Xác định vận tốc lún của đáy cọc đóng trong nền đồng nhất

 1
Xác định vận tốc lún của đáy cọc đóng trong nền đồng nhất 
 pgS.TS Nguyễn đăng tộ; KS. Vũ Lâm Đông; sv. Hồ Sỹ Sơn. 
Bộ môn cơ học lý thuyết trường Đhtl. 
1. Đặt vấn đề. 
Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc đóng trong nền đồng nhất hay không đồng nhất, 
đáy cọc gặp lức chống không đổi theo phương pháp lan truyền sóng nghiệm Đa-Lăm-Be ta cần 
phải biết vận tốc lún đáy cọc. Nội dung bài báo này các tác giả sẽ xác định vận tốc lún của đáy 
cọc đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực cản không đổi. 
2. Bài toán va chạm dọc của búa vào cọc trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản 
không đổi. 
2.1. Thiết lập bài toán. 
a. Sơ đồ bài toán. 
b. Phương trình vi phân chuyển động của cọc. 




K
t
U
a
t
U
2
2
2
2
2
 (1) 
Trong đó: U là dịch chuyển của cọc. 
EF
rq
K ; K 0 khi (at – x) > 0 
 q: là lực ma sát của đất trên một đơn vị diện tích mặt bên. 
 r: là chu vi diện tích ngang. 
 E,F: là mô duyn đàn hồi và diện tích tiết diện ngang của cọc. 
E
a : là vận tốc truyền sóng trong cọc. : là khối lượng riêng của cọc. 
c. Nghiệm tổng quát. 
Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 1 có dạng : 
 KatxKx
2
1
xat)t,x(U 2 (2a) 
 Nghiệm tổng quát của (1) ở miền 2 có dạng : 
Hình 1 – Sơ đồ bài toán. 
 2
 2xLK
2
1
xat)t,x(U (2b) 
 Nghiệm tổng quát của (1) ở các miền khác có dạng : 
 2xLK
2
1
)xat(xat)t,x(U  (2c) 
d. Các điều kiện của bài toán. 
 Điều kiện đầu: Với t = 0 thì U = 0; 0
t
U


 (3) 
 Điều kiện biên của bài toán: 
Tại đầu cọc x = 0 ta có: 
EF
)t(P
x
U


 (4) 
Tại đáy cọc x = L ta có: 
+ Cọc chưa lún: R
x
U
EF 


 và 0
t
U


 (5a) 
+ Khi cọc lún thì: R
x
U
EF 


và 0
t
U


 (5b) 
+ Cọc dừng lún: R
x
U
EF 


 và 0
t
U


 (5c) 
ở đây coi lực cản R là hằng số. 
2.2. Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc. 
Trong quá trình xác định lực nén của đệm đàn hồi P(t) lên đầu cọc ta chỉ xét trường hợp 2 
> 0, còn trường hợp 2 < 0 ta cũng lý luận tương tự. 
a. Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc trong khoảng 
thời gian: 0 t L/a. 
Theo [3] phương trình vi phân xác định lực nén P(t) có dạng: 
 20
22
00 KCa)t(P)n()t(Pn2)t(P  
 (6) 
Gọi P0(t) là lực nén của đệm đàn hồi lên đầu cọc trong khoảng thời gian 
0 < t < L/a khi đó nghiệm tổng quát của (6) có dạng: 
 P0 (t) = 22
2
21
nt
n
KCa
tsinCtcosCe
 
   (7) 
Các hằng số C1, C2 được xác định dựa vào điều kiện đầu của lực P(t) và 
P (t), t = 0 thì: P(0) 
= 0; CV)t(P 
ở đây V là vận tốc rơi của búa được xác định theo công thức: gh2V 
Theo (2a) và (4)ta có sóng thuận ở miền 1 có dạng: 
a
x
tP
EF
1
)xat(K)xat(' 0 (8) 
Ta giả thiết tại đường biên t = L/a giữa miền 1 và miền 2 thì dịch chuyển tại đây là liên tục. 
 U(L/a-0, x) = U(L/a+0, x) )xat(')xat(' 21 
Vậy sóng thuận ở miền 1, 2, 4a, 4 có dạng: 
 3
a
x
tP
EF
1
)xat(K)xat(' 0 (9) 
Xét trường hợp cọc chưa lún, gọi tL là thời điểm cọc bắt đầu lún tL được xác định từ điều 
kiện lún, tại đáy cọc lúc đó sóng '(at-x) chưa truyền tới đáy cọc thì ứng suất tại đáy cọc bằng 
không. 
Khi t > L/a thì ứng suất tại đáy cọc tăng dần nhưng R
x
U
EF 


 nên đáy cọc vẫn chưa 
lún. 
Tại thời điểm t = tL thì R
x
U
EF 


 và đáy cọc bắt đầu lún. 
Khi L/a < t < tL thì cọc chưa lún do đó sóng phản  '(at+x) ở miền 4a, 5a, 6a được xác định 
theo điều kiện biên (5a). 
Ta có sóng phản của cọc ở miền 4a, 5a, 6a có dạng : 
 L2xatK
a
L2x
tP
EF
1
)xat(' 0 
  (10) 
Trong khoảng thời gian tL < t 2L/a cọc lún 
Từ (2-5b) ta có sóng phản  '(at+x) ở các miền 4,5,6b,6 có dạng : 
 L2xatKR
a
L2x
tP
EF
1
)xat(' 0 
  (11) 
b. Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc trong khoảng 
thời gian: L/a t 2L/a 
Phương trình vi phân xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc : 
 0)t(P)n()t(Pn2)t(P 1
22
11  
 (12) 
Nghiệm tổng quát của (12) có dạng: 
 )tsinCtcosC(e)t(P 43
nt
1   
 (13) 
Dựa vào tính liên tục của P(t) tại t = L/a ta xác định được C3, C4. 
Từ (4) ta có sóng thuận ở các miền 3, 5, 5a, 7 có dạng: 
 KL)
a
x
t(P
EF
1
)xat( 1
' (14) 
Từ (2 - 5b) ta có sóng phản ở các miền7, 8a, 8, 9 có dạng: 
 KLR
a
L2x
tP
EF
1
)xat( 1
' 
  (15) 
................................................................................................................................. 
c. Xác định lực nén P(t) của đệm lên đầu cọc và các hàm sóng trong cọc trong khoảng 
thời gian: 5L/a t 6L/a. 
Phương trình vi phân xác định P(t)của đệm đàn hồi vào đầu cọc. 



   
  
   
)
a
L4
t(sinB)
a
L4
t(cosA
a
L4
t)
a
L4
t(sinB
)
a
L4
t(cosAe)t(Pn)t(Pn2)t(P
887
7
a
L4
tn
7
22
77
 (16) 
Nghiệm tổng quát của phương trình (16) có dạng: 
 4
22
22
8
2
8
2
8
2
8
771615
a
L4
tn
7
n
KCa2
)
a
L4
t(sin
a
L4
t
4
A
a
L4
t
4
B
)
a
L4
t(cos
a
L4
t
4
B
a
L4
t
4
A
a
L4
tcosB
a
L4
tsinA
2
t
tsinCtcosCe)t(P
 



 


 



   
 (17) 
Các hằng số C5, C6 được xác định dựa vào tính liên tục của hàm P(t) tại t = 5L/a. 
Từ (4)sóng thuận ở các miền 15, 17, 17a, 18 có dạng: 
KL3R2
a
L4x
tP
a
L2x
tP
a
x
tP
EF
1
)xat( 147
, 
 (18) 
Từ (5b) ta có sóng phản ở các miền 18, 20, 20a, 21 có dạng: 
)Lx2(KR3
a
L2x
tP
a
L4x
tP
a
L2x
tP
EF
1
)xat( 417
, 
  (19) 
Lý luận tương tự như trên ta có thể xác định được lực nén P(t) của đệm vào đầu cọc trong 
các khoảng thời gian tiếp theo cho đến khi va chạm kết thúc đồng thời xác định các sóng thuận 
và sóng phản truyền trong cọc. 
2.3. Xác định trạng thái ứng suất trong cọc. 
ứng suất trong cọc được xác định theo định luật Hooke: 
x
U
E


  (20) 
Từ (20) và (8) ta có ứng suất của cọc tại miền 1 là: 
  )
a
x
t(P
F
1
)xat(K)xat('E
x
u
E 01 


  
Từ (20) và (9) ứng suất của cọc tại miền 2 là: 
   )Lat(EK)
a
x
t(P
F
1
)xL(K)xat('E
x
u
E 01 


  
Từ (20), (9) và (10) ta có ứng suất của cọc tại miền 4a là: 
 
)L3xat2(EK)
a
L2x
t(P)
a
x
t(P
F
1
)xL(K)xat(')xat('E
x
u
E
00
1
  


 
................................................................................................................................... 
Tương tự ta có ứng suất của cọc tại miền 17 là: 
 
)L6at(EKR)
a
L6x
t(P)
a
L2x
t(P)
a
L4x
t(P)
a
L2x
t(P
)
a
L4x
t(P)
a
x
t(P
F
1
)xL(K)xat(')xat('E
x
u
E
0634
171
  


 
2.4. Xác định vận tốc lún tại đáy cọc trong một nhát búa. 
Vận tốc lún tại đáy cọc được xác định theo hệ thức: 
Lxt
U
)t(V
 

 (21) 
Từ (21), (9) và (11) ta có vận tốc tại miền 4: 
 5
 )Lat(K2
EF
R
a
L
tP
EF
2
a)t(V 04 
 Từ (2 -21), (2 - 9) và (2 - 11) ta có vận tốc tại miền 7: 
 KL2
EF
R
a
L
tP
EF
2
a)t(V 17 
Tương tự ta có vận tốc tại các miền khác: 
Miền 10a: 



 )L4at(K2
a
L
tP2
a
L3
tP2
EF
1
a)t(V 20a10 
Miền 10: 



 )L2at(K2R3
a
L
tP2
a
L3
tP2
EF
1
a)t(V 3010 
Miền 12: 



 KL4R3
a
L
tP2
a
L3
tP2
EF
1
a)t(V 4112 
Miền 16a: 



 )L7at(K2R3
a
L
tP2
a
L3
tP2
a
L5
tP2
EF
1
a)t(V 320a16 
Miền 16 : 



 )L3at(K2R5
a
L
tP2
a
L3
tP2
a
L5
tP2
EF
1
a)t(V 63016 
Miền 18 : 



 KL6R5
a
L
tP2
a
L3
tP2
a
L5
tP2
EF
1
a)t(V K7K4K1a16 
Tương tự ta có thể tính vận tốc đáy cọc tại các miền còn lại cho đến khi kết thúc lún. 
2.5. Tính thời gian lún của cọc trong một lần va chạm. 
a. Xác định thời điểm đáy cọc bắt đầu lún. 
Giả sử cọc bắt đầu lún trong khoảng (L/a, 2L/a). 
Tại: t = tL thì: 
EF
R
a
L
tP
EF
2
)Lat(K2
EF
R
t
U
L0L
Lx
a4 


Từ hệ thức này ta xác định dược tL 
b. Xác định thời điểm đáy cọc kết thúc lún. 
Giả sử cọc kết thúc lún trong khoảng (6L/a, 7L/a). 
Tại : t = tkL thì: 
0KL6R5
a
L
tP2
a
L3
tP2
a
L5
tP2
EF
1
a0)t(V KL7KL4KL118 



Từ hệ thức này ta xác định được tkL 
c. Tính toán với số liệu cụ thể. 
Đệm đầu cọc: C = 571462,5 N/cm 
Búa: Khối lượng đầu búa: M = 1800 Kg; Chiều cao rơi của búa : H = 200 cm 
Cọc: Mô đun đàn hồi của cọc: E = 3,11.106N/cm2. 
Kích thước của cọc: 35x35x1200cm. 
Khối lượng riêng của cọc: = 0.0024 N/cm3. 
Đất nền: Lực cản mặt bên: q = 0,25 N/cm2; 
Lực chống tại đáy cọc: R = 40000 N. 
 6
Kết quả tính toán: 
ứng suất tại đầu cọc được biểu thị ở Hình 1 với: 
Thời gian kết thúc va chạm: tvc = 0,01667 s 
max = 1399 N/cm
2 tại t = 0,00831 s 
Vận tốc lún tại đáy cọc được biểu thị ở Hình 2 với: 
Thời gian bắt đầu lún: tL = 0,004249 s 
Thời gian kết thúc lún: tKL = 0,02426867 s 
Vmax = 253,4268 cm/s tại t = 0,0147 s 
3. Kết luận. 
 Trên cơ sở lý thuyết sóng một chiều nghiệm Đalambe các tác giả xét bài toán va chạm của 
búa vào cọc qua đệm giảm chấn tuyến tính. Cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực cản 
không đổi. Các tác giả đã tính được vận tốc lún tại đáy cọc dưới dạng biểu thức giải tích.Từ đó 
tác giả sử dụng máy tính với ngôn ngữ Pascal đã tính được thời điểm bắt đầu lún, vận tốc lún tại 
đáy cọc và thời điểm kết thúc lún. 
(Công trình này được sự tài trợ của Trung tâm KHTNQG và Bộ KHCN) 
TàI LIệU THAM KHảO 
[1]. Nguyễn Thúc An năm 1975. Lý thuyết va chạm dọc của thanh và ứng dụng vào thi công 
móng cọc. Trường ĐHTL. 
[2]. Nguyễn Thúc An năm 1999. áp dụng lý thuyết sóng vào bài toán cọc. Trường ĐHTL. 
[3]. Nguyễn Đăng Cường năm 2000. Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc và chọn đầu búa 
theo lý thuyết va chạm. Luận án TSKT, Hà Nội. 
Summary 
To difine sinking-speed of the bottom of the pile which was driven into identical 
foundation. 
Based the one-way wave theory and Dalambe’s solution, authors studied shock between a 
hammer and the pile with linear damper-mattress, the pile was driven into identical foundation 
and the bottom of the pile met constant prop-force. Author calculated sinking-speed expression 
of the bottom of the pile in one shock and combined a Pascal computer programme to draw a 
graph’s sinking speed and ontime begin, finish sinking of the bottom of the pile. 
Hình 1- Đồ thị ứng suất tại đầu cọc Hình 2- Đồ thị vận tốc tại đáy cọc