Gaiso trình Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
——————————–
VŨ LÂM ĐÔNG
ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNGMÔ ĐUN
ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2016
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
...............***...............
VŨ LÂM ĐÔNG
ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNGMÔ ĐUN
ĐÀN HỒI VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH
Hà Nội - 2016
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết
quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bất cứ công
trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này.
Nghiên cứu sinh
VŨ LÂM ĐÔNG
LỜI CÁM ƠN
Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Phạm Đức
Chính – người thầy đã tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện
cho tôi hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy, Cô đã dạy tôi trong thời gian
học chuyên đề trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sỹ, các anh chị trong bộ
phận đào tạo sau đại học thuộc Viện Cơ học, các bạn đồng nghiệp trong Viện Cơ
học, nhóm Seminar khoa học định kỳ đã giúp đỡ hỗ trợ tôi tài liệu, kinh nghiệm
để hoàn thiện luận án.
Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và
Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).
Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn gần
gũi và là động lực sống cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận án này.
ii
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Những công thức và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. TỔNG QUAN 5
1.1. Đồng nhất hóa vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần . . . . . . . 5
1.2. Các xấp xỉ và đánh giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô . . . . . . . . 7
1.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. XÂYDỰNGĐÁNHGIÁ BẬC BACHOMÔĐUNĐÀNHỒI
THỂ TÍCH VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 19
2.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 20
2.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 26
2.3. Lớp vật liệu đẳng hướng ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1. Mô hình quả cầu lồng nhau hai pha . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng
lấn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn dạng hình vuông và lục giác đều
(trong không gian 2 chiều) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.4. Mô hình quả cầu lồng nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.5. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii
Chương 3. XÂYDỰNGĐÁNHGIÁ BẬC BACHOMÔĐUNĐÀNHỒI
TRƯỢT VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN 47
3.1. Xây dựng biên trên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng cực tiểu . 47
3.2. Xây dựng biên dưới mô đun đàn hồi trượt vĩ mô vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần thông qua nguyên lý năng lượng bù cực tiểu 63
3.3. Trường hợp đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt diện tích . . . . . 74
3.4. Áp dụng cho một số mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1. Mô hình vật liệu tựa đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2. Mô hình quả cầu ngẫu nhiên (không chồng lấn và chồng
lấn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.3. Vật liệu 2 pha tuần hoàn theo dạng hình lục giác đều . . . 82
3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Chương 4. PHƯƠNG PHÁP PTHH ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU TUẦN
HOÀN NHIỀU THÀNH PHẦN 85
4.1. Đồng nhất hóa vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. Giới thiệu về chương trình CAST3M . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
iv
Danh sách hình vẽ
0.1 Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than
chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng tối) và ôxít sắt từ LTF
(vùng sẫm màu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Phần tử đặc trưng (RVE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Vật liệu cốt sợi dọc trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vật liệu tổ hợp dạng quả cầu lồng
nhau hai pha và hỗn hợp dạng cầu đối xứng . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vật liệu tổ hợp dạng mặt cắt
ngang hình tròn lồng nhau hai pha và hỗn hợp dạng mặt cắt tròn
đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Đánh giá của Voigt, Reuss, các đánh giá của HS và đường biên
DXC 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu
cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng lấn(KCL 3D) . . . 36
2.6 Biên HS và biên mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu dạng cầu
cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn(CL 3D) . . . . . . . . 36
2.7 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt
ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên không chồng
lấn (KCL 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu với mặt cắt
ngang hình tròn cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên chồng lấn (CL
2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần
hoàn hình vuông (HV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu tuần
hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
v
2.11 Biên của mô đun đàn hồi thể tích vĩ mô vật liệu quả cầu lồng nhau
ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.12 Biên của mô đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu hình tròn lồng
nhau ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.13 Biên Hashin-Shtrikman (HS) và biên mô đun đàn hồi thể tích của
vật liệu ba pha tựa đối xứng (TDX 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.14 Biên HS và biên mô đun đàn hồi diện tích của vật liệu ba pha tựa
đối xứng (TDX 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Biên mô đun đàn hồi trượt vĩ mô của vật liệu đẳng hướng ba thành
phần (TDX 3D), so sánh với vật liệu tổ hợp đối xứng dạng cầu
(DXC 3D) và biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Biên mô đun đàn hồi trượt ngang của vật liệu đẳng hướng ba thành
phần (TDX 2D), so sánh với biên HS . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ
không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 3D) . . . . . . . . . . 80
3.4 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cầu cùng cỡ
chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 3D) . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ
không chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (KCL 2D) . . . . . . . . . . 81
3.6 Biên HS và biên cho vật liệu hai thành phần dạng cốt tròn cùng cỡ
dạng chồng lấn sắp xếp ngẫu nhiên (CL 2D) . . . . . . . . . . . . 82
3.7 Biên HS và đường biên mô đun đàn hồi trượt ngang hiệu quả của
vật liệu tuần hoàn hình lục giác đều (LGD) . . . . . . . . . . . . . 83
4.1 Cấu trúc cơ sở của vật liệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Sơ đồ khối chương trình tính toán theo phương pháp PTHH . . . . 88
4.3 Mô hình vật liệu và nhân tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Rời rạc hóa lưới với nhân tuần hoàn dạng lục giác trong mặt cắt
ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Mối quan hệ Keff − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6 Mối quan hệ µeff − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7 Mối quan hệ νeff − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.8 Mối quan hệ Eeff − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.9 Mối quan hệ µeff − vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
vi
Danh sách bảng
Bảng 1.1 Quan hệ giữa hệ số mô đun đàn hồi và các cặp hệ số khác
Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn
phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên trong pha 1 (không
gian 3 chiều) (Torquato, 2002)
Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố
ngẫu nhiên (không gian 2 chiều)
Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn
sắp xếp tuần hoàn hình vuông và lục giác đều
Bảng 2.4 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 3); fmax1
và fmin1 tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 2.5 Biên HS và biên cho tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (d = 2); fmax1
và fmin1 tương ứng khi đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 3.1 Biên HS (µUHS, µ
L
SH), biên µ
U
DXC , µ
L
DXC (với f1 = g1 = 0) và biên cho
tổ hợp vật liệu ba pha tựa đối xứng (µUTDX , µ
L
TDX) ; f
max
1 và f
min
1 tương ứng khi
đạt tới giá trị Max và Min
Bảng 3.2 Biên HS (µUHS, µ
L
SH) và biên vật liệu ba pha tựa đối xứng (µ
U
TDX , µ
L
TDX)
Bảng 3.3 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng cầu không chồng lấn
phân bố ngẫu nhiên và dạng chồng lấn phân bố ngẫu nhiên
Bảng 3.4 Thông tin hình học bậc ba η2 cho vật liệu dạng mặt cắt tròn phân bố
ngẫu nhiên
Bảng 3.5 Thông tin hình học bậc ba η2 đối với vật liệu 2 pha cốt liệu hình tròn
sắp xếp tuần hoàn hình lục giác đều
vii
Công thức và kí hiệu
Aβγα , B
βγ
α các thông tin hình học bậc ba của vật liệu
Ceff hệ số đàn hồi vĩ mô
d số chiều không gian
δij toán tử Kronecker
" trường biến dạng
E trường biến dạng đồng nhất
Γ(r) hàm Green
Iα hàm chỉ số hình học pha α
keff ,Keff mô đun đàn hồi thể tích, diện tích vĩ mô
µeff mô đun trượt vĩ mô
ν hệ số nở hông
φα hàm thế điều hòa
ψα hàm thế song điều hòa
⟨.⟩ trung bình thể tích trên miền V
 trường ứng suất
vα tỉ lệ thể tích pha α
CL chồng lấn
cs cộng sự
DXC đối xứng cầu
KCL không chồng lấn
HS Hashin-Shtrikman
HV hình vuông
LGD lục giác đều
PTHH phần tử hữu hạn
RVE phần tử đặc trưng
TDX tựa đối xứng
viii
1MỞ ĐẦU
Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đã có những bước phát triển trong nhiều năm
qua. Việc xây dựng các mô hình vật liệu đã được thực hiện từ rất sớm và từ những
mô hình căn bản. Các tính chất vĩ mô của vật liệu phụ thuộc vào nhiều yếu tố như
tính chất của vật liệu thành phần, tỷ lệ thể tích các thành phần, liên kết giữa các
thành phần, đặc trưng hình học, . . . qua đó nói lên khó khăn trong nghiên cứu các
tính chất vĩ mô của vật liệu. Hiểu và nắm bắt được các vấn đề này đòi hỏi các
nhà khoa học phải hiểu biết được sự tương tác qua lại của các vật liệu thành phần,
các giả thiết, điều kiện cơ học sát thực với mô hình nhằm có những khám phá, có
những kết quả tốt phục vụ cho thực tiễn. Chính vì vậy luận án được thực hiện với
mục đích xây dựng những đánh giá và tính toán mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu
nhiều thành phần đẳng hướng - một bước phát triển nối tiếp từ các kết quả đã công
bố trước đây.
Tính thời sự và ý nghĩa của luận án
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (còn gọi là vật liệu Composite) đang được ứng
dụng nhiều trong cuộc sống hiện nay từ những ngành công nghiệp đòi hỏi chính
xác cao như điện tử, hàng không vũ trụ . . . cho đến lĩnh vực gần gũi với cuộc sống
như sản xuất vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày. Có thể thấy vật
liệu tổ hợp nhiều thành phần sẽ là loại vật liệu chủ đạo trong tương lai vì tính năng
làm việc hiệu quả cũng như giá thành chi phí sản xuất chế tạo hợp lý.
Những thành phần vi mô khác nhau với những thông số đặc trưng riêng biệt
cấu thành nên vật liệu tổng thể, tuy nhiên việc xác định các đại lượng vĩ mô của
vật liệu không hề đơn giản bởi chúng ta thường chỉ có những thông tin hạn chế về
cấu trúc hình học, tính chất các vật liệu cấu thành . . .
Một ví dụ hình ảnh: Fernandino D.O [21] khi nghiên cứu tính chất đàn hồi
của vật liệu gang đúc với sự cấu thành của 3 thành phần vật liệu: Hợp kim đông
đặc (first to freeze zones-FTF), cốt liệu than chì dạng cầu (spheroidal graphite
nodules) và thành phần ôxít sắt từ (last to freeze zones-LTF) đã sử dụng công
nghệ chụp cắt lớp quang học quan sát được tổ chức cấu tạo vi mô của các thành
phần vật liệu trong mẫu nghiên cứu, qua đó xác định được dạng hình học các thành
phần vật liệu tham gia nhằm đưa vào bước tính toán tiếp theo. Hình 0.1 như một
2ví dụ minh họa, mô đun đàn hồi E của 3 thành phần là: Ethanchi = 15± 0.15 GPa;
EFTF = 230 ± 8.22 GPa; ELTF = 255 ± 7.77 GPa;
Hình 0.1: Tổ chức vi mô của thép hợp kim sau khi khắc màu: cốt liệu than chì dạng cầu (đen), hợp kim FTF (vùng
tối) và ôxít sắt từ LTF (vùng sẫm màu)
Sau khi thực hiện đồng nhất hóa thông qua các tính toán, Fernandino đã tính
được tính chất đàn hồi vật liệu vĩ mô tương đương: Eeff = 171 ± 7 GPa.
Trở lại với luận án, hướng nghiên cứu tập trung vào việc xây dựng lời giải hệ số
đàn hồi vĩ mô thông qua bài toán năng lượng với phương pháp biến phân nhằm cho
ra đánh giá tốt hơn so với các đánh giá đã công bố, kết hợp với tính toán trực tiếp
một số mô hình bài toán cụ thể thông qua phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)
để có kết quả so sánh. Luận án đã xây dựng được các tính toán đưa về dạng đơn
giản để bất cứ một nhà kỹ thuật nào nếu cần thiết kế một loại vật liệu tổ hợp mới
có thể tính toán nhanh kết quả mô đun đàn hồi hiệu quả vĩ mô của vật liệu đó, giúp
thiết kế vật liệu với các tính chất vĩ mô theo yêu cầu đặt ra.
Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá (biên trên và biên dưới), mô phỏng tính chất vĩ mô vật
liệu tổ hợp nhiều thành phần trong đó có sử dụng cả các thông tin bậc ba về hình
học pha của vật liệu vi mô và áp dụng phương pháp PTHH để tính toán cho các
mô hình cụ thể so sánh với các đánh giá.
3Đối tượng của luận án
Các mô đun đàn hồi thể tích và mô đun đàn hồi trượt vĩ mô (hiệu quả hay hiệu
dụng, trong luận án này tác giả sử dụng cụm từ vĩ mô - macroscopic) của vật liệu
nhiều thành phần đẳng hướng.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.
• Phương pháp giải tích - biến phân thông qua các phiếm hàm năng lượng xây
dựng biên trên và biên dưới đối với các mô đun đàn hồi vĩ mô.
• Phương pháp số s ... la uz (point i sb14) - uz (point i sb23));
qt1 = depi tx (ptx - psx);
qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
kb14x = kb14x et tx;
kb14y = kb14y et ty;
kb14z = kb14z et tz;
qb141 = qb141 et qt1;
qb144 = qb144 et qt4;
qb145 = qb145 et qt5;
fin bb14;
kb14=kb14x et kb14y et kb14z;
n4v4 = nbno s4v4;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 s4v4);
psx psy psz = coor (point 1 s3v3);
k4v4x = rela ux (point 1 s4v4) - ux (point 1 s3v3);
k4v4y = rela uy (point 1 s4v4) - uy (point 1 s3v3);
k4v4z = rela uz (point 1 s4v4) - uz (point 1 s3v3);
q4v41 = depi k4v4x (ptx - psx);
q4v44 = (depi k4v4x (pty - psy)) et (depi k4v4y (ptx - psx));
q4v45 = (depi k4v4x (ptz - psz)) et (depi k4v4z (ptx - psx));
repeter b4v4 (n4v4-1);
126
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i s4v4);
psx psy psz = coor (point i s3v3);
tx = (rela ux (point i s4v4) - ux (point i s3v3));
ty = (rela uy (point i s4v4) - uy (point i s3v3));
tz = (rela uz (point i s4v4) - uz (point i s3v3));
qt1 = depi tx (ptx - psx);
qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
k4v4x = k4v4x et tx;
k4v4y = k4v4y et ty;
k4v4z = k4v4z et tz;
q4v41 = q4v41 et qt1;
q4v44 = q4v44 et qt4;
q4v45 = q4v45 et qt5;
fin b4v4;
k4v4=k4v4x et k4v4y et k4v4z;
* Phuong 2
n11h = nbno s11h;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 s11h);
psx psy psz = coor (point 1 s44h);
k11hx = rela ux (point 1 s11h) - ux (point 1 s44h);
k11hy = rela uy (point 1 s11h) - uy (point 1 s44h);
k11hz = rela uz (point 1 s11h) - uz (point 1 s44h);
q11h2 = depi k11hy (pty - psy);
q11h4 = (depi k11hx (pty - psy)) et (depi k11hy (ptx - psx));
q11h6 = (depi k11hy (ptz - psz)) et (depi k11hz (pty - psy));
repeter b11h (n11h-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i s11h);
psx psy psz = coor (point i s44h);
tx = (rela ux (point i s11h) - ux (point i s44h));
ty = (rela uy (point i s11h) - uy (point i s44h));
127
tz = (rela uz (point i s11h) - uz (point i s44h));
qt2 = depi ty (pty - psy);
qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
k11hx = k11hx et tx;
k11hy = k11hy et ty;
k11hz = k11hz et tz;
q11h2 = q11h2 et qt2;
q11h4 = q11h4 et qt4;
q11h6 = q11h6 et qt6;
fin b11h;
k11h=k11hx et k11hy et k11hz;
nb12 = nbno sb12;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sb12);
psx psy psz = coor (point 1 sb43);
kb12x = rela ux (point 1 sb12) - ux (point 1 sb43);
kb12y = rela uy (point 1 sb12) - uy (point 1 sb43);
kb12z = rela uz (point 1 sb12) - uz (point 1 sb43);
qb122 = depi kb12y (pty - psy);
qb124 = (depi kb12x (pty - psy)) et (depi kb12y (ptx - psx));
qb126 = (depi kb12y (ptz - psz)) et (depi kb12z (pty - psy));
repeter bb12 (nb12-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sb12);
psx psy psz = coor (point i sb43);
tx = (rela ux (point i sb12) - ux (point i sb43));
ty = (rela uy (point i sb12) - uy (point i sb43));
tz = (rela uz (point i sb12) - uz (point i sb43));
qt2 = depi ty (pty - psy);
qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
kb12x = kb12x et tx;
kb12y = kb12y et ty;
128
kb12z = kb12z et tz;
qb122 = qb122 et qt2;
qb124 = qb124 et qt4;
qb126 = qb126 et qt6;
fin bb12;
kb12=kb12x et kb12y et kb12z;
n2h2 = nbno s2h2;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 s2h2);
psx psy psz = coor (point 1 s3h3);
k2h2x = rela ux (point 1 s2h2) - ux (point 1 s3h3);
k2h2y = rela uy (point 1 s2h2) - uy (point 1 s3h3);
k2h2z = rela uz (point 1 s2h2) - uz (point 1 s3h3);
q2h22 = depi k2h2y (pty - psy);
q2h24 = (depi k2h2x (pty - psy)) et (depi k2h2y (ptx - psx));
q2h26 = (depi k2h2y (ptz - psz)) et (depi k2h2z (pty - psy));
repeter b2h2 (n2h2-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i s2h2);
psx psy psz = coor (point i s3h3);
tx = (rela ux (point i s2h2) - ux (point i s3h3));
ty = (rela uy (point i s2h2) - uy (point i s3h3));
tz = (rela uz (point i s2h2) - uz (point i s3h3));
qt2 = depi ty (pty - psy);
qt4 = (depi tx (pty - psy)) et (depi ty (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
k2h2x = k2h2x et tx;
k2h2y = k2h2y et ty;
k2h2z = k2h2z et tz;
q2h22 = q2h22 et qt2;
q2h24 = q2h24 et qt4;
q2h26 = q2h26 et qt6;
fin b2h2;
k2h2=k2h2x et k2h2y et k2h2z;
129
* Phuong 3
na1 = nbno sa1;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sa1);
psx psy psz = coor (point 1 sa1s);
ka1x = rela ux (point 1 sa1) - ux (point 1 sa1s);
ka1y = rela uy (point 1 sa1) - uy (point 1 sa1s);
ka1z = rela uz (point 1 sa1) - uz (point 1 sa1s);
qa13 = depi ka1z (ptz - psz);
qa15 = (depi ka1x (ptz - psz)) et (depi ka1z (ptx - psx));
qa16 = (depi ka1y (ptz - psz)) et (depi ka1z (pty - psy));
repeter ba1 (na1-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sa1);
psx psy psz = coor (point i sa1s);
tx = (rela ux (point i sa1) - ux (point i sa1s));
ty = (rela uy (point i sa1) - uy (point i sa1s));
tz = (rela uz (point i sa1) - uz (point i sa1s));
qt3 = depi tz (ptz - psz);
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
ka1x = ka1x et tx;
ka1y = ka1y et ty;
ka1z = ka1z et tz;
qa13 = qa13 et qt3;
qa15 = qa15 et qt5;
qa16 = qa16 et qt6;
fin ba1;
ka1=ka1x et ka1y et ka1z;
na2 = nbno sa2;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sa2);
psx psy psz = coor (point 1 sa2s);
ka2x = rela ux (point 1 sa2) - ux (point 1 sa2s);
130
ka2y = rela uy (point 1 sa2) - uy (point 1 sa2s);
ka2z = rela uz (point 1 sa2) - uz (point 1 sa2s);
qa23 = depi ka2z (ptz - psz);
qa25 = (depi ka2x (ptz - psz)) et (depi ka2z (ptx - psx));
qa26 = (depi ka2y (ptz - psz)) et (depi ka2z (pty - psy));
repeter ba2 (na2-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sa2);
psx psy psz = coor (point i sa2s);
tx = (rela ux (point i sa2) - ux (point i sa2s));
ty = (rela uy (point i sa2) - uy (point i sa2s));
tz = (rela uz (point i sa2) - uz (point i sa2s));
qt3 = depi tz (ptz - psz);
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
ka2x = ka2x et tx;
ka2y = ka2y et ty;
ka2z = ka2z et tz;
qa23 = qa23 et qt3;
qa25 = qa25 et qt5;
qa26 = qa26 et qt6;
fin ba2;
ka2=ka2x et ka2y et ka2z;
na3 = nbno sa3;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sa3);
psx psy psz = coor (point 1 sa3s);
ka3x = rela ux (point 1 sa3) - ux (point 1 sa3s);
ka3y = rela uy (point 1 sa3) - uy (point 1 sa3s);
ka3z = rela uz (point 1 sa3) - uz (point 1 sa3s);
qa33 = depi ka3z (ptz - psz);
qa35 = (depi ka3x (ptz - psz)) et (depi ka3z (ptx - psx));
qa36 = (depi ka3y (ptz - psz)) et (depi ka3z (pty - psy));
repeter ba3 (na3-1);
131
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sa3);
psx psy psz = coor (point i sa3s);
tx = (rela ux (point i sa3) - ux (point i sa3s));
ty = (rela uy (point i sa3) - uy (point i sa3s));
tz = (rela uz (point i sa3) - uz (point i sa3s));
qt3 = depi tz (ptz - psz);
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
ka3x = ka3x et tx;
ka3y = ka3y et ty;
ka3z = ka3z et tz;
qa33 = qa33 et qt3;
qa35 = qa35 et qt5;
qa36 = qa36 et qt6;
fin ba3;
ka3=ka3x et ka3y et ka3z;
na4 = nbno sa4;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sa4);
psx psy psz = coor (point 1 sa4s);
ka4x = rela ux (point 1 sa4) - ux (point 1 sa4s);
ka4y = rela uy (point 1 sa4) - uy (point 1 sa4s);
ka4z = rela uz (point 1 sa4) - uz (point 1 sa4s);
qa43 = depi ka4z (ptz - psz);
qa45 = (depi ka4x (ptz - psz)) et (depi ka4z (ptx - psx));
qa46 = (depi ka4y (ptz - psz)) et (depi ka4z (pty - psy));
repeter ba4 (na4-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sa4);
psx psy psz = coor (point i sa4s);
tx = (rela ux (point i sa4) - ux (point i sa4s));
ty = (rela uy (point i sa4) - uy (point i sa4s));
tz = (rela uz (point i sa4) - uz (point i sa4s));
132
qt3 = depi tz (ptz - psz); qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx -
psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
ka4x = ka4x et tx;
ka4y = ka4y et ty;
ka4z = ka4z et tz;
qa43 = qa43 et qt3;
qa45 = qa45 et qt5;
qa46 = qa46 et qt6;
fin ba4;
ka4=ka4x et ka4y et ka4z;
na5 = nbno sa5;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sa5);
psx psy psz = coor (point 1 sa5s);
ka5x = rela ux (point 1 sa5) - ux (point 1 sa5s);
ka5y = rela uy (point 1 sa5) - uy (point 1 sa5s);
ka5z = rela uz (point 1 sa5) - uz (point 1 sa5s);
qa53 = depi ka5z (ptz - psz);
qa55 = (depi ka5x (ptz - psz)) et (depi ka5z (ptx - psx));
qa56 = (depi ka5y (ptz - psz)) et (depi ka5z (pty - psy));
repeter ba5 (na5-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sa5);
psx psy psz = coor (point i sa5s);
tx = (rela ux (point i sa5) - ux (point i sa5s));
ty = (rela uy (point i sa5) - uy (point i sa5s));
tz = (rela uz (point i sa5) - uz (point i sa5s));
qt3 = depi tz (ptz - psz);
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
ka5x = ka5x et tx;
ka5y = ka5y et ty;
ka5z = ka5z et tz;
133
qa53 = qa53 et qt3;
qa55 = qa55 et qt5;
qa56 = qa56 et qt6;
fin ba5;
ka5=ka5x et ka5y et ka5z;
nm = nbno sm;
i = 1;
ptx pty ptz = coor (point 1 sm);
psx psy psz = coor (point 1 sms);
kmx = rela ux (point 1 sm) - ux (point 1 sms);
kmy = rela uy (point 1 sm) - uy (point 1 sms);
kmz = rela uz (point 1 sm) - uz (point 1 sms);
qm3 = depi kmz (ptz - psz);
qm5 = (depi kmx (ptz - psz)) et (depi kmz (ptx - psx));
qm6 = (depi kmy (ptz - psz)) et (depi kmz (pty - psy));
repeter bm (nm-1);
i = i + 1;
ptx pty ptz = coor (point i sm);
psx psy psz = coor (point i sms);
tx = (rela ux (point i sm) - ux (point i sms));
ty = (rela uy (point i sm) - uy (point i sms));
tz = (rela uz (point i sm) - uz (point i sms));
qt3 = depi tz (ptz - psz);
qt5 = (depi tx (ptz - psz)) et (depi tz (ptx - psx));
qt6 = (depi ty (ptz - psz)) et (depi tz (pty - psy));
kmx = kmx et tx;
kmy = kmy et ty;
kmz = kmz et tz;
qm3 = qm3 et qt3;
qm5 = qm5 et qt5;
qm6 = qm6 et qt6;
fin bm;
kmm=kmx et kmy et kmz;
* modele
134
moda=modl voa mecanique elastique isotrope;
mata=matr moda young ea nu pa;
modm=modl vom mecanique elastique isotrope;
matm=matr modm young em nu pm;
kia=rigi moda mata;
kim=rigi modm matm;
k=kia et kim;
* blocage des mouvements de translation;
kclp = bloq depl p1;
* * assemblage de la matrice de rigidite * k1 = k11v et kb14 et k4v4;
k2 = k11h et kb12 et k2h2;
k3 = ka1 et ka2 et ka3 et ka4 et ka5 et kmm;
kcon = k et kclp et k1 et k2 et k3;
* * Chargement *
q1 = q11v1 et qb141 et q4v41;
q2 = q11h2 et qb122 et q2h22;
q3 = qa13 et qa23 et qa33 et qa43 et qa53 et qm3;
q4 = q11v4 et qb144 et q4v44 et q11h4 et qb124 et q2h24;
q51 = q11v5 et qb145 et q4v45;
q52 = qa15 et qa25 et qa35 et qa45 et qa55 et qm5;
q5 = q51 et q52;
q61 = q11h6 et qb126 et q2h26;
q62 = qa16 et qa26 et qa36 et qa46 et qa56 et qm6;
q6 = q61 et q62;
* * resolution *
u1 = reso kcon (q1);
u2 = reso kcon (q2);
u3 = reso kcon (q3);
u4 = reso kcon (q4);
u5 = reso kcon (q5);
u6 = reso kcon (q6);
* * Calcul champs de contrainte effective *
*Mode1: E=1.e1
ga1=grad moda u1;
135
gm1=grad modm u1;
da1x=(intg moda ga1 ux,x)/va;
dm1x=(intg modm gm1 ux,x)/vm;
d1x=(phia*da1x)+(phim*dm1x);
da1y=(intg moda ga1 uy,y)/va;
dm1y=(intg modm gm1 uy,y)/vm;
d1y=(phia*da1y)+(phim*dm1y);
da1z=(intg moda ga1 uz,z)/va;
dm1z=(intg modm gm1 uz,z)/vm;
d1z=(phia*da1z)+(phim*dm1z);
sa1x = (c11a*da1x)+(c12a*da1y)+(c12a*da1z);
sm1x = (c11m*dm1x)+(c12m*dm1y)+(c12m*dm1z);
s1x = (phia*sa1x) + (phim*sm1x);
sa1y = (c12a*da1x)+(c11a*da1y)+(c12a*da1z);
sm1y = (c12m*dm1x)+(c11m*dm1y)+(c12m*dm1z);
s1y = (phia*sa1y) + (phim*sm1y);
sa1z = (c12a*da1x)+(c12a*da1y)+(c11a*da1z);
sm1z = (c12m*dm1x)+(c12m*dm1y)+(c11m*dm1z);
s1z = (phia*sa1z) + (phim*sm1z);
*Mode2: E=1.e2
ga2=grad moda u2;
gm2=grad modm u2;
da2x=(intg moda ga2 ux,x)/va;
dm2x=(intg modm gm2 ux,x)/vm;
d2x=(phia*da2x)+(phim*dm2x);
da2y=(intg moda ga2 uy,y)/va;
dm2y=(intg modm gm2 uy,y)/vm;
d2y=(phia*da2y)+(phim*dm2y);
da2z=(intg moda ga2 uz,z)/va;
dm2z=(intg modm gm2 uz,z)/vm;
d2z=(phia*da2z)+(phim*dm2z);
sa2x = (c11a*da2x)+(c12a*da2y)+(c12a*da2z);
sm2x = (c11m*dm2x)+(c12m*dm2y)+(c12m*dm2z);
s2x = (phia*sa2x) + (phim*sm2x);
136
sa2y = (c12a*da2x)+(c11a*da2y)+(c12a*da2z);
sm2y = (c12m*dm2x)+(c11m*dm2y)+(c12m*dm2z);
s2y = (phia*sa2y) + (phim*sm2y);
sa2z = (c12a*da2x)+(c12a*da2y)+(c11a*da2z);
sm2z = (c12m*dm2x)+(c12m*dm2y)+(c11m*dm2z);
s2z = (phia*sa2z) + (phim*sm2z);
*Mode3: E=1.e3
ga3=grad moda u3;
gm3=grad modm u3;
da3x=(intg moda ga3 ux,x)/va;
dm3x=(intg modm gm3 ux,x)/vm;
d3x=(phia*da3x)+(phim*dm3x);
da3y=(intg moda ga3 uy,y)/va;
dm3y=(intg modm gm3 uy,y)/vm;
d3y=(phia*da3y)+(phim*dm3y);
da3z=(intg moda ga3 uz,z)/va;
dm3z=(intg modm gm3 uz,z)/vm;
d3z=(phia*da3z)+(phim*dm3z);
sa3x = (c11a*da3x)+(c12a*da3y)+(c12a*da3z);
sm3x = (c11m*dm3x)+(c12m*dm3y)+(c12m*dm3z);
s3x = (phia*sa3x) + (phim*sm3x);
sa3y = (c12a*da3x)+(c11a*da3y)+(c12a*da3z);
sm3y = (c12m*dm3x)+(c11m*dm3y)+(c12m*dm3z);
s3y = (phia*sa3y) + (phim*sm3y);
sa3z = (c12a*da3x)+(c12a*da3y)+(c11a*da3z);
sm3z = (c12m*dm3x)+(c12m*dm3y)+(c11m*dm3z);
s3z = (phia*sa3z) + (phim*sm3z);
*mode 4 E=1*e1*e2
ga4=grad moda u4;
gm4=grad modm u4;
da4xy=(1./2.)*((intg moda ga4 ux,y)+(intg moda ga4 uy,x))/va;
dm4xy=(1./2.)*((intg modm gm4 ux,y)+(intg modm gm4 uy,x))/vm;
d4xy =(phia*da4xy)+(phim*dm4xy);
sa4xy=2*(c66a*da4xy);
137
sm4xy=2*(c66m*dm4xy);
s4xy = (phia*sa4xy) + (phim*sm4xy);
*mode 5 E=1*e1*e3
ga5=grad moda u5;
gm5=grad modm u5;
da5xz=(1./2.)*((intg moda ga5 ux,z)+(intg moda ga5 uz,x))/va;
dm5xz=(1./2.)*((intg modm gm5 ux,z)+(intg modm gm5 uz,x))/vm;
d5xz =(phia*da5xz)+(phim*dm5xz);
sa5xz=2*(c66a*da5xz);
sm5xz=2*(c66m*dm5xz);
s5xz = (phia*sa5xz) + (phim*sm5xz);
haha= (intg moda ga5 ux,z);
*mode 6 E=1*e2*e3
ga6=grad moda u6;
gm6=grad modm u6;
da6zy=(1./2.)*((intg moda ga6 uz,y)+(intg moda ga6 uy,z))/va;
dm6zy=(1./2.)*((intg modm gm6 uz,y)+(intg modm gm6 uy,z))/vm;
d6zy =(phia*da6zy)+(phim*dm6zy);
sa6zy=2*(c66a*da6zy);
sm6zy=2*(c66m*dm6zy);
s6zy = (phia*sa6zy) + (phim*sm6zy); * * Calcul des coefficients effectives
*
mut=s4xy/2;
kt = (1./2.)*(s1x+s1y)/(d1x+d1y);
mu3t=s6zy/2;
p3t=s1z/(s1x+s1y);
e3t=s3z-(p3t*(s3x+s3y));
mess mut kt e3t p3t mu3t;
*kiem tra: de tinh cho truong hop phang
*haha=2*mut*(1+(s1z*(p3t/e3t)));
*pt=(s1x-haha)/(s1y+haha);
*eet=2.*mut*(1+pt);
*pt2=pt/(1-pt);
*eet2=eet/(1-(pt*pt));
138
*kt2=eet2/(2.*(1.-(pt2)));
*mess (kt-kt2);
*listEt = listKt ’ET’ (’PROG’ eet);
*listPt = listMt ’ET’ (’PROG’ pt);
listKt = listKt ’ET’ (’PROG’ kt);
listMt = listMt ’ET’ (’PROG’ mut);
listE3t = listE3t ’ET’ (’PROG’ e3t);
listP3t = listP3t ’ET’ (’PROG’ p3t);
listM3t = listM3t ’ET’ (’PROG’ mu3t);
listP = listP ’ET’ (’PROG’ phi);
fin b1; *evoe = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listEt;
*evop = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listPt;
evok = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listKt;
evom = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listMt;
evoe3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listE3t;
evop3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listP3t;
evom3 = ’EVOL’ ’MANUEL’ listP listM3t;
*list evoe;
*list evop;
list evok;
list evom;
list evoe3;
list evop3;
list evom3;
*dess evok;
*dess evom;
-fin;
139