Tần số dao động riêng mờ của kết cấu khung thép phẳng với độ cứng liên kết và khối lượng có dạng số mờ tam giác

KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 33 
TẦN SỐ DAO ĐỘNG RIÊNG MỜ CỦA KẾT CẤU 
KHUNG THÉP PHẲNG VỚI ĐỘ CỨNG LIÊN KẾT VÀ 
KHỐI LƯỢNG CÓ DẠNG SỐ MỜ TAM GIÁC 
ThS. TRẦN THANH VIỆT 
Trường Đại học Duy tân 
PGS. TS. VŨ QUỐC ANH 
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
GS. TS. LÊ XUÂN HUỲNH 
Trường Đại học Xây dựng 
Tóm tắt: Bài báo giới thiệu các thuật toán xác 
định tần số dao động riêng mờ khung thép phẳng, 
độ cứng liên kết dầm - cột, cột - móng và khối 
lượng được cho dưới dạng số mờ tam giác. 
Phương pháp phần tử hữu hạn – liên kết đàn hồi 
tiền định, kết hợp phương pháp mặt phản ứng 
(RSM) trong lý thuyết thống kê toán học được áp 
dụng cho bài toán với số mờ tam giác cân. 
Phương pháp tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa 
vi phân (DE) trên mô hình phần tử hữu hạn được 
áp dụng cho bài toán với số mờ tam giác bất kỳ. 
Các ví dụ số thể hiện được ưu điểm của các thuật 
toán ứng dụng cho khung thép phẳng mười ba 
tầng, ba nhịp. 
Từ khóa: khung thép, tần số dao động riêng, 
liên kết mờ, phương pháp mặt phản ứng, phương 
pháp phần tử hữu hạn mờ, thuật toán tiến hóa vi 
phân. 
1. Đặt vấn đề 
Khi phân tích dao động kết cấu, việc xác định 
tần số dao động riêng là một bước quan trọng. 
Đối với kết cấu khung thép liên kết nửa cứng, độ 
cứng của các liên kết ảnh hưởng nhiều đến tần 
số dao động riêng. Tuy nhiên, việc xác định độ 
cứng của liên kết, trong thực tế, dựa vào cấu tạo 
cụ thể, chi tiết, đặc trưng vật liệu của mỗi liên kết, 
rất khó xác định một cách tuyệt đối chính xác. Vì 
vậy có thể xem độ cứng của các liên kết này là 
những đại lượng không chắc chắn và việc biểu 
diễn mức cứng của các liên kết bằng số mờ là 
hợp lý [1,3]. Ngoài ra, các yếu tố đầu vào, đặc 
biệt là khối lượng kết cấu cũng ảnh hưởng nhiều 
đến tần số dao động riêng và thể hiện sự không 
chắc chắn nên có thể mô tả bởi các số mờ. 
Trong những năm gần đây, một số tác giả 
khác đã thực hiện phân tích tĩnh kết cấu với liên 
kết mờ [1,3]. Tuy nhiên, việc xác định tần số dao 
động riêng mờ của khung thép liên kết nửa cứng 
chưa thấy công bố. Đối với khung liên kết cứng, 
bài báo [4] đã phân tích phần tử hữu hạn mờ dao 
động tự do dựa trên phương pháp mặt phản ứng 
(RSM) cải tiến với hàm thay thế là đa thức bậc 
hai đầy đủ, khối lượng kết cấu, các đặc trưng 
hình học, đặc trưng cơ học có dạng số mờ tam 
giác cân. Việc sử dụng RSM cho thấy tính hiệu 
quả đối với các bài toán kết cấu phức tạp có biến 
mờ lớn, tuy nhiên cho đến hiện nay RSM chỉ thực 
hiện được với bài toán có số mờ tam giác cân. 
Đối với bài toán có số mờ tam giác bất kỳ, việc 
phân tích mờ kết cấu sẽ tiến hành theo một 
hướng tiếp cận khác. Trong [5,6,7], tác giả đã đề 
xuất thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – một thuật 
toán tìm kiếm hiệu quả và đơn giản cho việc tối 
ưu toàn cục trên không gian liên tục, từ đó vận 
dụng vào việc phân tích kết cấu mờ bằng 
phương pháp tối ưu mức α. Trong [2], tác giả đã 
xác định tần số dao động riêng khung thép phẳng 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
34 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 
có liên kết đàn hồi ở hai đầu dầm bằng phương 
pháp phần tử hữu hạn và khảo sát sự thay đổi 
tần số dao động riêng theo sự thay đổi của độ 
cứng liên kết. 
Trong bài báo này, tác giả tiến hành tính toán 
tần số dao động riêng mờ khung thép phẳng có 
độ cứng liên kết mờ và khối lượng mờ bằng hai 
cách tiếp cận. Cách thứ nhất dựa trên phương 
pháp phần tử hữu hạn tiền định, kết hợp phương 
pháp mặt phản ứng để xử lý đầu vào độ cứng 
liên kết mờ và khối lượng mờ để thu được kết 
quả tần số dao động riêng mờ. Cách giải này 
được thực hiện tương tự như cách trong [4], 
nhưng phần tử hữu hạn được mở rộng với liên 
kết nửa cứng tuyến tính trong [2]. Cách thứ hai 
dựa trên mô hình phần tử hữu hạn, kết hợp tối 
ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân là thuật 
toán tối ưu theo quần thể tương tự thuật toán di 
truyền (GA) nhưng đơn giản và hiệu quả hơn. Hai 
cách tiếp cận nêu trên có cách giải khác nhau. 
Trong cách giải thứ nhất liên kết mờ dạng tam 
giác không cân chưa được xét đến, đây là lợi thế 
của thuật toán tiến hóa vi phân DE kết hợp tối ưu 
mức α ở phương pháp thứ hai. Việc so sánh hai 
cách tiếp cận được thực hiện thông qua ví dụ 
bằng số, xác định tần số dao động riêng mờ kết 
cấu khung thép phẳng mười ba tầng – ba nhịp 
với đầu vào có dạng số mờ tam giác cân. Kết quả 
nhận được có mức độ sai lệch không đáng kể. 
Qua đó, phương pháp tối ưu mức α với thuật 
toán tiến hóa vi phân DE được sử dụng với đầu 
vào mờ, trong đó xét liên kết mờ ở hai mức đầu 
và cuối có dạng số mờ tam giác không cân. Kết 
quả theo cách giải này cũng được so sánh với lời 
giải tiền định ở SAP 2000 khi xét khung có liên 
kết khớp và ngàm lý tưởng. 
2. Mô hình phần tử hữu hạn với liên kết đàn hồi 
Khảo sát kết cấu khung thép phẳng, có liên kết 
dầm – cột và chân cột – móng là liên kết nửa cứng 
với quan hệ mô men và góc xoay đàn hồi tuyến 
tính (còn gọi là liên kết đàn hồi), độ cứng của các 
liên kết là ki, các tần số dao động riêng ωi được 
xác định từ hệ phương trình tần số như sau: 
[ ] [ ]( )ω− =2det 0K M (1) 
trong đó [K], [M] - ma trận độ cứng và ma trận 
khối lượng của khung. 
Xét phần tử khung hai đầu liên kết đàn hồi, có 
độ cứng liên kết ở hai đầu là k1 và k2, mô đun đàn 
hồi vật liệu E, diện tích tiết diện A, mô men quán 
tính I, mật độ khối lượng m phân bố trên phần tử 
như hình 1. 
1
L
k2
E, A, I, m1
k
2
Hình 1. Phần tử khung hai đầu liên kết đàn hồi 
Theo [2], ma trận độ cứng và ma trận khối 
lượng của phần tử thanh hai đầu liên kết đàn hồi 
trong mô hình này được xác định như sau: 
[ ] [ ][ ]=el eK K T (1a) 
[ ] [ ] [ ][ ]= Tel eM T M T (1b) 
với [Ke], [Me] - ma trận độ cứng và ma trận 
khối lượng của phần tử thanh hai đầu liên kết 
cứng, [T] - ma trận chuyển được lấy ở [2]. 
Tiến hành triển khai (1a) và (1b) ta được ma 
trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử như 
sau: 
 
 
 
 
 
 =
 
− 
 
 
 
 
22
32 33
52 53 55
62 63 65 66
0
0
0 0
0 0
0 0
el
EA
L
k symmetric
k k
K
EA EA
L L
k k k
k k k k
 (2) 
trong đó: ( )
( )
+ +
= =
−
1 2 1 2
22 55 3
1 2
12
4
s s s sEIk k
L s s
 (2a) 
( )
( )
+
=
−
1 2
32 2
1 2
26
4
s sEIk
L s s
 (2b) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 35 
( )= = −
1
33 63
1 2
122
4
sEIk k
L s s
 (2c) 
( )
( )
+ +
= −
−
1 2 1 2
52 3
1 2
12
4
s s s sEIk
L s s
 (2d) 
( )
( )
+
= −
−
1 2
53 2
1 2
26
4
s sEIk
L s s
 (2e) 
( )
( )
+
= − =
−
2 1
62 65 2
1 2
26
4
s sEIk k
L s s
 (2f) 
( )= −
2
66
1 2
12
4
sEIk
L s s
 (2g) 
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
2
22
32 33
2 2 2
52 53 55
62 63 65 66
140
0
0
420 70 0 0 140
0 0
0 0
el
d
m symmetric
m mmALM
d d d
m m m
m m m m
 (3) 
Trong đó: = − 1 24d s s (3a) 
 ( )= + + − − − + + +2 2 2 2 2 222 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 24 60 224 32 196 328 55 32 50 32m s s s s s s s s s s s s (3b) 
 ( )= + − − + +2 2 2 2 232 1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 224 64 160 86 32 25m L s s s s s s s s s s (3c) 
 ( )= − − − − + − + +2 2 2 2 2 253 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 560 28 64 28 184 5 64 5 41m s s s s s s s s s s s s (3d) 
 ( )= − − − − − +2 2 2 2 263 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2392 100 64 128 38 55m L s s s s s s s s s s (3e) 
 ( )= − +2 2 2 2 233 1 1 2 1 24 32 31 8m L s s s s s (3f) 
 ( )= − − − − +2 2 2 2 253 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2392 100 64 128 38 55m L s s s s s s s s s s (3g) 
 ( )= − − +2 2 2 2 263 1 1 2 1 2 1 2124 64 64 31m L s s s s s s s (3h) 
 ( )= + + − − − + + +2 2 2 2 2 255 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 14 60 224 32 196 328 55 32 50 32m s s s s s s s s s s s s (3i) 
 ( )= − + − − + +2 2 2 2 265 2 2 1 2 2 1 2 1 1 22 224 64 160 86 32 25m L s s s s s s s s s s (3j) 
 ( )= − +2 2 2 2 266 2 2 1 1 24 32 31 8m L s s s s s (3k) 
Với si = Lki /(3EI+Lki) - được gọi là hệ số độ 
cứng của liên kết tại đầu i (i = 1,2). Hệ số si này 
thay đổi từ 0 (khớp lý tưởng) đến 1 (ngàm lý 
tưởng) tương ứng với độ cứng của liên kết ki thay 
đổi từ 0 đến vô cùng. 
Trong hệ phương trình (1), khi các đại lượng 
khối lượng đặt vào kết cấu và độ cứng của liên 
kết là các số mờ, do đó kết quả đầu ra tần số dao 
động riêng cũng là các số mờ. Các liên kết mờ đã 
được thể hiện trong một số nghiên cứu trước đây 
[1,3]. Hình 2 minh họa hàm thuộc hệ số độ cứng 
mờ của liên kết với mười một mức cứng được 
đánh số từ 0 đến 10, trong đó mức cứng 0 tương 
ứng với liên kết khớp (si = 0), mức cứng 10 
tương ứng với liên kết ngàm (si = 1), các mức 
cứng từ 1 đến 9 tương ứng với liên kết đàn hồi. 
Hình 2. Hàm thuộc tập mờ hệ số độ cứng của liên kết với mười một mức cứng 
(s )
1
µ
0.3
3 6
0.65 0.7
9
0 0.6 1
52 8
0.150.1 0.5 0.9
41
0.350.2 0.4 0.8 0.85
0 107
i
0.25 0.75
si
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
36 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 
Theo [3], các mức cứng thể hiện sự mô tả về 
mặt ngôn ngữ tương ứng với các kiểu liên kết 
nửa cứng theo tiêu chuẩn AISC (Mỹ). Trong đó 0-
khớp lý tưởng (khớp tuyệt đối), 1- rất khớp (kiểu 
liên kết: single web angle), 2- hầu hết khớp (kiểu 
liên kết: single web plate), 3- khá khớp (kiểu liên 
kết: double web angle), 4- ít nhiều khớp (kiểu liên 
kết: header plate), 5- nửa cứng nửa khớp (kiểu 
liên kết: top and seat angle), 6- ít nhiều cứng 
(kiểu liên kết: top plate & seat angle), 7- khá cứng 
(kiểu liên kết: top & seat plate), 8 -hầu hết cứng 
(kiểu liên kết: end plate), 9- rất cứng (kiểu liên 
kết: t-stub & web angle), 10- cứng lý tưởng (cứng 
tuyệt đối). Các mức cứng này được xem như số 
mờ tam giác với sự lan tỏa 20% ở chân của hệ 
số độ cứng (tương ứng với 0.2). Việc chuyển từ 
độ cứng của các liên kết ki (thay đổi từ 0 đến vô 
cùng) về hệ số độ cứng si (thay đổi từ 0 đến 1) 
giúp việc tính toán được thực hiện một cách dễ 
dàng (trường hợp xuất hiện k tiến đến vô cùng ở 
mức cứng 9 hoặc 10 dẫn đến việc tính toán bằng 
số rất khó khăn trong mô hình phần tử hữu hạn). 
3. Phương pháp mặt phản ứng (RSM) 
Phương pháp mặt phản ứng là phương pháp 
sử dụng hiệu quả trong lý thuyết thống kê được 
dùng để xây dựng hàm phản ứng đầu ra của 
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), thông 
qua việc giải bài toán hồi quy theo một mô hình 
thay thế định trước. Mặt phản ứng chính là biểu 
diễn hình học nhận được khi biến phản ứng được 
quan niệm là hàm của các hệ số hồi quy. Đặc 
điểm của RSM là dựa trên cơ sở một số kết quả 
của phương pháp PTHH tất định để xây dựng 
hàm xấp xỉ thay thế đáp ứng thực của kết cấu, 
sau đó đáp ứng thực của kết cấu được xác định 
thông qua hàm xấp xỉ thay thế này [8], hoặc xác 
định trên cơ sở kết quả của phương pháp PTHH 
tất định đối với các điểm đạt cực trị của các hàm 
xấp xỉ thay thế tại các lát cắt α. 
3.1 Hàm thay thế với các biến mờ chuẩn 
Một số mô hình thay thế thường được sử 
dụng trong lý thuyết thống kê là: mô hình hồi quy 
đa thức, mô hình Kringing, hàm cơ sở hướng tâm 
[9]. Trong các mô hình này, mô hình hồi quy đa 
thức thường được sử dụng để xây dựng hàm 
mặt phản ứng do sự tính toán đơn giản của nó. 
Trong bài báo này, đối với việc xác định tần số 
dao động riêng từ hệ phương trình (1) là đơn 
giản, mô hình hồi quy đa thức bậc hai với các 
biến mờ chuẩn không tương quan được sử dụng 
làm hàm mô hình thay thế như sau: 
( )
= =
= + +∑ ∑ 20
1 1
n n
i i ii i
i i
y X a a X a X (4) 
với Xi là các biến mờ chuẩn, a0 = y(X = 0), ai 
là các hệ số được xác định bởi phương pháp 
bình phương tối thiểu, y(X) thể hiện hàm thay thế 
cho chuyển vị nút và nội lực phần tử của khung. 
Trong bài toán khảo sát, ta giả thiết các đại 
lượng không chắc chắn của khung là các số mờ 
tam giác cân, xi = (a,l,l)LR. Theo lý thuyết thống kê 
và quy tắc chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại 
lượng ngẫu nhiên [10], các biến mờ chuẩn được 
xác định theo công thức 
( )
−
=
/ 3
i
i
x aX
l
 (5) 
Với phép biến đổi trên, từ biến mờ gốc ban 
đầu xi = (a,l,l)LR ta chuyển sang biến mờ chuẩn 
%
iX = (0,3,3)LR. Ở đây, có thể xem biến mờ chuẩn 
là kết quả một phép biến đổi hình học từ biến mờ 
gốc ban đầu, được vận dụng tương tự như biến 
chuẩn trong lý thuyết thống kê toán học. Bài toán 
được thực hiện trong không gian các biến mờ 
chuẩn, do đó không gây ra sai lệch chuyển đổi 
trong quá trình thay thế. 
3.2 Thiết kế mẫu thử, ước lượng sai lệch và 
lựa chọn phương án 
Để hoàn thành hàm đa thức bậc hai thay thế 
của phương trình (4), tất các hệ số ai, aii sẽ được 
xác định bởi việc cực tiểu hóa sự sai lệch giữa 
các dữ liệu đầu ra của hàm thay thế với các dữ 
liệu đầu ra mô hình phần tử hữu hạn tiền định. 
Thông thường, một số mẫu thử với dữ liệu đầu 
vào xác định được thực hiện và hàm thay thế tốt 
nhất nhận được từ việc cực tiểu hóa tổng bình 
phương sai lệch từ các dữ liệu đầu ra. 
Trong RSM, có ba thiết kế mẫu thử thường 
được sử dụng [8]: mẫu siêu lập phương latinh, 
mẫu mặt trung tâm lập phương và mẫu Box-
Behnken. Trong ba mẫu trên, mẫu Box-Behnken 
được đề xuất sử dụng [8] do số lượng mẫu thử 
không quá nhiều, số lượng điểm phản ứng ít hơn 
và trong thực tế các phản ứng max, min thường 
xảy ra trên bề mặt khối lập phương. Trong thiết 
kế mẫu Box-Behnken, các điểm thiết kế nằm tại 
tâm lập phương hoặc tại trung điểm của các cạnh 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 37 
lập phương. Hình 3 thể hiện thiết kế mẫu Box-
Behnken với ba biến số đầu vào. 
-1 -1
0-1
0
0
1
1
1
Hình 3. Thiết kế mẫu Box-Behnken với ba biến số 
Để đánh giá chất lượng của mô hình thay thế 
và lựa chọn phương án phù hợp giữa các 
phương án tính toán ta sử dụng ước lượng sai 
lệch. Có ba phương pháp ước lượng sai lệch 
thường được sử dụng đó là: phương pháp mẫu 
đơn (split sample – SS), phương pháp kiểm tra 
chéo (cross – validation – CV) và phương pháp 
mồi (bootstramping). Trong bài báo này, phương 
pháp kiểm tra chéo rời bỏ một tập được sử dụng 
[11], trong đó mỗi điểm phản ứng được kiểm tra 
một lần và thử k – 2 lần (do mẫu trung tâm đã sử 
dụng để xác định a0). Ước lượng sai lệch của 
phương án thứ j được xác định theo công thức: 
( )−= − →2( )ˆ minjj j jGSE y y (6) 
trong đó GSEj – ước lượng sai của phương 
án thứ j; yj – giá trị đầu ra tại X(j) (được xác định 
theo phương pháp PTHH); −( )ˆ jjy – giá trị ước 
lượng tại X(j) theo phương án thứ j. 
4. Tối ưu mức α với thuật toán tiến hóa vi phân (DE) 
Phương pháp tối ứu mức α được xem như là 
một cách tiếp cận tổng quát cho việc phân tích 
kết cấu mờ. Trong đó, tất cả các biến đầu vào 
mờ được rời rạc hóa thành các khoảng theo các 
mức α tương ứng. Ứng với mỗi lát cắt α, ta có 
khoảng của các biến đầu vào và tìm khoảng các 
giá trị đầu ra bằng các thuật toán tối ưu (tìm max, 
min) khác nhau. Quá trình tối ưu với mỗi mức α 
được chạy trực tiếp trên mô hình phần tử hữu 
hạn và đánh giá giá trị hàm mục tiêu đầu ra nhiều 
lần để đạt đến một lời giải chấp nhận được, làm 
tăng thời gian tính toán. Thuật toán tối ưu tiến 
hóa vi phân (DE), được đề xuất đầu tiên bởi 
Storn và Price (1995), là thuật toán tối ưu dựa 
trên quần thể. DE là một thuật toán đơn giản, dễ 
sử dụng, hội tụ toàn cục tốt hơn và mạnh hơn 
thuật toán di truyền (GA), do đó thích hợp cho 
các bài toán tối ưu khác nhau [6,7]. ... ng 
khoảng [0,1]. 
Bước 2 – Lai ghép: Quần thể mới z được tạo 
ra từ phép lai ghép hai quần thể x và y như sau: 
( ) ( )
( ) ( )
 ≤ =
= 
> ≠ ,
if [0,1]
if [0,1]
j
i
k i
y rand Cr or r i
z
x rand Cr or r i
 (9) 
ở đây, r – số nguyên được chọn ngẫu nhiên 
trong khoảng [1,n], Cr – xác xuất lai ghép được 
chọn trong khoảng [0,1]. 
Bước 3 – Chọn lọc: Trên cơ sở so sánh hai 
quần thể x và z, tiến hành chọn lọc các cá thể có 
giá trị hàm nhỏ hơn, ta được quần thể u như sau: 
<
= 

,
,
if ( ) ( )
if 
j j k i
j
k i
z f z f x
u
x ortherwise
 (10) 
Bước 4 – Tái sinh: Thự hiện phép gán xk(G+1) 
= uk(G) ta được thế hệ mới. 
Quá trình tiến hóa lặp lại từ bước 1 đến bước 
4 tùy theo số vòng lặp cho đến khi ta được giá trị 
chấp nhận được. 
5. Ví dụ minh họa 
Khảo sát khung thép phẳng liên kết đàn hồi 
mười ba tầng – ba nhịp như hình 4. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
38 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 
3.
6 
x 
13
7.0 x 3
TÇng 13
TÇng 2
TÇng 1
TÇng 12
Hình 4. Khung thép mười ba tầng – ba nhịp 
Các số liệu như sau: mô đun đàn hồi E = 
210E+06kN/m2; diện tích mặt cắt ngang và mô 
men quán tính của cột từ tầng một đến tầng bốn: 
Ac1 = 6.52E-02m2, Ic1 = 2.044E-03m4, từ tầng 
năm đến tầng tám: Ac2 = 5.01E-02m2, Ic2 = 
1.469E-03m4, từ tầng chín đến tầng mười ba: Ac3 
= 4.01E-02m2, Ic3 = 1.111E-03m4; diện tích mặt 
cắt ngang và mô men quán tính của dầm: Ad = 
1,83E-02m2, Id = 8.741E-04m4; nhịp dầm Ld = 
7.0m; chiều cao cột Lc = 3.6m; mật độ khối lượng 
phân bố trên cột là m1(T/m3) và dầm là m2(T/m3) 
(kể cả tải trọng từ sàn truyền vào); hệ số độ cứng 
liên kết chân cột là s1 và hai đầu dầm là s2. Với 
khung thép phẳng như trên, trong bài báo này, ba 
tần số dao động riêng mờ đầu tiên ω1, ω2, ω3 
được xác định tương ứng các trường hợp khác 
nhau như sau: 
- Trường hợp 1 (TH1): Xét các đại lượng có 
dạng số mờ tam giác cân, bao 
gồm: ( )=% 1 7.85,0.785,0.785m , ( )=% 2 50,5,5m ; 
hệ số độ cứng liên kết chân cột được lấy ở hình 
2: ( )=%1 0.8,0.1,0.1s ứng với mức cứng 8, ở hai 
đầu dầm: ( )=%2 0.75,0.1,0.1s ứng với mức cứng 7. 
- Trường hợp 2a (TH2a): Xét đại lượng có 
dạng số mờ tam giác không cân là hệ số độ cứng 
liên kết ở hai đầu dầm 2s% ứng với mức cứng 1 
(rất mềm). Các đại lượng khác lấy giá trị tiền 
định, bao gồm: hệ số độ cứng liên kết chân cột s1 
= 1 (ngàm lý tưởng), mật độ khối lượng m1 = 7.85 
và m2 = 50. 
- Trường hợp 2b (TH2b): Các hệ số độ 
cứng được lấy ở trường hợp 2a. Xét thêm hai 
tham số mờ có dạng tam giác cân là 
( )=% 1 7.85,0.785,0.785m và ( )=% 2 50,5,5m . 
- Trường hợp 3a (TH3a): Xét các đại lượng 
có dạng số mờ tam giác không cân là hệ số độ 
cứng liên kết ở chân cột 1s% và hai đầu dầm 2s% có 
cùng mức cứng 9 (rất cứng). Các đại lượng khác 
lấy giá trị tiền định là mật độ khối lượng m1 = 7.85 
và m2 = 50. 
- Trường hợp 3b (TH3b): Các hệ số độ 
cứng được lấy ở trường hợp 3a. Xét thêm hai 
tham số mờ có dạng tam giác cân là 
( )=% 1 7.85,0.785,0.785m và ( )=% 2 50,5,5m . 
Trường hợp 1 được giải theo hai cách: RSM 
(do các biến mờ đầu vào có dạng tam giác cân) 
và DE, có sự so sánh giữa hai cách giải. Các 
trường hợp còn lại được giải theo DE (do biến 
mờ đầu vào có dạng tam giác không cân). Kết 
quả giới hạn nhận được ứng với mức α = 1 có sự 
so sánh với lời giải tiền định theo SAP2000 như 
sau: với trường hợp 2a (s1 = 1, s2 = 0, m1 = 7.85 
và m2 = 50); với trường hợp 3a (s1 = 1, s2 = 1, m1 
= 7.85 và m2 = 50). 
5.1 Giải theo RSM 
Trong trường hợp 1, số biến mờ là bốn (bốn 
biến thiết kế). Theo thiết kế mẫu Box – Behnken 
sẽ có tổng cộng 25 phương án thiết kế. Giá trị tần 
số dao động riêng ω1, ω2, ω3 của các phương án 
thiết kế được xác định bằng phương pháp PTHH 
tất định được lập trình trên Matlab phiên bản 
2015b. Kết quả tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 
được xác định ở bảng 1. Kết quả các hệ số của 
hàm thay thế cho tần số dao động riêng ω1, ω2, 
ω3 được thể hiện ở bảng 2 và kết quả khoảng tần 
số dao động riêng ω1, ω2, ω3 theo RSM ở bảng 3. 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 39 
Bảng 1. Các phương án thiết kế mẫu theo Box-Behnken và 
tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 tương ứng 
STT x1=s1 X1 x2=s2 X2 x3=m1 X3 x4=m2 X4 ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
0 0.90 0 0.75 0 7.850 0 50.00 0 4.993 15.092 26.742 
1 1.00 3 0.85 3 7.850 0 50.00 0 5.417 16.265 28.626 
2 0.80 -3 0.85 3 7.850 0 50.00 0 5.409 16.239 28.577 
3 1.00 3 0.65 -3 7.850 0 50.00 0 4.580 13.951 24.931 
4 0.80 -3 0.65 -3 7.850 0 50.00 0 4.574 13.929 24.888 
5 1.00 3 0.75 0 8.635 3 50.00 0 4.950 14.948 26.488 
6 0.80 -3 0.75 0 8.635 3 50.00 0 4.943 14.924 26.443 
7 1.00 3 0.75 0 7.065 -3 50.00 0 5.045 15.265 27.050 
8 0.80 -3 0.75 0 7.065 -3 50.00 0 5.037 15.241 27.005 
9 1.00 3 0.75 0 7.850 0 55.00 3 4.806 14.540 25.767 
10 0.80 -3 0.75 0 7.850 0 55.00 3 4.799 14.517 25.723 
11 1.00 3 0.75 0 7.850 0 45.00 -3 5.213 15.739 27.889 
12 0.80 -3 0.75 0 7.850 0 45.00 -3 5.205 15.713 27.842 
13 0.90 0 0.85 3 8.635 3 50.00 0 5.363 16.084 28.305 
14 0.90 0 0.65 -3 8.635 3 50.00 0 4.534 13.797 24.653 
15 0.90 0 0.85 3 7.065 -3 50.00 0 5.465 16.426 28.908 
16 0.90 0 0.65 -3 7.065 -3 50.00 0 4.621 14.088 25.174 
17 0.90 0 0.85 3 7.850 0 55.00 3 5.206 15.646 27.536 
18 0.90 0 0.65 -3 7.850 0 55.00 3 4.402 13.420 23.979 
19 0.90 0 0.85 3 7.850 0 45.00 -3 5.647 16.935 29.802 
20 0.90 0 0.65 -3 7.850 0 45.00 -3 4.775 14.526 25.957 
21 0.90 0 0.75 0 8.635 3 55.00 3 4.761 14.390 25.498 
22 0.90 0 0.75 0 7.065 -3 55.00 3 4.845 14.672 25.999 
23 0.90 0 0.75 0 8.635 3 45.00 -3 5.156 15.550 27.554 
24 0.90 0 0.75 0 7.065 -3 45.00 -3 5.263 15.908 28.189 
Bảng 2. Các hệ số của hàm thay thế cho tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 
Các hệ số ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
a0 4.993 15.092 26.742 
a1 0.00121622 0.00405573 0.00762552 
a2 0.13947233 0.38570816 0.61582726 
a3 -0.01578056 -0.05298056 -0.09401944 
a4 -0.06781167 -0.19963333 -0.35363333 
a11 -0.00000608 -0.00002633 -0.00004103 
a22 0.00022142 0.00046672 0.00145480 
a33 0.00007443 0.00028053 0.00050038 
a44 0.00137582 0.00394858 0.00699899 
Bảng 3. Khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3, ứng với từng lát cắt α – trường hợp 1 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
α = 1 4.993 15.092 26.742 
α = 0.8 [4.859; 5.128] [14.708; 15.479] [26.103; 27.388] 
α = 0.6 [4.726; 5.265] [14.328; 15.870] [25.470; 28.041] 
α = 0.4 [4.595; 5.402] [13.951; 16.264] [24.843; 28.699] 
α = 0.2 [4.464; 5.541] [13.577; 16.661] [24.223; 29.364] 
α = 0 [4.335; 5.681] [13.207; 17.061] [23.609; 30.040] 
5.2 Giải theo DE 
Tiến hành chạy bài toán xác định khoảng 
giá trị đầu ra với năm mức α theo thuật toán tối 
ưu tiến hóa vi phân (DE), trong đó số biến 
tương ứng với các trường hợp như sau: 4 biến 
(trường hợp 1 và 3b), 3 biến (trường hợp 2b), 2 
biến (trường hợp 3a) và 1 biến (trường hợp 
2a), kích thước quần thể là 50, hệ số đột biến 
là 0.5, xác xuất lai ghép là 0.9. Kết quả giá trị 
tối ưu đạt được sau 30 lần lặp. Bài toán được 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
40 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 
lập trình trên Matlab phiên bản 2015b. Kết quả 
khoảng giá trị của tần số dao động riêng ω1, ω2, 
ω3 của khung ứng với các lát cắt α được thể 
hiện ở các bảng từ bảng 4 đến bảng 8 tương 
ứng với từng trường hợp. Các trường hợp 2a, 
2b (rất mềm) có tần số dao động riêng nhỏ hơn 
các trường hợp 3a, 3b (rất cứng) là đúng quy 
luật dao động. 
Bảng 4. Khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 1 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
α = 1 4.993 15.092 26.742 
α = 0.8 [4.861; 5.129] [14.713; 15.481] [26.110; 27.391] 
α = 0.6 [4.731; 5.268] [14.342; 15.880] [25.493; 28.058] 
α = 0.4 [4.605; 5.411] [13.980; 16.290] [24.892; 28.743] 
α = 0.2 [4.482; 5.559] [13.627; 16.712] [24.304; 29.448] 
α = 0 [4.361; 5.710] [13.281; 17.145] [23.730; 30.174] 
Bảng 5. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 2a 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
SAP2000 0.74152 4.09152 11.3722 
α = 1 0.73347 4.0724 11.0457 
α = 0.8 [0.73347; 1.1413] [4.0724; 4.7400] [11.0457; 11.6681] 
α = 0.6 [0.73347; 1.3980] [4.0724; 5.3026] [11.0457; 12.2612] 
α = 0.4 [0.73347; 1.5988] [4.0724; 5.7939] [11.0457; 12.8277] 
α = 0.2 [0.73347; 1.7699] [4.0724; 6.2347] [11.0457; 13.3704] 
α = 0 [0.73347; 1.9225] [4.0724; 6.6379] [11.0457; 13.8917] 
Bảng 6. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 2b 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
α = 1 0.73347 4.0724 11.0457 
α = 0.8 [0.72624; 1.1529] [4.0323; 4.7881] [10.9368; 11.7865] 
α = 0.6 [0.71923; 1.4268] [3.9933; 5.419] [10.8312; 12.5141] 
α = 0.4 [0.71241; 1.6490] [3.9555; 5.9760] [10.7258; 13.2308] 
α = 0.2 [0.70578; 1.8453] [3.9187; 6.5001] [10.6287; 13.9396] 
α = 0 [0.69934; 2.0265] [3.8829; 6.9970] [10.5316; 14.6431] 
Bảng 7. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 - trường hợp 3a 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
SAP2000 6.4418 18.5142 32.1314 
α = 1 6.0658 18.0507 31.5079 
α = 0.8 [5.5937; 6.0658] [17.7956; 18.0507] [31.0918; 31.5079] 
α = 0.6 [5.8822; 6.0658] [17.5420; 18.0507] [30.6787; 31.5079] 
α = 0.4 [5.7913; 6.0658] [17.2900; 18.0507] [30.2683; 31.5079] 
α = 0.2 [5.7010; 6.0658] [17.0393; 18.0507] [29.8650; 31.5079] 
α = 0 [5.6112; 6.0658] [16.7898; 18.0507] [29.4552; 31.5079] 
Bảng 8. Kết quả khoảng tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3, - trường hợp 3b 
Lát cắt α ω1 (rad/s) ω2 (rad/s) ω3 (rad/s) 
α = 1 6.0658 18.0507 31.5079 
α = 0.8 [5.9148; 6.1274] [17.6203; 18.2339] [30.7855; 31.8378] 
α = 0.6 [5.7680; 6.1909] [17.2014; 18.4229] [30.0829; 32.1576] 
α = 0.4 [5.6251; 6.2560] [16.7953; 18.6179] [29.3982; 32.4979] 
α = 0.2 [5.4858; 6.3240] [16.3960; 18.8191] [28.7333; 32.8492] 
α = 0 [5.3500; 6.3939] [16.0084; 19.0271] [28.0844; 33.2122] 
Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 
của khung ứng với trường hợp 1 bằng hai cách 
tiếp cận được thể hiện trên hình 5 và hình 6. Qua 
đó cho thấy mức độ sai lệch giữa hai cách tiếp 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 41 
cận là không đáng kể. Các trường hợp TH2a, 
TH2b, TH3a, TH3b được thực hiện theo DE, hàm 
thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2, ω3 được thể 
hiện trên các hình 7 đến hình 10, kết quả nhận 
được các số mờ có dạng bất kỳ tương ứng với 
số mờ đầu vào có dạng tam giác không cân. 
Hình 5. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 ở trường hợp 1 theo phương pháp 
mặt phản ứng (RSM) và thuật toán tiến hóa vi phân (DE) 
 Hình 6. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 ở trường hợp 1 theo phương pháp 
mặt phản ứng (RSM) và thuật toán tiến hóa vi phân (DE) 
 Hình 9. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 theo thuật toán tiến hóa vi phân 
(DE) - trường hợp 3a,3b (TH3a, TH3b) 
Hình 7. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω1, ω2 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – 
trường hợp 2a, 2b (TH2a, TH2b) 
Hình 8. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 theo thuật toán tiến hóa vi phân (DE) – 
trường hợp 2a, 2b (TH2a, TH2b) 
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 
42 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 2/2016 
6. Kết luận 
Bài báo đã đề xuất hai cách giải xác định tần 
số dao động riêng mờ khung thép phẳng có liên 
kết mờ, trong đó độ cứng liên kết dầm – cột, chân 
cột – móng và khối lượng có dạng số mờ tam 
giác cân và không cân. Từ các kết quả của ví dụ 
minh họa, ta có một số nhận xét như sau: 
a. Việc phân tích phần tử hữu hạn mờ dựa 
trên phương pháp mặt phản ứng (RSM), kết quả 
thể hiện tần số dao động riêng mờ của kết cấu 
bằng cách áp dụng phương pháp chuyển đổi với 
mô hình thay thế là đa thức bậc hai. Cách giải 
này phù hợp với các biến mờ đầu vào có dạng 
tam giác cân. Qua khảo sát một khung thép 
phẳng mười ba tầng – ba nhịp với số lượng phần 
tử khá lớn và số biến mờ nhiều cho thấy hiệu quả 
của việc áp dụng phương pháp này. Bài toán này 
cũng được thực hiện bởi cách giải khác bằng 
việc sử dụng phương pháp tối ưu mức α với 
thuật toán tiến hóa vi phân (DE), kết quả so sánh 
tần số dao động riêng mờ theo hai cách giải 
chênh lệch nhau không đáng kể. 
b. Trên cơ sở kết quả chính xác khi giải theo 
DE ở trường hợp 1, bài báo đã mở rộng cho các 
trường hợp khác với các biến mờ đầu vào có 
dạng tam giác bất kỳ, trong đó có biến mờ được 
mô tả dưới dạng số mờ tam giác không cân. Kết 
quả ví dụ cho thấy lợi thế của thuật toán tối ưu 
mức α kết hợp DE so với RSM kết hợp GA khi sử 
dụng phương pháp phần tử hữu hạn liên kết đàn 
hồi với hệ nhiều bậc tự do và biến mờ tam giác 
không cân. Các trường hợp giới hạn theo DE 
cũng đã được so sánh với lời giải tiền định theo 
SAP2000 khẳng định hơn nữa độ chính xác và 
lợi thế của cách giải này. 
c. Việc sử dụng mô hình liên kết đàn hồi tuyến 
tính đơn giản, phù hợp với giả thiết hệ có chuyển 
vị nhỏ. Trường hợp xét chuyển vị lớn, quan hệ 
mô men – góc xoay (M - θ) dạng phi tuyến, cần 
được tiếp tục nghiên cứu. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Lê Xuân Huỳnh, Lê Công Duy (2006). 
“Phương pháp đánh giá độ tin cậy mờ của kết 
cấu khung”, Tạp chí xây dựng. 
[2]. Vũ Quốc Anh (2012). “Tính toán và thiết kế 
khung thép liên kết đàn hồi”, 52 – 79, Nhà xuất 
bản xây dựng, Hà Nội. 
[3]. Ali Keyhani, Seyed Mohammad Reza Shahabi 
(2012). “Fuzzy connections in structural analy-
sis”. ISSN 1392 – 1207, MECHANIKA, Volume 
18(4): 380-386. 
[4]. Nguyen Hung Tuan, Le Xuan Huynh, Pham 
Hoang Anh (2015). “A fuzzy finite element ai-
gorithm based on response surface method for 
free vibration analysis of structure”, Vietnam 
Journal of Mechanics, VAST, Vol. 37, No. 1: 
17 – 27. 
[5]. Storn, R. and Price, K. (1995). “Differential 
Evolution – A Simple and Efficient Adaptive 
Sheme for Global Optimization over Conti-
nuous Spaces”, International Computer 
Science Institute, Berkeley. 
[6]. Storn, R. and Price, K. (1997). “Differential 
Evolution – A Simple and Efficient Heuristic for 
Global Optimization over Continuous Spaces”, 
Journal of Global Optimization 11, Nether-
lands: 341–359. 
[7]. Anh Hoang Pham, Thanh Xuan Nguyen and 
Hung Van Nguyen (2014). “Fuzzy Structural 
Analysis Using Improved Differential Evolution 
Optimization”, International Conference on 
Engineering Mechanic and Automation 
(ICEMA 3) Hanoi, October 15-16: 492 – 498. 
[8]. M. De Munck, D. Moens,W. Desmet, and D. 
Vandepitte (2008). “A response surface based 
optimisation algorithm for the calculation of 
fuzzy envelope FRFs of models with uncertain 
properties”, Computers & Structures, 86, (10): 
1080–1092. 
[9]. R. L. Mason, R. F. Gunst, and J. L. Hess 
(2003). “Statistical design and analysis of ex-
periments: With applications to engineering 
and science”, JohnWiley & Sons, Vol. 474. 
[10]. Du Bois D., Foulloy L., Mauris G. and Prade 
H. (2004). “Probability – Possibility Transfor-
mations, Triangular Fuzzy Sets, and Probabil-
istic Inequalities”. Reliable Computers 10, 
Kluwer Academic Publishers, Printer Nether-
lands: 273 – 297 
[11]. Hanss M. (2005). “Applied fuzzy arithmetic - 
An introduction with engineering appplica-
tions”. Berlin Springer. 
Ngày nhận bài:03/6/2016. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối:30/6/2016. 
Hình 10. Hàm thuộc tần số dao động riêng ω3 theo thuật toán tiến hóa vi phân 
(DE) - trường hợp 3a,3b (TH3a, TH3b)