Ứng suất quanh công trình ngầm xây dựng trong đất đá biến dạng phi tuyến

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9,Số 4-2006 
Trang 49 
ỨNG SUẤT QUANH CÔNG TRÌNH NGẦM 
XÂY DỰNG TRONG ĐẤT ĐÁ BIẾN DẠNG PHI TUYẾN 
Nguyễn Xuân Mãn(1), Phạm Thanh Tiền(1) 
Nguyễn Minh Tuấn(2), Nguyễn Xuân Tùng(3) 
(1) Viện cơ học ứng dụng, (2) Viện cơ học, (3) Đại học Mỏ - địa chất 
(Bài nhận ngày 31 tháng 10 năm 2005, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 20 tháng 02 năm 2006) 
 TÓM TẮT: Xây dựng công trình ngầm đòi hỏi phải có sự tính toán vỏ chống một cách 
chính xác. Nếu thiên về an toàn sẽ dẫn đến lãng phí vật liệu. Trong bài viết đề cập đến tính 
toán ứng suất trên biên công trình ngầm trong hai trường hợp: (1) - đất đá quanh hầm xem là 
mô hình nền biến dạng đàn hồi; (2)- đất đá quanh hầm xem là mô hình nền biến dạng phi 
tuyến. Sử dụng phương pháp thông số nhỏ cho phép tuyến tính hoá lời giải cho biên hầm 
không tròn. Kết quả cho thấy mô hình biến dạng phi tuyến làm giảm ứng suất trên biên công 
trình so với mô hình đàn hồi. Tính toán minh hoạ số cho biên dạng vòm chỉ ra: ứng suất trên 
biên công trình khi xét đến tính biến dạng phi tuyến giảm 25,73% so với khi chỉ xem đất đá 
biến dạng đàn hồi. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Khi tính toán kết cấu chống giữ hoặc đưa ra các giải pháp đảm bảo ổn định và bền vững các 
công trình ngầm thường quan tâm đến giá trị ứng suất cực đại trên biên công trình, nói một 
cách khác là hệ số tập trung ứng suất được xem xét và có vai trò quan trọng trong đánh giá ổn 
định công trình. Trong các nghiên cứu đã đề cập đến việc xác định hệ số tập trung ứng suất trên 
biên công trình ngầm xây dựng trong đất đá có biến dạng tuyến tính (biến dạng đàn hồi). Việc 
xem xét biến dạng phi tuyến của đất đá sẽ cho phép khai thác khả năng mang tải của khối đá 
quanh công trình ngầm và do đó làm giảm các chi phí nhằm đảm bảo ổn định và bền vững cho 
công trình. Dưới đây xem xét việc xác định hệ số tập trung ứng suất trên biên công trình ngầm 
dạng vòm trong đất đá biến dạng phi tuyến. 
2. ĐẶT BÀI TOÁN 
Trên cơ sở nghiên cứu thực nghiệm [1] đã chỉ ra rằng quan hệ ứng suất tiếp τ với chuyển 
vị góc δ tuân theo biểu đồ như hình vẽ 1, với quy luật được xấp xỉ 12 += mBτδ . Trong đó: B, 
m- các hằng số thực nghiệm. Trong thực tế, các hằng số B và m là các hàm của thời gian. Tuy 
nhiên khi nghiên cứu, tính toán cho một thời điểm xác định, có thể coi B và m là không đổi tại 
thời điểm xác định đó. Việc xác định B và m cho một loại đá nhất định tiến hành bằng thực 
nghiệm và khá tốn kém. Khi tính toán cho công trình cụ thể cần tiến hành thực nghiệm để xác 
định các chỉ tiêu này. Trong bài viết sử dụng kết quả theo tài liệu [1]. 
Science & Technology Development, Vol..9, No.4 - 2006 
Trang 50 
Để nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng của khối đá quanh công trình ngầm trong bài 
viết này sử dụng các giả thiết sau đây: 
 - Công trình ngầm được coi như một lỗ khoét trong môi trường biến dạng phi tuyến 
– đẳng hướng với ứng suất ban đầu tác dụng đều mọi phía như nhau và xa tâm lỗ khoét một 
khoảng cách đủ lớn (trong tÝnh to¸n thường lÊy xấp xỉ 10 lần bán kính lỗ) là Hγ (γ - dung 
trọng của đất đá, H – chiều cao cét ®¸t ®¸ phô thuéc vµo chiều sâu đặt công trình). Có thể viết : 
ψτττδ 22 == mB (1) 
 ở đây: mBτψ = - hàm vô hướng. 
 - Xem đất đá là môi trường không nén ép, khi đó thỏa mãn điều kiện: 
0=+ θεε r hay 0/ =+ rudr
du (2) 
trong đó: θεε ,r - các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ cực ),( θr 
 r - tọa độ theo phương bán kính của điểm cần xem xét. 
 - §ất đá vùng ngoài giới hạn đàn hồi tuân theo lý thuyết biến dạng dẻo, tức là: 
)()( rr σσψεε θθ −=− (3) 
với ψ - hàm vô hướng như trong định nghĩa trong (1). 
2.1. Giải bài toán biên tròn 
Bài toán đi đến việc giải hệ phương trình: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=+
−=−
=−+
(6) 0
(5) )()(
(4) 0
r
u
dr
du
rdr
d
r
rr
rr
εε
σσψεε
σσσ
θ
θθ
θ
Từ (6) dễ dàng cho ta rCu /1= , với 1C là hằng số tích phân. 
Biến đổi (5) có để ý đến (3) và thay )
2
( r
σστ θ −= ., cho ta: 
( ) ( ) 12 +− −=− mrmr B σσεε θθ (7) 
Từ (2) và (7) dÉn đến: 
( ) )1/(121)1/(12
m
m
r r
CB
+
+− ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−σσθ (8) 
Kết hợp (8) với (4) nhËn ®-îc: 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9,Số 4-2006 
Trang 51 
)1/(2
)1/(1
1
2 )1(
m
m
r rB
CmC +−
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−=σ (9) 
Trong đó : 2C - hằng số tích phân (xác định sau). 
Từ các điều kiện biên: 
ở đây: p- phản lực vỏ chống; khi không chống : p = 0. 
Thay các điều kiện biên này vào (9), ta có nghiệm: ( ) )1/(2 mr rpHH +−−−= γγσ (10) 
và ( ) )1/(2
1
1 mrpH
m
mH +−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−+= γγσθ (11) 
Như vậy hệ số tập trung ứng suất trên biên công trình sẽ là: 
( )
H
p
m
m
mH
pH
m
mH
K γγ
γγ
θ )1(
)1(
1
21
1
0
+
−−+=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−+
= (12) 
Từ (12) nhận thấy hệ số tập trung ứng suất là hàm nghịch biến của thông số m. khi 
không có vỏ chống (p=0), 
)1(
20
m
K +=θ 0. 
Khi đất đá biến dạng tuyến tính (m=0) hệ số tập trung ứng suất 20 =θK . 
Như vậy, trong trường hợp biªn tròn hệ số tập trung ứng suất trên biên công trình xây 
dựng trong đất đá biến dạng phi tuyến nhỏ hơn khi xây dựng trong đất đá có biến dạng 
tuyến tính (đàn hồi). 
 2.2. Giải bài toán biên không tròn 
Khi công trình có biên không tròn thì tọa độ không thứ nguyên của biên công trình được 
xấp xỉ theo biểu thức [2]: 
θnr cos10 h+= , trong hệ tọa độ cực ),( θr (13) 
Trong đó: - ( )( ) ;
1
 ;1/1/ 2
1
12
100 hh C
CCRr +=+= ρ - tham số nhỏ. 
 - 0R bán kính trong biên công trình 
 - ρ tọa độ theo phương bán kính của biên công trình 
 1C và n xác định phụ thuộc hình dạng của biên công trình, lấy theo bảng 1: 
Bảng 1 
Giá trị Biên tròn Elíp Vòm Hình vuông cong 
1C 0 10 1 << C 0,1 10/19/1 ÷ 
n 0 2 3 4 
Tồn tại thông số nhỏ h cho phép tuyến tính hóa bài toán và nghiệm của bài toán trong 
trường hợp này được t×m ở dạng: 
),(),(),( 10 θϕθϕθϕ rrr h+= (16) 
 Trong đó: ),(),,( 0 θϕθϕ rr - lần lượt là hàm ứng suất cần tìm víi biªn kh«ng trßn và hàm 
ứng suất đối với trường hợp biên tròn. 
⎩⎨
⎧
≈∞→→
==
 kính)bán 10(r r khi 
 trình)côngbiên (trên 1r khi 
H
p
r
r
γσ
σ
Science & Technology Development, Vol..9, No.4 - 2006 
Trang 52 
Các thành phần ứng suất và biến dạng theo (16) được viết dưới dạng: 
11
1010
10
r
10
 ; 
 ; 
 ; 
θθθθ
θθθθθθ
εγγεττ
εεεσσσ
εεεσσσ
rrrr
rrrrr
==
+=+=
+=+=
hh
hh
 (17) 
Chỉ số “0” ứng với lời giải khi biên công trình là tròn. 
Chỉ số “1” ứng với thành phần ứng suất bổ sung thêm cần xác định khi biên công trình 
không tròn. 
Sử dụng (6), (9) và (17), và phân tích các biến cần tìm theo tham số nhỏ h , nhận được: 
)18(;4
)18();(
)18();(
1)1/(21
11)1/(21
11)1/(21
ckr
bkr
akr
r
mm
r
r
mm
r
mm
r
θθ
θθ
θ
τγ
σσε
σσε
+−
+−
+−
−=
−−=
−=
 (18) 
Trong đó: )1/().(.
2
)1( mm
B
ABmk ++= 
 A – hằng số tùy ý cần xác định. 
Các ứng suất bổ sung liên hệ với hàm ứng suất bổ sung 1ϕ ở (16) như sau: 
(19c) )1(
(19b) 
(19a) 11
11
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
θ
ϕτ
ϕσ
ϕ
θ
ϕσ
θ
θ
∂
∂
∂
∂−=
∂
∂=
∂
∂+∂
∂=
rr
r
rrr
r
r
 (19) 
Thay các biến ở (18) và (19) vào điều kiện liên tục (20): 
θ
γε
θ
εεε θθθ
∂∂
∂=∂
∂−∂
∂+∂
∂+∂
∂
r
r
r
r
r
r
r
r rrr )(2
121
2
121
2
12
2 (20) 
và biến đổi, ta nhận được phương trình vi phân cấp 4 : 
0 172
1
2
62
1
2
5
3
1
3
422
1
3
322
1
4
24
1
4
14
1
4
0
=∂
∂+∂
∂+∂
∂+
+∂
∂+∂∂
∂+∂∂
∂+∂
∂+∂
∂
r
AA
r
A
r
A
r
A
r
AA
r
A
ϕ
θ
ϕϕ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕϕ
 (21) 
Trong đó: 
rm
mmA
rm
mmA
m
mA
rm
mA
r
m
mAA
r
ArA
1
)1(
)123(
;1
)1(
)551(4;
)1(
)31(;1
)1(
)32(4
)1(
)21(3;2;1;
2
2
7
22
2
62
2
54
3221
2
0
+
−−=
+
++=+
+−=+
+−=
+
+−=−=−=−=
Tìm nghiệm của (21) ở dạng sau [3]: 
)cos()(),(1 θθϕ nrXr = (22) 
Trong đó: X(r) là hàm của biến r cần xác định. 
 n - thông số xác định theo bảng 1. 
Thế (22) vào (21) và biến đổi đi đến phương trình vi phân cấp 4 ®èi víi hàm X(r) như sau: 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9,Số 4-2006 
Trang 53 
0012
2
2
23
3
3
34
4
4
4 =++++ Xadr
dXra
dr
dXra
dr
dXra
dr
dXra (23) 
với : 
.1;
)1(
)1(2;
)1(
)321(2
)1(
4
)1(
)31(213;
)1(
)3103(
432
2
2
2
2
2
12
2
2
0
−=+
−=+
−++=
+−+
+−−=+
++=
a
m
ma
m
mmna
m
m
m
nmma
m
mmna
Phương trình đặc trưng của (23) có dạng: 
 0)1()2)(1()3)(2)(1( 01234 =++−+−−+−−− akakkakkkakkkka 
Nghiệm cần tìm (19) thỏa mãn các điều kiện biên sau đây: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+
−−=
=+
−−=
∞→→
∞→→
1r khi ;
)1(
sin)(2
1r khi ;
)1(
cos)(2
r khi 0
 r khi 0
1
r
1
r
1
r
1
m
nnpH
m
npH
r
θγτ
θγσ
τ
σ
θ
θ
 (25) 
 2.3. Áp dụng cho biên dạng vòm 
 Giả thiết công trình xây dựng trong đất đá có thông số biến dạng phi tuyến m = 0,6, biên công trình 
có dạng vòm, ứng với n = 3 (xem bảng 1) 
Khi đó nghiệm phương trình đặc trưng (24) lần lượt là: 
ikikkk 277,038,1;277,038,1;13,3;89,5 4321 −=+=−== 
)ln)cos(()ln)cos(()( 443321 4321 rMkrBrMkrBrBrBrX
RkRkkk +++= 
Khi đó : θθϕ 3cos)(),(1 rXr = ; 4321 ,,, BBBB - xác định từ các điều kiện biên. 
Nghiệm riêng : 
θγγγθϕ 3)]ln277,0sin(555,0)ln277,0cos(244,0244,0[),( 38,113,31 corHrHrHrr −−= − ; (26) 
 Khi đất đá biến dạng tuyến tính (với m= 0), biªn dạng vòm (n =3) ta có: nghiệm đặc trưng 
của (24) là : 73,2;48,4;09,1;34,3 4321 −==−== kkkk . 
 4321 4321)(
kkkk rDrDrDrDrX +++= 
 Các hệ số 4321 ,,, DDDD tìm từ điều kiện biên , gi¸ trÞ nh- d-íi ®©y: 
HDHDDD γγ 221,1;220,1;0 4231 =−=== 
 Khi đó: θγγθϕ 3cos]221,1220,1[),( 48,434,31 HrHrr +−= ; (27) 
 Khi biết ),(1 θϕ r cho trường hợp biến dạng phi tuyến và ),(1 θϕ r cho trường hợp biến dạng 
tuyến tính, ta xác định được các 11 , θσσ r và 1θτ r theo (19) 
 Để xác định θθ τσσ rr ,, theo (17) ta xác định h . Với biên là hình vòm thì 1,01 =C , vậy 
099,0
1,01
1,0
1 221
1 =+=+= C
Ch . 
(xấp xỉ 10 lần bán kính công trình ) 
trên biên công trình
trên biên công trình
Science & Technology Development, Vol..9, No.4 - 2006 
Trang 54 
 Từ đó : 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂−+=
∂
∂+∂
∂+=
∂
∂+=
 )]1([099,0
]11[099,0
 099,0
10
1
2
1
2
2
0
2
1
2
0
θ
ϕττ
ϕ
θ
ϕσσ
ϕσσ
θθ
θθ
rr
rrr
r
rr
rr 
Với ),(1 θϕ r lấy theo (26) khi đất đá biến dạng phi tuyến và theo (27) khi đất đá biến dạng 
tuyến tính. 
 Kết quả tính toán số θσ t¹i mét sè ®iÓm ®Æc tr-ng (cho công trình dạng vòm :n= 3, 
1,01 =C ,p=0, mrmHmT 5,10,/2 3 ===γ ) cho trong bảng 2. 
Bảng 2 
)( θθ σσ K 
Đất đá biến dạng tuyến 
tính m =0 
Đất đá biến dạng phi 
tuyến m =0,6 
Tọa độ θ , 
radian θ3cos 
tt
θσσ phtθσσ 
ttpht KK θθ σσ /
0 1 26.74785 19.86858 0.7427 
8
π 0.38268 10.23595 7.602779 0.7427 
6
π 0 0 0 
4
π -0.707106 -18.9137 -14.0488 0.7427 
3
π -1 -26.7489 -19.8685 0.7427 
2
π 0 0 0 
3. KẾT LUẬN 
[1]. Sử dụng thông số bé cho phép tuyến tính hoá bài toán xác định ứng suất quanh công 
trình ngầm có biên không tròn xây dựng trong đất đá có biến dạng phi tuyến nhờ vậy có thể tìm 
nghiệm giải tích của bài toán như trình bầy trên đây. 
[2]. Người ta khai thác biến dạng phi tuyến của đất đá trong xây dựng công trình ngầm bằng 
việc tạo cho đất đá xung quanh được biến dạng vượt giới hạn đàn hồi bằng các giải pháp kỹ 
thuật và công nghệ trong xây dựng ngầm như: phương pháp đào nhiều giai đoạn; sử dụng 
phương pháp đào hầm mới của áo ; bằng cách đặt vỏ chống sau một thời gian để lưụ không hay 
chống tạm; bằng cách sử dụng vỏ chống linh hoạt về kích thước;..Những giải pháp này được 
ứng dụng rộng rãi trong ngành xây dựng ngầm. 
[3]. Khi kể đến biến dạng phi tuyến ( ví dụ dạng 12 += mBτδ trong bài viết này) ứng suất trên 
biên công trình sẽ nhỏ hơn so với trường hợp biến dạng đàn hồi ( như tính toán minh hoạ 
trong bài viết này thì ttpht KK θθ σσ / = 0.7427; giảm 25,73%). Tức khi khai thác tính biến dạng phi 
tuyến(đàn-dẻo chẳng hạn) ta sẽ tiết kiệm được vật liệu làm vỏ chống công trình so với trường 
hợp chỉ xem xét biến dạng đàn hồi. 
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9,Số 4-2006 
Trang 55 
[4]. Tuy nhiên do yếu tố kỹ thuật-công nghệ của công trình trong khai thác và sử dụng thì ta 
chỉ khai thác một phần biến dạng phi tuyến của đất đá đến một giới hạn nào đó. Giá trị giới hạn 
đó cần được nghiên cứu trong một công trình độc lập khác. 
THE STRESS AROUND UNDERGROUND STRUCTURE CONSTRUCTIONS 
IN NONLINEARRLY DEFORMED SOIL 
Nguyen Xuan Man (1), Pham Thanh Tien (1) 
Nguyen Minh Tuan (2), Nguyen Xuan Tung (3) 
(1) Institute of Applied Mechanics, (2) Institute of Mechanics; 
(3) Hanoi University of Mining and Geology 
 ABSTRACT: The calculation of the supporting shells for underground constructions 
must be exact. The over safe caculation will lead to the waste of materials. This paper 
computes the stress on the boundary of underground structures in two cases : (1) the soil 
around the vault is considered with elastic deformation model; (2) the soil around the vault is 
considered with nonlinear deformation model. The use of parameterize method allows to 
linearization to the boundary of no round vaults. The results showed the nonlinear deformation 
model has helped to decrease stress around the boundary of the constructions in comparision 
with the elastic deformation model. The numerial calculations for the boundary of the vault 
structures show that the stress on the boundary struture in the nonlinear deformation model 
decrease 25,73% compared to the results from the elastic deformation model.. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Phúc Nhân, Nghiên cứu các tính chất cơ lý của đá trong xây dựng công trình 
ngầm và mỏ, Đề tài khoa học cấp bộ, Trường ĐH Mỏ – Địa chất. Hà Nội, 1998. 
[2]. Xavin G.N, Phân bố ứng suất quanh lỗ khoét, NXB “Naukova đumka”. Kiev, 1968. 
[3]. J.C. Erjanov, Ổn định các lò bằng trong khối đá phân lớp, NXB “khoa học”. Alma-Ata, 
1971.