Công thức xác định lực căng cáp trong cầu dây văng xét ảnh hưởng đồng thời của độ chùng và độ cứng chống uốn

TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 18, SOÁ K2- 2015 
 Trang 95 
Công thức xác định lực căng cáp trong cầu 
dây văng xét ảnh hưởng đồng thời của độ 
chùng và độ cứng chống uốn 
 Hoàng Nam 
Trường Đại học Bách khoa , ĐHQG-HCM 
(Bài nhận ngày 01 tháng 04 năm 2015, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 26 tháng 04 năm 2015) 
TÓM TẮT 
Trong công tác kiểm tra, thẩm định kết cấu 
cầu dây văng, xác định lực căng cáp luôn là một 
trong những yêu cầu trước tiên. Lực căng cáp có 
thể được xác định gián tiếp thông qua mối quan 
hệ với tần số tự nhiên của cáp. Trong bài báo 
này, từ phương trình tiệm cận số bước sóng, công 
thức thực hành để xác định lực căng cáp với ảnh 
hưởng đồng thời của độ chùng và độ cứng chống 
uốn dựa vào phương pháp bình phương cực tiểu 
đã được đề xuất. Tính hiệu quả và độ chính xác 
của công thức được kiểm chứng đối với trường 
hợp cầu dây văng Nguyễn Văn Trỗi – Trần Thị 
Lý ở Đà Nẵng, sử dụng bộ dữ liệu đo dao động 
cáp tại hiện trường.
Từ khóa: Cáp cầu, lực căng cáp, độ chùng, độ cứng chống uốn, tần số đo 
1. TỔNG QUAN 
Cùng với sự phát triển vượt bậc của cơ sở hạ 
tầng Việt Nam những năm gần đây, ngày càng có 
nhiều công trình cầu vượt nhịp lớn với chi phí đầu 
tư cao, kết cấu hiện đại và phức tạp được xây 
dựng, như cầu dây văng Mỹ Thuận, Cần Thơ, 
Nguyễn Văn Trỗi - Trần Thị Lý... Trong những 
công trình này, cáp là một trong những thành phần 
chịu lực trọng yếu, và do đó việc hiểu rõ ứng xử 
động lực học của cáp, mà trước tiên là xác định 
chính xác lực căng trong cáp trở nên hết sức cần 
thiết. Lực căng trong cáp cầu có thể được đọc trực 
tiếp từ các đầu đo lực (load cells) hay tiến hành thí 
nghiệm kéo thả sử dụng kích thủy lực (lift-off test), 
tuy nhiên chi phí dành cho hai phương pháp này 
rất cao. Do vậy, các phương pháp gián tiếp xác 
định lực căng bằng cách đo dao động cáp thường 
được sử dụng phổ biến hơn. Trong các phương 
pháp gián tiếp, dao động của cáp do tải sử dụng 
hoặc kích hoạt bằng sức người được ghi nhận, từ 
đó có tần số tự nhiên của cáp; và lực căng cáp sẽ 
tính được từ quan hệ giữa lực căng và tần số. Quan 
hệ đơn giản nhất để tính toán lực căng cáp được 
Irvine và Caughey (1974) xây dựng từ lý thuyết 
dây căng (taut string), nghĩa là bỏ qua ảnh hưởng 
của nhiều yếu tố mà đáng kể nhất là độ chùng và 
độ cứng chống uốn của cáp. Trong thực tế, lực 
căng cáp xác định từ quan hệ đơn giản thường 
không đủ độ chính xác, đặc biệt đối với cáp có 
chiều dài lớn. 
SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol.18, No.K2 - 2015 
Trang 96 
Nhiều nghiên cứu đã được tiến hành cho đến 
nay nhằm lượng định chính xác và thuận tiện lực 
căng trong cáp từ các tần số đo được, trong đó nổi 
bật là công thức của Zui và cộng sự (1996) dù vẫn 
còn những hạn chế khi áp dụng cho cáp dài với độ 
chùng lớn. Tác giả bài báo này trong những năm 
2005 - 2008 đã khảo sát phương trình dao động 
tương ứng với mô hình tổng quát nhất có kể đến 
độ chùng và độ cứng chống uốn của cáp, và tìm ra 
được dạng tiệm cận của phương trình đặc trưng tần 
số [3-4]. Từ dạng tiệm cận này, phương pháp đồ 
thị có thể được sử dụng để nội suy ra lực căng cáp 
từ các giá trị tần số dao động cáp đo được [5]. 
Trong thực tế, nhu cầu về một công thức phổ quát, 
dễ áp dụng và có độ chính xác cao để xác định lực 
căng cáp từ tần số vẫn là bức thiết. Do vậy, bài 
báo này trình bày các bước đề xuất một công thức 
thực hành, bắt đầu từ mối quan hệ giữa lực căng 
và tần số dao động cơ bản, và sau đó hiệu chỉnh để 
tăng độ chính xác bằng cách áp dụng phương pháp 
bình phương cực tiểu. Tính chính xác của công 
thức thực hành này sẽ được kiểm chứng thông qua 
việc xác định lực căng cáp của cầu Nguyễn Văn 
Trỗi – Trần Thị Lý ở Việt Nam từ bộ dữ liệu đo 
dao động tại hiện trường. 
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỔNG 
QUÁT 
Một cáp căng của cầu dây văng có thể được 
mô tả như Hình 1, theo đó, cáp căng theo phương 
nghiêng một góc θ (0 ≤ θ < π/2) dưới tác dụng của 
lực căng T. Hình chiếu lực căng cáp theo phương 
OA là H và theo phương ngang là Th. Cáp có khối 
lượng trên một đơn vị chiều dài là m, chiều dài cáp 
theo phương OA là L, mô đun đàn hồi của vật liệu 
là E, mô men quán tính tiết diện ngang là I, và độ 
chùng ở giữa nhịp theo phương thẳng đứng là s. 
Độ cứng chống uốn của cáp xác định bởi tích số 
EI. Phương trình dao động của cáp theo phương 
y từ lý thuyết động lực học cáp là [2]: 
0),()()(),(),(
4
4
2
2
2
2
2
2








x
txvEI
x
xyth
t
txvm
x
txvH 
 (1) 
trong đó, v(x, t) = chuyển vị theo phương y của 
cáp tại vị trí có tọa độ x ở thời điểm t; Với lực 
căng đủ lớn, đường biến dạng của cáp dưới tác 
dụng của trọng lượng bản thân biểu diễn bởi 
đường parabol [1]: 
L
x
L
xdxy 14)( (2) 
với 
H
mgLd
8
cos2 
 = độ chùng cáp ở giữa nhịp 
theo phương vuông góc với OA,và g = gia tốc 
trọng trường. Thành phần h(t) là độ gia tăng lực 
căng sinh ra khi cáp dao động. Độ gia tăng này 
được xác định từ điều kiện tương thích đàn hồi và 
hình học của một phân tố cáp như sau [1]: 
L
e dxtxv
L
d
EA
hL
0
2 ),(
8 (3) 
Phương trình (1) tương ứng với mô hình tổng 
quát nhất - có kể đến độ chùng và độ cứng chống 
uốn của cáp. Tác giả bài báo này vào năm 2008 
Hình 1. Mô hình cáp căng 
TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 18, SOÁ K2- 2015 
 Trang 97 
đã tiến hành giải phương trình khi nghiên cứu 
động lực học của hệ cáp có gắn bộ giảm dao động 
(dampers) [4]. Từ phương trình (1), phương trình 
đặc trưng (characteristic equation) theo số bước 
sóng 
H
mfnon  2 , với fn = tần số của dạng 
dao động thứ n, có thể tìm được. Dạng tiệm cận 
của các phương trình đặc trưng này là [4]: 
LL onon 

2
tan (4) 
n = 2, 4, 6, (các dạng dao động phản đối 
xứng); 
 


3
2
3
2
2
4
2
1
2
4
2
2
tan
LLL
LL
L
onon
on
onon
on








 (5) 
n = 1, 3, 5, (các dạng dao động đối xứng). 
Trong phương trình (4) và (5), 
2HL
EI
 
là tham số độ cứng chống uốn của cáp [3], và 
eHL
EAL
L
d 22 8 
  là tham số độ chùng cáp [1]. 
Đối với cáp ở các công trình cầu nhịp lớn, giá trị 
của 2 thường dưới 3 [9], trong khi giá trị  giá 
trị thường ghi nhận trong khoảng 2.510-6 – 10-4 
[3]. 
3. THIẾT LẬP CÔNG THỨC XÁC ĐỊNH 
LỰC CĂNG CÁP 
Khi tiến hành ghi nhận dao động cáp cũng như 
tính toán các giá trị tần số dao động riêng, có nhiều 
nguyên nhân (nhiễu tín hiệu, độ phân giải của thiết 
bị đo) gây nên sai số, và vì vậy, khó xác định 
được lực căng (duy nhất) chính xác từ các tần số 
đo. Phương pháp trung bình có thể được sử dụng 
để bù trừ một phần các sai số này. Casa (1994) đã 
đề nghị đại lượng tần số cơ bản hiệu chỉnh *1f 
định nghĩa như sau: 

N
i
i
i
f
N
f
1
*
1
1 (6) 
Trong đó, fi = tần số tự nhiên đo được của dạng 
dao động thứ i (i = 1, 2, ..., N), và N = tổng số dạng 
dao động cần sử dụng để tính toán lực căng cáp. 
Đối với cáp dài (độ chùng lớn), N cần được chọn 
đủ lớn để tăng độ chính xác của lực căng. Từ đây 
số bước sóng cơ bản, xác định từ tần số cơ bản 
hiệu chỉnh, là
H
mf *101 2  . 
Trong các nghiên cứu gần đây, một số dạng 
quan hệ thực nghiệm giữa lực căng và tần số tự 
nhiên đã được đề nghị. Tuy nhiên, Ren và cộng 
sự (2005) chỉ kể đến ảnh hưởng của độ chùng, 
trong khi Yu và cộng sự (2014) thì chỉ nghiên cứu 
ảnh hưởng của độ cứng chống uốn. Tổng hợp kết 
quả từ hai nghiên cứu này, tác giả đề nghị xấp xỉ 
nghiệm 01 của phương trình (5), kể đến ảnh 
hưởng đồng thời của độ chùng và độ cứng chống 
uốn của cáp, có thể biểu diễn dưới dạng: 



*
2
2*
01
1
1
1
b
a
L
 (7) 
với *a và *b = các hệ số điều chỉnh. Chú ý 
rằng ứng với các giá trị cho trước của tham số 2 
và , ẩn số 01 có thể được giải chính xác từ 
phương trình (5) bằng các phương pháp số lặp, 
như là phương pháp Newton-Raphson. Bằng 
cách so sánh lời giải chính xác với giá trị tương 
ứng của nghiệm xấp xỉ từ biểu thức (7) và sử 
dụng giải thuật bình phương cực tiểu, các hệ số 
điều chỉnh *a và *b có thể được xác định. 
Trong phạm vi biến thiên 2 20 4 và 
6 410 5 10 , kết quả tìm được là *a = 
SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol.18, No.K2 - 2015 
Trang 98 
0,6268 và *b = 4 như trình bày trong Hình 2 với 
hệ số tương quan R2 = 0,975, nghĩa là mức độ tin 
cậy hơn 97%. Từ các giá trị *a và *b vừa xác 
định này, sau khi biến đổi biểu thức (7), sẽ nhận 
được công thức xác định lực căng cáp áp dụng 
cho dạng dao động đầu tiên có kể đến ảnh hưởng 
của độ chùng cáp d và độ cứng chống uốn EI là: 
HHH 

4
6268,01 2
2
0 
 (8) 
Ở đây, 22*10 4 LmfH = lực căng cáp được xác 
định ở dạng dao động đầu tiên theo lý thuyết dây 
căng. 
Hình 2. So sánh nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính 
xác 
4. THÍ DỤ XÁC ĐỊNH LỰC CĂNG CÁP 
CỦA CẦU NGUYỄN VĂN TRỖI – TRẦN 
THỊ LÝ 
Tính chính xác của công thức đề nghị ở trên 
sẽ được kiểm chứng bằng việc xác định lực căng 
cáp của cầu ba mặt phẳng dây văng Nguyễn Văn 
Trỗi – Trần Thị Lý vượt sông Hàn (Đà Nẵng), sử 
dụng bộ dữ liệu đo dao động cáp tại hiện trường. 
Nhịp chính cầu dài 230m, mặt cầu rộng 34.5m và 
trụ tháp cao 134m. Hệ thống cáp căng của cầu 
bao gồm 63 cáp với chiều dài cáp thay đổi từ 64 
m đến 265 m. Trong mỗi tiết diện cáp bao gồm 
nhiều bó cáp đơn được đặt song song với nhau và 
đặt trong ống HDPE. Khi xác định mô men quán 
tính I của cáp, cần xét đến giá trị độ rỗng (void 
ratio) do những bó cáp đơn không lấp đầy mặt 
cắt ngang của ống HDPE [10]. Bốn cáp số hiệu 
301, 302, 320 và 333 được lựa chọn cho việc 
kiểm chứng, với vị trí như trong Hình 3 và các 
đặc trưng cơ học mô tả trong Bảng 1. 
 Mặt phẳng nghiệm số bước sóng cơ bản từ lời 
giải số chính xác của phương trình (5) 
 Mặt phẳng nghiệm số bước sóng cơ bản từ lời 
giải xấp xỉ của phương trình (7) 
Hình 3. Cầu Nguyễn Văn Trỗi - Trần Thị Lý ở thành 
phố Đà Nẵng 
TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 18, SOÁ K2- 2015 
 Trang 99 
Bảng 1. Đặc trưng cơ học của cáp 
Số hiệu 
cáp 
Số bó cáp 
đơn 
Đường 
kính ống 
HDPE 
Khối 
lượng 
Tiết diện 
cáp 
Hệ số 
rỗng của 
cáp 
I E L  
 (mm) (kg/m) (mm2) (m4) (GPa) (m) (°) 
301 95 250 129,5 14250 0,625 7,184E-05 
200 
264,1 26,8 
302 88 230 119,9 13200 0,590 5,633E-05 257,6 27,1 
320 60 190 81,7 9000 0,590 2,621E-05 142,9 35,6 
333 47 180 64,6 7050 0,642 1,843E-05 64,4 57,6 
Bảng 2. Tần số tự nhiên của sáu dạng dao động đầu tiên 
Tên cáp f1 f2 f3 f4 f5 f6 
 (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) 
301 0,4692 0,9193 1,377 1,835 2,3 2,762 
302 0,4959 0,9727 1,45 1,942 2,434 2,911 
320 1,007 2,014 3,014 4,036 5,066 6,042 
333 1,938 3,891 5,875 7,843 9,781 11,78 
Với bộ kết quả thí nghiệm đo dao động cáp cầu 
vào năm 2013, do nhóm nghiên cứu thuộc trường 
Đại học Giao Thông Vận Tải cung cấp, tác giả đã 
tiến hành xử lý số liệu độc lập để xác định tần số 
tự nhiên của 6 dạng dao động của cáp và trình bày 
trong Bảng 2. 
Để kiểm chứng, lực căng cáp lần lượt được 
tính toán theo công thức (8) và theo công thức của 
Zui và cộng sự, 1996. Kết quả tính toán lực căng 
được trình bày trong Bảng 3. Kết quả cho thấy 
trong trường hợp cáp có chiều dài ngắn và trung 
bình (độ chùng nhỏ), lực căng theo công thức do 
tác giả đề nghị cho kết quả tương đương so với 
công thức của Zui và cộng sự. Tuy nhiên, đối với 
cáp dài (độ chùng lớn), lực căng theo công thức đề 
nghị cho kết quả tốt hơn so với lực căng theo công 
thức của Zui và cộng sự.
Bảng 3. Kết quả xác định lực căng cáp 
Tên 
cáp 
*
1f D 2λ 
 H theo 
công thức (8) 
H theo công thức 
Zui & cộng sự (1996) 
Sai khác 
 (Hz) (m) (kN) (kN) (%) 
301 0,461 1,287 0,563 2,680E-05 7260 7776 6,64 
302 0,487 1,150 0,446 2,249E-05 7200 7663 6,04 
320 1,008 0,245 0,050 3,783E-05 6594 6586 0,12 
333 1,954 0,043 0,010 2,177E-04 3842 3755 2,32 
SCIENCE & TECHNOLOGY DEVELOPMENT, Vol.18, No.K2 - 2015 
Trang 100 
5. KẾT LUẬN 
Công thức thực hành xác định lực căng cáp từ 
các tần số đo được đề nghị trong trường hợp cáp 
chịu ảnh hưởng đồng thời của độ chùng và độ 
cứng chống uốn. Công thức này được thiết lập từ 
nghiệm xấp xỉ ban đầu và điều chỉnh để trùng khớp 
với nghiệm chính xác bằng phương pháp bình 
phương tối thiểu. Tính chính xác của công thức 
này đã được kiểm chứng với dữ liệu thực tế của 
cầu Nguyễn Văn Trỗi – Trần Thị Lý ở Đà Nẵng. 
Công thức thực hành này mang tính phổ quát cao 
và có hình thức đơn giản, do đó việc áp dụng tính 
toán trong thực tế rất dễ dàng, tiện lợi. 
Design Formulas for Cable Tension in 
Cable-stayed Bridges Considering Sag and 
Bending Rigidity 
 Hoang Nam 
Ho Chi Minh City University of Technology, VNU-HCM 
ABSTRACT 
Estimating cable tension in cable-stayed 
bridges or in external tendons is essential for 
regular inspection and assessment of those 
structures. Vibration measurements provide a 
solution, however, may not be accurate in cases 
parameters such as amount of sag and bending 
rigidity of cable are significant. In this study, the 
characteristic equation for vibration of the most 
general case of a cable, where both the sag and 
flexure in the cable are taken into account, is 
analytically derived. After that by considering 
proper simplifying assumptions of small flexural 
rigidity parameter, asymptotic forms of that 
equation are obtained. It renders a practically 
applicable procedure to estimate cable tension 
using measured natural frequencies. The 
developed procedure is verified by realistic data 
of a cable stayed bridge in Vietnam.
Keywords: cables, tension, sag, flexure, natural frequency 
TAÏP CHÍ PHAÙT TRIEÅN KH&CN, TAÄP 18, SOÁ K2- 2015 
 Trang 101 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. H.M. Irvine, T.K. Caughey. “The linear 
theory of free vibrations of a suspended 
cable,” Proceedings of the Royal Society 
London, Series A, Mathematical and 
Physical Sciences, vol. 341, pp. 299–315, 
1974. 
[2]. H. Zui, T. Shinke và Y. Namita. "Practical 
formulas for estimation of cable tension by 
vibration method," Journal of Structural 
Engineering, ASCE, vol. 122, no. 6, pp. 651-
656, 1996. 
[3]. N. Hoang, Y. Fujino. “Analytical study on 
bending effects in a stay cable with a 
damper,” Journal of Engineering 
Mechanics, ASCE, vol. 133, no. 11, pp. 
1241-1246, Nov. 2007. 
[4]. Y. Fujino, N. Hoang. “Design formulas for 
damping of a stay cable with a damper,” 
Journal of Structural Engineering, ASCE, 
vol. 134, iss: 2, pp. 269-278, Feb. 2008. 
[5]. N. Hoang, N.T. Nguyen. “Estimation of 
cable tension using measured natural 
frequency,” Procedia Engineering, vol. 14, 
pp. 1510-1517, 2011. 
[6]. J. Casa. “A combined method for measuring 
cable forces: the cable-stayed Alamillo 
Bridge,” Structural Engineering 
International, vol. 4, no. 4, pp. 235-240, 
1994. 
[7]. W.X. Ren, G. Chen và W.H. Hu. “Empirical 
formulas to determine cable tension using 
fundamental frequency,” International 
Journal of Structural Engineering and 
Mechanics, vol. 20, no. 3, pp.363-380, 2005. 
[8]. C.P. Yu, K.T. Hsu, C.H. Chiang và C.C. 
Cheng. “Dynamic monitoring of stay cables 
by enhanced cable equations,” Proc. of 
SPIE, vol. 9063, Mar. 2014. 
[9]. A.B. Mehrabi, H. Tabatabai. “Unified finite 
difference formulation for free vibration of 
cables,” Journal of Structural Engineering, 
ASCE, vol. 124, no. 11, pp. 1313-1322, Nov. 
1998. 
[10]. J.N. Gimsing. Cable supported Bridges. 
Second ed., John Wiley & Son, Chichester, 
1997.