Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Biến đổi Z và áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc

Chương IV:
BIẾN ĐỔI Z VÀ ÁP DỤNG 
CHO HỆ THỐNG TUYẾN 
TÍNH BẤT BIẾN RỜI RẠC
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
2008
Nội dung
 Biến đổi trong xử lý tín hiệu
 Biến đổi Z
 Các tính chất của biến đổi Z
 Biến đổi Z ngược
 Biến đổi Z một phía
 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z
 Xét tính ổn định của hệ thống
Biến đổi trong xử lý tín hiệu
 Phương pháp phổ biến trong xử lý tín hiệu: 
biến đổi tín hiệu từ không gian tự nhiên của 
nó (miền thời gian) sang không gian (miền) 
khác.
 Ví dụ: biến đổi tín hiệu từ miền thời gian 
sang miền tần số
x(n) = sin 2 f0n m(f) = 1 nếu f = f0, 0 nếu f f0.
x(n) = asin 2 f1n + bsin 2 f2n m(f) = a nếu f = 
f1, b nếu f = f2, 0 còn lại.
Lựa chọn biến đổi
 Tín hiệu sau khi được biến đổi sẽ hội tụ 
trong một vài vùng của miền biến đổi 
thuận tiện cho việc khảo sát các đặc trưng.
 Phải tồn tại biến đổi ngược có thể thực 
hiện việc chỉnh sửa tín hiệu trong miền biến 
đổi và thu lại được tín hiệu đã chỉnh sửa 
trong không gian tự nhiên (miền thời gian) 
của tín hiệu.
Định nghĩa biến đổi Z
 Biến đổi Z hai phía:
 z là một biến phức biến đổi Z thực hiện 
việc biến đổi tín hiệu từ miền thời gian rời 
rạc vào một không gian phức (miền Z).
 Biến đổi Z tồn tại nếu chuỗi biến đổi hội tụ.
Ví dụ: biến đổi Z của (n) và của (n n0)

n
nznxzX )()(
Định nghĩa biến đổi Z
 Biến đổi Z một phía:
 Biến đổi Z một phía và hai phía của tín 
hiệu nhân quả là như nhau.

0
1 )()(
n
nznxzX
Ý nghĩa của biến đổi Z
 Với tín hiệu rời rạc, biến đổi Z đơn thuần 
là một cách biểu diễn khác của tín hiệu.
 Vai trò của biến đổi Z đối với hệ thống rời 
rạc tương đương với vai trò của biến đổi 
Laplace đối với hệ thống liên tục.
Miền hội tụ của biến đổi Z
 Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Z là tập 
hợp tất cả các giá trị của z mà chuỗi biến 
đổi x(n)z n hội tụ.
Ví dụ
 Tiêu chuẩn Cauchy:
 
0
1
1||lim
n
n
n
n
n
xx
Miền hội tụ của biến đổi Z
 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy tiêu chuẩn 
hội tụ của biến đổi Z:
n
n
x
n
n
x
xx
nxR
nxR
RzR
1
1
|)(|lim1
|)(|lim
||
Miền hội tụ của biến đổi Z
 Miền hội tụ của biến đổi Z là miền nằm 
giữa 2 đường tròn bán kính Rx và Rx+
trong mặt phẳng z.
 Miền hội tụ của biến đổi Z của một số loại 
tín hiệu:
Tín hiệu có độ dài hữu hạn.
Tín hiệu nhân quả có độ dài vô hạn.
Tín hiệu phản nhân quả có độ dài vô hạn.
Miền hội tụ của biến đổi Z
 Miền hội tụ của biến đổi Z một phía: là 
miền nằm ngoài đường tròn bán kính Rx 
trong mặt phẳng z.
Các tính chất của biến đổi Z
 Tuyến tính:
 Trễ:
 Co giãn trong miền z:
)()()]()([ 2121 zbXzaXnbxnax Z
)()]([ 00 zXznnx
n Z
xx
n
RazRaROC
zaXnxa
|||||:|
)()]([ 1Z
Các tính chất của biến đổi Z
 Lật:
 Đạo hàm trong miền z:
xx R
z
R
ROC
zXnx
1
||
1
:
)()]([ 1Z
dz
zdX
znnx
)(
)]([ Z
Các tính chất của biến đổi Z
 Biến đổi Z của tích chập:
 Biến đổi Z của tương quan:
 Định lý giá trị đầu:
)()()]()([ 2121 zXzXnxnx Z
)()()]([ 12121
 zXzXnr xxZ
)(lim)0( zXx
z 
Biến đổi Z ngược
 Định lý Cauchy
C là một chu tuyến (đường khép kín) có chiều 
dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) 
bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng Z.
)0(0
)0(1
2
1 1
n
n
dzz
j
C
n
Biến đổi Z ngược
 Biến đổi ngược của biến đổi Z (chứng 
minh được bằng cách sử dụng định lý 
Cauchy):
C
n dzzzX
j
nx 1)(
2
1
)(
Các phương pháp tính biến đổi Z
 Phương pháp tính tích phân theo C (sử 
dụng định lý phần dư của Cauchy):
Nếu {zpk} là tất cả các trị cực của X(z)z
n 1 nằm 
bên trong chu tuyến C:
Tính phần dư tại trị cực: nếu zpk là cực đơn
 
k
zz
n
kp
zzXnx ]|)(Res[)( 1
kpkkp
zz
n
pzz
n zzXzzzzX 
 |)()(]|)(Res[ 11
Các phương pháp tính biến đổi Z
Tính phần dư tại trị cực bội: zpk là một trị cực 
bội bậc sk
kp
k
k
k
k
kp
zz
s
ns
p
s
k
zz
n
dz
zzXzzd
s
zzX
1
11
1
)()(
)!1(
1
]|)(Res[
Các phương pháp tính biến đổi Z
 Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa:
Nếu X(z) khai triển được thành một chuỗi lũy 
thừa của z 1 như sau:
thì ta có x(n) = n.
Cách khai triển: dùng phép chia đa thức.
Chú ý: ROC của X(z) quyết định dạng của 
chuỗi lũy thừa.

n
n
n zzX )(
Các phương pháp tính biến đổi Z
 Phương pháp khai triển phân thức tối 
giản:
Không giảm tổng quát, giả thiết X(z) có thể 
biểu diễn dưới dạng X(z) = N(z)/D(z), ở đó 
N(z) và D(z) là 2 đa thức với bậc của N(z) 
bậc của D(z).
Giả sử {zpk} là tất cả các trị cực của X(z).
Các phương pháp tính biến đổi Z
Nếu tất cả các trị cực của X(z) đều là cực 
đơn: X(z) khai triển được thành tổng của các 
phân thức ở dạng tối giản
ở đó

k p
k
k
zz
A
zX )(
kpk
zzpk zXzzA |)()(
Các phương pháp tính biến đổi Z
Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt sk là bậc 
bội của trị cực zpk, X(z) sẽ được khai triển 
như sau:
ở đó:

k
s
s
s
p
k
k
k
s
zz
A
zX
1 )(
)(
kp
k
k
k
k
s
zz
ss
s
p
ss
k
k
dz
zXzzd
ss
A
)()(
)!(
1
Các phương pháp tính biến đổi Z
Biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản:
|)||(|)(
|)||(|)1(1
|)||(|)1(
|)||(|)(
1
1
1
1
aznua
aznua
az
aznua
aznua
az
z
n
n
-
n
n
-
Z
Z
Các phương pháp tính biến đổi Z
|)||(|)1(
!
)1)...(1(
|)||(|)(
!
)1)...(1(
)( 1
1
aznua
m
mnnn
aznua
m
mnnn
az
z
mn
mn
m
-Z
Chú ý: thường dễ dàng tính biến đổi ngược hơn 
nếu khai triển X(z)/z thay vì khai triển X(z).
Biến đổi Z một phía
 Các tính chất
Trễ: với k > 0
Tiến: với k > 0
Định lý giá trị cuối
nếu ROC của (z 1)X1(z) chứa đường tròn đơn 
vị.

k
m
kmk zmxzXzknx
1
11 )()()]([Z

1
0
11 )()()]([
k
m
mk zmxzXzknxZ
)()1(lim)(lim 1
1
zXznx
zn
Biến đổi Z một phía
 Ứng dụng để giải phương trình sai phân 
tuyến tính bất biến:
Biến đổi Z được dùng để giải phương trình 
sai phân tuyến tính bất biến.
Phương trình sai phân tuyến tính bất biến có 
điều kiện đầu khác không phải sử dụng 
biến đổi Z một phía.
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
 Hàm chuyển của hệ thống tuyến tính bất 
biến rời rạc:
Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc được 
biểu diễn bằng tích chập:
Hàm chuyển: biến đổi Z của đáp ứng xung
)()()( nhnxny 
)(
)(
)(
zX
zY
zH 
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
 Mối quan hệ giữa hàm chuyển và phương 
trình sai phân tuyến tính bất biến của hệ 
thống:
Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc được 
biểu diễn bằng phương trình:

M
r
r
N
k
k rnxbknya
00
)()(
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
Hàm chuyển của hệ thống được xác định như 
sau:




N
k
kN
k
M
r
rM
r
MN
N
k
k
k
M
r
r
r
za
zb
z
za
zb
zH
0
0
0
0)(
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
 Biểu diễn hàm chuyển theo các trị cực và 
trị không:
Giả sử {z0i} là tất cả các trị không và {zpk} là 
tất cả các trị cực của H(z):




N
k
p
M
iMN
N
k
p
M
i
k
i
k
i
zz
zz
z
a
b
zz
zz
a
b
zH
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
)(
)(
)1(
)1(
)(
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
Các trị cực của H(z) là nghiệm của phương 
trình đặc trưng:
0
0
 
N
k
kN
kza
Biểu diễn hệ thống rời rạc trong 
miền Z
 Tính hàm chuyển của hệ thống ghép nối:
Nối tiếp: H(z) = H1(z)H2(z)
Song song: H(z) = H1(z) + H2(z)
Phản hồi (dương)
Phản hồi (âm)
)()(1
)(
)(
21
1
zHzH
zH
zH
)()(1
)(
)(
21
1
zHzH
zH
zH
Xét tính ổn định của hệ thống
 Xét tính ổn định dựa trên hàm chuyển của 
hệ thống:
Hệ thống TTBB ổn định khi và chỉ khi hàm 
chuyển H(z) hội tụ với |z| = 1 miền hội tụ 
của H(z) phải chứa đường tròn đơn vị:
Rh < 1 < Rh+
Với hệ thống nhân quả: Rh < 1 tất cả các 
trị cực của H(z) phải nằm bên trong đường 
tròn đơn vị.
Xét tính ổn định của hệ thống
 Tiêu chuẩn ổn định Jury:
Giả thiết hệ thống có phương trình đặc trưng 
(a0 > 0):
Thiết lập bảng Jury từ các hệ số {ak}
0)(
0
 
N
k
kN
k zazD
Xét tính ổn định của hệ thống
Hàng
1 a0 a1 a2  aN 2 aN 1 aN
2 aN aN 1 aN 2  a2 a1 a0
3 c0 c1 c2  cN 2 cN 1
4 cN 1 cN 2 cN 3  c1 c0
2N-3 d0 d1 d2
Xét tính ổn định của hệ thống
Các phần tử ở hàng thứ 3 và 4 của bảng 
được tính như sau:
Các phần tử ở hàng thứ 5 và 6 của bảng 
được tính từ các phần tử ở hàng thứ 3 và 4 
một cách tương tự.
Hàng cuối cùng của bảng là hàng đầu tiên có 
3 phần tử.
iNNi
iN
iN
i aaaa
aa
aa
c 
 0
0
Xét tính ổn định của hệ thống
 Điều kiện Jury: Hệ thống ổn định khi và chỉ 
khi cả 3 điều kiện sau được thỏa mãn
1. D(1) > 0
2. D( 1) > 0 nếu N chẵn và < 0 nếu N lẻ
3. |aN| < a0
|cN 1| < |c0|
|r2| < |r0|