Nghiên cứu việc dạy học hệ đếm thập phân ở Tiểu học: Một đóng góp của mô hình tổ chức toán học tham chiếu

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION 
JOURNAL OF SCIENCE 
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC GIÁO DỤC 
Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
EDUCATION SCIENCE 
Vol. 14, No. 10 (2017): 15-27 
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
15 
NGHIÊN CỨU VIỆC DẠY HỌC HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC: 
MỘT ĐÓNG GÓP CỦA MÔ HÌNH TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU 
Lê Thị Hoài Châu1* 
Nguyễn Thị Minh Yến2 
1 
Khoa Toán - Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh 
2 Trường THPT Nam Kì Khởi Nghĩa - TP Hồ Chí Minh 
Ngày nhận bài: 08-8-2017; ngày nhận bài sửa: 18-9-2017; ngày duyệt đăng: 18-10-2017 
TÓM TẮT 
Hệ đếm thập phân chiếm một vị trí quan trọng ở đầu cấp tiểu học. Việc hiểu chức năng của 
nó là cơ sở để hiểu các tính toán, là điểm tựa để đổi các đơn vị đo, và sau này còn được mở rộng 
cho việc nghiên cứu các số thập phân. Vài nghiên cứu đã chỉ ra rằng học sinh có khó khăn trong 
việc học hệ đếm thập phân. Giải thích như thế nào hiện tượng ấy? Trong bài báo này, chúng tôi sẽ 
chỉ ra một đóng góp quan trọng của mô hình tổ chức toán học tham chiếu đối với việc tìm câu trả 
lời. Những đóng góp khác - không kém phần quan trọng, nhưng do khuôn khổ của bài viết chúng 
tôi chỉ điểm qua ở phần cuối cùng. 
Từ khóa: hệ đếm thập phân, tổ chức toán học tham chiếu, thuyết nhân học. 
ABSTRACT 
Study of the teaching of decimal numeration in elementary school: 
A contribution of the mathematical model of reference 
The decimal system holds an important role at the beginning of the primary level. 
Understanding its function is the basis for understanding the calculations, the fulcrum for changing 
units of measurement, and later extended to the study of decimal numbers. Some studies have 
shown that students have difficulty in learning the decimal system. How to explain this 
phenomenon ? In this article, we will show an important contribution of the model of mathematical 
organization of reference for the search for the elements of answer. Other contributions - 
important also, but in the context of this article we only make the point in the last part. 
Keywords: decimal system, reference mathematical organization, anthropology. 
1. Dạy học hệ đếm thập phân : tri thức nhắm đến 
Hệ đếm thập phân mà chúng ta sử dụng là một hệ thống dùng để chỉ các số. Nó là tri 
thức nền tảng của toán học và được đưa vào ngay từ bậc tiểu học, thậm chí sớm hơn, từ 
năm cuối ở trường mẫu giáo. Nó dùng để biểu thị không chỉ số nguyên mà còn cả số thập 
phân. Nó cần thiết cho việc đổi các đơn vị đo chiều dài, khối lượng. Đặc biệt, nó làm đơn 
giản hóa các phép tính. Để kiểm chứng điều này, bạn hãy thử thực hiện phép nhân hai số 
có nhiều chữ số viết theo hệ ghi số La-Mã. 
*
 Email: chaulth@hcmup.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
16 
Định lí cơ bản về phân tích một số nguyên theo một cơ sở b: Hệ đếm thập phân là 
một hệ đếm theo vị trí, cơ sở 10. Tri thức tham chiếu cho hệ đếm theo cơ sở b (số tự nhiên 
lớn hơn 1) là định lí phân tích một số nguyên ở dạng đa thức: 
Mọi số tự nhiên a khác không đều có thể viết được một cách duy nhất ở dạng 
a = anb
n + + a1b
1 + a0 
trong đó, n là số tự nhiên, ai là số tự nhiên thuộc đoạn 0; b - 1 với mọi i và an ≠ 0. 
Đây là định lí cơ bản của một hệ đếm. Hiểu hệ đếm thập phân là hiểu và sử dụng 
được định lí này với b = 10. Vì thế, nó là cơ sở để ta xác định tri thức nhắm đến trong dạy 
học hệ đếm thập phân. 
Các đơn vị đếm: Các thuật ngữ đơn vị, chục, trăm, nghìn, triệu được sử dụng rộng 
rãi. Chúng chỉ các đơn vị đếm. Giống như đếm 1, 2, 3 đơn vị, người ta có thể đếm 1, 2, 3 
chục. Các đơn vị đếm này chỉ lũy thừa của 10 mà không cần sử dụng cách viết dạng 10n. 
Bằng ngôn ngữ đơn vị đếm, định lí cơ bản về phân tích số nêu ở trên (với cơ số 
b = 10) có thể phát biểu là: Mọi số đều có thể phân tích được theo một cách duy nhất dưới 
dạng tổng của các đơn vị đếm, trong đó mỗi đơn vị có mặt không quá 9 lần. Ví dụ: 234 là 
2 trăm, 3 chục, 4 đơn vị. Cách phân tích này được gọi là phân tích chuẩn. “Chữ số ở hàng 
chục” trong cách nói của chúng ta chính là số lần xuất hiện đơn vị chục trong phân tích 
chuẩn này. Cũng tồn tại những cách phân tích không chuẩn khác, ví dụ như 560 là 4 trăm 
và 16 chục, hay 3 trăm 17 chục 90 đơn vị. 
Quan hệ giữa các đơn vị: Các đơn vị đếm không độc lập với nhau và việc hiểu thấu 
đáo quan hệ giữa chúng là một mục tiêu quan trọng của dạy học. Trong quan hệ này phải 
kể đến: 1 chục = 10 đơn vị, 1 trăm = 10 chục, 1 nghìn = 10 trăm, 1 chục nghìn = 10 nghìn, 
1 nghìn nghìn = 1 triệu Những quan hệ theo chiều ngược lại phức tạp hơn, nhưng cũng 
cần nắm vững. Chẳng hạn 5 nghìn = năm chục trăm, 1 nghìn = trăm chục. 
Hai phương diện của hệ đếm: vị trí và thập phân 
Hệ đếm thập phân liên kết hai phương diện: Phương diện vị trí và phương diện thập 
phân. Về phương diện vị trí, mỗi vị trí ứng với một đơn vị đếm. Chữ số đầu tiên tính từ 
phải sang trái ứng với hàng đơn vị, chữ số tiếp theo ứng với hàng chục Vì thế mà trong 
dãy các chữ số biểu thị một số thì cùng một chữ số nhưng ở các vị trí khác nhau sẽ có giá 
trị khác nhau. Về phương diện thập phân, cái quan trọng là mối liên hệ giữa các đơn vị 
đếm: Hai đơn vị đứng liền nhau hơn kém nhau mười lần. 
Hai phương diện này không tách rời nhau trong hệ đếm. Thế nhưng, khi nhìn cách 
viết một số (bằng dãy các chữ số) thì người ta không thấy xuất hiện cơ sở của hệ đếm. Các 
đơn vị khác nhau và mối liên hệ giữa chúng cũng không được nhìn thấy trong cách viết 
này. Đó chỉ là quy ước và học sinh phải hiểu những gì mà cách viết này che dấu. Kết hợp 
hai phương diện vị trí và thập phân là trọng tâm của việc dạy học hệ đếm thập phân. Đặc 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
17 
biệt, hiểu thấu đáo phương diện thập phân là cơ sở để hiểu các quy tắc tính toán (cộng, trừ, 
nhân, chia) sau này. 
2. Dạy học hệ đếm thập phân đặt ra vấn đề cần nghiên cứu 
 Về phía học sinh 
Một số giáo viên tiểu học mà chúng tôi có dịp tiếp xúc cho biết học sinh của họ phạm 
phải khá nhiều sai lầm khi giải các bài toán “viết số (được cho bằng lời)”, chẳng hạn: đã có 
không ít em cho đáp số “205” đối với bài tập “viết số hai mươi lăm”, hay tương tự, họ trả 
lời “2115” cho bài tập “viết số gồm 2 trăm, 11 chục và 5 đơn vị”. Sai lầm tồn tại khá dai 
dẳng, ngay cả khi thực hiện các phép tính, chẳng hạn kết quả của phép tính 34 + 5 được 
cho là 84. 
Không tìm thấy nghiên cứu của các tác giả Việt Nam về sai lầm, khó khăn của học 
sinh trong việc hiểu hệ đếm thập phân, nhưng chúng tôi có được khá nhiều nghiên cứu ở 
nước ngoài về vấn đề này. Dưới đây là vài ví dụ minh họa. 
Bednarz và Janvier (1984) sau 5 năm nghiên cứu với nhiều khảo sát đã chỉ ra một số 
khó khăn của học sinh Canada lứa tuổi 8 – 10. Đặc biệt, các em có khó khăn: 
“- để hiểu việc nhóm và vai trò của nó trong cách viết số theo quy ước, dù rằng việc nghiên 
cứu cách viết chiếm một vị trí cực kì quan trọng trong chương trình; 
- để hiểu sự cần thiết của các phép nhóm, cho dù trong quá trình học đã phải giải nhiều bài 
tập đòi hỏi phải thực hiện chúng; 
- để hiểu tại sao lúc thì nhóm, lúc thì lại tách; 
- khi phải làm việc đồng thời với việc nhóm ở hai đơn vị khác nhau ; 
- trong việc dùng các phép nhóm để giải thích quá trình tính toán, dẫn đến những sai lầm 
thường gặp trong tính toán.” 
(Bednarz và Janvier, 1984, tr.30) 
Để minh họa, hai tác giả này lấy ví dụ: Khi phỏng vấn, họ thấy rất ít học sinh giải 
thích được ý nghĩa của việc “mượn 1” bằng thuật ngữ “tách, nhóm” trong phép tính 234 – 
178. Trong số những học sinh được điều tra, chỉ 13% ở năm thứ 3 và 19% năm thứ 4 bậc 
tiểu học thực sự hiểu việc nhóm. Đó là lí do để học sinh phạm phải những sai lầm kiểu: 
Giải thích của học sinh: lấy số 
lớn trừ số bé: 8 – 4, 7 – 3, 2 – 1) 
Giải thích của học sinh: Vay 2 ở 
hàng trăm để thêm 10 vào hàng chục 
và 10 vào hàng đơn vị 
Hai mươi sáu năm sau, Tempier (2010) cũng nhận thấy chính những khó khăn ấy ở 
học sinh tiểu học Pháp. Dưới đây là hai ví dụ về sai lầm của HS trình độ CE2 ở Pháp 
(tương ứng với lớp 3 của Việt Nam) mà Tempier đã đưa ra: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
18 
3. Hãy điền tiếp 
a. 8 chục + 5 đơn vị = . 
b. 1 trăm + 9 chục + 3 đơn vị =  
c. 6 trăm + 9 đơn vị = . 
d. 7 đơn vị + 2 chục + 4 trăm =  
e. 3 chục + 6 trăm = . 
Théo – CE2 
Tác giả cho rằng có lẽ Théo có nhìn thấy mối liên hệ giữa đơn vị với thứ tự các chữ 
số, nhưng không thể kết hợp chúng với nhau. Élisa trả lời đúng cho bài tập số 3. Dường 
như em đã hiểu phương diện vị trí của hệ đếm. Nhưng như thế vẫn chưa đủ để thành công 
ở bài số 5. Trong trường hợp này, chẳng hạn ở câu c, cần phải hiểu phương diện thập phân, 
nắm mối liên hệ giữa các đơn vị để đi đến đáp số 623 (tham khảo Tempier, 2010, tr. 60-
61). 
 Về phía giáo viên 
Không chỉ nghiên cứu khó khăn của học sinh, Tempier (2010) còn chỉ ra những vấn 
đề cần xem xét cả về phía giáo viên, thông qua các công trình của Liping Ma (1999) và 
Parouty (2005). 
“Qua phỏng vấn nhiều giáo viên ở Mĩ, tác giả1 nhận thấy một số người đã không huy 
động kiến thức về hệ đếm để giải thích những kĩ thuật tính toán trong phép trừ và phép nhân. 
Thậm chí, khi giải thích, những giáo viên này đã sử dụng thuật ngữ “place value” (giá trị của 
các chữ số tùy thuộc vào vị trí của chúng) không hoàn toàn đúng như nghĩa của từ.” 
(Tempier, 2010, tr.59) 
Theo Liping Ma (1999), những giáo viên được phỏng vấn : 
“chỉ tập trung vào nửa đầu tiên, place, để nói về “place value”.  Khi nói về “cột 
hàng chục”, hay “cột hàng trăm”, họ không nhấn mạnh vào giá trị của chữ số ở cột ấy. Họ sử 
dụng “hàng chục”, “hàng trăm” chỉ như những cái nhãn gán cho các cột ấy mà thôi.” 
(Liping Ma, 1999, tr. 29. Trích theo Tempier, 2010, tr.59) 
Về phần mình, Parouty (2005) đã trao đổi với một số giáo viên tiểu học Pháp để tìm 
hiểu xem họ nghĩ gì về bài toán sau đây, dự định đưa ra cho học sinh trình độ CE2: “Để lát 
1 Liping Ma, 1999. (ND) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
19 
gạch một diện tích phẳng, người ta cần 8564 viên gạch vuông. Gạch được bán theo từng 
gói 100 viên. Vậy cần phải đặt mua bao nhiêu gói?”. Phần lớn giáo viên trả lời: “đấy là 
tình huống dạy học phép chia và không thể đặt ra cho học sinh CE2 được”. Quá ngạc 
nhiên, Parouty hỏi tiếp: “nếu chính bạn được yêu cầu thực hiện phép chia này thì bạn làm 
thế nào?”. Tất cả đều trả lời: “chỉ cần đọc trực tiếp số trăm thôi”. Tác giả bình luận: 
“Khi đặt ra tình huống lát gạch này, tôi đã không tưởng tượng là giáo viên lại đưa ra 
cách giải thích như vậy. Điều làm tôi ngạc nhiên là lợi ích của bài toán sẽ thay đổi, tùy theo 
việc họ đặt tình huống trong bối cảnh học đường hay bối cảnh cuộc sống hàng ngày, bối 
cảnh xã hội. Họ chờ đợi ở học sinh của mình những chiến lược mà chính họ cũng không huy 
động.” 
(Parouty, 2005. Trích theo Tempier, 2010, tr.60) 
Hiện tượng này xảy ra không phải do giáo viên thiếu kiến thức. Nó cần được giải 
thích trong mối liên hệ với những gì mà thể chế đặt ra cho việc dạy học hệ đếm thập phân. 
Những ràng buộc thể chế có ảnh hưởng lớn đến suy nghĩ của giáo viên về việc dạy các tri 
thức toán học. 
Ảnh hưởng của sự lựa chọn thể chế cũng là lí do mà Bednarz và Janvier viện dẫn để 
giải thích cho sai lầm của học sinh. Họ cho rằng nguyên nhân nằm ở những hoạt động 
được đưa ra cho học sinh trong dạy học. Trong những hoạt động ấy, “việc biểu diễn số 
theo hàng, tuân thủ thứ tự trong cách viết số theo quy ước”, “việc áp đặt quá sớm một sự 
biểu diễn theo thứ tự tất yếu sẽ dẫn trẻ đến chỗ giải thích cách viết bằng những thuật ngữ 
thứ tự, vị trí, và tách xa khỏi nghĩa thực sự gắn với vị trí theo cách nhóm”. Như vậy, để 
nghiên cứu việc dạy học toán nói chung, dạy học hệ đếm thập phân nói riêng, cần phải xem 
xét sự lựa chọn của thể chế, thông qua phân tích chương trình, sách giáo khoa (SGK), sách 
giáo viên, các đề thi quốc gia, v.v 
Tiếp theo dòng nghiên cứu, chúng tôi tự hỏi: Liệu học sinh Việt nam có gặp những 
khó khăn tương tự? Vì sao? Làm thế nào để họ làm chủ và huy động được các kiến thức về 
hệ đếm thập phân, một kiến thức toán học nền tảng? Thừa nhận cách giải thích của các tác 
giả trên, cũng là phù hợp với quan điểm của Thuyết nhân học, chúng tôi xác định rằng 
phân tích sự lựa chọn của thể chế là phương pháp nghiên cứu cần theo đuổi để tìm hiểu 
việc dạy học hệ đếm thập phân ở trường tiểu học Việt Nam. 
3. Thiết lập lưới các tổ chức toán học tham chiếu: vì sao và như thế nào ? 
Về mặt phương pháp luận, để phân tích sự lựa chọn của thể chế, chúng tôi đặt mình 
vào Thuyết nhân học trong Didactic (Chevallard, 1992) được hình thành từ khái niệm 
chuyển hóa sư phạm do Chevallard (1991) đề nghị. Khái niệm chuyển hóa sư phạm nhắc 
nhở nhà nghiên cứu và giáo viên tránh một cách nghĩ sai lầm, cho rằng tri thức toán học 
trình bày trong chương trình hay SGK tuy có được đơn giản hóa (để có thể dạy được và 
học được) nhưng vẫn là bản copy trung thành của tri thức bác học. Theo quan niệm này, 
người ta không đặt ra câu hỏi về sự thỏa đáng của những lựa chọn thể chế. Thực ra thì 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
20 
không phải chỉ có duy nhất một cách lựa chọn. Mà mỗi lựa chọn đều đặt ra nhiều ràng 
buộc và có ảnh hưởng lớn đến ứng xử của giáo viên cũng như học sinh. 
Sự lựa chọn của thể chế thể hiện một phần quan trọng ở những hoạt động đưa ra cho 
học sinh. Mỗi hoạt động thuộc một kiểu nhiệm vụ nào đó, là yếu tố đầu tiên trong bốn yếu 
tố tạo thành một tổ chức toán học, viết tắt là OM (gốc từ tiếng Pháp là Organisation 
Mathématique)
2
. Theo ngôn ngữ của khái niệm tổ chức toán học, Bosch và Gascon (2005) 
mô tả các mắt xích của quá trình chuyển hóa sư phạm bằng sơ đồ : 
Bosch và Gascon (2005) nhấn mạnh: không thể hiểu kiến thức học sinh học nếu 
không nghiên cứu các mắt xích của quá trình chuyển hóa sư phạm. Đó chính là lí do giải 
thích cho việc chúng tôi bàn đến vấn đề phân tích sự lựa chọn của thể chế - một trong các 
mắt xích đó, đối với việc dạy học hệ đếm thập phân. 
Như vậy, vấn đề là làm rõ các OM cần dạy. Ở đây, câu hỏi đặt ra cho nhà nghiên cứu 
là: lấy cái gì làm căn cứ để bàn về tính thỏa đáng của các OM cần dạy cũng như để xây 
dựng các tình huống dạy học? Chính phân tích tri thức luận sẽ mang lại câu trả lời cho câu 
hỏi này3. Phân tích đó sẽ giúp nhà nghiên cứu xác định những tổ chức toán học cần được 
triển khai trong dạy học. Bosch và Gascon (2005) gọi đó là các OM tham chiếu. 
“OM tham chiếu là OM mà nhà nghiên cứu xem là cơ sở để thực hiện phân tích của 
mình. Nó không nhất thiết phải trùng với OM bác học, vốn là nguồn gốc hình thành nên nó 
(vì trong OM tham chiếu đã chứa đựng những yếu tố của các OM bác học). Nhưng OM tham 
chiếu được diễn đạt theo những thuật ngữ rất gần gũi với các OM bác học. OM tham chiếu là 
OM mà nhà nghiên cứu dùng để kiểm chứng tính ngẫu nhiên và vì thế mà nó phải chịu 
những thay đổi thường xuyên”. 
(Bosch et Gascon, 2005. Trích theo Tempier, 2013, tr.12) 
Những OM tham chiếu liên quan đến đối tượng tri thức O là lưới vấn đề mà nhà 
nghiên cứu có thể sử dụng để xem xét các OM cần dạy, hay phân tíc ... một số 
(giữa hai số tròn 
chục, tròn trăm, 
liên tiếp) 
- Đặt số / đọc số trên 
một đường thẳng 
khắc vạch 
- Viết tới, viết lùi 
(hay đọc tới, đọc lùi) 
một dãy số 
Công nghệ 
Dãy đếm miệng theo 
đơn vị nhỏ nhất (một, 
hai, ba,) 
Xem chục, trăm, 
như những đơn vị đếm 
đơn giản (một chục, 
hai chục,, một trăm, 
hai trăm,) 
- Phương diện vị trí: 
các đơn vị từ bé đến 
lớn được viết theo thứ 
tự từ phải sang trái 
- Phương diện thập 
phân: mười đơn vị của 
một hàng bằng một 
đơn vị của hàng đứng 
ngay sau nó 
Cả hai phương diện 
của hệ đếm đều cần 
thiết cho việc giải 
thích các kĩ thuật giải 
quyết những kiểu 
nhiệm vụ trên 
Công nghệ chung  là “hệ đếm thập phân”, được cấu thành từ hai yếu tố, 
P nói về phương diện vị trí và D nói về phương diện thập phân. 
5. Phân tích thể chế: Một đóng góp quan trọng của mô hình tổ chức toán học tham 
chiếu 
Lưới các tổ chức toán học tham chiếu mang lại cho chúng tôi những yếu tố trả lời 
câu hỏi: Trong dạy học hệ đếm thập phân ở tiểu học, cái gì cần tồn tại và có thể tồn tại? 
Chúng tôi đã sử dụng lưới OM tham chiếu này để xem SGK toán bậc tiểu học đã tính đến 
những cái cần tồn tại này như thế nào. Đồng thời, để chỉ ra những cái có thể tồn tại, chúng 
tôi đặt phân tích SGK Việt Nam trong mối quan hệ so sánh với những kiểu nhiệm vụ hiện 
diện trong: 
- Hàng loạt SGK hiện hành, trình độ CE2 của Pháp, được tham khảo từ công trình của 
Tempier (2013). Trong bảng 2 chúng tôi dùng chữ cái P để chỉ các SGK này; 
- Các SGK toán tiểu học của Việt Nam, được kí hiệu bằng VN. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
23 
Kết quả phân tích của chúng tôi được trình bày tóm tắt trong Bảng 2. Chúng tôi 
không nói đến các yếu tố kĩ thuật, công nghệ, lí thuyết của những tổ chức toán học hình 
thành từ các kiểu nhiệm vụ được liệt kê qua phân tích các SGK. 
Bảng 2. Những kiểu nhiệm vụ hiện diện trong các SGK được phân tích 
OM địa 
phương 
Kiểu nhiệm vụ P VN 
OMcard 
T1 : Đếm số phần tử của một tập hợp 
T2 : Tạo ra một tập hợp ứng với số 
T3 : So sánh các tập hợp 
OMtrad 
T4 
Phân 
tích 
một 
số 
T41: Phân tích số 1 2 3 4a a a a thành các nghìn, trăm, chục, đơn 
vị 
T42: Phân tích số 1 2 3 4a a a a thành tổng các số tròn nghìn, tròn 
trăm, tròn chục, đơn vị 
T43: Phân tích số 1 2 3 4a a a a thành tổng các số tròn nghìn, tròn 
trăm, tròn chục, đơn vị dưới dạng các lũy thừa của 10 
T44: Phân tích số 1 2 3 4a a a a thành các nghìn, trăm, chục, đơn 
vị dưới dạng bảng 
T45: Xác định số chục, số trăm, số nghìn của số 
T46: Xác định giá trị của chữ số a trong một số cho trước 
T47: Viết các chữ số thuộc lớp nghìn, lớp đơn vị của một số 
T5 
Tổng 
hợp 
(tạo 
ra) 
một 
số 
T51: Viết số biết số đó gồm 
1 2 3 4000, 00, 0, a a a a
*
1 2 3 4N ; , , Na a a a và đều nhỏ 
hơn hay bằng 9 
T52: Viết số biết số đó gồm 1a nghìn, 2a trăm, 3a chục, 4a 
đơn vị trong đó *
1 2 3 4N ; , , Na a a a và đều nhỏ hơn hay 
bằng 9 
T53: Viết số biết số đó gồm 
1a nghìn, 2a trăm, 3a chục, 4a 
đơn vị trong đó *
1 2 3 4N ; , , Na a a a 
T6: Chuyển đổi giữa các đơn vị đếm trăm, chục, đơn vị 
T7 : Viết số biết phát biểu bằng lời của số đó 
T8 : Đọc số 
OMord 
T9 : So sánh hai số tự nhiên 
T10 : Sắp xếp thứ tự một dãy số 
T11 : Tìm số nằm giữa hai số a và b (a < b) 
T12 : Đóng khung một số giữa hai số tròn chục liên tiếp 
T13 : Đặt số / đọc số trên một đường thẳng khắc vạch 
T14 : Viết tới, viết lùi một dãy số 
So với danh sách các kiểu nhiệm vụ trong Bảng 1, phân tích SGK Việt Nam chỉ cho 
chúng tôi thấy thêm hai tổ chức toán học điểm thuộc OMtrad, được hình thành từ kiểu 
nhiệm vụ T46 (xác định giá trị của chữ số a trong một số cho trước) và T47 (viết các chữ 
số thuộc lớp nghìn, lớp đơn vị của một số). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
24 
Trong các kiểu nhiệm vụ trên, có 8/22 liên quan đến phương diện thập phân là: T1, 
T42, T43, T45, T46, T51, T53 và T6, còn lại thì đến liên quan phương diện vị trí. Bảng trên 
cho thấy ở Pháp phương diện vị trí được ưu tiên với số kiểu nhiệm vụ nhiều hơn hẳn 
(13/20). Ghi nhận này dẫn Tempier đến kết luận rằng học sinh Pháp hiểu phép đếm chủ 
yếu dựa trên phương diện vị trí và như vậy sự ít chú trọng phương diện thập phân được 
xem là nguồn gốc của những khó khăn (Tempier, 2010). Thế nhưng nguyên lí thập phân lại 
cần thiết cho hệ đếm. Nguyên lí này có thể được làm việc qua các hoạt động huy động các 
quy tắc lập nhóm và rã nhóm. Theo tác giả thì hiện nay một số SGK Pháp đã chú trọng 
nhiều hơn đến các kiểu nhiệm vụ có huy động phương diện thập phân, cụ thể là T53, T6 đã 
xuất hiện khá nhiều. 
Ở Việt Nam, trong các SGK hiện hành dùng cho lớp 3, 4 hoàn toàn không xuất hiện 
T2, T43, T53, T6 và như vậy chỉ có 5/18 kiểu nhiệm vụ liên quan phương diện thập phân. 
Đối với T5, thể chế dạy học toán lớp 3, 4 Việt Nam cũng có đưa vào hai kiểu nhiệm 
vụ T51 (viết số biết số đó gồm 
1 2 3 4000, 00, 0, a a a a ) và T52 (Viết số biết số đó gồm 1a 
nghìn, 2a trăm, 3a chục, 4a đơn vị trong đó 
*
1 2 3 4N ; , , Na a a a và đều nhỏ hơn hay 
bằng 9). Tuy nhiên, có một sự khác biệt trong cả hai kiểu nhiệm vụ trên: Trong SGK Pháp 
thì các đơn vị đếm có thể được sắp xếp theo thứ tự ngẫu nhiên, còn ở SGK Việt Nam thì 
chúng luôn luôn được xếp theo thứ tự từ hàng cao đến hàng thấp. Điều này có thể dẫn đến 
việc hình thành một quy tắc hành động mà theo đó thì khi viết thành số học sinh sẽ đặt lại 
các đơn vị đếm theo đúng thứ tự mà chúng được liệt kê trong đề bài tập. Quy tắc đó làm 
mờ đi ý nghĩa của phương diện thập phân, chỉ chú trọng phương diện vị trí. Do đó, việc sắp 
xếp các đơn vị đếm theo thứ tự ngẫu nhiên là cần thiết, nhằm tái lập lại ý nghĩa của phương 
diện thập phân, đồng thời cho thấy quy tắc hành động vừa nêu trên không mang lại câu trả 
lời chính xác nữa. Ngoài ra, trong các SGK toán lớp 3, 4 của Việt Nam hoàn toàn vắng mặt 
kiểu nhiệm vụ T53 (viết số biết số đó gồm 1a nghìn, 2a trăm, 3a chục, 4a đơn vị trong 
đó 
*
1 2 3 4N ; , , Na a a a ). Đây là một sự bổ sung quan trọng cho T52. Với T53 thì các 
đơn vị đếm ở mỗi hàng có thể lớn hơn 9, đòi hỏi học sinh phải hiểu được các đơn vị đếm 
và mối quan hệ giữa chúng (phương diện thập phân). 
Kiểu nhiệm vụ T6 chính là bước đệm cần thiết để thực hiện T53. Ngoài ra, trong luận 
án của mình, Tempier đã chỉ ra sự cần thiết và tầm quan trọng của T6. Ta thấy, yếu tố công 
nghệ của T6 là cơ sở để giải thích cho các kĩ thuật tính toán. Để minh họa, hãy xét một 
phân tích về kĩ thuật thực hiện phép toán cộng: 
“Trong trường hợp phép cộng, khi chúng ta thực hiện 1593 + 345, cần phải sắp xếp 
hai số từ bên phải để các chữ số cùng hàng ở hai số nằm thẳng cột với nhau. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
25 
Trong khoảng hàng chục, chúng ta cộng 4 chục với 9 chục, chúng ta có được 13 chục 
mà chúng ta sau đó phải chuyển đổi sang 1 trăm và 3 chục. Vì vậy, có việc giữ lại 1 trong 
hàng trăm (nhớ 1 ở hàng trăm). Kĩ thuật được biện minh như sau: phương diện vị trí để biện 
minh cho sự sắp xếp theo chiều dọc của các con số và phương diện thập phân để biện minh 
cho sự chuyển đổi giữa các đơn vị (mối quan hệ 10 chục = 1 trăm cho ví dụ trên). 
Trong trường hợp cộng có nhớ ở hàng cao nhất, chẳng hạn như 512 + 834, chuyển đổi 
được thực hiện trực tiếp trong kết quả. Ở ví dụ này : 5 trăm + 8 trăm = 13 trăm, tức là 1 
nghìn và 3 trăm, chúng ta viết 3 cho hàng trăm và 1 cho hàng nghìn.” 
(Tempier, 2013, tr 55) 
Để làm rõ hơn vị trí trong thể chế Việt Nam của các OM mà yếu tố công nghệ liên 
quan đến phương diện thập phân, chúng tôi cũng thống kê số lượng bài tập trong SGK và 
sách bài tập (SBT) toán 3, 4. Kết quả thu được là: 
Bảng 3. Bảng thống kê số lượng bài tập theo 2 phương diện vị trí và thập phân 
Phương diện SGK, SBT Toán 3 SGK, SBT Toán 4 Tổng 
Vị trí 105 (94,6%) 91 (82,7%) 196 (88,7%) 
Thập phân 6 (5,4%) 19 (17,3%) 25 (11,3%) 
Bảng thống kê cho thấy dù là lớp 3 hay lớp 4 thì số lượng bài tập có huy động phương 
diện vị trí cũng chiếm tỉ lệ áp đảo so với số bài tập cần huy động phương diện thập phân: 
94,6% đối lập với 5,4% ở lớp 3 và 82,7% đối lập với 17,3% ở lớp 4. Tuy nhiên có thể thấy từ 
lớp 3 lên lớp 4 thì tỉ lệ bài tập loại thứ hai đã tăng lên đáng kể, từ 5,4% lên 17,3%, cho dù 
vẫn còn khá khiêm tốn so với phương diện vị trí. Như vậy, thể chế dạy học toán lớp 3, 4 Việt 
Nam cũng ưu tiên phương diện vị trí so với phương diện thập phân khi dạy học các nội dung 
về hệ đếm thập phân. Hiện tượng này cũng gặp trong thể chế dạy học lớp CE2 của Pháp. 
Chúng tôi nhắc lại rằng, các tác giả Pháp đã kết luận: Chính sự chưa chú trọng đúng mức 
phương diện thập phân là nguồn gốc của những sai lầm phổ biến ở học sinh. 
6. Kết luận: đóng góp của mô hình OM tham chiếu 
Lưới các OM tham chiếu một công cụ hiệu quả giúp nhà nghiên cứu làm rõ những 
nét chuyên biệt của thể chế dạy học một tri thức toán học xác định: cái gì cần tồn tại nhưng 
đã không tồn tại hoặc chỉ hiện diện mờ nhạt trong thể chế? Trong trường hợp của chúng tôi 
thì lưới OM tham chiếu do Tempier xây dựng là cơ sở để xem xét quan hệ của thể chế dạy 
học toán ở tiểu học Việt Nam với hệ đếm thập phân. Phân tích chương trình, SGK đặt 
trong cách tiếp cận của Thuyết nhân học và lưới OM tham chiếu đã cho phép chúng tôi trả 
lời các câu hỏi: Trong thể chế dạy học toán bậc tiểu học, hai phương diện vị trí và thập 
phân hiện diện như thế nào? Việc dạy và học phải chịu những ràng buộc gì? Đâu là hệ quả 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 
26 
có thể dự đoán trước của chúng? Cái gì cần phải được bổ sung cho quan hệ của thể chế 
được xem xét với đối tượng hệ đếm thập phân? 
Lưới OM tham chiếu còn giúp cho nhà nghiên cứu thiết kế các tình huống dạy học. 
Chúng tôi nhắc lại: “ OM tham chiếu là OM mà nhà nghiên cứu dùng để kiểm chứng tính 
ngẫu nhiên và vì thế mà nó phải chịu những thay đổi thường xuyên”. Như vậy, sau tiến 
trình hai bước để thiết lập lưới các OM tham chiếu mà chúng tôi đã nói ở trên (nghiên cứu 
tri thức bác học; sử dụng những kết quả phân tích thể chế trong một số công trình đã có) 
thì bằng cách đưa thêm vào những yếu tố mới, nhà nghiên cứu có thể xây dựng tình huống 
dạy học nhắm đến một hay một số OM tham chiếu nào đó. 
Trong thực tế, chúng tôi đã chọn OM hình thành từ kiểu nhiệm vụ T6: chuyển đổi 
giữa các đơn vị đếm - do sự cần thiết của nó đối với việc hiểu và sử dụng hệ đếm thập 
phân. Trong tình huống dạy học này, OM mà chúng tôi xây dựng chứa đựng thêm ba yếu 
tố sau mà chúng tôi muốn đưa thêm vào để kiểm chứng tính thỏa đáng của chúng. 
Yếu tố thứ nhất là học sinh phải được làm việc với những số lớn. 
Yếu tố thứ hai là trình huống có sử dụng phương tiện trực quan. Đây là một phương 
tiện không thể thiếu đối với dạy học nhiều tri thức toán ở bậc tiểu học. Để dạy hệ đếm thập 
phân, SGK Toán lớp 1 đã dùng các que tính: 1 que tính rời biểu diễn 1 đơn vị, 10 que tính 
được bó lại biểu diễn cho 1 chục hay 10 đơn vị. Ngoài que tính, các hình vẽ (bông hoa, con 
chim, v.v) cũng được sử dụng khi trình bày các phép tính cộng, trừ, nhân, chia. Đến lớp 
2, khi học số tự nhiên trong phạm vi 1000, học sinh được học thêm đơn vị đếm mới là 
“trăm”, “nghìn” và biết thêm quan hệ mới giữa các đơn vị (10 chục bằng 1 trăm, 10 trăm 
bằng 1 nghìn). Lúc này phương tiện que tính không còn tiện lợi nên người ta dùng mô hình 
các ô vuông. Khi học sang vòng số lớn hơn (ở lớp 3, 4), mô hình ô vuông cũng không còn 
tiện lợi cho việc biểu diễn mối quan hệ giữa các đơn vị. Lúc này người ta dùng các hình 
lập phương và các thẻ có ghi số (tham khảo Nguyễn Thị Minh Yến, 2017). So với thẻ ghi 
số, các hình lập phương trực quan hơn, nhưng lại chỉ thuận lợi cho những số có nhiều nhất 
là 7 chữ số. Có lẽ vì khó khăn của việc dùng phương tiện trực quan để trình bày những vấn 
đề liên quan đến các số lớn nên loại phương tiện này ít được khai thác cho việc nghiên cứu 
các vòng nhiều chữ số. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi muốn đưa vào trong tình huống 
dạy học những số lớn với phương tiện trực quan là các thẻ số. 
Yếu tố thứ ba mà chúng tôi tính đến được đặt trong phạm vi Lí thuyết tình huống. 
Hoạt động được thiết kế dưới dạng trò chơi, có chứa đựng sự trao đổi giữa các thành viên 
cùng đội và sau đó là giữa các đội. Phương tiện vật chất (thẻ số) trao cho học sinh làm việc 
tạo nên môi trường phản hồi để loại bỏ các chiến lược không dẫn đến thành công. Bạn đọc 
có thể tham khảo tình huống được thiết kế trong Nguyễn Thị Minh Yến (2017). 
Một đóng góp thứ ba của mô hình OM tham chiếu nằm ở những nghiên cứu thực 
hành dạy học của giáo viên. Nó cho phép ta phân tích các OM được giáo viên triển khai 
trong lớp học. Đây là một hướng phát triển tiếp theo cho nghiên cứu mà chúng tôi đã thực 
hiện trong Nguyễn Thị Minh Yến (2017). 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu và tgk 
27 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Bessot A., Comiti C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. (2004). Những yếu tố cơ bản của didactic 
toán (Éléments fondamentaux de didactique des mathématiques) - Sách song ngữ Việt-Pháp. 
NXB ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh. 
Lê Thị Hoài Châu. (2017). Sự cần thiết của phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu về hoạt 
động dạy học và đào tạo giáo viên. Kỉ yếu Hội thảo CIDMath 6, NXB Đại học Sư phạm 
Thành phố Hồ Chí Minh 
Đỗ Đình Hoan, (Chủ biên) và các tác giả. (2014). Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4. NXB Giáo dục 
Việt Nam. 
Đỗ Đình Hoan. (Chủ biên) và các tác giả. (2014). Sách giáo viên Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4. 
NXB Giáo dục Việt Nam. 
Bednarz, N., Janvier, B. (1984). La numération: les difficultés suscitées par son apprentissage, 
Grand N, N°33, 5-31. 
Bosch M. et Gascon J. (2005). La praxéologie comme unité d’analyse des processus didactiques. In 
Mercier A., Margolinas C. (eds). Balises pour la didactique des mathématiques, Edition la 
Pensée Sauvage, Grenoble, 177-122. 
Chaachoua Yasmina (2016), Praxéologie de référence de l’aspect décimal de la numération par la 
manipulation selon le modèle T4TEL, Mémoire de Master 2, Université de Grenoble Alpes. 
Chambris C. (2012). Consolider la maîtrise de la numeration et des grandeurs à l’entrée au collège. 
Le système métrique peut-il être utile ? Petit x, N°89, 5-31, Edition La Pensée Sauvage, 
Grenoble, France. 
Chevallard. (1991). La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné. Edition La 
Pensée Sauvage, Grenoble, France. 
Chevallard. (1992). Conceps fondamentaux de la Didactique: Perspectivé apportées par une 
approche anthropologique, Recherche en Didactique des Mathématiques, N° 12 (1), 73-112. 
Ma L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics. Edition L’harmattant, 259-312. 
Parouty V. (2005). Compter sur lé erreurs pour compter sans erreurs: état des lieux sur 
l’enseignement de la numération décimale de position au cycle 3. Actes du XXXIème colloque 
COPIRELEM. IREM de Toulouse. 
Tempier F. (2010). Une étude dé programmé et manuels sur la numeration décimale au CE2, 
Grand N, N° 86, 59-90. 
Tempier F. (2013). La numération décimale de position à l’école primaire. 
Une ingénierie didactique pour le développement d’une ressource, Thèse de doctorat, 
Université Paris 7.