Ảnh hưởng của sườn đầu dầm đến mômen tới hạn của dầm công xôn tiết diện chữ I

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2019. 13 (5V): 20–27
ẢNH HƯỞNG CỦA SƯỜN ĐẦU DẦM ĐẾN MÔMEN TỚI HẠN CỦA
DẦM CÔNG XÔN TIẾT DIỆN CHỮ I
Bùi Hùng Cườnga,∗
aKhoa Xây dựng dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
số 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 31/08/2019, Sửa xong 09/09/2019, Chấp nhận đăng 10/09/2019
Tóm tắt
Bài báo sử dụng phần tử hữu hạn dạng vỏ trong SAP2000 để khảo sát ảnh hưởng của sườn đầu dầm đến ổn định
tổng thể của dầm công xôn tiết diện chữ I có hai trục đối xứng. Độ cứng của sườn đầu dầm ngăn cản vênh tự do
của các bản cánh của dầm công xôn, do đó làm giảm chiều dài tính toán khi xoắn kiềm chế của dầm công xôn.
Bài báo thực hiện nghiên cứu tham số đối với nhiều dầm công xôn chịu uốn đều nhằm đề xuất một công thức
gần đúng xác định chiều dài tính toán khi xoắn kiềm chế, công thức gần đúng này phụ thuộc vào tỷ số độ cứng
của sườn đầu dầm và độ cứng chống xoắn kiềm chế của dầm công xôn. So sánh giữa công thức đề xuất và các
công thức gần đúng của các tác giả khác cho thấy sự phù hợp hơn của nghiên cứu với kết quả số phân tích từ
SAP2000. Các ví dụ được thực hiện đối với dầm công xôn chịu uốn đều nhằm chứng minh sự tin cậy của công
thức đề xuất và nêu bật ảnh hưởng của sườn đầu dầm đến việc tăng khả năng ổn định của dầm công xôn.
Từ khoá: ổn định dầm; ổn định tổng thể dầm công xôn; ổn định xoắn-uốn; chiều dài tính toán đối với xoắn; sườn
đầu dầm.
EFFECT OF END-PLATE ON CRITICAL MOMENT OF I-SECTION CANTILEVERS
Abstract
The article uses shell finite elements of SAP2000 investigating effects of end-plate on the lateral buckling of
doubly symmetrical I-section cantilever. The stiffness of end-plate prevents the free warping of flanges; hence it
decreases the warping effective length of the cantilever. A parametric study is performed for cantilevers under
uniform bending to propose an approximative formula for the determination of the warping effective length
factor which depends on the ratio between the stiffness of end-plate and the warping stiffness of the cantilever.
The comparison between the proposed formula and other approximative proposals shows a better agreement of
the present study with numerical results of SAP2000. Numerical applications are realized for cantilevers under
uniform bending to demonstrate the reliability of the proposed formula and highlight the effects of end-plate
on the enhancement of the global stability of cantilevers.
Keywords: buckling of beam; lateral buckling of cantilever; flexural-torsional buckling; warping effective
length; warping effective length factor; end-plate.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(5V)-03 c© 2019 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
1. Đặt vấn đề
Trong bài toán ổn định tổng thể, dầm công xôn có một đầu liên kết ngàm và một đầu tự do đối với
cả uốn và xoắn. Các hệ số chiều dài tính toán đối với uốn và xoắn của dầm có giá trị bằng 2, k = kw =
2,0. Riêng đối với xoắn, điều kiện biên tự do đạt được khi góc xoắn đầu dầm không bị ngăn cản và tiết
diện đầu dầm được vênh tự do như Hình 1(a).
∗Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: cuongbh@nuce.edu.vn (Cường, B. H.)
20
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
uniform bending to demonstrate the reliabilty of the proposed formula and highlight the 
effects of end-plate on the enhancement of the global stability of cantilevers. 
Keywords: buckling of beam; lateral buckling of cantilever, flexural-torsional buckling, 
warping effective length, warping effective length factor, end-plate. 
1. Đặt vấn đề 
Trong bài toán ổn định tổng thể, dầm công xôn có một đầu liên kết ngàm và một đầu tự 
do đối với cả uốn và xoắn. Các hệ số chiều dài tính toán đối với uốn và xoắn của dầm có 
giá trị bằng 2, k=kw=2,0. Riêng đối với xoắn, điều kiện biên tự do đạt được khi góc xoắn 
đầu dầm không bị ngăn cản và tiết diện đầu dầm được vênh tự do như Hình 1a. 
Hình 1. Vênh ở đầu tự do dầm công xôn. 
Xét dầm công xôn có sườn đầu dầm được bố trí hàn chặt vào đầu dầm. Khi cánh dầm 
bị vênh làm cho sườn đầu dầm bị biến dạng và độ cứng chống lại biến dạng của sườn 
ngăn cản sự vênh của cánh dầm, hiện tượng này được gọi là xoắn kềm chế (Hình 1b). 
Như vậy, điều kiện biên đối với xoắn thay đổi, tiết diện đầu dầm không còn vênh tự do vì 
vậy hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn của dầm nhỏ hơn 2,0, kw<2,0. 
Đối với dầm đơn giản, đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này. Takabatake [1,2] 
phát triển một lý thuyết ổn định tổng thể dầm có sườn ngang gia cường dọc chiều dài dầm 
với giả thiết sườn ngang không ngăn cản biến dạng vênh. Rõ ràng giả thiết này không 
phản ánh sự làm việc của sườn đầu dầm như thể hiện trên Hình 1(b). Cũng như 
Takabatake, Amara và cộng sự [3] chỉ chú ý đến độ cứng chống xoắn thuần túy mà bỏ 
qua khả năng ngăn cản biến dạng vênh của sườn đầu dầm. Lindner và Gietzelt [4], Trahair 
[5], Pi và Trahair [6] đã đề xuất các công thức gần đúng để xác định hệ số chiều dài tính 
toán đối với xoắn kw. Đối với dầm công xôn, Hassanien và cộng sự [7] sử dụng phương 
pháp hồi quy tuyến tính phân tích các kết quả tính toán từ phương pháp phần tử hữu hạn 
Venh tu do
Venh bi ngan can
k=2,0; k =2,0w k=2,0; k <2,0w
Suon dau dam
a) Dam cong xon khong co suon dau dam b) Dam cong xon co suon dau dama) Đầu tự do dầm công xôn không có sườn b) Đầu tự do dầm công xôn có sườn 
Vênh tự do 
Vênh bị ngăn cản 
Sườn đầu dầm 
(a) Đầu tự do dầm công xôn không có sườn
k = 2,0; kw = 2,0
uniform bending to demonstrate the reliabilty of the proposed formula and highlight he 
effects of end-plate on the nhancement of the global stabil ty of cantilevers. 
Keywords: buckling of beam; lateral buckling of cantilever, flexural-torsional buckling, 
warping effective length, warping effective length factor, end-plate. 
1. Đặt vấn đề 
Trong bài toán ổn định tổng thể, dầm công xôn có một đầu liên kết ngàm và một đầu tự 
do đối với cả uốn và xoắn. Các hệ số chiều dài tính toán đối với uốn và xoắn của dầm có 
giá trị bằng 2, k=kw=2,0. Riêng đối với xoắn, điều kiện biên tự do đạt được khi góc xoắn 
đầu dầm không bị ngăn cản và tiết diện đầu dầm được vênh tự do như Hình 1a. 
Hình 1. Vênh ở đầu tự do dầm công xôn. 
Xét dầm công xôn có sườn đầu dầm được bố trí hàn chặt vào đầu dầm. Khi cánh dầm 
bị vênh làm cho sườn đầu dầm bị biến dạng và độ cứng chống lại biến dạng của sườn 
ngăn cản sự vênh của cánh dầm, hiện tượng này được gọi là xoắn kềm chế (Hình 1b). 
Như vậy, điều kiện biên đối với xoắn thay đổi, tiết diện đầu dầm không còn vênh tự do vì 
vậy hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn của dầm nhỏ hơn 2,0, kw<2,0. 
Đối với dầm đơn giản, đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này. Takabat ke [1,2] 
phát riển một lý thuyết ổn định tổng thể dầm có sườn ngang gia cường dọc hiều dài dầm 
với giả thiết sườn ngang không ngăn cản biến dạng vênh. Rõ ràng giả thiết này không 
phản ánh sự làm việc của sườn đầu dầm như thể hiện trên Hình 1(b). Cũng như 
Takabat ke, Amara và cộng sự [3] chỉ chú ý đến độ cứng chống xoắn thuần túy mà bỏ 
qua khả năng ngăn cản biến dạng vênh của sườn đầu dầm. Lindner và Gietzelt [4], Trahair 
[5], Pi và Trahair [6] đã đề xuất các ông thức gần đúng để xác định hệ số chiều dài tính 
toán đối với xoắn kw. Đối với dầm công xôn, Hassanien và cộng sự [7] sử dụng phương 
pháp hồi quy tuyến tính phân tích các kết quả tính toán từ phương pháp phần tử hữu hạn 
Venh tu do
Venh bi ngan can
k=2,0; k =2,0w k=2,0; k <2,0w
Suon dau dam
a) Dam cong xon khong co suon dau dam b) Dam c ng xon co suon dau dama) Đầu tự d dầm công xôn khô g có sườn b) Đầu tự do dầm cô g xôn có sườn 
Vênh tự do 
Vênh bị ngăn cản 
Sườn đầu dầm 
(b) Đầu tự do dầm công xôn có sườn k = 2,0; kw < 2,0
ình 1. Vênh ở đầu tự do dầm công xôn
Xét dầm công xôn có sườn đầu dầm được bố trí hàn chặt vào đầu dầm. Khi cánh dầm bị vênh làm
cho sườn đầu dầm bị biến dạng và độ cứng chống lại biến dạng của sườn ngăn cản sự vênh của cánh
dầm, hiện tượng này được gọi là xoắn kềm chế (Hình 1b). Như vậy, điều kiện biên đối với xoắn thay
đổi, tiết diện đầu dầm không còn vênh tự do vì vậy hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn của dầm nhỏ
hơn 2,0, kw < 2,0.
Đối với dầm đơn giản, đã có một số tác giả nghiên cứu về vấn đề này. Takabatake [1, 2] phát triển
một lý thuyết ổn định tổng thể dầm có sườn ngang gia cường dọc chiều dài dầm với giả thiết sườn
ngang không ngăn cản biến dạng vênh. Rõ ràng giả thiết này không phản ánh sự làm việc của sườn
đầu dầm như thể hiện trên Hình 1(b). Cũng như Takabatake, Amara và cs. [3] chỉ c ú ý đến độ cứng
chống xoắn t uần túy à bỏ qua khả năng ngăn cản biến dạng vênh của sườn đầu dầm Li dner và
Gietzelt [4], Trahair [5], Pi và Trahair [6] đã đề xuất các công thức gần đúng để xác định hệ số chiều
dài tính toán đối với xoắn kw. Đối với dầm công xôn, Hassanien và cs. [7] sử dụng phương pháp hồi
quy tuyến tính phân tích các kết quả tính toán từ phương pháp phần tử hữu hạn để thiết lập công thức
dạng số mũ tính trực tiếp mô men tới hạn kể đến ảnh hưởng của sườn ngang. Tuy nhiên, công thức của
Hassanien không nêu được bản chất của việc tăng mô men tới hạn là do sườn ngang ngăn cản biến
dạng vênh của tiết diện thô g qua giảm hệ số chiều dài tí h toán khi xoắn kw.
Bài báo đặt vấn đề khảo sát ảnh hưởng của độ cứng của sườn đầu dầm đến hệ số chiều dài tính
toán đối với xoắn, kw của dầm công xôn. Mômen tới hạn được tính toán bằng phần tử hữu hạn dạng vỏ
của SAP2000 và công thức của Djalaly [8]. Đầu tiên, mômen tới hạn của dầm đơn giản có sườn đầu
dầm được xác định bằng SAP2000, sau đó hệ số kw trong công thức của Djalaly được thay đổi để cho
mômen tới hạn bằng giá trị phân tích ổn định bởi SAP2000. Thay đổi nhiều thông số kích thước hình
học của dầm và sườn để tìm ra quan hệ giữa kw và độ cứng của sườn. Bài báo này là phần tiếp theo
của những nghiên cứu về tăng khả năng ổn định của dầm mà không cần sử dụng hệ giằng [9–11].
2. Công thức xác định mômen tới hạn
Nhiều tác giả đã đưa ra công thức để xác định mômen tới hạn của dầm. Tuy nhiên, hầu hết các
nghiên cứu đều đưa ra các công thức cho các trường hợp liên kết lý tưởng ở hai đầu dầm: khớp-khớp,
ngàm-ngàm, ngàm-khớp, ngàm-tự do. Trong các tác giả, Djalaly [8] đã đưa ra một công thức khá tổng
21
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
quát để xác định mômen tới hạn:
Mcr = C1
2EIy
(kL)2

√(
k
kw
)2 Iw
Iy
+
(kL)2GIt
2EIy
+
(
C2yg −C3y j
)2 − (C2yg −C3y j)
 (1)
trong đó L là chiều dài dầm; k và kw lần lượt là các hệ số chiều dài tính toán đối với uốn và xoắn;
C1,C2 và C3 là các hệ số được xác định theo dạng tải trọng và điều kiện biên, đã được lập thành bảng;
yg = ya − ys (2)
ya là tung độ của điểm đặt tải trọng trên tiết diện; ys là tung độ của tâm cắt, M; y j được xác định theo
công thức sau:
y j = ys − 12Ix
∫
A
y
(
x2 + y2
)
dA (3)
Ix, Iy, It và Iw lần lượt là các mômen quán tính quanh trục x và quanh trục y, mômen quán tính xoắn
và mômen quán tính quạt.
Công thức (1) là một trong những công thức được sử dụng nhiều nhất để xác định 
mômen tới hạn của dầm. Công thức này đã được đưa vào bản dự thảo của tiêu chuẩn châu 
Âu EC3 [12]. Tiêu chuẩn châu Âu chính thức [13] không cung cấp công thức xác định 
Mcr, công thức xác định Mcr sẽ do tiêu chuẩn của từng quốc gia qui định. 
Hình 2. Tiết diện dầm chữ I có một trục đối xứng. 
Đối với tiết diện chữ I hai trục đối xứng, có: ys=0, yj=0, công thức (1) được rút gọn: 
 𝑀"# = 𝐶& p'()*(,-)' /01 ,,234 )2)* + (,-)'6)7p'()* + (𝐶4𝑦:)4 − 𝐶4𝑦:? (4) 
Khi tải trọng đặt tại trọng tâm của tiết diện hai trục đối xứng thì yg=0, do đó: 
 𝑀"# = 𝐶& p'()*(,-)' G01 ,,234 )2)* + (,-)'6)7p'()* H (5) 
Đối với dầm công xôn chịu mômen uốn ở đầu tự do: C1=1,0; k=kw=2,0, ta nhận được 
công thức quen thuộc: 
 𝑀"# = p'()*(4-)' IJ)2)* + (4-)'6)7p'()* K (6) 
3. Thiết lập công thức xác định hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn 
Công thức xác định hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn của dầm công xôn khi kể 
đến ảnh hưởng của sườn đầu dầm cần thỏa mãn hai đặc điểm sau: 
i) Từ Hình 1(b) ta nhận thấy sườn đầu dầm công xôn ngăn cản vênh tự do của tiết diện 
đầu dầm do đó hệ số kw tỷ lệ nghịch với độ cứng của sườn hay là tỷ lệ nghịch với môđun 
C
y
M
x
y s
y a
q
Hình 2. Tiết diện dầm chữ I ột rục đối xứng
Các tung độ y và các đặc trưng hình học của
tiết diện được xác định phù hợp với tiết diện như
Hình 2.
Công thức (1) là một trong những công thức
được sử dụng nhiều nhất để xác định mômen tới
hạn của dầm. Công thức này đã được đưa vào bản
dự thảo của tiêu chuẩn châu Âu EC3 [12]. Tiêu
chuẩn châu Âu chính thức [13] không cung cấp
công thức xác định Mcr, công thức xác định Mcr
sẽ do tiêu chuẩn của từng quốc gia quy định.
Đối với tiết diện chữ I hai trục đối xứng, có:
ys = 0, y j = 0, công thức (1) được rút gọn:
Mcr = C1
2EIy
(kL)2

√(
k
kw
)2 Iw
Iy
+
(kL)2GIt
2EIy
+ (C2yg)2 −C2yg
 (4)
Khi tải trọng đặt tại trọng tâm của tiết diện hai trục đối xứng thì yg = 0, do đó:
Mcr = C1
2EIy
(kL)2

√(
k
kw
)2 Iw
Iy
+
(kL)2GIt
2EIy
 (5)
Đối với dầm công xôn chịu mômen uốn ở đầu tự do: C1 = 1,0; k = kw = 2,0, ta nhận được công
thức quen thuộc:
Mcr =
2EIy
(2L)2

√
Iw
Iy
+
(2L)2GIt
2EIy
 (6)
22
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
3. Thiết lập công thức xác định hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn
Công thức xác định hệ số chiều dài tính toán đối với xoắn của dầm công xôn khi kể đến ảnh hưởng
của sườn đầu dầm cần thỏa mãn hai đặc điểm sau:
i) Từ Hình 1(b) ta nhận thấy sườn đầu dầm công xôn ngăn cản vênh tự do của tiết diện đầu dầm
do đó hệ số kw tỷ lệ nghịch với độ cứng của sườn hay là tỷ lệ nghịch với môđun đàn hồi của vật liệu
sườn đầu dầm và các kích thước hình học của sườn và tỷ lệ thuận với độ cứng chống vênh đơn vị của
dầm công xôn
EIw
L
.
ii) Theo giải tích, khi dầm công xôn không có sườn đầu dầm thì kw = 2,0 và khi dầm công xôn có
tiết diện đầu dầm được ngăn cản vênh hoàn toàn thì kw = 1,0.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tham số để thiết lập công thức tính kw. Dầm được mô phỏng
bằng phần tử hữu hạn dạng vỏ mỏng (shell thin) trong phần mềm SAP2000, mômen ở đầu tự do của
dầm công xôn được mô phỏng bằng ngẫu lực và các điều kiện biên cho liên kết ở đầu ngàm của dầm
được thể hiện bởi các bậc tự do bị ngăn cản như trên Hình 3. Mô men tới hạn của dầm công xôn có
sườn đầu dầm được xác định bằng SAP2000 (sử dụng môđun Buckling), sau đó hệ số chiều dài tính
toán khi xoắn kw trong công thức (5) được điều chỉnh sao cho giá trị mô men tới hạn được tính bằng
công thức (5) bằng với kết quả phân tích bởi SAP2000.
đàn hồi của vật liệu sườn đầu dầm và các kích thước hình học của sườn và tỷ lệ thuận với 
độ cứng chống vên đơn vị của dầm ông xôn ()2- . 
ii) Theo giải tích, khi dầm công xôn không có sườn đầu dầm thì kw=2,0 và khi dầm 
công xôn có tiết diện đầu dầm được ngăn cản vênh hoàn toàn thì kw=1,0. 
Sử dụng phương pháp nghiên cứu tham số để thiết lập công thức tính kw. Dầm được mô 
phỏng bằng phần tử hữu hạn dạng vỏ mỏng (shell thin) trong phần mềm SAP2000, 
mômen ở đầu tự do của dầm công xôn được mô phỏng bằng ngẫu lực và các điều kiện 
biên cho liên kết ở đầu ngàm của dầm được thể hiện bởi các bậc tự do bị ngăn cản như 
trên Hình 3. Mô men tới hạn của dầm công xôn có sườn đầu dầm được xác định bằ 
SAP2000 (sử dụng môđun Buckling), sau đó hệ số chiều dài tính toán khi xoắn kw trong 
công thức (5) được điều chỉnh sao cho giá trị mô men tới hạn được tính bằng công thức 
(5) bằng với kết quả phân tích bởi SAP2000. 
Hình 3. Mô phỏng dầm công xôn có sườn đầu dầm chịu mômen uốn đều. 
Để nghiên cứu tham số, bốn nhóm dầm công xôn được khảo sát với tổng số 420 cấu kiện. 
Nhóm dầm đầu tiên có tiết diện, nhịp dầm và kích thước sườn đầu dầm như sau: 
dxbfxtfxtw = {200x200x12x8 200x200x14x8}mm; 
L = {1200 1500 2000}mm; 
ts = {12 14 16 18 20 22 25 28 30 33 36 40}mm. 
Nhóm dầm thứ hai: 
P
P
L
bf
t
h
f
t f
w
t w d
bs
h st s
Suon dau damSườn đầu dầm 
Đầu ngàm 
Đầu tự do 
Hình 3. Mô phỏng dầm công xôn có sườn đầu dầm chịu ô en uốn đều
Để nghiên cứu tham số, bốn nhóm dầm công xôn được khảo sát với tổng số 420 cấu kiện.
Nhóm dầm đầu tiên có tiết diện, nhịp dầm và kích thước sườn đầu dầm như sau:
d × b f × t f × tw = {200 × 200 × 12 × 8 200 × 200 × 14 × 8} mm;
L = {1200 1500 2000} mm;
ts = {12 14 16 18 20 22 25 28 30 33 36 40} mm.
Nhóm dầm thứ hai:
d × b f × t f × tw = {400 × 250 × 16 × 10 400 × 250 × 18 × 10 400 × 250 × 20 × 10} mm;
L = {2000 3000 4000 5000} mm;
ts = {12 14 16 18 20 22 25 28 30 33 36 40 45 60} mm.
Nhóm dầm thứ ba:
d × b f × t f × tw = {450 × 250 × 16 × 10 450 × 250 × 20 × 10 450 × 250 × 25 × 10} mm;
23
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
L = {2000 3000 4000 5000} mm;
ts = {12 16 20 25 28 33 40 45 60} mm.
Nhóm dầm thứ tư:
d × b f × t f × tw = {1000 × 400 × 25 × 14 1000 × 200 × 25 × 14} mm;
L = {5000 8000 10000 15000} mm;
ts = {16 20 25 28 33 40 45 60 80} mm.
Như vậy, tỷ lệ các kích thước chính của dầm công xôn như sau:
d
b f
=
{
1,0 1,6 1,8 2,5 5
}
L
d
=
{
4,45 5 6 6,65 7,5 8 8,9 10 11,1 12,5 15
}
L
b f
=
{
6 7,5 8 12 12,5 16 20 25 37,5 40 50 75
}
Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất có chỉnh sửa để thiết lập công thức tính kw phụ thuộc
vào độ cứng của sườn đầu dầm:
kw =
0,024n2 + 0,24n + 4
0,024n2 + 0,24n + 2
(7)
trong đó
n =
Et2sb
2
shs
12EIwL
(8)
n được gọi là tỷ số độ cứng khi xoắn kiềm chế, thông thường n ≤ 10; ts, bs và hs lần lượt là bề dày bề
rộng và chiều cao sườn đầu dầm, các kích thước khác xem trên Hình 3. Đối với tiết diện chữ I hai trục
đối xứng có: Iw =
t f b3f d
2
24
xét trường hợp phổ biến hs = d và bs = b f , khi đó:
n =
t2s (2L)
t f b f h f k
(9)
xét trường hợp phổ biến hs = d và bs = bf, khi đó: 𝑛 = de'(4-)dNMNfNl (9) 
Hình 4 thể hiện tương quan giữa kết quả phân tích bằng SAP2000 và đường cong vẽ từ 
công thức (7). Khi tỷ số n lớn công thức đề xuất cho giá trị của kw lớn hơn so với phương 
pháp phân tích số do ta đã mặc định kw = 1,0 khi tỷ số n tiến ra vô cùng để đúng với quan 
điểm giải tích trong khi đó kết quả phân tích số cho kết quả nhỏ hơn 1,0. 
Hình 4. So sánh giữa kết quả xác định hệ số kw bằng SAP2000 và công thức đề xuất. 
4. Ví dụ tính toán 
Bảng 1 trình bày so sánh kết quả so sánh mô men tới hạn được tính theo công thức (5) 
với hệ số kw được tính theo công thức (7) và kết quả phân tích từ SAP2000. Hiệu quả của 
việc sử dụng sườn đầu dầm được thể hiện ở cột cuối cùng của Bảng 1 qua tỷ số Mcr/Mocr, 
trong đó Mocr là mô men tới hạn của dầm công xôn không có sườn đầu dầm. Mcr và Mocr
đều được lấy từ cột thứ 6 của Bảng 1.
Bảng 1 cũng đưa ra kết quả tính toán bởi các công thức hồi quy tuyến tính của 
Hassanien và cộng sự [7] như trình bày dưới đây: 𝑀"# = m𝑄& + a𝑄4
Tỷ số độ cứng khi xoắn kiềm chế, n
H
ệ 
số
 c
hi
ều
 d
ài
 tí
nh
 to
án
 k
hi
 x
oắ
n,
 k
w
SAP2000
Theo công thức đề xuất 
Hình 4. So sánh giữa kết quả xác định hệ số kw bằng SAP2000 và công thức đề xuất
24
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Hình 4 thể hiện tương quan giữa kết quả phân tích bằng SAP2000 và đường cong vẽ từ công thức
(7). Khi tỷ số n lớn công thức đề xuất cho giá trị của kw lớn hơn so với phương pháp phân tích số do
ta đã mặc định kw = 1,0 khi tỷ số n tiến ra vô cùng để đúng với quan điểm giải tích trong khi đó kết
quả phân tích số cho kết quả nhỏ hơn 1,0.
4. Ví dụ tính toán
Bảng 1 trình bày so sánh kết quả so sánh mô men tới hạn được tính theo công thức (5) với hệ số
kw được tính theo công thức (7) và kết quả phân tích từ SAP2000. Hiệu quả của việc sử dụng sườn
đầu dầm được thể hiện ở cột cuối cùng của Bảng 1 qua tỷ số Mcr/Mocr, trong đó Mocr là mô men tới
hạn của dầm công xôn không có sườn đầu dầm. Mcr và Mocr đều được lấy từ cột thứ 6 của Bảng 1.
Bảng 1. Mômen tới hạn của dầm công xôn và hiệu quả khi sử dụng sườn đầu dầm
Tiết diện
d×b f ×t f ×tw
(mm)
Nhịp
(mm)
Sườn đầu
dầm ts,
(mm)
Hassanien
và cs.
(Tm)
Công thức
đề xuất
(Tm)
SAP2000
(Tm)
Sai số giữa
(5) và (6)
(%)
Mcr/Mocr
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
200×200×12×8 1500
- 46,31 46,31 43,41 6,68 1,000
12 49,86 47,96 47,59 0,78 1,096
16 52,62 49,30 49,11 0,39 1,131
20 56,05 51,06 51,01 0,10 1,175
25 61,13 53,80 53,97 −0,31 1,243
28 64,54 55,66 56,01 −0,62 1,290
33 70,69 58,95 59,65 −1,17 1,374
40 80,11 63,48 64,76 −1,98 1,492
400×250×16×10 2000
- 123,33 123,33 118,18 4,36 1,000
12 131,10 125,40 123,90 1,21 1,048
16 137,21 127,06 125,86 0,95 1,065
20 144,88 129,22 128,40 0,64 1,086
25 156,35 132,67 132,54 0,10 1,122
33 178,19 139,88 141,61 −1,22 1,198
40 199,96 147,68 151,66 −2,62 1,283
(31,8%)
1000×400×25×14 5000
- 314,73 314,73 304,52 3,35 1,000
16 328,69 318,49 315,24 1,03 1,035
20 336,76 320,65 317,41 1,02 1,042
25 349,26 324,07 321,08 0,93 1,054
33 374,34 331,25 329,25 0,61 1,081
40 400,72 339,31 338,98 0,10 1,113
45 421,71 346,07 347,47 −0,40 1,141
60 493,16 371,04 379,96 −2,35 1,248
(29,8%)
25
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 1 cũng đưa ra kết quả tính toán bởi các công thức hồi quy tuyến tính của Hassanien và cs.
[7] như trình bày dưới đây:
Mcr =
√
Q1 + Q2
trong đó
Q1 =
2EIyGIt
(2L)2
; Q2 =
4EIyEIw
(2L)4
; −1 = 23, 6 f 0,81 f2 f 0,73
với
f1 =
a
L
; f2 =
d
L
; f3 =
 t3sb3f
 (b ft f
) (L
d
)
trong đó a là khoảng cách giữa các sườn ngang, trong trường hợp chỉ có sườn đầu dầm thì a = L nên
f1 = 1,0.
Từ Bảng 1, nhận thấy:
Về sai số:
i) Công thức hồi quy tuyến tính của Hassanien và cộng sự cho kết quả mô men tới hạn lớn hơn
khá nhiều so với SAP2000 và sai số lên đến 31,8% khi bề dày sườn đầu dầm lớn.
ii) Sai số giữa mômen tới hạn của dầm công xôn có sườn đầu dầm tính theo công thức đề xuất và
chương trình SAP2000 là chấp nhận được. Sai số ≥ 5% khi dầm công xôn không có sườn đầu dầm,
nguyên nhân là công thức (5) được xây dựng dựa trên lý thuyết thanh thành mỏng của Vlasov [14]
với giả thiết biến dạng cắt trong mặt phẳng trung bình của thanh mỏng bằng 0 dẫn đến tiết diện dầm
giữ nguyên hình dạng trong mặt phẳng tiết diện hay nói cách khác là góc vuông giữa bản cánh và bản
bụng vẫn vuông khi dầm bị mất ổn định, trong khi đó khi phân tích dầm công xôn bằng phần tử hữu
hạn dạng vỏ mỏng luôn xuất hiện biến dạng cắt trong mặt phẳng trung bình của phần tử. Do đó, mô
men tới hạn của dầm công xôn không có sườn đầu dầm tính theo công thức (5) lớn hơn kết quả tính
theo SAP2000. Khi có sườn đầu dầm, tiết diện dầm được đảm bảo giữ nguyên hình dạng khi dầm mất
ổn định nên mô men tới hạn tính theo công thức (5) và (7) cho kết quả sát với mô phỏng. Điều này
cho thấy nên sử dụng sườn đầu dầm ngay cả khi bề dày sườn không lớn.
Về hiệu quả: Qua tỷ số Mcr/Mocr nhận thấy hiệu quả của sườn đầu dầm đến mômen tới hạn tăng
khi bề dày sườn đầu dầm tăng, mômen tới hạn tăng lên đáng kể khi bề dày sườn đầu dầm gấp 1,5 lần
bề dày cánh dầm.
5. Kết luận
Bài báo đã chứng minh khả năng ổn định tổng thể của dầm công xôn chịu mô men uốn đều được
tăng lên đáng kể khi kể đến các sườn đầu dầm. Sườn đầu dầm làm giảm chiều dài tính toán đối với
xoắn của dầm. Bài báo đã đề xuất công thức xác định chiều dài tính toán chịu xoắn của dầm công xôn
thay thế cho ảnh hưởng của sườn đầu dầm. Ví dụ tính toán cho thấy nên sử dụng sườn đầu dầm để
tăng khả năng ổn định tổng thể cho dầm công xôn và mô men tới hạn sẽ tăng lên đáng kể khi bề dầy
sườn đầu dầm lớn hơn 1,5 lần bề dầy bản cánh.
Tài liệu tham khảo
[1] Takabatake, H. (1988). Lateral buckling of I beams with web stiffeners and batten plates. International
Journal of Solids and Structures, 24(10):1003–1019.
[2] Takabatake, H., Kusumoto, S., Inoue, T. (1991). Lateral buckling behavior of I beams stiffened with
stiffeners. Journal of Structural Engineering, 117(11):3203–3215.
26
Cường, B. H. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
[3] Amara, S., Kerdal, D. E., Jaspart, J.-P. (2008). Effect of end connection restraints on the stability of steel
beams in bending. Advanced Steel Construction, 243–259.
[4] Lindner, J., Gietzelt, R. (1984). Stabilisierung von Biegetra¨gern mit I-Profil durch angeschweißte Kopf-
platten. Stahlbau, 53(3):69–74.
[5] Trahair, N. S. (1993). Flexural-torsional buckling of structures. E & FN Spon, London.
[6] Pi, Y.-L., Trahair, N. S. (2000). Distortion and warping at beam supports. Journal of Structural Engi-
neering, 126(11):1279–1287.
[7] Hassanien, M., Bahaa, M., Sobhy, H., Hassan, A., Inoue, J. (2004). Effect of vertical web stiffeners on
lateral torsional buckling behavior of cantilever steel I-beams. Journal of Applied Mechanics, 7:233–246.
[8] Djalaly, H. (1974). Calcul de la resistance ultime au deversement. Construction Metallique, 11(4):54–61.
[9] Cuong, B. H., Tuyen, N. M., Cuong, N. Q. (2016). Flexural-torsional buckling of mono-symmetrical I-
section beam with hollow flange. Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE)-NUCE,
10(5):11–18.
[10] Tùng, V. S., Cường, B. H. (2017). Hiệu quả của dầm tổ hợp hàn tiết diện chữ I cánh rỗng. Tạp chí khoa
học Kiến trúc & Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 27:54–60.
[11] Tùng, V. S., Cường, B. H. (2018). Ổn định tổng thể của dầm thép với dạng tiết diện chữ I hai bụng tổ hợp
hàn có hai trục đối xứng. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 12(4):51–57.
[12] EC3 (1992). Eurocode 3: Design of steel structures, Part 1-1: general rules and rules for buildings, EVN
1993-1-1. European Committee Standardization, Brussels.
[13] EC3 (2005). Eurocode 3: Design of steel structures, Part 1-1: general rules and rules for buildings, EN
1993-1-1. European Committee Standardization, Brussels.
[14] Vlasov, V. Z. (1961). Thin-walled elastic beams. Israel Program for Scientific Translation, Jerusalem.
27