Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 5: Biến đổi Fourier liên tục

Chương V:
BIẾN ĐỔI FOURIER 
LIÊN TỤC
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
2008
Nội dung
 Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục
 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
 Các tính chất của biến đổi Fourier
 Lấy mẫu tín hiệu
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục 
tuần hoàn
 Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn 
được một cách chính xác bởi một chuỗi 
Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện 
Dirichlet sau đây:
1. Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của 
x(t) phải hữu hạn.
2. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) 
phải hữu hạn.
3. Tích phân của |x(t)| trong một chu kỳ phải 
hữu hạn.
Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục 
tuần hoàn
 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần 
hoàn x(t) với chu kỳ T:
 Các hệ số {ck} được tính bằng công 
thức:

k
T
ktj
kectx
 2
)(
T
T
ktj
k dtetx
T
c
 2
)(
1
Phổ mật độ công suất của tín hiệu 
liên tục tuần hoàn
 Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn 
nhưng luôn là tín hiệu công suất:
 Công thức Parseval cho tín hiệu công 
suất:
T
x dttx
T
P 2|)(|
1

k
kx cP
2||
Phổ mật độ công suất của tín hiệu 
liên tục tuần hoàn
 Giá trị |ck|
2 có thể coi là đại diện cho 
công suất của thành phần ej2 kt/T (tín hiệu 
dạng sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T) 
trong tín hiệu x(t).
 Đồ thị của |ck|
2 theo các tần số kF0 (k = 
0, 1, 2) thể hiện phân bố công suất 
của tín hiệu x(t) theo các tần số khác 
nhau phổ mật độ công suất.
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên 
tục không tuần hoàn
 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)
 Biến đổi Fourier ngược:
 dtetxFXtx Ftj 2)()()]([F
 dFeFXFXtx Ftj 21 )()]([)( F
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên 
tục không tuần hoàn
 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của 
tín hiệu tuần hoàn

dFeFX
FekFXectx
kFXF
T
k
X
T
c
Ftj
k
tkFj
F
k
T
ktj
k
T
k
2
0
2
0
0
2
00
)(
)(limlim)(
)(T )(
1
0
0
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên 
tục không tuần hoàn
 Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi 
Fourier (các điều kiện Dirichlet):
1. Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu 
hạn.
2. Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn.
3. Tích phân của |x(t)| trong khoảng ( , + ) 
phải hữu hạn.
Phổ mật độ năng lượng của tín 
hiệu liên tục không tuần hoàn
 Xét tín hiệu năng lượng x(t):
 Công thức Parseval cho tín hiệu không 
tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
dttxEx
2|)(|
 dFFXdttxEx
22 |)(||)(|
Phổ mật độ năng lượng của tín 
hiệu liên tục không tuần hoàn
 Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho 
năng lượng của thành phần ej2 Ft (tín 
hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín 
hiệu x(t).
 Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân 
bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần 
số phổ mật độ năng lượng.
Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc 
tuần hoàn
 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần 
hoàn x(n) với chu kỳ N:
 Các hệ số {ck} được tính bằng công 
thức:

1
0
2
)(
N
k
N
knj
kecnx

1
0
2
)(
1 N
n
N
knj
k enx
N
c
Phổ mật độ công suất của tín hiệu 
rời rạc tuần hoàn
 Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc 
x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:
 Công thức Parseval cho tín hiệu công suất 
rời rạc tuần hoàn:
 
1
0
2|)(|
1 N
n
x nx
N
P

1
0
2||
N
k
kx cP
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
không tuần hoàn
 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)
 Biến đổi Fourier ngược:
)],[( )()()]([   
n
njenxXnxF
 
 deXXnx nj)(
2
1
)]([)( 1F
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
không tuần hoàn
 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của 
tín hiệu rời rạc tuần hoàn



deX
FekFXecnx
NkFXF
N
k
X
N
c
nj
k
nkFj
F
N
Nk
N
knj
k
N
k
)(
2
1
)2(limlim)(
)( )2(
21
0
2
0
0
2/
2/
2
00
0
0
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
không tuần hoàn
 Điều kiện hội tụ:



2
2
2
|)(||)(|
|)(||)(|
|||)(||)(|
nn
x
nn
n
nj
n
nj
nxnxE
nxnx
enxenx 
Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 
không tuần hoàn
 Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej
 Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên 
đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z 
biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của 
biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị.
)()(1||
||)()()(


XzXz
eznxznxzX
n
njn
n
n
 
Phổ mật độ năng lượng của tín 
hiệu rời rạc không tuần hoàn
 Xét tín hiệu năng lượng x(n):
 Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc 
không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:
 
 n
x nxE
2|)(|

dXEx
2|)(|
2
1
Phổ mật độ năng lượng của tín 
hiệu rời rạc không tuần hoàn
 Giá trị |X()|2 có thể coi là đại diện cho 
năng lượng của thành phần ejn (tín hiệu 
dạng sin phức có tần số góc ) trong tín 
hiệu x(n).
 Đồ thị của |X()|2 theo  thể hiện phân 
bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần 
số phổ mật độ năng lượng.
Các tính chất của biến đổi Fourier
 Tuyến tính:
 Dịch thời gian:
 Lật:
)()()]()([ 2121  bXaXnbxnax F
)()]([ 00 
 Xennx nj F
)()]([  XnxF
Các tính chất của biến đổi Fourier
 Biến đổi Fourier của tích chập:
 Biến đổi Fourier của tương quan:
Sx1x2() được gọi là phổ mật độ năng lượng 
chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n).
)()()]()([ 2121  XXnxnx F
))(( |)(|)()]([
)()()()]([
2
21 2121
RnxXSnr
SXXnr
xxxx
xxxx


F
F
Các tính chất của biến đổi Fourier
 Dịch tần số:
 Điều chế:
 Đạo hàm trong miền Fourier:
)()]([ 0
0  Xnxe njF
)]()([
2
1
]cos)([ 000  XXnnxF


d
dX
jnnx
)(
)]([ F
Lấy mẫu tín hiệu
 Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn bề 
rộng phổ hữu hạn tồn tại một tần số 
cao nhất trong tín hiệu, Fa: F > Fa thì 
X(F) = 0.
 Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs 
x(n). x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ 
x(n) theo công thức sau nếu Fs = 2Fa:

n a
a
ntF
ntF
nxtx
2
)2sin(
)()(
Lấy mẫu tín hiệu
 Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu 
liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số 
cao nhất (bề rộng phổ) Fa có thể được 
khôi phục một cách chính xác từ các mẫu 
của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa 
mãn điều kiện: Fs 2Fa.
 Tần số Fs = 2Fa được gọi là tần số 
Nyquist.
Lấy mẫu tín hiệu
 Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục 
và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục 
x(t) có bề rộng phổ là Fa
Nếu Fs = 2Fa: phổ của x(n) trong [ , ] có 
dạng đúng như phổ của x(t) trong [ Fa,Fa] và 
lặp lại với chu kỳ 2 .
Nếu Fs > 2Fa: phổ của x(t) trong [ Fa,Fa] được 
nén vào 1 khoảng bên trong [ , ] và lặp lại 
với chu kỳ 2 .
Lấy mẫu tín hiệu
Nếu Fs < 2Fa: xảy ra hiện tượng chồng phổ 
(phổ của x(t) trong [ Fa,Fa] bị giãn ra trong 1 
khoảng rộng hơn [ , ] nên bị chồng giữa các 
chu kỳ phổ bị biến dạng).