2D nhƣ sau [5] 
𝑐 𝜇
𝐷 𝑓 = 𝑑𝑚 𝑓 𝑒
2𝜋𝑖 𝑚 ,𝑥 /𝑁𝜑 𝜇 𝑥 𝑑𝑥
ℝ2
𝑚∈𝕫2
= 𝑁 𝑑𝑚 𝑓 𝑈 𝑗 
2𝜋
𝑁
𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
𝑇 𝑚 𝑒
−
2𝜋𝑖
𝑁
 𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
𝑇 𝑚 ,𝑘𝑗 
𝑚∈𝕫2 (22) 
B. Khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (Anisotropic 
nonlinear diffusion) 
Mô hình kinh điển mô tả quá trình khuếch tán tuyến 
tính nhƣ sau [8] 
𝜕𝐼(𝑥 ,𝑦 ,𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑐. ∆𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡); 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0(𝑥, 𝑦) ; 0 < 𝑐 ∈ ℝ (23) 
 với I là ảnh thay đổi theo thời gian và 𝐼0(𝑥, 𝑦) là ảnh 
ban đầu 
 𝐼: ℝ2 × Ω → ℝ; (𝑥, 𝑦, 𝑡) ↦ 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) (24) 
Nghiệm của (23) trong trƣờng hợp hệ số vô hƣớng c = 1 
𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 
 𝐼 𝑥, 𝑦 với 𝑡 = 0
(𝐾 2𝑡 ∗ 𝐼)(𝑥, 𝑦) với 𝑡 > 0
 (25) 
tƣơng đƣơng với quá trình làm trơn ảnh bằng cách 
chập ảnh gốc với hàm nhân Gaussian hai chiều có độ 
lệch tiêu chuẩn 𝜍 = 2𝑡. Biến thời gian t có liên quan 
với độ rộng không gian 𝜍 theo 𝜍 = 2𝑡, do đó, các cấu 
trúc làm trơn yêu cầu dừng quá trình khuếch tán tại 
𝑇 = 𝜍2/2. Thông tin xử lý đƣợc tạo ra bởi nghiệm của 
quá trình khuếch tán theo thời gian t. Tuy nhiên, quá 
trình khuếch tán làm mờ đi các biên sƣờn (edges), các 
điểm đột biến kỳ dị (singularities) vốn dĩ chứa đựng các 
thông tin quan trọng ở tín hiệu. Để giải quyết vấn đề 
này, ngƣời ta sử dụng quá trình khuếch tán phi tuyến 
thích nghi hay còn gọi là khuếch tán bất đẳng hƣớng 
(anisotropic diffusion) tạo ra các hệ số khuếch tán thay 
đổi thích nghi với cấu trúc tín hiệu nhằm làm giảm hiệu 
ứng làm trơn ở biên sƣờn. Mô hình khuếch tán Perona – 
Malik có dạng [8] 
𝜕𝐼(𝑥 ,𝑦 ,𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑑𝑖𝑣(𝑐( ∇𝐼 )∇𝐼) (26) 
với c(.) là hàm gradient không tăng, 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0(𝑥, 𝑦) 
là điều kiện biên Neumann. c(.) có dạng 𝑐 ∇𝐼 =
1 (1 + ( ∇𝐼 
𝑘
)2) hoặc 𝑐 ∇𝐼 = 𝑒−(
 ∇𝐼 
𝑘 )
2
. Trong đó k 
đƣợc gọi là hệ số tƣơng phản. Mặc dù (26) đƣợc Perona 
– Malik gọi là bộ lọc bất đẳng hƣớng, nhƣng vẫn đƣợc 
xem là mô hình đẳng hƣớng, vì đã sử dụng hàm khuếch 
tán có giá trị vô hƣớng, không phải là một Tensor 
khuếch tán. Xét mô hình sau 
𝜕𝐼(𝑥 ,𝑦 ,𝑡)
𝜕𝑡
= ∇ ∙ 𝐷∇𝐼 (27) 
với 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑡) là ảnh thay đổi theo thời gian và 
 𝐼 𝑡=0 = 𝐼0(𝑥, 𝑦) là ảnh quan sát đƣợc dƣới ảnh hƣởng 
của nhiễu 
𝐼 . , 𝑡 : Ω × 0, +∞ → ℝ và 𝐼0: Ω → ℝ (28) 
Tensor khuếch tán D là một ma trận phụ thuộc vào 
các giá trị riêng và các vector riêng của tensor cấu trúc 
𝐽 = ∇𝐼 ∇𝐼 𝑇 . Tích vô hƣớng 𝐷∇𝐼, 𝑛 = 0 trên 𝐼 × 𝜕Ω, 
n là pháp tuyến ngoài, 𝜕Ω là miền biên. 
Nhằm làm cho hệ số khuếch tán thích nghi cục bộ 
với dữ liệu và hƣớng làm trơn ta thay thế hàm khuếch 
tán vô hƣớng bởi một tensor khuếch tán dạng ma trận 
theo hai bƣớc [9]. Bƣớc thứ nhất xây dựng vector mô tả 
cấu trúc ∇𝐼𝜍 . Ma trận 𝐽0 nhận đƣợc từ tích tensor 
𝐽0 ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍 ⨂ ∇𝐼𝜍 ≜ ∇𝐼𝜍∇𝐼𝜍
𝑇 (29) 
có cơ sở trực chuẩn hình thành từ các vector riêng v1, v2 
với v1 || ∇𝐼𝜍 và v2 ⊥ ∇𝐼𝜍 . Các trị riêng tƣơng ứng là 
|∇𝑢𝜍 |
2 và 0. Bƣớc hai, thông tin về hƣớng khuếch tán 
nhận đƣợc bằng cách chập 𝐽0 ∇𝐼𝜍 với một hàm nhân 
Gaussian 𝐾𝜌 , phƣơng sai 𝜌
2. Ta có tensor cấu trúc 
𝐽𝜌 ∇𝑢𝜍 ≜ 𝐾𝜌 ∗ ∇𝑢𝜍 ⨂ ∇𝑢𝜍 (30) 
Ma trận đối xứng 𝐽𝜌 = 
𝑗11 𝑗12
𝑗12 𝑗22
 bán xác định dƣơng và 
có các vector riêng trực giao v1, v2 với 
𝑣1|| 𝑗22 − 𝑗11 + 𝑗11 − 𝑗22 2 + 4𝑗12
2 (31) 
Tƣơng ứng với các giá trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 đƣợc xác định 
bởi 
𝜇1,2 =
1
2
 𝑗11 + 𝑗22 ± 𝑗11 − 𝑗22 2 + 4𝑗12
2 (32) 
 Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014) 
ISBN: 978-604-67-0349-5 381
Trong đó dấu + là của 𝜇1. Các trị riêng mô tả độ 
tƣơng phản trung bình theo các hƣớng riêng. hệ số tỉ lệ 
tích phân 𝜌 phản ánh đặc trƣng cửa sổ theo hƣớng đƣợc 
phân tích. Nhƣợc điểm là các trị riêng nhạy cảm đối với 
nhiễu, do đó, cần phải loại trừ nhiễu trƣớc khi thực hiện 
khuếch tán [10]. 
C. Thuật toán loại trừ nhiễu hỗn hợp Curvelet và 
khuếch tán phi tuyến 
Phƣơng pháp khuếch tán phi tuyến bảo toàn đƣờng 
biên do tính chất thích nghi cục bộ với dữ liệu nhờ áp 
dụng Tensor cấu trúc nhƣng hiệu quả loại trừ nhiễu 
không cao và có nguy cơ mất ổn định dƣới tác động của 
nhiễu. Đề xuất thuật toán ba bƣớc: Bƣớc 1: Tạo thông 
tin cấu trúc ảnh bằng tensor khuếch tán phi tuyến. Bƣớc 
2: Tiến hành Curvelet shrinkage loại trừ hƣớng có biên 
sƣờn vì quy trình Curvelet shrinkage cho phép làm trơn 
theo hƣớng. Bƣớc 3: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận 
đƣợc từ bƣớc 1 và hiệu chỉnh biên sƣờn bằng biến đổi 
Wavelet 1D từ thông tin nhận đƣợc từ bƣớc 1. 
Thuật toán hỗn hợp chi tiết nhƣ sau: 
1: Tạo thông tin cấu trúc ảnh: Tính Tensor khuếch tán 
D theo (31) với các trị riêng 𝜇1 và 𝜇2. Trace(D) = 
𝜇1 + 𝜇2; Det(D) = 𝜇1𝜇2. 
2: Tính hệ số kết hợp c (coherent) theo 
𝑐 = 
𝜇 1−𝜇 2
𝜇 1+𝜇 2
2
 nếu 𝜇1 + 𝜇2 > 0
0 khác
 (33) 
3: Tạo các mảng (array) biên ảnh 1D từ các điểm ảnh 
liền kề 
4: Curvelet shrinkage: Tính hệ số Curvelet theo ba 
bƣớc [5] 
4.1: Tính các hệ số Fourier 𝑑𝑚 𝑓 của 𝑓 dùng FFT 2D 
4.2: Tính 𝑑𝑚 𝑓 𝑈𝑗 
2𝜋
𝑁
𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
𝑇 𝑚 với ∀𝑚 thỏa 𝑆𝜃𝑗 ,𝑙
𝑇 𝑚 ∈
𝑠𝑢𝑝𝑝𝑈𝑗 
4.3: Tính các hệ số 𝑐 𝜇
𝐷(𝑓) theo (22) dùng IFFT 2D 
5: Lấy ngƣỡng cứng các hệ số 𝑐 𝜇
𝐷(𝑓) không thuộc miền 
biên ảnh (theo hệ số kết hợp c) 
6: Biến đổi ngƣợc Curvelet khôi phục ảnh ban đầu 
7: Khuếch tán phi tuyến ảnh nhận đƣợc từ bƣớc 6 
8: Hiệu chỉnh biên sƣờn bằng Wavelet 1D trên tập biên 
ảnh liền kề (bƣớc 3) 
III. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 
Mô phỏng đƣợc thực hiện bằng chƣơng trình Matlab 
nhằm đánh giá hiệu quả của phƣơng pháp đề xuất so với 
các phƣơng pháp khác bao gồm: Loại trừ nhiễu bằng 
biến đổi Wavelet, loại trừ nhiễu bằng biến đổi Curvelet, 
khuếch tán phi tuyến. Ảnh đầu vào là bộ ảnh gray (bao 
gồm: Lena, Barbara, Boat, Cameraman, House) kích 
thƣớc 512x512 bao gồm các biên sƣờn. Nhiễu tác động 
là nhiễu Gauss trị trung bình không và độ lệch chuẩn 
hóa σn = 0.01 (dùng hàm imnoise trong Matlab). Tham 
số đánh giá là PSNR (dB) và hiệu ứng biên sƣờn trực 
quan. Hình 4 minh họa hiệu ứng loại trừ nhiễu bảo vệ 
biên sƣờn, trong đó (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 
dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet 
(29.5928 dB), (e) Loại trừ bằng phƣơng pháp lọc 
khuếch tán phi tuyến NLDF (24.5419 dB), (f) Loại trừ 
nhiễu bằng phƣơng pháp đề xuất (27.4950 dB). Nhận 
thấy, phƣơng pháp loại trừ nhiễu bằng Curvelet cho tỉ 
số PSNR cao nhất. Tuy nhiên, phƣơng pháp hỗn hợp có 
tỉ số PSNR thấp hơn lại cho hiệu quả biên sƣờn cao 
hơn. Minh họa hiệu quả bảo vệ biên sƣờn đƣợc biểu 
diễn trên hình 5. Bảng 1 trình bày các kết quả mô phỏng 
tính toán PSNR cho bộ ảnh đầu vào. 
BẢNG 1. BẢNG SO SÁNH CÁC GIÁ TRỊ PSNR 
Phương 
pháp 
Ảnh 
Lena Barbara Boat Cameraman House 
Wavelet 23.99 22.61 23.96 22.25 25.63 
Curvelet 29.59 25.05 27.38 25.63 28.67 
NLDF (*) 24.54 23.24 23.65 21.58 23.74 
Hỗn hợp 27.49 25.17 26.17 25.41 27.19 
 (*)NLDF : Khuếch tán phi tuyến 
(a) (b) (c) 
 Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014) 
ISBN: 978-604-67-0349-5 382
 (d) (e) (f) 
Hình 4. (a) ảnh gốc, (b) Ảnh nhiễu (20.7 dB), (c) Wavelet DB4 (23.9931 dB), (d) Curvelet (29.5928 dB), (e) NLDF (24.5419 dB), (f) Đề xuất 
(27.4950 dB) 
(a) (b) (c) (d) 
Hình 5. Chi tiết đƣợc làm rõ (a) Wavelet DB4, (b) Curvelet, (c) NLDF, (d) Phƣơng pháp đề xuất 
 IV. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 
Trong bài báo này, chúng tôi đã trình bày phƣơng 
pháp hỗn hợp Curvelet và Khuếch tán phi tuyến để khử 
nhiễu ảnh nhằm bảo toàn biên sƣờn và minh họa bằng 
các mô phỏng minh chứng ƣu điểm của phƣơng pháp đề 
xuất. Với những tính chất rất đặc biệt và tính hiệu quả 
cao trong xử lý ảnh, các ứng dụng của lọc khuếch tán 
phi tuyến sẽ là một hƣớng nghiên cứu rất đƣợc quan 
tâm không chỉ trong lĩnh vực xử lý ảnh, mà còn có thể 
phát triển cho nhiều lĩnh khác có liên quan trong tƣơng 
lai. Vì vậy, đề xuất hƣớng nghiên cứu tiếp theo là phát 
triển khả năng mở rộng chiều, nghiên cứu mô hình lai 
kết hợp giữa phƣơng pháp lọc khuếch tán phi tuyến với 
một số phƣơng pháp khác nhằm cải tiến các phƣơng 
pháp và nâng cao chất lƣợng xử lý ảnh, mở rộng cho 
các lĩnh vực khác liên quan. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Sendur, L., Selesnick, I. W, “Bivariate shrinkage functions for 
Wavelet-based denoising exploiting interscale dependency,” 
IEEE on Trans. Signal Processing, 50, pp.2744-2756, 2002. 
[2] Bo Zhang, Jalal M. Fadili, and Jean-Luc Starck, “Wavelets, 
Ridgelets, and Curvelets for Poisson Noise Removal,” IEEE 
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 17, NO. 
7, JULY 2008. 
[3] François G. Meyer - “Wavelet-Based Estimation of a 
Semiparametric Generalized Linear Model of FMRI Time-
Series,” IEEE Trans. on Medical Imaging 22 (3), 2003. 
[4] E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: I. 
Resolution of the wavefront se,”, Appl. Comput. Harmon. 
Anal., 19, pp.162-197, 2003. 
[5] Jianwei Ma and Gerlind Plonka, "Combined Curvelet 
Shrinkage and Nonlinear Anisotropic Diffusion", IEEE 
TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 16, NO. 
9, SEPTEMBER 2007. 
[6] E. Candes, D. Donoho, “Continuous curvelet transform: II. 
Discretization and frames,” Appl. Comput. Harmon. Anal., 19, 
pp.198-222, 2003. 
[7] E. Candes, L. Demanet, D.Donoho, L. Ying, “Fast discrete 
curvelet transforms,” Multiscale Model. Simul., 5 (3), pp.861-
899, 2006. 
[8] Wei G. W., Marimont D. H., Heeger D, Generalized Perona-
Malik Equation for Image Restoration,” IEEE Signal 
Processing Letters, vol.6, no.7, pp.165–167. 1999. 
[9] Sum A. K. W., Cheung P. Y. S., “Stabilized anisotropic 
diffusio,” IEEE International Conf. on Acoustics, Speech and 
Signal Processing, vol.1, pp.709-712, 2007. 
[10] You Y. L., Kaveh M., “Fourth-order partial differential 
equations for noise removal,” IEEE Trans. on Image 
Processing, vol.9, no.10, pp.1723–1730, 2000. 
 Hội thảo quốc gia 2014 về Điện tử, Truyền thông và Công nghệ thông tin (ECIT2014) 
ISBN: 978-604-67-0349-5 383