Sử dụng thiết bị điều chỉnh khối lượng để hạn chế chuyển vị ngang của kết cấu

KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
SỬ DỤNG THIẾT BỊ ĐIỀU CHỈNH KHỐI LƯỢNG ĐỂ 
HẠN CHẾ CHUYỂN VỊ NGANG CỦA KẾT CẤU 
ThS. PHÙNG NGỌC DŨNG 
Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
Tóm tắt: Đối với các kết cấu có chiều cao lớn chịu tải trọng động như gió hay động đất, để đảm bảo chuyển 
vị ngang nằm trong giới hạn cho phép thì kết cấu phải có một kích thước hình học nhất định nào đó tạo ra độ 
cứng đủ lớn và sẽ hạn chế được chuyển vị ngang. Việc tăng kích thước tiết diện dẫn đến nhiều hệ lụy như: chi 
phí tăng lên, biện pháp thi công phức tạp hơn, Ngoài ra, dưới tác dụng của tải trọng động lên kết cấu cao 
tầng như ống khói, tháp hay nhà nhiều tầng thì độ cản của bản thân kết cấu (damping) có ảnh hưởng rất quan 
trọng tới ứng suất cũng như chuyển vị ngang của kết cấu. Bài báo này đề cập đến hai vấn đề chính: hạn chế 
chuyển vị ngang của kết cấu có chiều cao lớn nhờ sử dụng một thiết bị điều chỉnh khối lượng (Tuned Mass 
Damper - TMD); tầm quan trọng của độ cản trong kết cấu tới phản ứng của chúng khi chịu tải trọng động. 
1. Giới thiệu 
a. Kết cấu được nghiên cứu 
Kết cấu là một ống khói bằng thép, thân là hình trụ tròn. Tiết diện ngang hình vành khuyên và không đổi 
trên suốt chiều cao. Ống khói được xem như một conson ngàm tại móng (cốt 0.00). Về mặt kết cấu, ống khói 
được mô phỏng như một dầm Bernoulli, bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc, lực cắt. Vật liệu thép xem như làm 
việc trong giới hạn đàn hồi. Các tính chất của ống khói cho trong bảng sau: 
Bảng 1. Các tính chất của ống khói bằng thép 
Chiều 
cao (m) 
Đường kính 
ngoài (m) 
Đường kính 
trong (m) 
Chiều dày 
(m) 
Mô đun đàn 
hồi E (GPa) 
Khối lượng 
riêng (kg/m3) 
Mô men quán 
tính (m4) 
Mô men chống 
uốn (m3) 
38 3.6 3.585 0.015 200 7800 2.18491 1.21384 
b. Lực tác dụng 
Tải trọng tác dụng lên kết cấu chỉ là gió. Tải gió bao gồm hai thành phần tĩnh và động. Thành phần tĩnh 
được xem như lực tĩnh không thay đổi theo thời gian. Việc thiết kế hay phân tích kết cấu dưới tác dụng của tải 
tĩnh này khá đơn giản, nên không đề cập trong khuôn khổ bài báo. Thành phần động có thể được mô hình theo 
một số phương pháp khác nhau [4], [5]. Khi tác dụng vào kết cấu mỏng và cao như ống khói, cơ chế gió cuộn 
(vortex shedding) thường chiếm ưu thế [5]. Nó có thể được mô tả bằng một hàm sine của thời gian và vận tốc 
[5]. Vận tốc của gió thay đổi trong khoảng (0:100) km/h, tức là (0:27.8) m/s. Hàm của tải trọng gió này được thể 
hiện như sau: 
 0( ) sin(2 )sp t p D n t (1) [4], [5] 
Trong đó: p0 – áp lực động lực chính - 20
1
2 air d
p C U (2) - air = 1.2kg/m3; Cd = 0.5; ( air - tỷ trọng không 
khí và Cd - hệ số); U – vận tốc trung bình của gió; ns – tần số của gió khi lốc - s
SUn
D
 (3) [5]; với S = 0.4; D – 
kích thước của vật chắn gió. 
c. Thiết bị điều chỉnh khối lượng - Tuned Mass Damper (TMD) 
TMD là một thiết bị được gắn vào đỉnh của ống khói nhằm hạn chế chuyển vị của nó khi chịu tải trọng động. 
Các tính chất của TMD bao gồm: độ cứng (k), khối lượng (m) và độ cản (damping-c). Trong thực tế các giá trị 
này sẽ được xác định chính xác sau khi tính toán phản ứng của kết cấu với sự có mặt hoặc không có mặt của 
TMD. Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài báo này, các giá trị của khối lượng và tỷ số cản sẽ được giả sử trước, 
sau đó dựa vào việc thay đổi giá trị độ cứng của TMD, ta có thể xác định được giá trị độ cứng hợp lý của TMD 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
sao cho chuyển vị ngang của TMD cũng như chuyển vị ngang của toàn bộ ống khói nhỏ hơn một giá trị cho 
phép nào đó (tương đương với việc tính toán theo trạng thái giới hạn 2). Giá trị khối lượng m của TMD thường 
nhỏ hơn 300kg, và hệ số cản damping () khoảng 5%-10% [1-3]. 
d. Các yêu cầu kiểm tra 
Dưới tác dụng của tải trọng gió, các phản ứng của kết cấu (như chuyển vị, vận tốc, gia tốc, nội lực,...) sẽ 
thay đổi theo thời gian và phụ thuộc vào vận tốc gió. Các tiêu chí sẽ được kiểm tra trong bài báo: 
- Xác định chuyển vị lớn nhất của ống khói với sự có mặt hoặc không có mặt của TMD; 
- Kiểm tra kết cấu với các tính chất khác nhau của TMD, với điều kiện ràng buộc là: chuyển vị ngang của 
TMD phải nhỏ hơn 20cm và chuyển vị ngang của kết cấu phải nhỏ hơn 4cm; 
- Kiểm tra ứng suất cực đại tại đáy trong hai trường hợp: không kể đến độ cản của kết cấu và có kể đến độ 
cản của kết cấu. Ứng suất cực đại tại chân ống khói phải nhỏ hơn 50MPa. 
2. Các phương pháp giải và bước giải 
Do tải trọng gió thay đổi theo thời gian và vận tốc dưới dạng hàm hình sin, phản ứng của kết cấu là động 
học. Để xác định phản ứng các điểm tại mọi mặt cắt của kết cấu, có thể sử dụng một số phương pháp sau: 
a. Phương pháp 1 
Xác định trực tiếp chuyển vị từ phương trình dao động: ống khói có thể được xem như một dầm conson 
Bernoulli nên phương trình chuyển động của một phân tố vô cùng bé (không có cản) là: 
22 2
2 2 2
,( , ) ,
x tx t EI p x t
t x x

  
   
(4) [1 - 3] 
Trong đó: - khối lượng riêng của dầm;  - chuyển vị của dầm; x – hướng trục của dầm; EI – độ cứng uốn 
của dầm; t – thời gian và p – tải trọng phân bố phụ thuộc vào thời gian và tọa độ. Rõ ràng rằng, việc giải trực 
tiếp phương trình dao động trên không phải là công việc dễ dàng vì dầm có khối lượng phân bố nên số bậc tự 
do của dầm là vô hạn. 
b. Phương pháp 2 
Xác định phản ứng của kết cấu nhờ sử dụng phân tích phương thức (Modal Analysis): chuyển vị của dầm 
sẽ được chia thành hai thành phần độc lập ( , ) ( ) ( )x t x t   (5); bằng tích của hàm dạng (x) (phụ thuộc vào 
tọa độ hình học của vị trí xác định chuyển vị) và tung độ của giá trị chuyển vị đó (phụ thuộc vào thời gian - (t)). 
Phương trình dao động tự do của dầm được chia thành hai phương trình có hai biến số độc lập (không tính đến 
độ cản trong hai phương trình này): 
0)()(0)()( 22
22
4
4


  

 t
t
tvàx
EIx
x

  (6)[1],[2] 
Giải hai phương trình (5) và (6)Error! Reference source not found., ta xác định được các tính chất động 
học của dầm (các chu kỳ, tần số, dạng dao động riêng). Nhờ vào tính trực giao của các dạng dao động, dầm 
với số bậc tự do vô hạn có thể được chuyển thành dầm với một bậc tự do trong mỗi dạng dao động. Độ cứng, 
khối lượng hay độ cản damping và các lực tác dụng sẽ được chiếu lên mỗi dạng dao động riêng để xác định độ 
cứng chuẩn hóa, khối lượng chuẩn hóa, các lực chuẩn hóa. Việc giải phương trình tung độ để xác định các giá 
trị của (t) trở nên dễ dàng bởi vì lúc này trong mỗi dạng dao động, hệ trở thành một bậc tự do. Kết hợp tất cả 
các dạng dao động (hoặc chỉ kết hợp một vài dạng cơ bản), ta có thể xác định phản ứng tổng cộng của kết cấu 
[1 - 3]. 
c. Phương pháp 3 
Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với việc phân tích phương thức và phương pháp số: ống khói được 
chia thành nhiều phần tử rời rạc, các phần tử này được xem như là các phần tử dầm Bernoulli. Mỗi phần tử có 
6 bậc tự do ràng buộc bởi các chuyển vị nút. Như vậy, từ một dầm có số bậc tự do là vô hạn sẽ được chuyển 
thành dầm có số bậc tự do hữu hạn. Dựa vào phương pháp phân tích phương thức, ta có thể tính toán hệ có 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
số bậc tự do hữu hạn trong một số dạng dao động cơ bản đầu tiên của kết cấu. Đối với mỗi dạng, phương 
pháp số (phương pháp Newmark [1-3]) sẽ được sử dụng để giải phương trình vi phân dao động của hệ một 
bậc tự do, từ đó sẽ xác định được tung độ k(t) của dạng dao động thứ k nào đó. Sau đó, nhờ việc tổ hợp tất cả 
các dạng (hoặc tổ hợp một số dạng cơ bản đầu tiên) ta có thể xác định được phản ứng tổng cộng của kết cấu. 
d. Phương pháp 4 
Phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với việc áp dụng thẳng phương pháp số để giải hệ nhiều bậc tự do: 
nhờ việc sửa đổi giải thuật Newmark ([1 - 3]) áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do (dạng ma trận), các phản ứng của 
hệ có thể được xác định trực tiếp từ phương trình dao động của hệ nhiều bậc tự do: 
         PvKvCvM  (6) 
Trong đó: M – ma trận khối lượng; C – ma trận cản; K – ma trận độ cứng; P - vector ngoại lực tác dụng tại 
nút; v – vector chuyển vị tại nút của các phần tử. Chuyển vị ngang của ống khói với sự có mặt hay không có 
mặt TMD sẽ được xác định theo giải thuật Newmark thay đổi [1 - 3]. 
e. Trình tự tính toán 
Hai phương pháp số 3 và 4 sẽ được sử dụng để tính toán kết cấu. Các bước để giải được tổng kết trong 
bảng 2. 
Bảng 2. Các phương pháp được sử dụng 
Phương 
pháp số 
Các 
bước 
Sơ đồ các công việc cần thực hiện trong từng bước 
Kết cấu không có TMD 
1 
Chia ống khói thành hữu hạn các đoạn, xác định các đặc trưng của phần tử: các ma trận độ cứng, khối 
lượng, cản. Nối tất cả các ma trận của phần tử để có được ma trận tổng thể của kết cấu: độ cứng K, 
khối lượng M. Áp dụng điều kiện biên vào ma trận kết cấu ta có được các ma trận cuối cùng của kết 
cấu: ma trận độ cứng K1, ma trận khối lượng M1. 
2 
Xác định các trị riêng i, các dạng dao động i của kết cấu bằng giải phương trình 
21 1 0K M . 
Xác định các tính chất động học trong một số dạng cơ bản đầu tiên liên quan tới chuyển vị ngang của 
ống khói (trong trường hợp này, 4 dạng đầu tiên có liên quan tới chuyển vị ngang). 
3 
Xác định ma trận cản của hệ với giả sử rằng nó được xác định theo ma trận cản Rayleight [1] và được 
xác định theo K1 và M1: C1= K1+M1. Các hệ số và  được xác định với giả sử rằng hệ số cản 
trong hai dạng dao động đầu tiên là 1%. 
4 Xác định ma trận lực tác dụng P(U,t) tại các nút phần tử từ các lực phân bố p(u,t). 
5 
Chiếu các ma trận độ cứng, khối lượng, cản của kết cấu và ma trận lực tác dụng tại nút lên bốn dạng 
dao động cơ bản đầu tiên, ta sẽ có được các ma trận độ cứng chuẩn hóa (  1KT ), khối lượng 
chuẩn hóa (  1MT ), cản chuẩn hóa (  1CT ) và ma trận lực đã chuẩn hóa. Các ma trận này là 
các ma trận đường chéo. 
6 
Đối với mỗi dạng, sử dụng phương pháp số (phương pháp Newmark cho hệ một bậc tự do) để giải 
phương trình chuyển động tại mỗi thời điểm t(i) (theo miền thời gian). Kết quả đạt được là tung độ (t) 
tại tất cả các nút của kết cấu. 
7 Xác định phản ứng của kết cấu trong mỗi dạng. 
8 Xác định phản ứng tổng cộng của kết cấu do tất cả các dạng dao động gây ra. 
3 
9 Kiểm tra các điều kiện yêu cầu và kết luận. 
1-4 Giống phương pháp 3. 
5 
Giải trực tiếp phương trình dao động nhờ sử dụng phương pháp gần đúng Newmark cho hệ nhiều bậc 
tự do (dạng ma trận) để xác định phản ứng tổng cộng của kết cấu. 
4 
6 Kiểm tra các điều kiện yêu cầu và kết luận. 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
Kết cấu có TMD 
3 
Phương pháp này không áp dụng được cho kết cấu với TMD vì ma trận cản của kết cấu không phải là ma trận 
đường chéo như trường hợp không có TMD. Do vậy, phương trình tung độ của kết cấu 
(       tUPtKtCtM ,***   , trong đó [M*], [K*] – các ma trận đường chéo, còn [C*] – không 
phải là ma trận đường chéo). 
1-4 Giống phương pháp 3, 4 trong kết cấu không có TMD. 
5 Xác định các tính chất của TMD: k – độ cứng, c – giá trị cản, m – khối lượng. 
6 
Xây dựng lại các tính chất động học của kết cấu nhờ việc nối các K1, M1, C1 trước đây với các tính 
chất động học k, m, c của TMD để đạt được ma trận độ cứng, khối lượng và độ cản mở rộng tổng thể 
K2, M2 và C2. 
7 Giải trực tiếp các phương trình dao động dùng giải thuật Newmark áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do để 
xác định được phản ứng tổng cộng của kết cấu với TMD. 
4 
8 Kiểm tra các điều kiện yêu cầu và kết luận vấn đề. 
3. Kết quả 
3.1. Các tính chất của kết cấu 
Toàn bộ ống khói được chia thành 16 phần tử hữu hạn rời rạc. Như đã giả thiết, mỗi phần tử gồm có hai 
nút với 6 bậc tự do (2 chuyển vị thẳng và 1 chuyển vị xoay tại mỗi nút) và mỗi phần tử là một phần tử dầm 
Bernoulli. Như vậy, tổng cộng số bậc tự do của toàn bộ kết cấu là 51. 
3.1.1.Kết cấu không khi chưa gắn thiết bị TMD 
a. Các ma trận độ cứng và khối lượng 
Các ma trận độ cứng, khối lượng của các phần tử trong dầm có thể được xác định theo một số phương 
pháp như chuyển vị ảo... Sau khi xác định được ma trận này của các phần tử, các ma trận độ cứng và khối 
lượng tổng thể của kết cấu sẽ được xác định bằng cách nối các ma trận phần tử. Với 16 phần tử hữu hạn, các 
ma trận khối lượng và độ cứng của kết cấu (K và M) sẽ có kích thước 51x51. Do ống khói được xem là ngàm ở 
móng nên ba bậc tự do đầu tiên của phần tử thứ nhất (sát chân ống khói) sẽ bằng không. Sau khi áp dụng điều 
kiện biên, ma trận độ cứng và khối lượng của kết cấu sẽ trở thành các ma trận có kích thước 48x48 (K1 và 
M1). 
b. Các chu kỳ, tần số và các dạng dao động cơ bản của kết cấu 
Đặt chuyển vị ngang của ống khói (x,t) theo: ( , ) ( ) ( )x t x t   , để xác định các chu kỳ, tần số và các 
dạng dao động đầu tiên ta cần xác định trị riêng của hệ phương trình: 
  2 ( ) 0K M x  và T=2 / (7) 
Trong đó: K – ma trận độ cứng của kết cấu; ở đây K là K1; M – ma trận khối lượng của kết cấu, ở đây M là 
M1;  - tần số dao động riêng của kết cấu; T – chu kỳ dao động riêng của kết cấu và (x) – dạng dao động 
riêng ứng với tần số  và chu kỳ T. Dễ dàng nhận thấy rằng, để phương trình (8) thỏa mãn với điều kiện là kết 
cấu có dao động dưới tác dụng của lực tức là ((x) 0), vậy hệ phải có nghiệm không tầm thường, do đó, định 
thức của ma trận 2K M phải bằng không. Tức là: 2 2det 0K M K M  . Thông qua ngôn ngữ 
MATLAB với lệnh eig, ta có thể xác định 48 trị riêng i. Sắp xếp 1 T2=2 /2> 
T3=2 /3, ta có thể xác định các tần số và chu kỳ dao động riêng của kết cấu. Tuy nhiên, vì chỉ quan tâm tới 
chuyển vị ngang của ống khói nên ta cần loại bớt các giá trị riêng liên quan tới chuyển vị xoay và chuyển vị dọc 
trục của kết cấu trong các dạng đầu tiên: ở đây 4 dạng dao động đầu tiên, liên quan tới chuyển vị ngang của 
ống khói. Giá trị chu kỳ và tần số của 4 dạng dao động sau khi đã loại bỏ các dạng dao động xoay và dọc trục 
được cho trong bảng 3. Sau khi xác định được 4 tần số của 4 dạng dao động đầu tiên, thay các giá trị tần số i 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
này vào phương trình (8) ta sẽ xác định được 4 vectơ riêng tương ứng với các tần số đó. Hình 1 cho thấy 4 
dạng dao động ngang đầu tiên của conson ống khói. Các dạng dao động này đã được chuẩn hóa với giá trị 
chuyển vị đỉnh của conson (bậc tự do số 46) bằng đơn vị. 
Bảng 3. Chu kỳ và tần số dao động tự nhiên của bốn dạng dao động ngang đầu tiên 
Dạng Tần số(Hz) Chu kỳ (s) 
1/2/3/4 1 = 15.6604/2 =98.1428/3 =274.8128/4 =538.5823 T1 = 0.4/ T2 =0.06/ T3 =0.02/ T4 =0.01 
c. Ma trận cản 
Hình 1. Bốn dạng dao động ngang đã được chuẩn hóa đầu 
tiên 
Hình 2. Chuyển vị ngang tại đỉnh ống khói của bốn dạng 
dao động đầu tiên U =50 km/h 
Như đã đề cập trong bước 5 của bảng 2, ma trận cản của kết cấu sẽ được xem là ma trận cản Rayleight 
[1], [2]. Ma trận cản của kết cấu C1, sẽ được xác định từ các ma trận khối lượng và độ cứng: 
 C1= M1+K1 (8) 
Các hệ số và  sẽ được xác định nhờ giả sử rằng hệ số cản  (daping ratio) trong hai dạng dao động đầu 
tiên sẽ bằng 1%. Chúng ta đã có được tần số dao động riêng của hai dạng dao động đầu tiên 1 và 2. Hệ 
phương trình dao động của kết cấu khi được chiếu lên tất cả các dạng dao động là: 
       tUPtKtCtM ,****   ... hành: 
.. .
1 1 1
.. .
2 2 2
1 0 1 1 1( )
0 0
u u uM C c c K k k P t
m c c k ku u u
     
        
 (17) 
Trong đó: u1 – chuyển vị quy ước của hệ cũ không có TMD; u2 – chuyển vị của TMD; P1(t) – lực quy ước 
tác dụng lên hệ cũ. 
Từ phương trình (17), ta có thể dễ dàng xác định các tính chất cơ học cho hệ mới: ma trận độ cứng: 
1
2
K k k
K
k k
; ma trận khối lượng: 1 02
0
M
M
m
; ma trận cản 12
C c c
C
c c
. 
Cần nhấn mạnh rằng, khi TMD được gắn vào đỉnh của ống khói, nó không chỉ làm thay đổi các tính chất cơ 
học của toàn kết cấu mà còn làm thay đổi các đặc tính cơ học của phần tử trên cùng (phần tử 16) gắn với 
TMD. Do vậy, các giá trị độ cứng K1+k và độ cản C1+c trong phương trình (5) của hệ mới sẽ được tính toán 
bằng tổng của độ cứng k, độ cản c của TMD với độ cứng K1 và độ cản C1 vào bậc tự do số 46 (bậc tự do này 
là tương ứng với chuyển vị ngang tại đỉnh) thuộc phần tử thứ 16. 
3.2. Xác định lực tác dụng lên hệ 
a. Đối với phương pháp 3 
Theo phương pháp này, các lực phân bố sẽ được chuyển thành các lực tập trung tại mỗi nút của mỗi phần 
tử, các lực tập trung này sau đó sẽ được chiếu lên bốn dạng dao động đầu tiên và được gọi là các lực chuẩn 
hóa trong mỗi dạng dao dộng. Giá trị các lực chuẩn hóa tác dụng lên kết cấu trong mỗi dạng dao động được 
xác định theo các bước sau: 
- Chuyển các tải phân bố p(t) thành các lực tập trung Pcnodej(t) = p(t)*l tại mỗi nút phần tử (trong đó: l – chiều 
dài của phần tử). Lực tập trung tại đỉnh ống khói sẽ bằng ½ giá trị tại các nút khác; 
- Chiếu các lực tập trung này lên các dạng dao động riêng để xác định lực tác dụng trong các dạng đó. Ví 
dụ ở dạng thứ i: 
1
( ) ( )
NDOFs
nodej nodej
i i c
j
P t x P t
  (1812) 
(NDOFs – tổng số bậc tự do của hệ; nod - nút). 
b. Đối với phương pháp 4 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
Theo phương pháp này, các lực phân bố do gió sẽ được chuyển thành các lực tập trung tại mỗi nút của 
phần tử. Các giá trị lực tập trung này được tính theo Pcnodej(t) = p(t)*l tại mỗi nút (l – chiều dài phần tử). Lực tập 
trung tại đỉnh cũng chỉ bằng ½ so với tại các nút khác. Cần lưu ý rằng, các lực phân bố do gió này sẽ chỉ được 
chuyển thành các lực tập trung tương ứng với các bậc tự do có chuyển vị ngang trong hệ. Các lực tập trung tác 
dụng theo các chuyển vị khác sẽ bằng không. 
3.3. Các tham số của phương pháp Newmark 
Các tham số của phương pháp này bao gồm các hệ số alpha, delta, bước thời gian DT, số lượng bước thời 
gian Nstep [1 – 3]. Chúng được lựa chọn sao cho phản ứng của kết cấu là ổn định và đảm bảo độ ổn định của 
phương pháp số Newmark. Do đó, tổng thời gian tác dụng của lực phải lớn hơn T1/2 và tỷ số DT/T1 phải nhỏ 
hơn 0.551 [1], [2]. Giá trị của các tham số này được chọn là: alpha=0.25, delta=0.5; DT=0.02s và Nstep =2500. 
3.4. Phản ứng của kết cấu không có TMD 
3.4.1.Chuyển vị ngang tại đỉnh ống khói 
a. Đối với phương pháp 3 
Để xác định phản ứng tổng cộng của kết cấu, ta chiếu các ma trận độ cứng, khối lượng và độ cản lên mỗi 
dạng dao động để xác định các ma trận độ cứng, khối lượng và ma trận cản đã được chuẩn hóa. Sau khi thực 
hiện phép chiếu lên các dạng dao động, phương trình dao động sẽ trở thành phương trình số (9). Các giá trị 
[M*], [K*] và [C*] là các ma trận đường chéo. Các giá trị trên đường chéo của các ma trận chuẩn hóa này được 
xác định cho dạng thứ i như sau:     11* 1 nxi
T
xnii MM  ;     11* 1 nxi
T
xnii CC  ;     11* 1 nxi
T
xnii KK  . 
Rõ ràng, hệ phương trình số (3) là hệ gồm các phương trình độc lập, không phụ thuộc vào nhau. Ta có thể 
xác định vectơ tung độ {(t)}i của dạng thứ i bởi thuật giải số Newmark cho hệ 1 bậc tự do. Ngôn ngữ MATLAB 
được lựa chọn để lập giải thuật này. Tuy nhiên cần nhấn mạnh rằng, tải trọng gió thay đổi theo thời gian và vận 
tốc gió U, do đó để xác định chuyển vị ngang của kết cấu, đầu tiên giá trị vận tốc sẽ được giữ nguyên, sau đó 
sẽ cho vận tốc gió thay đổi (U trở thành vectơ) để xác định giá trị vận tốc gió nguy hiểm. Sau khi xác định được 
giá trị {(t)}i, chuyển vị của kết cấu sẽ được xác định theo ( , ) ( ) ( )x t x t   và tổ hợp tất cả các dạng. Hình 2 
thể hiện giá trị chuyển vị đỉnh của ống khói thay đổi theo thời gian của bốn dạng dao động đầu tương ứng với 
vận tốc gió U = 50km/h=13.89m/s. Từ hình 2 ta thấy rằng, đóng góp của dạng dao động đầu tiên vào chuyển vị 
ngang của hệ là chiếm ưu thế. Ba dạng dao động còn lại ảnh hưởng rất ít tới phản ứng của hệ. Hình 3 cho thấy 
các chuyển vị ngang lớn nhất tại đỉnh của ống khói với giá trị vận tốc gió U thay đổi (từ 0km/h đến 100 km/h). 
Hình 4 thể hiện các giá trị chuyển vị tại đỉnh ống khói của bốn dạng dao động đầu tiên tương ứng với vận tốc U 
= 79.92km/h=22.2m/s. Như vậy, chuyển vị lớn nhất tại đỉnh của ống khói là 0.2515m tương ứng với giá trị vận 
tốc gió U = 22.2m/s (79.92 km/h). Tại U=22.2m/s, tần số của lực gió tác dụng là 2 15.49856SU
D
 , trong 
khi đó, tần số của dạng dao động đầu tiên là 1 = 15.6604. Có thể nhận ra tại giá trị vận tốc gió U=22.2m/s, tần 
số của lực tác dụng gần bằng tần số dao động riêng nguy hiểm nhất của hệ, và hiện tượng cộng hưởng xảy ra. 
Tại giá trị vận tốc này, kết cấu nằm trong dải cộng hưởng. 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
Hình 3. Các chuyển vị ngang lớn nhất tại đỉnh với các giá 
trị vận tốc U khác nhau 
Hình 4. Các chuyển vị ngang tại đỉnh của bốn dạng dao động 
đầu tiên với U = 79.92 km/h 
b. Đối với phương pháp 4 
Hình 5. Giá trị chuyển vị của ống khói tại đỉnh theo thời gian 
với U =50 km/h – Phương pháp 4 
Hình 6. Các chuyển vị ngang của đỉnh ống khói với vận tốc 
gió U =79.92 km/h – Phương pháp 4 
Theo phương pháp này, các phản ứng của kết cấu sẽ được xác định trực tiếp từ phương trình dao động ở 
dạng ma trận nhờ áp dụng trực tiếp giải thuật Newmark cho hệ nhiều bậc tự do. Phương trình dao động của kết 
cấu là: 
         .. .1 1 1 ( )M u C u K u P t (1913) 
Trong đó: Các giá trị M1, C1, K1 và P(t) đã được xác định ở trên. 
Hình 5 thể hiện các chuyển vị của đỉnh ống khói theo thời gian với giá trị vận tốc gió U = 50 km/h = 
13.88889m/s. Các giá trị chuyển vị của đỉnh ống khói với U = 50 km/2 trong phương pháp 4 gần như giống 
phương pháp 3. Hình 6 cho thấy các chuyển vị tại đỉnh của ống khói theo thời gian với vận tốc gió U = 79.92 
km/h=22.2m/s. Tương tự như phương pháp 3, chuyển vị lớn nhất tại đỉnh của ống khói là 0.2515m tương ứng 
với giá trị vận tốc gió U = 22.2m/s (79.92 km/h). Tại U=22.2m/s, tần số của lực gió tác dụng là 
2 15.49856SU
D
 , trong khi đó, tần số của dạng dao động đầu tiên là 1 = 15.6604. Có thể dễ dàng 
nhận ra rằng, tại giá trị vận tốc gió U=22.2m/s, tần số của lực tác dụng gần bằng tần số dao động riêng nguy 
hiểm nhất của hệ, và hiện tượng cộng hưởng xảy ra. 
3.5. Phản ứng của kết cấu với TMD 
Bảng 4. Chuyển vị ngang của TMD và đỉnh ống khói với các giá trị độ cứng, khối lượng khác nhau của TMD 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
Các tính chất của TMD 
Khối 
lượng m 
– kg 
Độ cứng k 
– EI 
Hệ số 
cản  
(%) 
=(k/m)1/2 tần 
số của TMD 
Vận tốc gió 
khi cộng 
hưởng (m/s) 
Chuyển vị lớn 
nhất tại đỉnh ống 
khói khi không có 
TMD (m) 
Chuyển vị lớn 
nhất tại đỉnh ống 
khói khi có TMD 
(m) 
Chuyển vị 
lớn nhất của 
TMD (m) 
14412 6.931 0.1865 0.0467 
28825 9.802 0.1278 0.0829 
43237 12.005 0.0764 0.1070 
57649 13.86 0.0384 0.1187 
72061 15.499 0.0240 0.1490 
79267 16.255 0.0241 0.1471 
300 
108090 
5 
18.98 
22.2 0.2515 
0.0551 0.1550 
400 96082 5 15.499 22.2 0.2515 0.0206 0.1156 
280 67257 5 15.499 22.2 0.2515 0.0247 0.1572 
800 192160 5 15.499 22.2 0.2515 0.0174 0.0644 
Khi kết cấu có thêm thiết bị TMD, các ma trận độ cứng, khối lượng và độ cản bị thay đổi. Nếu dùng phương 
pháp 3 để xác định phản ứng của kết cấu, khi chuyển các ma trận của hệ thành các ma trận trong phương trình 
phương thức, các ma trận khối lượng và độ cứng đã được chuẩn hóa vẫn là các ma trận đường chéo. Tuy 
nhiên, ma trận cản của hệ không còn là ma trận đường chéo nữa vì sự có mặt của hệ số cản do TMD. Phương 
trình dao động của hệ khi phân tích phương thức là: 
       
.. .
( )M C K P t   ( - tung độ) (2014) 
Trong đó: ma trận độ cứng chuẩn hóa:       494949494949* 2 xxT x KK  - ma trận đường chéo; ma trận khối 
lượng chuẩn hóa:       494949494949* 2 xxT x MM  - ma trận đường chéo; ma trận độ cản chuẩn hóa: 
      494949494949* 2 xxT x CC  không phải là ma trận đường chéo; [P(t)] - ma trận lực tập trung tại nút. 
Dễ dàng nhận thấy, phương trình (20) là hệ phương trình lệ thuộc lẫn nhau và chúng ta không thể sử dụng 
phương pháp Newmark cho hệ một bậc tự do để giải trong trường hợp này. Do vậy, phương pháp 3 không áp 
dụng được cho trường hợp hệ có TMD. Vậy phương pháp 4 là sự lựa chọn duy nhất để giải hệ phương trình 
phụ thuộc. Hệ phương trình dao động của hệ có TMD là: 
         .. .2 2 2 ( )M u C u K u P t (2115) 
Các giá trị M2, C2, K2 và P(t) đã được xác định ở trên. Phần tính toán hệ không có TMD cho thấy nếu gia 
tốc gió bằng 22.2 m/s thì sẽ xảy ra hiện tượng cộng hưởng của hệ và dao động tại đỉnh của ống khói là 
0.2515m. Giá trị vận tốc gió này U=22.2m/s, sẽ được sử dụng để đánh giá ảnh hưởng của TMD lên các phản 
ứng của hệ. Như đã đề cập trong phần 1.3, để xác định các tính chất của TMD, ta cần phải thử với nhiều giá trị 
khác nhau của khối lượng, độ cứng và độ cản của TMD. Tuy nhiên, để đơn giản hóa quá trình tính toán, đầu 
tiên các giá trị về khối lượng và độ cản sẽ giả thiết không đổi, sau đó độ cứng của TMD sẽ được xác định sao 
cho các giá trị chuyển vị ngang của TMD và của đỉnh ống khói nằm trong giới hạn cho phép. Bảng 4 thể hiện 
giá trị chuyển vị ngang của TMD (bậc tự do thứ 49) và chuyển vị ngang của đỉnh ống khói với các giá trị khác 
nhau của độ cứng và khối lượng của TMD. Rõ ràng rằng, với m=300kg, khi các tần số của TMD tăng dần 
nhưng nhỏ hơn các tần số của hệ và của tải trọng gió thì chuyển vị ngang của đỉnh ống khói giảm dần và 
chuyển vị ngang của TMD tăng dần lên. Ngược lại, khi tần số của TMD lớn hơn tần số của hệ và tải trọng gió 
thì chuyển vị ngang của hệ tăng dần lên và chuyển vị ngang của TMD cũng tăng dần lên. Khi tần số của TMD 
đạt 15.499, bằng với tần số của hệ và tải trọng gió 2 15.49856SU
D
 , chuyển vị ngang của đỉnh ống khói 
là nhỏ nhất (0.024m=2.4cm<4cm) và chuyển vị ngang của TMD là 0.1490m=14,9cm<20cm. Khi giá trị tần số 
của TMD được giữ nguyên và bằng với tần số của hệ, với các giá trị khác nhau của khối lượng (tất nhiên là giá 
trị độ cứng của TMD cũng thay đổi theo để đảm bảo tần số của TMD là không đổi) thì chuyển vị của hệ là thay 
đổi không đáng kể. Như vậy, tùy thuộc vào chuyển vị ngang giới hạn của cả hệ, ta có thể xác định các tính chất 
của TMD với việc hạn chế chuyển vị ngang của TMD và ngược lại. Khi ta tăng khối lượng của TMD tới 800kg 
(độ cứng 192160 (1/7 độ cứng của kết cấu)), chuyển vị của đỉnh tháp và của TMD tương ứng là 0.0174 và 
0.0644m. Điều này có nghĩa là, khi TMD rất cứng, nó sẽ làm cho kết cấu trở nên cứng hơn và chuyển vị của kết 
cấu cũng như của TMD sẽ nhỏ đi. Điều này hoàn toàn logic về mặt vật lý. Tuy nhiên trong thực tế, việc lắp 
dựng một thiết bị TMD có khối lượng rất lớn tại đỉnh của tháp là không hợp lý. 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
Với m=300kg, k=
2 215.49856 *300 72061m , thì chuyển vị đỉnh ống khói là 0.024m < 0.04m và của 
TMD là 0.1490m < 0.2m. Hình 7 thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị đỉnh với TMD có đặc tính m=300kg, 
k=
2 215.49856 *300 72061m ,  = 5% thay đổi theo thời gian. 
Hình 7. Chuyển vị ngang của đỉnh khi có mặt TMD - m=300kg, k=
2 215.49856 *300 72061m 
3.6. Kiểm tra ứng suất tại chân của ống 
Nội lực tại bất kỳ tiết diện nào của ống khói đều có thể được tính toán dễ dàng trong mỗi dạng dao động khi 
đã biết chuyển vị nút tại các phần tử. Chuyển vị động học của các nút đã được xác định thông qua phương 
pháp 4 ở trên. Sau khi có được chuyển vị nút, ta có thể xác định nội lực tại các nút theo     ( )f k u t ; trong 
đó: f – ma trận nội lực tại nút; k – ma trận độ cứng phần tử; u – vectơ chuyển vị nút đã xác định. Mô men tại 
đáy của ống khói được xác định theo nội lực tương ứng với chuyển vị xoay của nút thứ nhất thuộc phần tử thứ 
nhất (giá trị hạng thứ 3rd trong tích của [k]{u}). Có rất nhiều phần tử bằng không trong các ma trận chuyển vị nút 
và độ cứng của phần tử đầu tiên, nên để đơn giản ta thấy rằng, mô men tại đáy ống khói có thể được xác định 
bằng tích của hệ số độ cứng xoay kxoay và góc xoay  tại đáy ống khói. Giá trị chuyển vị tại đỉnh tháp đạt được 
khi cộng hưởng với U=22.2m/s. Mô men tại đáy sẽ được xác định tại vận tốc gió này. Kết quả cho các trường 
hợp kể đến hoặc không kể đến độ cản kết cấu được tổng hợp trong bảng 5 và 6. 
Bảng 5. Nội lực và ứng suất tại đáy ống khói không kể đến độ cản của kết cấu 
kxoay (từ ma trận độ 
cứng-Nm/rad) 
 (bậc tự do thứ 
3rd) (rad) 
Mmax (khi cộng 
hưởng) (N-m) 
max (khi cộng hưởng) 
(MPa=N/mm2) 
limit 
(MPa) 
 đỉnhmax 
(m) 
1 2 (1*2) =M/W 4 5 
2.3x1010 0.0014 322x105 26.5 50 0.2515 
Bảng 6. Nội lực và ứng suất tại đáy ống khói không kể đến độ cản của kết cấu 
kxoay (từ ma trận 
độ cứng-Nm/rad) 
 (bậc tự do thứ 
3rd) (rad) 
Mmax (khi cộng hưởng) 
(N-m) 
max (khi cộng hưởng) 
(MPa=N/mm2) 
limit 
(MPa) 
 đỉnhmax 
(m) 
1 2 (1*2) =M/W 4 5 
2.3x1010 0.0094 2162x105 178.1 50 1.7 
4. Kết luận 
- Với các cơ học tính chất vốn có của ống khói, ứng xử của nó phụ thuộc vào vận tốc gió. Tại vận tốc gió 
U=22.2m/s, giá trị tần số của lực sẽ xấp xỉ bằng giá trị tần số tự nhiên của ống khói, hiện tượng cộng hưởng sẽ 
xảy ra và chuyển vị ngang của đỉnh ống khói là lớn nhất (25.15cm); 
- Để hạn chế chuyển vị ngang tại đỉnh, chúng ta có thể sử dụng một thiết bị giảm chấn (thiết bị điều chỉnh khối 
lượng) TMD. Thiết bị này sẽ hấp thụ năng lượng gây ra bởi lực trong hệ, từ đó làm giảm chuyển vị ngang của đỉnh 
ống khói. Về bản chất, thiết bị TMD sẽ tạo ra một lực mà tác động ngược lại đối với lực tác dụng của gió và từ đó 
làm giảm chuyển vị đỉnh. Các tính chất của TMD phụ thuộc vào chu kỳ, tần số dao động riêng của hệ, phụ thuộc vào 
chuyển vị giới hạn của đỉnh kết cấu cũng như chuyển vị giới hạn của TMD; 
- Với kết cấu đề cập ở trên, ứng suất tại đáy và chuyển vị đỉnh của ống khói có kể đến độ cản của kết cấu là 
chấp nhận được. Tuy nhiên, nếu bỏ qua hệ số cản của kết cấu thì chuyển vị tại đỉnh cũng như ứng suất ở chân 
công trình là vượt quá giới hạn cho phép. Độ cản có ý nghĩa cực kỳ quan trọng trong kết cấu. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
KHẢO SÁT - THIẾT KẾ XÂY DỰNG 
Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2011 
1. Dynamics of structures - Ray. W. Clough và Joseph Penzien – University of California – Berkeley – 1995. 
2. Dynamics of structures - Theory and Applications to Earthquake Engineering – Anil. K. Chopra - University of California – 
Berkeley – 1995. 
3. Calcul des structures sous effets dynamiques et sismiques – Lecture notes – Université de Liège, 2010. 
4. Wind Loading of Structures - John D. Holmes - 2001.