Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 11: Ổn định của sự thanh thẳng chịu nén đúng tâm

 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 1 
Chương 11 
ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 
11.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG 
Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, một thanh phải thỏa mãn 
điều kiện bền và cứng, như đã được trình bày trong các chương trước đây. 
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, thanh còn phải thỏa mãn thêm điều 
kiện ổn định. Đó là khả năng duy trì hình thức biến dạng ban đầu nếu bị 
nhiễu. Trong thực tế, nhiễu có thể là các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính 
như độ cong ban đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng... 
Khái niệm ổn định có thể minh họa bằng cách xét sự cân bằng của 
quả cầu trên các mặt lõm, lồi và phẳng trên H.11.1. 
 Nếu cho quả cầu một chuyển dịch nhỏ (gọi là nhiễu) từ vị trí ban đầu 
sang vị trí lân cận rồi bỏ nhiễu đi thì: 
- Trên mặt lõm, quả cầu quay về vị trí ban đầu: sự cân bằng ở vị trí 
ban đầu là ổn định. 
- Trên mặt lồi, quả cầu chuyển động ra xa hơn vị trí ban đầu: sự cân 
bằng ở vị trí ban đầu là không ổn định. 
- Trên mặt phẳng, quả cầu giữ nguyên vị trí mới: sự cân bằng ở vị trí 
ban đầu là phiếm định. 
Hiện tượng tương tự cũng có thể xảy ra đối với sự cân bằng về trạng 
thái biến dạng của hệ đàn hồi. Chẳng hạn với thanh chịu nén trên H.11.2. 
Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn đúng 
tâm...) thì thanh sẽ giữ hình dạng thẳng, chỉ co ngắn do chịu nén đúng 
tâm. Nếu cho điểm đặt của lực P một chuyển vị bé δ do một lực ngang nào 
đó gây ra, sau đó bỏ lực này đi thì sẽ xảy ra các trường hợp biến dạng như 
sau: 
H.11.1 Sự cân bằng về vị trí của quả cầu 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 2 
+ Nếu lực P nhỏ hơn một giá trị Pth nào đó, gọi là lực tới hạn, tức là 
P < Pth, thì thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng. Ta nói thanh 
làm việc ở trạng thái ổn định. 
 + Nếu P > Pth thì chuyển 
vị δ sẽ tăng và thanh bị cong 
thêm. Sự cân bằng của trạng 
thái thẳng (δ = 0) là không ổn 
định. Ta nói thanh ở trạng 
thái mất ổn định .Trong thực 
tế thanh sẽ có chuyển vị δ và 
chuyển sang hình thức biến 
dạng mới bị uốn cong, khác 
trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực. 
+ Ứng với P = Pth thì thanh vẫn giữ nguyên chuyển vị δ và trạng thái 
biến dạng cong. Sự cân bằng của trạng thái thẳng là phiếm định. Ta nói 
thanh ở trạng thái tới hạn 
 H.11.3 giới thiệu thêm vài kết cấu có thể bị mất ổn định như dầm 
chịu uốn, vành tròn chịu nén đều 
 Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ 
của một thanh cũng dẫn tới sự sụp đổ 
của toàn bộ kết cấu. Tính chất phá 
hoại do mất ổn định là đột ngột và 
nguy hiểm. Trong lịch sử ngành xây 
dựng đã từng xảy ra những thảm họa 
sập cầu chỉ vì sự mất ổn định của một 
thanh dàn chịu nén như cầu Mekhelstein ở Thụy Sĩ (1891), cầu Lavrentia ở 
Mỹ (1907)... Vì vậy khi thiết kế cần phải đảm bảo cả điều kiện ổn định, 
ngoài điều kiện bền và điều kiện cứng đã nêu trước đây. 
Điều kiện ổn định: [ ]
ôđ
ôđ k
PPP th=≤ (11.1) 
 Hay : [ ]
ôđ
ôđ k
PPN thz =≤ (11.2) 
kôđ : Hệ số an toàn về mặt ổn định, do quy định, và thường lớn hơn hệ 
số an toàn về độ bền n. 
P ( hay Nz ) : Lực nén ( nội lực nén ) thanh. 
 P< Pth 
a) 
P= Pth 
δ
P> Pth 
TT Oån định
b) 
TT tới hạn
c) 
TT mất Oån định
H. 11.2 Sự cân bằng của TT biến dạng 
q > qth 
P > Pth 
H. 11.3 Các dạng mất ổn định
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 3 
11.2 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI 
1- Tính lực tới hạn Pth thanh có kết khớp hai đầu ( Bài toán Euler) 
Xét thanh thẳng liên kết khớp hai đầu, 
chịu nén bởi lực tới hạn Pth. Khi bị nhiễu, 
thanh sẽ bị uốn cong và cân bằng ở hình 
dạng mới như trên H.11.4a. 
 Đặt hệ trục toạ độ (x,y,z) như H.11.4a 
 Xét mặt cắt có hoành độ z ; 
 Độ võng ở mặt cắt nầy là y. 
 Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi: 
EJ
My −='' (a) 
Với: mômen uốn M = Pth y (b) (từ điều kiện cân bằng trên H.11.4b) 
 (b) vào (a) ⇒ 
EJ
yPy th−='' hay 0'' =+ y
EJ
Py th 
 Đặt: 
EJ
Pth=2α ⇒ 02'' =α+ yy (c) 
 Nghiệm tổng quát của (c) là: 
 sin( ) cos( )y A z B zα α= + (d) 
 Các hằng số được xác định từ điều kiện biên y(0) = 0 và y(L) = 0. 
Với: y(0) = 0 ⇒ B = 0 
 y(L) = 0 ⇒ sin( ) 0A Lα = 
để bài toán có nghĩa 0)( ≠zy ⇒ 0≠A , ⇒ sin( ) 0Lα = 
phương trình này có nghiệm L nα π= , với n = 1, 2, 3,... 
 ⇒ 2 22th n EJP L
π= (e) 
Thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất theo (e) ứng với n = 1 
thì thanh đã bị cong. Vì vậy, các giá trị ứng với n > 1 không có ý nghĩa. 
Ngoài ra, thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ nhất. 
Do đó, công thức tính lực tới hạn của thanh thẳng hai đầu liên kết khớp là: 
2
min
2th
EJP
L
π= (11.3) 
 Đường đàn hồi tương ứng có dạng một nửa sóng hình sine: 
 sin( )zy A
L
π= (11.4) 
với: A là một hằng số bé, thể hiện độ võng giữa nhịp. 
H. 11.4 
l y(z)
Pth
y
M
y
b)
PthPth
z
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 4 
2- Tính Pth thanh có các liên kết khác ở đàu thanh 
Áp dụng phương pháp trên cho thanh có các liên kết khác nhau ở hai 
đầu, ta được công thức tính lực tới hạn có dạng chung: 
2 2
min
2th
m EJP
L
π= (11.5) 
với: m - là số nửa sóng hình sine của đường đàn hồi khi mất ổn định. 
 Đặt 
m
1=μ , gọi là hệ số quy đổi, (11.5) thành 
 ( )
2
min
2th
EJP
L
π
μ= (11.6) 
(11.6) được gọi chung là công thức Euler 
Dạng mất ổn định và hệ số μ của thanh có liên kết hai đầu khác nhau 
thể hiện trên H.11.5. 
3- Ứng suất tới hạn 
Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực Pth gọi là ứng 
suất tới hạn và được xác định theo công thức: 
 ( ) ( )
2 2 2 2
min min
2 2 2
min
th
th
P EJ Ei E
F L F L L
i
π π πσ μ μ μ= = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 (11.7) 
vớiù: 
F
Ji minmin = là bán kính quán tính nhỏ nhất của tiết diện . 
 Đặt 
min
L
i
μλ = : độ mảnh của thanh (11.8) 
 (11.7) thành: 2
2
λ
π=σ Eth (11.9) 
Độ mảnh λ không có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều 
kiện liên kết và đăïc trưng hình học của tiết diện; thanh có độ mảnh càng 
lớn thì càng dễ mất ổn định. 
m=1/2
μ= 2 
H. 11.5 Dạng mất ổn định và hệ số μ 
m= 1
μ= 1
m= 1,43
μ= 0,7
m= 2 
μ= 1/2
m= 1 
μ= 1
m=1/2
μ= 2 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 5 
4- Giới hạn áp dụng công thức Euler 
Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình vi phân đường 
đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn 
đàn hồi, tức là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ: 
 tlth E σ≤λ
π=σ 2
2
hay: 
tl
E
σ
π≥λ
2
 (f) 
 Nếu đặt: 
tl
o
E
σ
π=λ
2
 (11.10) 
thì điều kiện áp dụng của công thức Euler là: 
 oλ≥λ (11.11) 
trong đó: λo - được gọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng số đối với mỗi 
loại vật liệu. 
Thí dụ: Thép xây dựng thông thường λo = 100, gỗ λo = 75; gang λo = 80. 
 Nếu oλλ ≥ thì gọi là độ mảnh lớn. 
Như vậy, công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh có độ mảnh lớn. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 6 
11.3 ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI 
1- Ý nghĩa 
Công thức Euler chỉ áp dụng được khi vật 
liệu đàn hồi. Đồ thị của phương trình (11.6) là 
một hyperbola như trên H.11.6, chỉ đúng khi 
tlth σσ ≤ . 
Khi tlth σσ f ⇔ vật liệu làm việc ngoài miền 
đàn hồi, cần thiết phải có công thức khác để tính Pth. 
2- Công thức thực nghiệm Iasinski 
Công thức Iasinski được đề xuất dựa trên nhiều số liệu thực nghiệm, 
phụ thuộc vào độ mảnh của thanh. 
 - Thanh có độ mảnh vừa oλλλ p≤1 : 
 bath λ−=σ (11.12) 
với: a và b là các hằng số phụ thuộc vật liệu, được xác định bằng thực 
nghiệm: • Thép xây dựng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2 
 • Gỗ: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2 
độ mảnh λ1 được xác định từ công thức: 
b
a tlσ−=λ1 (11.13) 
thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị 40301 ÷=λ 
 - Thanh có độ mảnh bé 1λλ p : Khi này thanh không mất ổn định mà 
đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu. Vì vậy, ta coi: 
 bth σσσ == 0 đối với vật liệu dòn 
 chth σσσ == 0 đối với vật liệu dẻo (11.14) 
 và Lực tới hạn của thanh : Pth = σ th . F (11.15) 
Hyperbola Euler
I asinski 
λ1 λ
H. 11.6 Ứng suất tới hạn
στh
σ0στl
λ0 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 7 
Thí dụ 11.1 Tính Pthï và σth của một cột làm bằng thép số 3 có mặt cắt 
ngang hình chữ Ι số 22. Cột có liên kết khớp hai đầu. Xét hai trường hợp: 
a. Chiều cao của cột 3,0 m 
b. Chiều cao của cột 2,25 m 
Biết: E = 2,1.104 kN/cm2;σtl = 21 kN/cm2 ; λo = 100 
Các hằng số trong công thức Iasinski : a= 33,6 kN/cm2, b=0,147 kN/cm2 
 Giải. 
Tra bảng thép định hình (phụ lục ) ta có các số liệu của thép Ι No22: 
2
min 6,30F ; 27,2 cmcmii y === ; theo liên kết của thanh thì ta có 1=μ . 
 + Trường hợp a) 
 Độ mảnh : 100132
27,2
300.1
min
=>=== oi
l λμλ 
 Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng công thức Euler 
 22
42
2
2
/ 88,11
132
10.1,2 cmkNEth === πλ
πσ 
 ⇒ kNFP thth 62,3636,30.88,11 === σ . 
 + Trường hợp b) 
 Độ mảnh : 0
min
11,99
27,2
225.1 λμλ <===
i
l 
 7,85
147,0
216,33
1 =−=σ−=λ b
a tl 01 λ<λ<λ→ 
 Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski: 
 2/37,2090.147,06,33 cmkNbath =−=λ−=σ 
 kNFP thth 32,6236,30.37,20 === σ . 
Chú ý: - Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính giống nhau 
trong các công thức đã có sẽ dụng Jmin và imin. 
 - Nếu liên kết của thanh trong hai mặt phẳng quán tính khác nhau 
thì khi mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng có độ mảnh lớn và các 
đại lượng J , i sẽ lấy trong mặt phẳng này. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 8 
11.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 
1- Phương pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa : 
 ♦ Điều kiện bền: [ ]n
th
P
F
σ σ= ≤ ; với: 
n
o
n
σ=σ][ (11.16) 
trong đó: n - hệ số an toàn về độ bền 
 Fth - diện tích tiết diện giảm yếu (bị khoét lỗ); nếu không khoét lỗ 
thì Fth = F là tiết diện nguyên 
 ♦ Điều kiện ổn định: ôđ][σσ ≤= F
P ; với: 
ôđ
ôđ k
thσσ =][ (11.17) 
trong đó: kôđ ( hay k)- hệ số an toàn về ổn định. 
 Vì sự giảm yếu cục bộ tại một số tiết diện có ảnh hưởng không đáng 
kể đến sự ổn định chung của thanh. 
Do tính chất nguy hiểm 
của hiện tượng mất ổn định và 
xét đến những yếu tố không 
tránh được như độ cong ban 
đầu, độ lệch tâm của lực nén  
nên chọn kôđ > n, và k thay đổi 
phụ thuộc vào độ mảnh. Thép 
xây dựng có kôđ = 1,8 ÷ 3,5 như 
minh họa trên H.11.7; gang 
kôđ = 5 ÷ 5,5; gỗ kôđ = 2,8 ÷ 3,2. 
Để thuận tiện cho tính toán 
thực hành, người ta đưa vào 
khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất cho phép ϕ được 
định nghĩa như sau: 
k
n
o
th
n σ
σ=σ
σ=ϕ
][
][ ôđ 
ϕ < 1, vì cả hai tỉ số: 1<σσ oth và 1<k
n 
từ đó: ][][ σϕσ =ôđ , và điều kiện ổn định trở thành: nF
P ][σϕσ ≤= (11.18) 
hay: nF
P ][σϕ ≤ ; 
 hay: [ ] FPP n][σϕ=≤ ôđ (11.19) 
Điều kiện ổn định (11.18) thoả, điều kiện bền (11.16) không cần kiểm tra 
σ,kG/cm2
2400
2000
1400
1000
k =1,7
0 50 100 150 200
250
 λ 
k 
k
k = 3,5
Euler Hyperbola 
2400
Đường giới hạn ứng suất
Hình.11.7 Hệ số an toàn kôđ cho thép
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 9 
Hệ số ϕ = ϕ ],,[ kE λ được cho ở bảng 11.1 
Bảng 11.1 Hệ số ϕ 
Trị số ϕ đối với 
Độ 
mảnh 
λ 
Thép 
số 
2,3,4 
Thép 
số 5 
Thép 
CΠK Gang Gỗ 
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 
10 0,99 0,98 0,97 0,97 0,99 
20 0,96 0,95 0,95 0,91 0,97 
30 0,94 0,92 0,91 0,81 0,93 
40 0,92 0,89 0,87 0,69 0,87 
50 0,89 0,86 0,83 0,54 0,80 
60 0,86 0,82 0,79 0,44 0,71 
70 0,81 0,76 0,72 0,34 0,60 
80 0,75 0,70 0,65 0,26 0,48 
90 0,69 0,62 0,55 0,20 0,38 
100 0,60 0,51 0,43 0,16 0,31 
110 0,52 0,43 0,35 0,25 
120 0,45 0,36 0,30 0,22 
130 0,40 0,33 0,26 0,18 
140 0,36 0,29 0,23 0,16 
150 0,32 0,26 0,21 0,14 
160 0,29 0,24 0,19 0,12 
170 0,26 0,21 0,171 0,11 
180 0,23 0,19 0,15 0,10 
190 0,21 0,17 0,14 0,09 
200 0,19 0,16 0,13 0,08 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 10 
Vì ϕ < 1 nên thường chỉ cần kiểm tra điều kiện ổn định là đủ. Tuy 
nhiên, nếu thanh có giảm yếu cục bộ do liên kết bu lông, đinh tán thì cần 
kiểm tra cả hai điều kiện bền và ổn định. 
 - Điều kiện bền: [ ]n
th
P
F
σ σ= ≤ (11.20) 
 - Điều kiện ổn định nF
P ][σϕσ ≤= (11.21) 
trong thực tế, nếu thỏa (11.21) thì thường cũng thỏa (11.20). 
Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán: 
1. Kiểm tra ổn định: 
 nF
P ][σϕσ ≤= (11.22) 
2. Xác định tải trọng cho phép: 
 nFP ][][ σϕ≤ (11.23) 
 Trong hai bài toán trên, vì tiết diện thanh đã biết nên có thể suy ra hệ 
số ϕ theo trình tự: F, I ϕμλ →=→
FJ
l
/
 (tra bảng 11.1) 
3. Chọn tiết diện: 
n
PF
][σϕ≥ (11.24) 
việc tìm F phải làm đúng dần, vì trong (11.22) chứa hai biến: F và ϕ (F). 
Trình tự như sau: 
 - Giả thiết: ϕo = 0,5; tính được: o
no
o
PF λσϕ ⇒= ][ 
 - Từ oλ tra bảng ta được 'oϕ . Nếu oo ϕϕ ≠' thì lấy: 2
'
1
oo ϕ+ϕ=ϕ 
 '11
1
1 ][
ϕλσϕ ⇒⇒=⇒ n
PF 
thường lặp lại quá trình tính khoảng 2 - 3 lần thì sai số tương đối giữa hai 
lần tính đủ nhỏ (≤ 5%). 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 11 
Thí dụ 11.3 Chọn số liệu thép Ι cho thanh dài 2,0m, liên kết khớp hai 
đầu và chịu lực nén P = 230 kN. Biết vật liệu là thép số 2 có 2/k 14][ cmNn =σ . 
 Giải: 
 a. Lần chọn thứ nhất 
 Giả thiết 5,0=ϕ , ⇒ 28,32
5,0.0,14
230
][
cmPF
n
==≥ ϕσ 
 Tra bảng thép định hình ta chọn thép chữ Ι số 24 có F = 34,8 cm2, 
iy = imin = 2,37 cm, ta có độ mảnh: 
 4,84
37,2
200.1
min
===
i
lμλ 
 Tra bảng quan hệ giữa λ và ϕ ta được 724,0=ϕ . Hệ số này khác với 
giả thiết ban đầu nên ta phải chọn lại. 
b. Lần chọn thứ hai 
 Giả thiết: 612,0
2
724,05,0 =+=ϕ ⇒ 284,26
14.612,0
230 cmF =≥ 
 Tra bảng thép định hình ta tìm được thép chữ Ι số 20 với F= 26,8 cm2, 
imin = 2,07 cm. Độ mảnh lúc đó bằng: 
 6,96
07,2
200.1 ==λ 
tra bảng ta tìm được 631,0=ϕ gần đúng giá trị 0,625 theo giả thiết. Do đó, ta 
kiểm tra lại điều kiện ổn định: 
nF
P ][σϕ ≤ ; 
22 /k 14][/k 6,13
8,26.631,0
230 cmNcmN =<= σ 
Vậy ta chọn thép chữ Ι số 20. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 12 
2- Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý 
 Khi thiết kế thanh chịu nén, người ta cố gắng làm cho khả năng chịu 
lực của thanh càng lớn càng tốt. Theo công thức (11.6) và (11.15) ta có lực 
tới hạn: 
- Trong miền đàn hồi: 2
2
)( l
EIPth μ
π= (11.6) 
 - Ngoài miền đàn hồi: .th thP Fσ= (11.15) 
 Thường thì chiều dài và liên kết 
hai đầu thanh được cho trước. Vì vậy, 
để tăng Pth có hai cách: 
 1) Chọn vật liệu có môđun đàn 
hồi lớn, Ví dụ dùng thép thay cho bê 
tông. Tuy nhiên, chỉ dùng thép cường 
độ cao thay cho thép cường độ thấp 
khi thanh làm việc ngoài miền đàn 
hồi; còn trong miền đàn hồi thép có 
môđun đàn hồi giống nhau nên việc 
thay thế không có lợi về mặt chịu lực 
như đồ thị trên H.11.8 thể hiện. 
 2) Nếu hệ số liên kết μ giống nhau theo hai phương thì cấu tạo tiết 
diện có yx II = , và thường làm tiết diện rỗng để tăng mômen quán tính của 
mặt cắt nhưng phải có cấu tạo để không mất ổn định cục bộ. Tiết diện hợp 
lý của cột chịu nén trong thực tế thường có dạng như trên H.11.9 
 Nếu liên kết hai phương khác nhau thì nên cấu tạo tiết diện sao cho có 
 minmax λ=λ 
hay: 22
y
y
x
x JJ
μμ = (11.25) 
Hình 11.9 Dạng tiết diện hợp lý
σth, MN/m2
300
240
200
100
Thép hợp kim
Thép ít cacbon
0 40 80 100 120 160 λ
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 13 
11.5 XÁC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG 
 1- Khái niệm 
 Việc tìm lực tới hạn của thanh có độ mảnh lớn theo phương pháp tĩnh 
do Euler thực hiện là chính xác. Tuy nhiên, trong thực tế có những bài toán 
phức tạp hơn như thanh có độ cứng EJ thay đổi, lực phân bố dọc theo trục 
thanh... thì việc thiết lập và giải phương trình vi phân để tìm lực tới hạn trở 
nên phức tạp. 
 Trong trường hợp đó, người ta có thể dựa trên nguyên lý bảo toàn 
năng lượng để tìm nghiệm gần đúng. 
 2- Phương pháp năng lượng xác định lực tới hạn 
 Giả sử thanh chịu nén đúng tâm bởi lực Pth, như được minh họa trên 
H.11.10. 
l
y
dz e
dz
dez Pth
Hình 11.10 Xác định lực tới hạn 
 Dưới tác động của nhiễu, thanh bị uốn cong với phương trình y(z), 
điểm đặt của lực Pth dịch chuyển một đoạn e. Theo nguyên lý bảo toàn 
năng lượng, công A của lực Pth bằng thế năng biến dạng uốn U của thanh: 
 A = U (11.26) 
trong đó: ePA th= (11.27) 
 ∫ ∫== l
o
l
o
dzEJydz
EJ
MU 2''
2
2
1
2
 (11.28) 
 Để xác định độ co ngắn e của thanh do sự uốn cong gây ra, ta xét 
phân tố thanh dz trên H.11.11. Ta có: 
 )cos1(cos θ−=θ−= dzdzdzde dzdzdz
22
2)
2
sin2(
22
2 θ=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ θ=θ= 
hay: dzyde
2
'2= (11.29) 
 Chú ý rằng, vì góc xoay θ là bé nên ở trên ta đã coi: 
 ';
22
sin ytg =θ=θθ=θ 
 Tích phân (11.30) ta được: 
 ∫∫ ==
l
o
dz2'y
2
1l
o
dz
2
2'ye (11.30) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 14 
 Do đó: ∫=
l
o
th dzyPA 2'
2
 (11.31) 
 Thế (11.31) và (11.28) vào (11.26) ta có: 
 ∫∫ = l
o
l
o
th dzEIydzyP 2"2
2
1'
2
hay: 
∫
∫
= l
o
l
o
th
dzy
dzEIy
P
2
2"
'
 (11.32) 
 Khi tìm lực Pth theo phương pháp năng lượng, ta chọn y(z) thỏa điều 
kiện biên và thế vào (11.33). Vì thường y(z) là gần đúng nên lực Pth cũng 
gần đúng. Sự sai lệch của đường đàn hồi y(z) có ý nghĩa như là thanh được 
đặt thêm một hệ liên kết đàn hồi nào đó phân bố dọc theo trục thanh và 
làm cho thanh trở nên cứng hơn. Vì vậy, lực Pth tìm theo phương pháp năng 
lượng luôn lớn hơn giá trị thật (chỉ bằng giá trị thật khi đường đàn hồi được 
chọn chính xác). 
Thí dụ 11.4 Tìm lực Pth cho thanh trên H.11.11 
với EJ = hằng số 
 Giải. 
Giả sử đường đàn hồi được chọn gần đúng theo 
dạng do lực phân bố đều gây ra như sau: 
 )2( 323 llzzzy +−α= 
với α - là một hằng số bé. 
ta có: )64(' 323 llzzy +−α= 
 )(12'' 2 lzzy −α= 
thế vào (11.33) ta tìm được: 2
882,9
l
EIPth = 
So với nghiệm chính xác 22
2 8696,9
l
EI
l
EIPth =π= thì kết quả tính lớn hơn 0,25%. 
 Nếu đường đàn hồi chọn là một nửa sóng hình sine, tức là trùng với 
đường đàn hồi chính xác của bài toán Euler, thì Pth tìm theo phương pháp 
năng lượng cũng cho kết quả chính xác. 
l 
Hình 11.11
Tìm P th bằng 
phương pháp năng lượn
g 
P th 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 15 
BÀI TẬP CHƯƠNG 11 
11.1 Cho bốn thanh có mặt cắt ngang như nhau làm bằng cùng một loại 
vật liệu và có liên kết như trên H.11.1. 
 Nếu muốn chịu được cùng một lực nén đúng tâm thì chiều dài của mỗi 
thanh phải bằng bao nhiêu La. Giả thiết vật liệu mất ổn định trong miền đàn 
hồi và EJ = hằng số. 
a) b) c) d)
l a l b l c l
d
 Hình 11.1 
11.2 Thanh có chiều dài L = 3 m, một đầu ngàm, một đầu khớp. Hãy xác 
định lực tới hạn của thanh trong ba trường hợp sau đây: 
a. Mặt cắt hình tròn bán kính R = 4 cm, vật liệu là gang xám có: 
σtl = 17,8 kN/cm2; E = 1,15.104 kN/cm2. 
b. Mặt cắt hình tròn rỗng bán kính ngoài R = 3 cm và bán kính trong 
r = 2 cm, vật liệu là đura có σtl = 18 kN/cm2; E = 0,71.104 kN/cm2. 
c. Mặt cắt hình vuông cạnh 15 cm × 15 cm, vật liệu bằng gỗ có: 
σtl = 1,7 kN/cm2; E = 0,1.104 kN/cm2. Biết hai hệ số trong công thức 
Iasinski là a = 2,93 kN/cm2 và b = 0,0194 kN/cm2 
11.3 Cho thanh bằng gang có l = 1,6 m; 
 a = 6 cm; t = 1 cm như H.11.14. Xác định 
lực tới hạn và ứng suất tới hạn. Cho λo = 80; 
a = 77,6 kN/cm2; b = 1,2 kN/cm2. Muốn 
thanh mất ổn định khi vật liệu còn làm việc 
trong giới hạn đàn hồi thì chiều dài của 
thanh phải bao nhiêu? 
Hình 11.3 
t
a 
at
P 
l
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 16 
P = 200kN
5 
m
20
2L 160 x100 x9
P = 200kN
3 
m 4L 80 x 6
11.4 Kiểm tra ổn định của các 
thanh cho trên H.11.4, nếu [σ] 
= 14 kN/cm2. Lực nén cho phép 
lớn nhất là bao nhiêu? Vật liệu 
của thanh thép là thép số 3. 
 a) b) 
 Hình 11.4 
11.5 Cho hai hệ thanh chịu lực như trên H.11.5. Xác định số hiệu mặt cắt 
chữ I của thanh chống AB, biết [σ ] = 16 kN/cm2. Vật liệu là thép số 3. 
 Xác định hệ số an toàn về ổn định của các thanh đó. 
11.6 Một giá đỡ chịu tải trọng phân bố đều như trên H.11.6. Xác định trị số 
cho phép của cường độ tải trọng phân bố tác dụng lên giá. Thanh AB có 
mặt cắt hình vuông cạnh 5 cm x 5 cm làm bằng gỗ có [σ] = 1 kN/cm2. 
P = 950 kN
B
A
2 m 3 m 2 m
a) 
q = 40 kN/m P = 200 kN 
2 m 
A C 
b)
Hình 11.5
B
60o
2 m 4 m
5 cm
Hình 11.6
10 m
8 m
x
y
a
B
C
A
D 
P = 100 kN 
q
11
Hình 11.7
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 11: Oån định thanh thẳng chịu nén đúng tâm 17 
11.7 Một dầm cầu trục AD chịu lực như H.11.7. Cột BC làm bằng hai thép 
chữ I số 14 ghép lại sao cho mô men quán tính đối với hai trục bằng nhau. 
Xác định chiều dài tối đa của mút thừa a, biết rằng cột làm việc bất lợi nhất 
khi xe cầu trục mang một trọng lượng 100 kN đặt ở đầu mút thừa. Tải trọng 
phân bố q = 4 kN/m. 
L 100 x 100 x 10
a
a
L 80 x 80 x 6
2 
m
l
A
B
1 cm
1 
cm
6 m
P
 Hình 11.8 Hình 11.9 
11.8 Hệ thanh chịu lực như H.11.8. Xác định chiều dài l của thanh chống 
AB làm bằng thép có [σ] = 14 kN/cm2. Cho biết tải trọng P = 300 kN. 
11.9 Một thanh chịu nén đúng tâm được làm bằng bốn thép góc đều cạnh 
loại 80 × 80 × 6 (H.11.9). Xác định kích thước a của mặt cắt. Biết thanh 
dài l = 6 m hai đầu liên kết khớp và chịu lực nén ở đầu cột P =200 kN. 
Vật liệu có [σ] = 20 kN/cm2. 
11.10 Một cột gỗ dài L= 3 m, mặt cắt hình chữ nhật b × h. Đầu dưới của cột 
được chôn vào nền bê tông, đầu trên có thể trượt theo một khe nhỏ 
song song với phương chiều dài h của mặt cắt (H.11.10). Xác định kích 
thước của mặt cắt b × h sao cho mặt cắt là hợp lý nhất. Cho biết lực 
nén P = 100 N, [σ] = 1 kN/cm2. 
 3
 m
b
P
h
P