Phương pháp số phân tích phi tuyến và dao động tự do kết cấu cáp

KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 3
BÀI BÁO KHOA H
C 
PHƯƠNG PHÁP SỐ PHÂN TÍCH PHI TUYẾN VÀ DAO ĐỘNG 
TỰ DO KẾT CẤU CÁP 
Nguyễn Vĩnh Sáng1, Nguyễn Vũ Luật1 
Tóm tắt: Bài báo này trình bày phân tích phi tuyến hình học của kết cấu cáp dưới tác dụng của tải 
trọng tĩnh học như của trọng lượng bản thân và lực căng trước. Phương pháp phần tử hữu hạn sử 
dụng công thức Lagrange kết hợp với đa thức nội suy đẳng tham số. Sơ đồ lặp Newton-Raphson với 
tải trọng gia tăng để xác định chuyển vị tĩnh học của kết cấu cáp. Ngoài ra, dao động tự do của kết 
cấu cáp này cũng được xem xét, tần số dao động tự nhiên của kết cấu cáp cũng được xác định theo 
phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số này. Ví dụ số được trình bày để đánh giá độ chính xác 
và tin cậy của phương pháp này so sánh với các kết quả đã được công bố trước đây. 
Từ khóa: Kết cấu cáp, phân tích phi tuyến, phân tích đàn dẻo, phương pháp phần tử hữu hạn, phần 
tử cáp, phi tuyến hình học, phi tuyến vật liệu, dao động tự do. 
1. TỔNG QUAN1 
Phần tử cáp là thành phần kết cấu quan trọng 
trong nhiều kết cấu căng khác nhau như cầu dây 
cáp, công trình biển và ngoài khơi, dây gia 
cường cho tháp, đường dây tải điện, kết cấu mái 
sân vận động Vì sự ứng xử phi tuyến cao 
trong phân tử này, ảnh hưởng của độ mềm và 
chuyển vị lớn trong cáp nên được xem xét trong 
việc thiết lập phương trình cân bằng. Có hai loại 
phần tử cáp, phần tử dây văng với độ võng nhỏ 
và phần tử dây võng với độ võng lớn. Cáp nông 
được định nghĩa bởi cáp có tỷ số độ võng trên 
chiều dài nhịp nhỏ hơn 1:8 theo (Irvine HM, 
1981). Mặc dù sơ đồ thực của cáp có dạng dây 
võng, hình dạng của một phần tử cáp nông có 
thể được xem như một dạng parabol. Nhìn 
chung, hai phương pháp chính có thể được sử 
dụng để thiết lập phần tử cáp: (1) phương pháp 
phân tích dựa trên biểu thức giải tích chính xác 
của phần tử dây võng và (2) phương pháp phần 
tử hữu hạn dựa trên hàm đa thức nội suy. 
Trong bài báo này, phần tử hữu hạn có hai, 
ba và bốn điểm nút (theo Nam-Il Kim, Son Thai 
& Jaehong Lee 2016) dựa trên hàm đa thức nội 
suy được trình bày. Trạng thái cân bằng của kết 
cấu cáp dưới tác dụng của lực căng trước, trọng 
1
 Cơ sở 2 - Đại học Thủy Lợi. 
lượng bản thân và chuyển vị được xác định dựa 
trên phương pháp hàm phạt. Sơ đồ lặp tải gia 
tăng Newton – Raphson được sử dụng để giải 
quyết vấn đề phi tuyến hình học chịu tải trọng 
tĩnh học của kết cấu cáp. Ngoài ra, vấn đề dao 
động tự do dựa trên phương pháp phần tử hữu 
hạn đề xuất cũng được trình bày để xác định 
mười tần số dao động tự nhiên đầu tiên của kết 
cấu cáp và các dạng dao động của mười tần số 
đầu tiên này. 
2. THIẾT LẬP PHẦN TỬ CÁP 
Đầu tiên, xem xét ba cấu hình của phần tử 
cáp được biểu diễn trong số hạng của hệ tọa độ 
Đề-Các như trên (Hình 1). 
0xi
0xi+d0xd0s
xi
0+0
1u+d0x+d01u
xi
0+0
1u
d1s
xi
0+0
2u d
2s
xi
0+0
2u+d0x+d02u
C0
C1
C2
0x1, 
1x1, 
2x1
0 0x2, 1x2, 2x2
0x3, 
1x3, 
2x3
Hình 1. Cấu hình ban đầu và hai cấu hình 
nối tiếp của phần tử cáp 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 4 
Chuyển vị gia tăng từ cấu hình (C1) đến cấu 
hình (C2): 
2 1
0 0 ; 1 3i i iu u u i= − = ÷
(1)
Trong thiết lập gia tăng, ten xơ Green – 
Lagrange 0ε của cáp được xác định bởi phương 
trình sau: 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 002dS dS dSε− =
(2)
( ) ( ) ( )
0 1
0
0 2 2 20 0 02
i i i i i id x du d u du du du
dS dS dS
ε = + +
(3)
trong đó 0 e và 0η là biến dạng đàn hồi và 
phi tuyến tương ứng, xác định như sau: 
( ) ( )
0 1
0
0 2 20 0
i i i id x du d u due
dS dS
= +
(4)
( )0 202
i idu du
dS
η =
(5)
Độ cứng tiếp tuyến tính và phi tuyến và véc 
tơ lực được đánh giá bằng cách sử dụng các 
hàm đa thức nội suy Lagrange. Trong hệ tọa độ 
Lagrange, các phương trình có thể được xác 
định cho phần tử đường theo phương trình dưới 
đây: 
o o o
T
S S S
AE dS A dS A edSεδ ε σδ η σδ∆ ∆ + ∆ = ℜ − ∆∫ ∫ ∫
(6)
trong đó oS là chiều dài cung của phần tử 
cáp tại cấu hình ban đầu; A và TE tương ứng là 
diện tích mặt cắt ngang và mô đun đàn hồi tiếp 
tuyến của phần tử. ℜ là công của ngoại lực. 
Phân tích phần tử đẳng tham số: 
Công thức xác định hàm nội suy chuyển vị 
đối với các phần tử đẳng tham số bởi công thức 
tổng quát như sau: 
( )
( )1
#
( ) ( )
n
k
k k
i i k
i k
r r
r f r
r r
ψ
=
−
= =
−
∏
(7)
trong đó ir là tọa độ tự nhiên của nút i 
Tọa độ các nút ix bên trong phần tử trong hệ 
tọa độ Đề-các có thể được cho như một hàm tọa 
độ nút rời rạc như sau: 
1
; ( 1, 2,3)
n
k
i k i
k
x x iψ
=
= =∑
(8) 
Biểu thức ma trận được trình bày như sau: 
x x= Ψ (9) 
trong đó, n là số nút mỗi phần tử và kψ
là 
hàm nội suy chuyển vị mà những hệ số của hàm 
này được cho trong những số hạng của tọa độ 
gốc r. Trong bài báo này, phần tử đẳng tham số 
hai, ba và bốn điểm nút được sử dụng và các 
biểu thức chi tiết cho kψ được trình bày trong 
(K.J. Bathe, 1996). 
1
; ( 1, 2,3)
n
k
i k i
k
u u iψ
=
= =∑
(10)
Hoặc dưới dạng ma trận 
u u= Ψ (11) 
1
1
1
0 0 0 0
0 0 ... 0 0
0 0 0 0
n
n
n
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
 
 Ψ =  
 
 
(12)
Chiều dài cung tại một điểm ix
của phần tử 
cáp được cho bởi: 
1
( ) ( )
n
k
o k o
k
S r r Sψ
=
=∑
(13)
trong đó koS là chiều dài cung tại điểm nút k 
tham chiếu đến cấu hình ban đầu. 
Đối với tính toán tĩnh, mối quan hệ lực-chuyển 
vị gia tăng hợp lực có thể được xác định theo: 
[ ] [ ]( ){ } { } { } { }int3 1 3 1 3 1 3 13 3 3 3u u c bn n n nn n n nK K F F Fσ × × × ×× ×+ ∆ = + −
(14)
trong đó [Ku] và [Kσ] tương ứng là ma trận độ 
cứng phụ thuộc chuyển vị và phụ thuộc ứng 
suất, {Fc} và {Fint} tương ứng là véc tơ ngoại 
lực và nội lực, {Fb} là véc tơ tải bản thân phần 
tử. Phần phụ thuộc chuyển vị của ma trận độ 
cứng được xác định như sau: 
[ ] [ ] [ ]
1
3 3 3 1 1 3
1
T
u T o L o Ln n n n
K A E B B B B J dr
+
× × ×
−
= + +∫
(15)
trong đó: ma trận quan hệ chuyển vị - biến 
dạng nhỏ [Bo] có thể được viết như sau: 
[ ] [ ]11 3 ,...,o o onnB B B× =
(16) 
trong đó: 
[ ] 31 21 3 , ,
k k k
ok
xx xB
S S S S S S
ψ ψ ψ
×
 ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
=  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
(17)
trong đó 
1k k kr
S S r J r
ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
(18a)
1 1
1
1 kn k
i
k
x xr
x
S S r J r
ψ
=
∂ ∂∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂∑
(18b)
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 5
trong đó: J là định thức Jacobi. 
1
kn
k
o
k
J S
r
ψ
=
∂
=
∂∑
(19) 
Bằng cách sử dụng thủ tục chuẩn cho bài 
toán phi tuyến hình học, [BL] được xác định như 
sau: 
[ ] [ ]11 3 ,...,L L LnnB B B× =
(20)
trong đó: 
[ ] 31 21 3 , ,
k k k
Lk
uu uB
S S S S S S
ψ ψ ψ
×
 ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
=  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
(21)
1 1
1
1 kn k
i
k
u ur
u
S S r J r
ψ
=
∂ ∂∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂∑
(22)
Ma trận độ cứng phụ thuộc ứng suất có thể 
được xác định như: 
[ ] [ ] [ ]
1
3 3 3 1
1
T
NL NLn n nK A B B J drσ σ
+
× ×
−
 =  ∫
(23)
[ ]
1
1
3 3
1
0 0 0 0
0 0 ...0 0
0 0 0 0
n
n
NL n
n
S S
B
S S
S S
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
×
 ∂ ∂
 ∂ ∂ 
∂ ∂ 
=  ∂ ∂ 
∂ ∂ 
 ∂ ∂ 
(24)
3 3
0 0
0 0
0 0
σ
σ σ
σ
×
 
   =   
  
(25)
Tải bản thân phần tử { }bF được cho bởi: 
{ } [ ] { }
1
3 1
1
T
b bnF A H f J dr
+
×
−
= ∫
(26)
trong đó {ƒb} là trọng lượng trên một thể tích 
đơn vị theo các hướng ix , và 
[ ]
1
1
3 3
1
0 0 0 0
0 0 ...0 0
0 0 0 0
n
n
n
n
H
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ
×
 
 
=  
 
 
(27)
Véc tơ nội lực phần tử {Fint} có thể được xác 
định như: 
{ } [ ]
1
int 3 1
1 3 1
T
o Ln
n
F A B B J drσ
+
×
− ×
= +∫
(28)
3. XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI CÂN BẰNG 
BAN ĐẦU CỦA CÁP 
Đối với phân tích đàn dẻo phi tuyến kết cấu 
cáp, trạng thái cân bằng ban đầu của cáp có thể 
được xác định đầu tiên và sử dụng phương pháp 
hàm phạt theo sau: 
{ } [ ]{ } { } { } $( )212 2 jT T ju K u u R u uαΠ = − + −
(29)
trong đó [ ] [ ] [ ]uK K Kσ= + là ma trận độ 
cứng tiếp tuyến, { } { } { }c bR F F= + là véc tơ tải 
ngoại lực; α là hằng số lò xo ảo với giá trị tương 
đối lớn. 
[ ]( ){ } { } $jTj j jK e e u R ueα α+ = +
(30)
Để xác định trạng thái cân bằng ban đầu của 
hệ cáp bằng cách giải bằng phương trình cân 
bằng gia tăng kết hợp với phương pháp hàm 
phạt như sau: 
[ ]( ){ } { } $ { }intjTj j jK e e u R ue Fα α+ ∆ = + −
(31)
4. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO 
4.1 Phương trình cơ bản dao động tự do 
của hệ có cản 
[ ] [ ] [ ].. .( ) ( ) ( ) 0M u t C u t K u t+ + =
(32)
trong đó: [ ] [ ] [ ] L LNK K K= +
là ma trận độ 
cứng gồm thành phần tuyến tính và phi tuyến. 
[M] là ma trận khối lượng được xác định từ 
phép cầu phương Gauss: 
[ ] { } { }
1
1
TM A J drρ
+
−
= Ψ Ψ∫
(33)
[C] là ma trận cản nhớt xác định theo phương 
pháp Ryleigh với hệ số đặc trưng: 
[ ] [ ] [ ]M KC M Kα α= +
(34)
với αM, αK tương ứng là hệ số khối lượng và 
hệ số cản tỷ lệ độ cứng xác định qua hai tần số 
riêng dao động tự do ω1, ω2 và tỷ số cản của kết 
cấu ξ1, ξ2: 
( )1 2 2 1 1 22 2
2 1
2
M
ω ω
α ω ξ ω ξ
ω ω
= −
−
(35)
( )2 2 1 12 2
2 1
2
Kα ω ξ ω ξω ω= −−
(36) 
4.2 Xác định tần số dao động tự nhiên của hệ 
Đối với phương trình (32) khi phân tích dao 
động tự do không cản hệ có dạng sau: 
[ ] [ ].. ( ) ( ) 0M u t K u t+ =
(37) 
Nghiệm chuyển vị của phương trình (37): 
( ) kiku t G e ω−=
(38)
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 6 
[ ] [ ]( )2 0kik kK M G e ωω −− =
(39)
trong đó: ωk, Gk lần lượt là tần số tự nhiên và 
véc tơ chuyển vị của dao động thứ kth . 
Tần số dao động tự nhiên của các dạng dao 
động được xác định với định thức (40) dưới đây 
có giá trị bằng 0: 
[ ] [ ]2 0kK Mω− =
(40)
5. VÍ DỤ SỐ 
5.1 Phân tích tĩnh học cáp đơn ứng suất 
trước chịu tải phân bố đều 
Ở ví dụ đầu tiên này, chúng ta xét cáp ứng 
suất trước với cấu hình được thể hiện trên Hình 
2 và các thông số kỹ thuật thể hiện ở Bảng 1. 
Phần tử cáp này đã được nghiên cứu bởi 
(Jayaraman và Knudson, 1981), (Ozdermir, 
1979) and (Desai et al, 1988), các kết quả 
chuyển vị của nghiên cứu này sẽ được so sánh, 
đánh giá với các nghiên cứu trên. Ban đầu, mô 
hình cáp là không ứng suất và biến dạng với 
chiều dài ban đầu là L0. Để xác định cấu hình 
cân bằng của cáp, chúng ta sử dụng thuật toán 
hàm phạt để đánh giá với các bước gia tăng tải 
trọng ở các vòng lặp của mô hình. 
Hình 2. Cáp ứng suất trước chịu tải phân bố đều 
Bảng 1. Đặc trưng của cáp đơn ứng suất trước 
Các thông số Số liệu 
Diện tích mặt cắt ngang 241, 94mm
Mô đun đàn hồi 2131.0 /kN m m
Trọng lượng bản thân cáp wg 46.12 /N m−
Chiều dài ban đầu của cáp L0 253, 98m
Ứng suất ban đầu của cáp 2131.0 /kN mm
Trong ví dụ này, phần tử đẳng tham số hai 
điểm nút, phần tử ba điểm nút, phần tử bốn 
điểm nút được khảo sát từ 2 đến 256 phần tử 
trên chiều dài cáp chịu tải trọng phân bố đều wu 
= 3,5024 N/m. Chuyển vị ngang và đứng tại nút 
2 tại giữa nhịp được trình bày ở Bảng 2 bởi 
nghiên cứu này và các nhà nghiên cứu khác, 
đồng thời so sánh kết quả nghiên cứu thu được. 
Kết quả thu được bởi phương pháp kiến nghị để 
của nghiên cứu trùng hợp với các kết quả của 
các tác giả khác đã công bố. Đồng thời, phần tử 
tuyến tính sử dụng đa thức nội suy bậc thấp hơn 
cho thấy kết quả hội tụ chậm hơn, phần tử có 4 
nút chuyển vị hội tụ rất nhanh. 
Bảng 2. So sánh chuyển vị đứng tại nút 2 dưới tác dụng của tải phân bố đều (m) 
Kết quả nghiên cứu Jayaraman 
và Knudson 
(1981) 
Ozdermir, 
1979 
Desai et al 
(1988) wu =
Loại phần tử Số phần 
tử 
Chuyển 
vị đứng 
w
3,5024 /
u
N m
=
−
Phần tử hai 
điểm nút 
2 -3,5192 
-3,3434 -3,3426 -3,3411 
4 -3,3770 
8 -3,3456 
16 -3,3379 
32 -3,3361 
64 -3,3356 
128 -3,3355 
256 -3,3354 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 7
Phần tử ba 
điểm nút 
2 -3,3526 
4 -3,3366 
8 -3,3355 
16 -3,3354 
32 -3,3354 
64 -3,3354 
128 -3,3354 
256 -3,3354 
Phần tử bốn 
điểm nút 
2 -3,3354 
4 -3,3354 
8 -3,3354 
16 -3,3354 
32 -3,3354 
64 -3,3354 
128 -3,3354 
256 -3,3354 
5.2 Phân tích dao dộng tự do kết cấu cáp 
ứng suất trước và tải phân bố đều 
Trong phần này, sử dụng phần tử đẳng tham 
số có hai, ba và bốn điểm nút để phân tích tần số 
dao động tự nhiên của hệ cáp đơn ứng lực trước. 
Kết quả phân tích tần số dao động tự nhiên của 
hệ được khảo sát bởi chia phần tử với số phần tử 
từ 2 đến 128 phần tử. Tần số dao động tự nhiên 
đầu tiên được đưa ra bởi (Ozdermir, 1979) là 
0.3582Hz. 
Kết quả của mười tần số dao đông tự nhiên 
của hệ được thể hiện ở Bảng 2 khi khảo sát phần 
tử đẳng tham số có hai, ba và bốn điểm nút 
tương ứng. Kết quả hội tụ của tần số dao động 
tự nhiên đầu tiên thu được từ nghiên cứu này là 
0.3852Hz, trùng với kết quả của tác giả 
(Ozdermir, 1979) đưa ra. Để đạt kết quả này, 
đối với dạng phần tử đẳng tham số hai điểm nút 
cần chia 128 phần tử, trong khi phần tử dạng ba 
và bốn điểm nút tương ứng số phần tử là 16 và 4 
phần tử. Mô hình phần tử bốn điểm nút cho kết 
quả hội tụ nhanh nhất. Trên Hình 3 thể hiện 
mười dạng dao động tự nhiên đầu tiên của phần 
tử cáp. 
Bảng 3. Mười tần số dao động đầu tiên của phần tử cáp 
Loại 
phần tử 
Số 
phần tử 
Mode dao động 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Phần tử 
hai 
điểm 
nút 
2 0.4058 8.7575 - - - - - - - - 
4 0.3920 0.6637 1.0808 8.1553 17.5252 28.4724 - - - - 
8 0.3870 0.6205 0.9641 1.3345 1.7457 2.1688 2.5235 8.0013 16.3054 25.2302 
16 0.3857 0.6094 0.9256 1.2430 1.5768 1.9237 2.2888 2.6724 3.0755 3.4945 
32 0.3853 0.6067 0.9160 1.2198 1.5312 1.8446 2.1635 2.4870 2.8169 3.1531 
64 0.3853 0.6060 0.9136 1.2140 1.5198 1.8249 2.1322 2.4401 2.7500 3.0612 
128 0.3852 0.6058 0.9130 1.2126 1.5170 1.8200 2.1244 2.4284 2.7333 3.0383 
Phần tử 
ba điểm 
nút 
2 0.3891 0.6583 1.1664 7.9795 15.9993 28.6942 - - - - 
4 0.3856 0.6104 0.9358 1.2475 1.7174 2.2290 2.7774 7.9521 15.9541 24.2338 
8 0.3853 0.6061 0.9145 1.2180 1.5316 1.8526 2.1858 2.4547 2.9737 3.3995 
16 0.3852 0.6058 0.9129 1.2125 1.5172 1.8209 2.1270 2.4343 2.7447 3.0581 
32 0.3852 0.6058 0.9128 1.2122 1.5161 1.8185 2.1221 2.4252 2.7290 3.0327 
64 0.3852 0.6057 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7279 3.0309 
128 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 8 
Phần tử 
ba điểm 
nút 
2 0.3856 0.6098 0.9547 1.3239 2.0941 7.9506 15.9997 24.4676 32.7813 52.8414 
4 0.3852 0.6059 0.9140 1.2201 1.5371 1.8758 2.2475 2.5384 3.3912 4.0707 
8 0.3852 0.6058 0.9129 1.2122 1.5166 1.8199 2.1257 2.4405 2.7467 3.0660 
16 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4247 2.7282 3.0315 
32 0.3852 0.6058 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
64 0.3852 0.6057 0.9128 1.2121 1.5161 1.8184 2.1218 2.4246 2.7278 3.0307 
128 - - - - - - - - - - 
Hình 3. Mười dạng dao động tự do của cáp hai phần tử 
6. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
6.1 Kết luận 
Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số 
kết hợp phép cầu phương Gauss được sử dụng 
để xác định ứng xử của kết cấu cáp dưới tác 
dụng tĩnh học và dao động tự do đem lại hiệu 
quả cao. Phương pháp số được phát triển dựa 
trên hàm đa thức nội suy Lagrange để xác định 
và phân tích kết cấu cáp này. Phần tử đẳng tham 
số có hai, ba và bốn điểm nút được sử dụng, 
trong đó kết quả của phần tử bốn điểm nút cho 
sự hội tụ nhanh hơn trong tính toán. 
Kết quả thu được từ bài báo này so với các 
nghiên cứu khác cho sai số nhỏ. 
6.2 Kiến nghị 
Phương pháp phần tử hữu hạn đẳng tham số 
sử dụng để phân tích tĩnh học và động học kết 
cấu cáp có độ chính xác và hiệu quả trong giải 
quyết các vấn đề liên quan đến cơ học kết cấu 
và vật rắn. Kết quả của nghiên cứu này có thể 
được xem xét sử dụng làm nền tảng cơ bản cho 
các nghiên cứu khác có ảnh hưởng nhiều bởi kết 
cấu cáp như phi tuyến vật liệu, ứng xử của kết 
cấu cáp khi chịu các tác động của động đất hay 
gió theo thời gian. Ngoài ra, có thể sử dụng 
phương pháp này để tính toán các kết cấu cáp 
khác như cầu dây văng, dây võng, kết cấu mái 
sân khấu, công trình ngoài khơi 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Irvine HM (1981) Cable structures, The MIT Press, Cambridge, MA, USA. 
K.J. Bathe (1996), Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 
Nam-Il Kim, Son Thai & Jaehong Lee (2016), Nonlinear elasto-plastic analysis of slack and taut 
cable structures, Engineering with Computers, DOI 10.1007/s00366-016-0440-7. 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 58 (9/2017) 9
Thai HT, Kim SE (2011), Practical advanced analysis software for nonlinear inelastic dynamic 
analysis of steel structures, Journal of Constructional Steel Research 67 (2011) 453–461. 
Thai HT, Kim SE (2011), Nonlinear static and dynamic analysis of cable structures, Finite Elem 
Anal Des 47:237-246. 
O’Brien W, Francis A (1964) Cable movements under two-dimensional loads, J Struct Div, ASCE 
90:89-123. 
Jayaraman H, Knudson W (1981) A curved element for the analysis of cable structures, Comput 
Struct 14:325-333. 
Desai et al (1988), Geometric nonlinear static analysis, Computer & Structures Vol. 29, No 6, pp 
1001-1009. 
Ozdemir (1979), A finite element approach for cable problems, Solides Structures Vol. 15, pp 427-437. 
Abstract: 
NUMERICAL METHOD OF STRUCTURAL CABLE FREE VABRITION 
AND NONLINEAR ANYLYSIS 
This paper presents the geometrically nonlinear analysis and free vibration analysis subjected to 
self-weight, pretension, and external loads. The finite element procedure is used the Lagrangian 
formulation associated with isoparametric interpolation polynomials. The Newton-Raphson 
iterative scheme with incremental load determined the static displacement of the cable structure. In 
addition, the free vibration of this cable structure is also considered, the natural frequency of the 
cable structure is also determined by the parametric finite element method. Numerical example is 
presented to evaluate the accuracy and reliability of this method in comparison with previously 
investigated results. 
Keywords: Cable structures; Nonlinear analysis; Elasto-plastic analysis; Finite element method; 
Catenary cable element; Geometrical nonlinearity; Material inelasticity, Free vibration 
Ngày nhận bài: 20/02/2017/ 
Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2017