Phân tích hiệu ứng nhóm của móng cọc chịu tải trọng ngang bằng lời giải mindlin

ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 47 
PHÂN TÍCH HIỆU ỨNG NHÓM CỦA MÓNG CỌC 
CHỊU TẢI TRỌNG NGANG BẰNG LỜI GIẢI MINDLIN 
ThS. NCS. PHẠM TUẤN ANH 
Trường Đại học Công nghệ GTVT 
PGS.TS. NGUYỄN TƯƠNG LAI 
Học Viện kỹ thuật quân sự 
TS. TRỊNH VIỆT CƯỜNG 
 Viện KHCN Xây dựng 
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu 
hiệu ứng tương tác các cọc trong nhóm cọc chịu tải 
trọng ngang. Trong phương pháp này, tương tác 
giữa các cọc trong nhóm được xác định thông qua 
ứng suất lan truyền trong đất truyền từ cọc này đến 
cọc kia theo lời giải Mindlin. Mô hình các cọc đơn sử 
dụng mô hình Winkler với lò xo tuyến tính. Nghiên 
cứu xét đến các dạng tương tác cọc – đất; cọc – đất 
– cọc và cọc - đài móng. Bài toán giải quyết 2 
trường hợp là đầu cọc tự do và đầu cọc ngàm cứng 
với đài. Kết quả của nghiên cứu cho phép dự đoán 
hệ số hiệu ứng nhóm và sức chịu tải của nhóm cọc 
chịu tải trọng ngang. 
Từ khóa: Cọc chịu tải trọng ngang, hệ số nhóm, 
tương tác cọc – đất - cọc. 
Abstract: This paper presents how to analysis 
group of pile under lateral load using Mindlin 
solution in linear behavior of soil. In this method, the 
interaction between the piles in the group is 
determined by stresses transfer through the soil 
from one pile to another. The model of pile use 
Winkler model with linear spring. The research take 
into soil-pile, pile-soil-pile and pile-ralf interaction. 
The results predict quite good the coefficient effect 
of pile groups and bearing capacity of pile groups 
under lateral load. 
 Keywords: pile under lateral load, coefficient 
groups effect, pile – soil – pile interaction. 
1. Đặt vấn đề 
Thông thường, các cọc thường làm việc theo 
nhóm. Sự làm việc của các cọc trong nhóm khác 
với khi làm việc như khi là cọc đơn. Kết quả nghiên 
cứu theo [1] đối với nhóm cọc chịu tải trọng đứng 
dự đoán sức kháng của nhóm cọc giảm đi đáng kể 
so với khi không xét hiệu ứng nhóm. 
Khi xét trường hợp nhóm cọc chịu tải trọng 
ngang, tùy theo phương chiều tải trọng và vị trí cọc 
mà hiệu ứng nhóm sẽ ảnh hưởng không giống nhau 
đến các cọc. 
Trong bài báo, tác giả sử dụng kết quả lời giải 
của Mindlin cho bài toán truyền ứng suất trong đất 
kết hợp với mô hình nền Winkler với hệ lò xo tuyến 
tính để xây dựng mô hình tương tác của nhóm cọc 
với hai trường hợp là đầu cọc tự do và đầu cọc 
ngàm cứng vào đài. Tương tác cọc – nền trong 
trường hợp này được giải bằng phương pháp 
PTHH. 
Đài cọc được giả thiết là cứng tuyệt đối nhằm 
đơn giản hóa cho việc tính toán và cũng không mất 
tính tổng quát khi tính hiệu ứng nhóm. 
2. Xây dựng mô hình tính 
2.1 Bài toán truyền ứng suất của Mindlin 
Giả sử có một lực tập trung P đặt trong đất tại 
điểm A, như hình 1, có tọa độ (0,0,c) theo phương 
ngằm ngang theo trục x, thì giá trị ứng suất, chuyển 
vị tại điểm B (x,y,z) đã được xác định theo lời giải 
Hình 1. Mô hình bài 
toán của Mindlin 
0
y
x
R 2
R1
r
-c
c
P
x
z
y
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
48 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
của Mindlin (1936)[4] dành cho bán không gian đàn 
hồi như sau: 
Chuyển vị ngang theo phương x: 
2 2 2 2 2 2 2
3 3 5 2
1 2 1 2 2 2 4 2 2 4 4 2 4
2 6 ( 1)( ) ( 1)u 1 14 (k 1) 2 

x
k kP x x cz cx z k z c x x k x
m R R R R R R R R RR R RR (1) 
Ứng suất pháp theo phương x: 
2
3 5 3
1 1 2
2 2
5 7
2 2
(1 )( ) 3 ( ) ( 1)( ) 2(kz c).2 (k 1) 2 2
3[(kz c) x 2 ( )] 30 .( )
 
x
Px k z c x z c k z c
R R R
cz z c cx z z c
R R
 (2) 
trong đó: 
2(1 ) 
Em là hằng số Lame của đất; 
3 4 k ; 
2 2 2 2 2 2
1 2
3 1 4 2
( ) ; ( ) ;
;
  
  
R x y z c R x y z c
R R z c R R z c
Trong bài toán cọc chịu tải trọng ngang, ta chủ 
yếu quan tâm đến 2 thành phần là ứng suất và 
chuyển vị theo phương ngang, các thành phần khác 
là nhỏ và giả thiết bỏ qua. Dưới tác dụng của tải 
trọng ngang, do đặc điểm nền đất chỉ chịu nén, nên 
chỉ có các điểm nằm ở hoành độ dương của gốc tọa 
độ (x>0) mới xuất hiện các thành phần ứng suất và 
biến dạng. 
2.2 Mô hình cọc làm việc đồng thời với nền 
Xét một cọc nằm trong đất chịu tải trọng nằm 
ngang đặt ở đỉnh cọc. Cọc được chia làm n đoạn 
cọc, tương tác giữa các đoạn cọc và đất theo 
phương nằm ngang được thay thế bằng n lò xo kiểu 
Winkler như hình vẽ 2. 
Tương tác này có thể là tuyến tính khi các độ 
cứng lò xo k là hằng số hoặc phi tuyến khi độ cứng 
lò xo k thay đổi theo trạng thái ứng suất biến dạng 
của đất. 
Phương trình cân bằng tĩnh của bài toán hệ 
nhiều bậc tự do được viết như sau: 
    K U P (3) 
trong đó: 
Hình 2. Mô hình tương 
tác cọc-nền 
P k1
k 2
k 3
k n-2
k n-1
k n
§o¹n 1
§o¹n 2
§o¹n (n-2)
§o¹n (n-1)
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 49 
 K - ma trận độ cứng tổng thể của hệ, P - véc 
tơ tải trọng ngoài, U - véc tơ chuyển vị nút. 
Ma trận độ cứng tổng thể  K của hệ xác định 
bằng biểu thức: 
   mmK K  (4) 
trong đó: m - số phần tử trong hệ; 
[K]m - ma trận độ cứng riêng của phần tử trong 
hệ tọa độ tổng thể. Dấu tổng thể hiện cách ghép nối 
ma trận của phương pháp PTHH. 
Véc tơ chuyển vị nút chỉ gồm 2 thành phần: 
chuyển vị ngang và chuyển vị xoay của nút. 
Véc tơ tải trọng ngoài {P} giả thiết luôn đặt tại nút. 
2.3 Xây dựng bài toán tương tác hai cọc trong nhóm 
Xét 2 cọc i và j bất kỳ trong nhóm, khoảng cách 
2 tim cọc là ijr như trên hình 3. Giả thiết rằng lực 
ngang tác dụng lên đỉnh cọc i là P . Dưới tác dụng 
của tải trọng P, cọc i bị uốn và chuyển vị, tại các gối 
lò xo xuất hiện các thành phần phản lực. 
P k1
k 2
k 3
k n-2
k n-1
k n
Z
O X R1i
R2i
R3i
R (n-2)i
R (n-1)i
Rni
k1
k 2
k 3
k n-2
k n-1
k n
H­íng t­¬ng t¸c
Cäc i Cäc j
rij
 Hình 3. Mô hình tương tác 
jik
 ji1k
ji2k
ji3k
ji4k
ji5k
ji6k
ji7k






P
Rki
R ji1k
R
R
R
R
R
R
L/2
L
L
L
L
L
L/2
ji2k
ji3k
ji4k
ji5k
ji6k
ji7k
 Hình 4. Tương tác dọc thân cọc 
Gọi phản lực ở gối thứ k của cọc i là kiR . 
Lực kiR này sẽ lan truyền trong đất và gây ra 
các ứng suất tác dụng lên cọc j. Vì đất nền 
không chịu kéo nên chỉ những lực kiR mang 
dấu âm (gây nén nền đất giữa cọc i và j) mới 
ảnh hưởng đến cọc j. 
Gọi jixk là ứng suất pháp theo phương x 
tại vị trí gối lò xo thứ k của cọc j do phản lực kiR 
gây ra như trên hình 4, jik hoàn toàn được xác 
định dựa vào lời giải Mindlin theo công thức (2). 
Thực tế tính toán cho thấy, khi càng ra xa 
điểm đặt lực, các giá trị ứng suất trong đất do 
lực gây ra càng giảm dần. Trong bài toán thực 
hành, không nhất thiết phải xét ảnh hưởng phản 
lực lò xo Rki trên cọc i đến toàn bộ các lò xo 
khác trên cọc j mà chỉ cần xác định ảnh hưởng 
tại các vị trí lân cận. 
Để xem xét sự phân bố ứng suất pháp 
jixk trong đất, ta xét ví dụ sau: tách một đoạn cọc 
cạnh D, tác dụng lên tâm của đoạn cọc tải trọng 
ngang đơn vị P=1 như hình 5. Khảo sát sự phân bố 
ứng suất pháp x theo lời giải Mindlin theo công 
thức (2), tại các cao độ khác nhau như trên hình 6a 
và 6b. 
Giả thiết khi x 00,01.   (với 0 là ứng suất 
ngay tại mặt đoạn cọc), ta có thể coi ứng suất pháp 
do P gây ra xấp xỉ bằng 0 và có thể bỏ qua. 
Ta nhận thấy tại các cao độ z=±2,5D so với 
tâm đoạn cọc đang xét, ứng suất pháp x đạt 
giá trị rất nhỏ và vượt khỏi phạm vi cao độ 
Hình 5. Sơ đồ ví dụ 
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
50 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
z=±2,5D thì ta có thể coi là ứng suất pháp đã 
triệt tiêu. 
Theo phương của lực tác dụng, ảnh 
hưởng của ứng suất pháp lan truyền đến 
khoảng cách 4D và theo phương vuông góc 
với lực tác dụng, khoảng cách ảnh hưởng là 
2,5D. 
Trong quá trình tính toán, ứng suất pháp jixk 
có thể quy đổi thành lực tập trung jixkR đặt tại gối x 
của cọc j như sau: .D. .2 
 jixk jixk iR L (5) 
trong đó: D - đường kính cọc và Li - chiều dài 
đoạn cọc. 
 a) 
 b) 
Hình 6. Các đường đẳng ứng suất x tại các độ sâu khác nhau 
a) D=0,2m b) D=0,3m 
Với nhóm có N cọc, lực tập trung tại gối x của 
cọc j do N cọc gây ra được tính như sau: 
N n
jx jixk
i 1;i j k 1
R R
   (6) 
trong đó: jixkR - lực tập trung tại gối x cọc j do 
phản lực tại gối k cọc i gây ra; N - số cọc trong 
nhóm; n - số lò xo dọc thân cọc. 
3. Thí dụ số 
Dựa trên các phân tích trên, tác giả đã lập 
chương trình tính StaticHPG bằng ngôn ngữ lập 
trình Mathlab để phân tích nhóm cọc. Khảo sát các 
trường hợp móng có 4, 9 cọc. Giả thiết các cọc 
giống nhau và chỉ chịu tải trọng ngang. Phân tích 
hai trường hợp là đầu cọc tự do và đầu cọc ngàm 
cứng vào đài móng tuyệt đối cứng. 
3.1 Số liệu đầu vào 
Cọc BTCT 0,3 x 0,3m; dài 10m. Bê tông cọc 
B20 có 72,7.10 ( )bE kPa . 
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 51 
Nền đồng nhất có mô đun biến dạng E = 
12Mpa; hệ số Poisson 0,3  . 
Cọc được chia làm các đoạn dài 1m. 
Việc quy đổi giữa mô đun biến dạng E và độ 
cứng lò xo cọc k được lấy theo [2]. 
Lò xo đất được xem là đạt đến trạng thái chảy 
dẻo khi chuyển vị lò xo đạt giá trị D/60, theo Reese 
(1974)[3]. Khi đó ta dừng phân tích và coi đất xung 
quanh cọc đã chảy dẻo. 
3.2 Kết quả tính toán 
*Trường hợp 1: Đầu cọc tự do 
Ta tiến hành khảo sát cọc đơn nằm trong nhóm 
4 cọc (2x2) và nhóm 9 cọc (3x3) cọc, xem hình 7 và 
hình 8. 
 Hình 7. Sơ đồ bố trí nhóm 4 cọc 
 Hình 8. Sơ đồ bố trí nhóm 9 cọc 
Tải trọng giới hạn các cọc trong nhóm 4 cọc và 9 cọc được trình bày ở bảng 1 và 2. 
Bảng 1. Tải trọng giới hạn nhóm 4 cọc 
Khoảng cách 
tim cọc (S/D) 
Tải trọng giới hạn Pgh (kN) Hệ số suy giảm sức kháng 
cọc đơn cọc 1,3 cọc 2,4 cọc 1,3 cọc 2,4 
3 33.5 33.3 21.9 0.99 0.65 
6 33.5 33.4 29.6 1.00 0.88 
9 33.5 33.5 31.6 1.00 0.94 
Bảng 2. Tải trọng giới hạn nhóm 9 cọc 
Khoảng cách tim 
cọc (S/D) 
Tải trọng giới hạn (kN) 
cọc đơn cọc 4 cọc 1,7 cọc 2,8 cọc 5 cọc 3,9 Cọc 6 
3 33.5 33.2 33.3 21.7 20.7 19.3 18.0 
5 33.5 33.3 33.4 28.0 27.4 26.4 27.6 
6 33.5 33.4 33.5 29.5 29.0 28.2 29.4 
9 33.5 33.5 33.5 31.4 31.3 30.9 30.6 
Bảng 3. Hệ số suy giảm sức kháng các hàng trong nhóm 9 cọc 
Khoảng cách tim 
cọc (S/D) 
Hệ số suy giảm sức kháng (%) 
Hàng 1 Hàng 2 Hàng 3 
3 0.99 0.64 0.56 
5 1.00 0.83 0.80 
6 1.00 0.88 0.85 
9 1.00 0.94 0.92 
Trong đó, hệ số suy giảm sức kháng được tính 
bằng tỷ số sức kháng cọc trong nhóm và sức kháng 
cọc đơn (không xét hiệu ứng nhóm). 
* So sánh với các kết quả đã công bố: 
Kết quả tính được so sánh với kết quả thí 
nghiệm của Brown (1988)[7], Mcvay (1995)[6] và 
Rollines (2003)[5] như trong bảng 4. Từ đó đưa ra 
các hệ số suy giảm sức kháng cho từng hàng cọc. 
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
52 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 
Bảng 4. So sánh với các kết quả nghiên cứu khác 
TT Tác giả Kiểu mô hình 
Cọc Đầu 
cọc 
Hệ số suy giảm sức kháng 
Nhóm cọc Khoảng cách Hàng 1 Hàng 2 Hàng 3 
1 Brown (1988) Mô hình cọc thật 3x3 3D Tự do 0.8 0.4 0.3 
2 Rollines(2003) Mô hình cọc thật 3x3 3D Tự do 0.82 0.61 0.45 
3 McVay(1995) Máy ly tâm 3x3 5D Tự do 1 0.85 0.7 
4 Mô hình tính của tác giả 
Mô hình lý 
thuyết 
3x3 3D Tự do 0.99 0.64 0.56 
3x3 5D Tự do 1 0.83 0.8 
Nhận xét: Với hàng cọc đầu tiên, do giả thiết 
tính toán là đất không chịu kéo do đó các hàng cọc 
khác ảnh hưởng tương đối ít đến hàng cọc đầu. 
Ngoài ra, do không xét đến biến dạng dẻo trong đất, 
do đó không xét được ảnh hưởng của vùng chập 
ứng suất giữa các hàng cọc đến Pgh. Các hàng cọc 
khác cho kết quả khá tương thích với kết quả thí 
nghiệm. 
*Trường hợp 2: Nhóm cọc ngàm cứng vào đài 
cứng tuyệt đối 
Bài toán móng cọc đài cứng chịu tải trọng ngang 
được tính toán như sau: 
- Bước 1: Giải bài toán 1 - cọc trong nhóm cọc 
chịu tải trọng ngang liên kết cứng ở đỉnh cọc như 
hình 9, xác định độ cứng chống chuyển vị ngang 
của đỉnh cọc. 
Sau khi giải bài toán 1, giả thiết chuyển vị đỉnh xi 
của cọc thứ i trong nhóm thì độ cứng ngang của cọc 
tương ứng Kxi tính như sau: 
xi
i
PK x (7) 
Nếu không xét đến hiệu ứng nhóm thì các cọc 
đều coi là cọc đơn giống nhau và 
x2 x1 xNK K ... K với N là số cọc trong móng. 
Với bài toán lò xo phi tuyến thì Kxi được biểu 
diễn bằng một hàm số của xi. 
xi iK f (x ) (8) 
x1
P
x2
P
S
Z
O X
cäc 1 cäc 2
R j1
R j2
R j3
......
R j(n-1)
R jn
Hình 9. Sơ đồ tính cọc bước 1 
S
Kx1 Kx2
P x
Hình 10. Sơ đồ tính đài móng bước 2 
- Bước 2: Thay thế cọc bằng một lò xo nằm 
ngang, có độ cứng bằng với độ cứng chống chuyển 
vị ngang đỉnh cọc trong bước 1. Sơ đồ tính như trên 
hình 10. 
Dưới tải trọng ngang P đặt tại đỉnh móng, móng 
chuyển vị ngang một đoạn x. Do đài móng cứng 
tuyệt đối nên tất cả các đỉnh cọc trong móng đều có 
cùng chuyển vị ngang x, tuy nhiên do độ cứng lò xo 
các cọc trong móng là khác nhau nên phản lực lò xo 
không giống nhau. Ta có mối liên hệ giữa P và x 
như sau: 
N
xi
i 1
P K .x
  (9) 
Từ đó ta vẽ được biểu đồ quan hệ giữa P và x 
như trên hình 11 với hệ số hiệu ứng nhóm như bảng 5. 
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
Tạp chí KHCN Xây dựng – số 1/2017 53 
Bảng 5. Hệ số hiệu ứng nhóm cọc chịu tải trọng ngang 
Móng cọc Khoảng cách tim cọc S/D 
3 6 9 
(2x2) 0.84 0.94 0.97 
(3x3) 0.71 0.89 0.94 
Hình 11. Quan hệ tải trọng – chuyển vị ngang đỉnh móng 
4. Kết luận 
- Ảnh hưởng của nhóm cọc chịu tải trọng ngang 
có thể bỏ qua khi khoảng cách tim cọc ≥4D theo 
phương lực tác dụng và ≥2,5D theo phương vuông 
góc với lực tác dụng; 
- Với nền nhiều lớp, ta có thể chia đất và cọc 
thành các lớp có chiều dày ≤5D và có thể giả thiết 
tương tác giữa các cọc chỉ xảy ra trong phạm vi các 
lớp chia ra này; 
- Hiệu ứng nhóm cọc giảm rất nhanh khi khoảng 
cách cọc tĕng lên, hiệu ứng này thể hiện rõ rệt ở 
khoảng cách cọc 3D và giảm nhanh ở khoảng cách 
6D và 9D; 
- Kết quả bài báo cho phép dự đoán trên lý thuyết 
hệ số hiệu ứng nhóm khi thiết kế nhóm cọc chịu tải 
trọng ngang trong cả trường hợp đầu cọc tự do và 
ngàm cứng vào đài. Tuy nhiên, kết quả tính chỉ dự 
báo được khi nền đất giữa các cọc làm việc trong 
giai đoạn đàn hồi tuyến tính, cần có thêm những 
khảo sát khi nền chuyển sang giai đoạn chảy dẻo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phạm Tuấn Anh (2016), “Nghiên cứu sự làm việc của 
cọc đơn thông qua hiệu chỉnh đường cong t-z ứng với 
số liệu nén tĩnh cọc”, Tạp chí KHCN Xây dựng (số 4). 
[2]. Viện KHCN GTVT (2006), “Phân tích và lựa chọn các 
phương pháp tính hệ số nền”, Tạp chí Cầu đường 
Việt Nam (số 11). 
[3]. Cox, William R., Lymon C. Reese, and Berry R. 
Grubbs (1974). “Field Testing of LaterallyLoaded 
Piles in Sand”, Proceedings of Offshore Technology 
Conference, 6200 North CentralExpressway Dalla, 
Texas, paper number OTC 2079. 
[4]. Mindlin, R. D. (1936), "Force at a Point in the Interior 
of a Semi-Infinite Solid" Physics, Vol. 7. 
[5]. Rollins, K., Olsen, R., Egbert, J., Olsen, K., Jensen, 
D., and Garrett, B. (2003), “Response, analysis and 
design of pile groups subjected to static and dynamic 
lateral loads”, Utah Department of Transportation 
Research and Development Division. 
[6]. McVay, C. M, Shang, I.Te, and Casper, Robert 
(1996), “Centrifuge Testing of Fixed-Head Laterally 
Loaded Battered and Plumb Pile”, ASTM 
geotechnical testing journal, Vol 19, pp. 41-50. 
[7]. Brown, D.A., Morrison, C., and Reese L.c (1998). 
“Lateral load behavior of piel group in sand”, Journal 
of Geotechncial Engineering. Vol 114, No 11, pp: 
1261-1276. 
Ngày nhận bài:02/3/2017. 
Ngày nhận bài sửa lần cuối: 21/3/2017. 
ĐỊA KỸ THUẬT – TRẮC ĐỊA 
1