Xây dựng hệ thống bài tập toán để phát triển tư duy logic cho học sinh Lớp 4, 5

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
26 
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN 
ĐỂ PHÁT TRIỂN TƯ DUY LOGIC CHO HỌC SINH LỚP 4, 5 
Nguyễn Tiến Trung - Tạp chí Giáo dục 
Mai Thị Huyền - Trường Tiểu học Lĩnh Nam, Hoàng Mai, Hà Nội 
Ngày nhận bài: 12/9/2017; ngày sửa chữa: 13/10/2017; ngày duyệt đăng: 16/10/2017. 
Abstract: Logical thinking plays an important role in the learning process and in the practice 
of human. Developing thinking, particularly logical thinking, is an advantage of mathematics. 
This article presents the results of a research on the development of logical thinking for 
elementary school students through building the mathematical problems system to develop 
students' thinking and introduces a system of exercises designed to develop logical thinking 
for student grade 4 and grade 5. 
Keywords: Logical thinking, mathematic problem, student, grade 4, grade 5. 
1. Mở đầu 
Có nhiều nhà khoa học nghiên cứu về nhận thức, về 
trí tuệ, tư duy (TD) và vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư 
duy cho người học,... Hiện nay, tuy có nhiều nghiên cứu 
tập trung vào việc dạy học phát triển TD sáng tạo, TD 
phê phán trong dạy học nhưng việc nghiên cứu để phát 
triển tư duy logic (TDLG) cho học sinh (HS) vẫn là một 
hướng đi cần thiết. Bởi lẽ, TDLG cùng với các kĩ năng 
hay thao tác cơ bản đặc trưng của nó là cơ sở, tạo nền 
tảng cho sự phát triển các hình thức TD phức tạp hơn, 
bậc cao hơn là TD sáng tạo, TD phê phán. 
Ở cuối cấp tiểu học, HS đã có thể bước đầu thực hiện 
các thao tác TD với độ phức tạp cao hơn, có khả năng 
bước đầu nhận thức được các quy luật, bản chất của các 
vấn đề, bài toán mà các em đối mặt. Do vậy, việc rèn 
luyện, bồi dưỡng các kĩ năng, thao tác TDLG là cần thiết, 
giúp các em những bước đi đầu tiên, cơ bản trong quá 
trình nhận thức thế giới khách quan một cách ngày càng 
bản chất hơn. 
Bài viết trình bày kết quả nghiên cứu về vấn đề phát 
triển TD trong dạy học môn Toán nói chung, trong dạy 
học Toán ở tiểu học nói riêng, từ đó đề xuất một hướng 
dạy học phát triển TD cho HS là xây dựng hệ thống bài 
tập toán một cách có dụng ý sư phạm. 
2. Nội dung nghiên cứu 
2.1. Một số nghiên cứu về tư duy, phát triển tư duy logic 
trong dạy học 
2.1.1. Một số nghiên cứu về tư duy, tư duy logic 
Nghiên cứu về lĩnh vực TD và phát triển TD được 
nhiều nhà nghiên cứu quan tâm như J. Piaget, J. Bruner, 
L. Vygotsky,... Theo Piaget, một đứa trẻ chỉ có thể học 
được điều thích hợp với giai đoạn TD hiện có [1]. Ông 
cho rằng, một vấn đề phải có một giải pháp, nhưng điều 
này đòi hỏi một loạt các quy trình. Hoạt động vận hành 
tinh thần của một người trong việc giải quyết vấn đề được 
coi là một TDLG [2], nhưng cũng có thể nói rằng một 
TDLG là khả năng giải quyết vấn đề một cách khoa học. 
J. Bruner nghiên cứu về học tập khám phá, về vấn đề kiến 
tạo hay siêu nhận thức,... có trình bày về ngôn ngữ và vấn 
đề phát triển TD: TD dẫn đến ngôn ngữ, nhưng xét cho 
cùng, ngôn ngữ chịu trách nhiệm về việc phát triển TD 
theo hướng tích cực [1]. L. Vygotsky cho rằng ngôn ngữ 
đóng vai trò trung tâm trong phát triển nhận thức, là một 
công cụ văn hoá, có thể coi là trung gian giữa TD và học 
tập [3]; tr 141-142]. 
Thang phân loại TD của Bloom đã được sử dụng 
rộng rãi trong việc thiết kế chương trình học và mục tiêu 
học tập, kiểm tra, đánh giá,... qua đó đánh giá được hành 
vi cũng như khả năng của người học thông qua mức độ 
khả năng TD của họ [4]. Các thuật ngữ đã được cập nhật 
gần đây để bao gồm sáu cấp độ sau đây của hoạt động 
học tập. Sáu cấp này có thể được sử dụng để cấu trúc các 
mục tiêu học tập, bài học và đánh giá năng lực TD của 
người học, được thể hiện trong tháp phân loại như dưới 
đây: - Ghi nhớ (Remember); - Hiểu (Understand); - Áp 
dụng (Applying); - Phân tích (Analyze); - Đánh giá 
(Evaluate); - Sáng tạo (Create) (hình 1). 
Hình 1. Thang phân loại nhận thức của Bloom 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
27 
Tony Buzan quan niệm: “Bản đồ TD là biểu hiện của 
TD mở rộng, cho nên nó là chức năng tự nhiên của TD. 
Nó là kĩ thuật đồ họa đóng vai trò chiếc khóa vạn năng 
để khai thác tiềm năng của bộ não. Bản đồ TD gồm 4 đặc 
điểm chính: đối tượng nhận thức được tóm lược trong 
một hình ảnh trung tâm; từ hình ảnh trung tâm, chủ đề 
chính của đối tượng tỏa rộng thành các nhánh; các 
nhánh được cấu thành từ một hình ảnh chủ đạo hay từ 
khóa trên một dòng liên kết. Những vấn đề phụ cũng 
được biểu thị bởi các nhánh gắn kết với các nhánh có thứ 
bậc cao hơn; các nhánh tạo thành một cấu trúc nút liên 
kết nhau” [5]; tr 66-67]. Về hình thức, các bản đồ TD 
đều sử dụng màu sắc, có một cấu trúc cơ bản được phát 
triển rộng ra từ trung tâm, dùng các đường thẳng hoặc 
cong, các biểu tượng, từ ngữ ngắn gọn kết hợp hình ảnh 
để diễn đạt sinh động, đầy đủ các thông tin dài. Bản đồ 
TD giúp quá trình TD được sáng rõ, logic, toàn diện,...; 
giúp ghi nhớ tốt hơn,... 
Như vậy, về vấn đề dạy học phát triển TD, có thể 
thấy được hai hướng cơ bản: - Thứ nhất, xây dựng 
chương trình riêng để dạy TD cho HS. Các chương trình 
này thường được thiết kế với mục tiêu phát triển một 
loại hình TD nào đó, phục vụ cho một loại đối tượng cụ 
thể, thông qua các công cụ hay một hoặc một vài môn 
học nào đó. - Thứ hai, dạy học góp phần phát triển TD 
trong quá trình dạy học các môn học trong nhà trường. 
Hướng này không yêu cầu phải có thêm môn học mới, 
tránh phải dạy một số kiến thức về TD một cách riêng 
biệt nhưng cũng tạo phần nào áp lực cho HS, giáo viên 
(GV) (phải làm việc nhiều hơn, trong quá trình soạn 
giáo án, chương trình,...). 
2.1.2. Một số nghiên cứu về tư duy logic trong dạy học 
Toán ở nước ngoài 
Trong nghiên cứu của mình, Akhsanul In’am chỉ ra 
rằng: không có sự khác biệt lớn của HS nam hay nữ đến 
khả năng TDLG, nhưng ông chỉ ra rằng “khả năng 
TDLG quyết định sự thành công trong quá trình học 
tập, có nghĩa là khả năng TDLG là khác nhau” [6]. 
Trong nghiên cứu trình bày tại [6], Akhsanul In’am 
cũng chỉ ra rằng: Thông qua hình học, HS có thể học 
cách giải quyết các vấn đề bằng cách sử dụng một loạt 
các hoạt động có trật tự và các lí do (cơ sở) tốt trong 
việc đưa ra các phát biểu bằng cách dựa trên các định 
nghĩa, định lí hoặc các định đề. Điều này góp phần rèn 
luyện cũng như phát triển TDLG. Hơn nữa, nghiên cứu 
này cũng có thể củng cố kết quả nghiên cứu nói rằng 
khả năng TDLG này có thể dẫn đến cách tốt nhất để 
phát triển khái niệm (khái niệm toán học). 
TDLG là một kĩ năng được coi là quan trọng để phát 
triển từ bậc tiểu học đến đại học. Süleyman YAMAN 
(2005) chỉ ra trong nghiên cứu của mình [4] rằng: tác 
động của phương pháp tổ chức học dựa trên vấn đề (hay 
ở Việt Nam hay gọi là phương pháp dạy học theo vấn đề, 
hay phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề) 
(problem-based learning, viết tắt là PBL) về phát triển kĩ 
năng TDLG cho HS là rất tốt. TDLG là một kĩ năng được 
xác định trong giai đoạn của quá trình trừu tượng trong 
giai đoạn phát triển nhận thức của Piaget. Với kĩ năng 
TDLG, người học giải quyết vấn đề bằng cách thực hiện 
các hoạt động tinh thần (trí óc) hoặc các quy tắc khác 
nhau bằng cách làm một số trừu tượng và khái quát hoá. 
Trong cách tiếp cận PBL, HS hiểu các khái niệm liên 
quan một cách logic và giải quyết vấn đề một cách dễ 
dàng bằng cách liên kết giữa kiến thức trước và kiến thức 
sau vào quá trình học. 
2.1.3. Một số nghiên cứu về tư duy logic trong dạy học 
Toán ở Việt Nam 
Ở Việt Nam, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục có các 
nghiên cứu về việc rèn luyện, phát triển TD cho HS trong 
dạy học môn Toán như: Vũ Quốc Chung [7], Nguyễn 
Văn Thuận [8], Chu Cẩm Thơ [9]; Trần Đức Chiển 
[10]... Nghiên cứu về việc xây dựng câu hỏi, bài tập có 
các tác giả như Tôn Thân [11], Nguyễn Thị Kim Thoa 
[12], Đỗ Tùng [13], Phan Thị Luyến [14],... Nhìn chung, 
các tác giả đã trình bày về các khía cạnh như điều chỉnh 
nội dung, phương pháp dạy học, khai thác bài toán, 
nghiên cứu một số loại hình TD như logic, sáng tạo, 
thuận nghịch, phê phán,...; nghiên cứu, đề xuất các biện 
pháp để bồi dưỡng, phát triển năng lực TD, năng lực TD 
sáng tạo, TD phê phán, TDLG, TD biện chứng,... cho HS 
thông qua các nội dung dạy học môn Toán ở các cấp học 
khác nhau. 
Như vậy, có thể nói trên thế giới và tại Việt Nam, các 
nghiên cứu về TD, năng lực TD,... và các tác động đến 
HS trong quá trình học tập để phát triển, nâng cao năng 
lực TD cho HS đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. 
Theo đó, để phát triển TD cho HS, các nhà nghiên cứu 
đã khẳng định sự cần thiết phải trang bị các kĩ năng TD 
cho HS và có thể trang bị các kĩ năng TD cho HS bằng 
cách sử dụng chương trình được thiết kế riêng để dạy cho 
HS hoặc lồng ghép dạy các kĩ năng này ngay trong nội 
dung giảng dạy các môn ở trường học. 
2.2. Một số đặc điểm của học sinh có tư duy logic: 
- Có khả năng ghi nhớ nhiều khái niệm, định lí, quy 
luật (không chỉ trong môn Toán) và kết nối, xây dựng, 
liên tưởng được sự liên hệ, mối quan hệ giữa chúng. 
- Thường sử dụng các thao tác TD (thể hiện thông 
qua lời nói, việc làm và kết quả hoạt động) như phân tích, 
tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, so sánh. 
- Thường có những lời nói, viết một cách ngắn gọn, 
có trật tự trình bày, có nguyên nhân, kết quả, có cấu trúc 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
28 
(chẳng hạn như đặt vấn đề, giải quyết vấn đề, kết luận). 
Các từ hay cấu trúc thường lặp lại trong lời nói, viết là: 
nếu, thì, suy ra, từ đó suy ra, có thể suy ra, chắc chắn 
rằng; vì... nên..., nếu không phải thế... thì...; nếu... thì... 
- Trong làm việc, đứng trước một công việc, tình 
huống người có TDLG thường phân tích, lường trước, 
suy đoán kết quả, khó khăn gặp phải, biện pháp giải 
quyết,... rồi mới thực hiện một hoạt động nào đó. 
- Người có TDLG thì thường ít phụ thuộc, chịu ảnh 
hưởng bởi tình cảm, cảm xúc hơn người khác khi đứng 
trước một vấn đề, tình huống cần giải quyết. 
2.3. Đặc điểm tư duy của học sinh lớp 4, 5 
TD của HS tiểu học (từ 6-11 tuổi) đang trong giai 
đoạn TD thao tác cụ thể. Ở lứa tuổi này nhận thức có 
nhiều tiến bộ so với lứa tuổi trước nhưng vẫn còn những 
hạn chế. Các thao tác TD trong giai đoạn này còn dựa 
trực tiếp vào các đồ vật, hiện tượng thực tại, chưa tác 
động tốt trên lời nói và các giả thiết bằng lời. Trong một 
chừng mực nào đó, hành động trên các đồ vật, sự kiện 
bên ngoài còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho các 
hành động trong não. Ở giai đoạn này việc nhận thức 
các kiến thức toán học trừu tượng khái quát vẫn là vấn 
đề khó đối với các em. 
TD của HS lớp 4, 5 (khoảng 10-11 tuổi) là giai đoạn 
cuối của TD thao tác cụ thể. Lúc này, các em đã đạt 
được những tiến bộ về cả lĩnh vực nhận thức không 
gian. Nói cách khác, các em đã nhận thức được các quan 
hệ giữa các đối tượng với nhau ngoài quan hệ trong nội 
bộ một đối tượng như ở giai đoạn đầu. Có thể coi đây 
là giai đoạn đầu của TD hình thức, một bước tiến mới 
của TD: Bước đầu TD trẻ có thể tách khỏi cái cụ thể và 
trong một số trường hợp đơn giản, thực hiện được các 
biến đổi đơn giản theo logic hình thức. Nó không bị 
ràng buộc quá chặt chẽ vào hình ảnh hiện thực mà có 
thể thao tác với các mệnh đề bằng lời nói và với các giả 
thiết, các yếu tố tiền logic được hình thành. Phần lớn 
HS lớp 4, 5 đã có khả năng khái quát hoá trên cơ sở 
phân tích, tổng hợp và trừu tượng hoá bằng trí óc đối 
với các biểu tượng sự vật đã tích luỹ được trong kinh 
nghiệm. Sự giảm bớt của yếu tố trực quan - hình tượng 
tạo điều kiện cho việc gia tăng thành phần của yếu tố 
ngôn ngữ, kí hiệu, mô hình trong TD. 
2.4. Một số lưu ý trong quá trình dạy học phát triển tư 
duy logic cho học sinh lớp 4, 5 trong dạy học môn Toán 
Để rèn luyện TDLG trong dạy học môn Toán, GV 
cần lưu ý: 
- Tập luyện cho HS thực hiện các phát biểu, hiểu, đọc 
và viết các phát biểu trong quá trình học Toán dạng: 
nếu... thì...; vì... nên...; từ... suy ra;... 
- Tập luyện cho HS đọc, hiểu, viết các phát biểu 
dưới dạng tất cả, hầu hết, với mọi, một số, tồn tại, ít 
nhất, nhiều nhất,... liên quan đến vấn đề định lượng hay 
phủ định. Chẳng hạn như “không phải tất cả các bạn 
trong lớp ta đều được đi thi HS giỏi Toán”, có thể phát 
biểu rằng “có ít nhất một bạn trong lớp ta không đi thi 
HS giỏi Toán” hoặc cũng có thể phát biểu rằng “tồn tại 
một bạn trong lớp ta không đi thi HS giỏi Toán”, hay 
phát biểu tương đương như: “một số chia có tận cùng 
bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5” tức là nếu “một số 
không có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì không chia hết cho 
5”,... 
- Tập luyện bước đầu cho HS giải thích, trình bày các 
giải thích, suy luận bằng lời, bằng cách lập bảng (coi 
trọng các lí do) trong quá trình giải toán. 
- Cần lưu ý tới việc tổ chức dạy học: yêu cầu HS 
tính nhẩm; tổ chức các trò chơi dạy học toán có yêu cầu 
động não, TD, suy luận (bằng cách hỏi HS, yêu cầu HS 
hỏi GV, hỏi bạn); tăng cường các bài toán, yêu cầu giải 
quyết vấn đề liên quan tới bố cục, trật tự, trình tự, quy 
luật,...; yêu cầu HS tìm nguyên nhân của các sự kiện, 
các kết quả hoặc dự đoán các kết quả từ những sự kiện, 
thông tin. 
2.5. Xây dựng hệ thống bài tập để phát triển tư duy cho 
học sinh 
2.5.1. Định hướng xây dựng hệ thống bài tập 
Trong sách giáo khoa và sách bài tập dùng ở trường 
phổ thông hiện nay cũng như trên thị trường sách, số 
lượng cũng như các dạng bài tập toán có rất nhiều. Trong 
điều kiện học tập của HS còn có những khó khăn như 
hạn chế về thời gian học tập, chưa say mê học tập... thì 
GV càng cần phải quan tâm đến việc lựa chọn bài tập sao 
cho có hiệu quả nhất, thích hợp với đối tượng HS của 
mình. Để xây dựng hệ thống bài tập một cách có hiệu 
quả, chúng tôi xác định một số định hướng như sau: 
- Định hướng 1: Hệ thống bài tập cần xây dựng sao 
cho kiểm tra, bồi dưỡng, phát triển được các kiến thức, 
kĩ năng cơ bản; nhằm đạt mục tiêu dạy học, trong đó 
có mục tiêu phát triển TDLG. 
Định hướng này nhằm xác định rõ tính mục tiêu của 
việc xây dựng hệ thống bài tập là nhằm củng cố kiến 
thức, rèn luyện kĩ năng cơ bản cho HS, đồng thời phải 
đạt được mục đích phát triển TDLG cho HS. 
- Định hướng 2: Hệ thống bài tập phải đảm bảo 
tính hệ thống, kế thừa. 
Định hướng này nhằm xác định rõ cơ sở (hay 
nguyên tắc) cho việc phân chia, xây dựng các hệ thống 
bài tập, chẳng hạn: sự phân chia bài tập dựa trên sự 
tương đồng về dạng bài tập (bài tập về hình học, bài tập 
về diện tích, bài tập về phép chia có dư,...); sự phân chia 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
29 
bài tập dựa theo dạng lời giải, công cụ giải các bài tập 
có sự tương đồng (các bài tập giải bằng phương pháp 
biểu đồ Venn, giải bằng phương pháp lập bảng,...). Tính 
kế thừa nhằm đảm bảo sao cho các bài tập cần bổ sung 
lẫn nhau, bài tập phần trước chuẩn bị cho bài tập phần 
sau, bài tập phần sau phát triển bài tập phần trước, bài 
tập ví dụ mẫu là cơ sở để giải các bài tập tự luyện ở một 
mức độ nhất định nào đó. 
- Định hướng 3: Hệ thống bài tập cần được xây dựng 
sao cho phù hợp với nhiều đối tượng HS với khả năng 
học tập khác nhau về môn Toán, trong đó có tính đến sự 
phức tạp của quá trình TDLG của các bài tập. 
Định hướng này nhằm giúp GV xác định đến tính đa 
đối tượng của hệ thống bài tập, phù hợp cho việc dạy học 
phân hoá. 
2.5.2. Các bước xây dựng hệ thống bài tập phát triển tư 
duy logic 
Các bước xây dựng hệ thống bài tập toán để phát triển 
TDLG cho học sinh tiểu học (lớp 4; lớp 5) như sau: 
Bước 1. Xác định dạng bài tập hoặc dạng cách giải 
bài tập để xác định chủ đề của một hay một số chủ đề có 
cơ hội tốt trong việc phát triển TDLG cho HS. 
Bước 2. Khai thác, thiết kế các bài tập từ các nguồn 
tài liệu tham khảo khác nhau, trong đó có các tài liệu từ 
các cuộc thi toán quốc tế ở tiểu học. 
Bước 3. Giải các bài tập đã khai thác. 
Bước 4. Biến đổi và sắp xếp các bài tập cho phù hợp 
với các định hướng đã trình bày ở phần trên thành các 
nhóm, hệ thống bài tập theo các định hướng đã xác định 
ở trên (mỗi hệ thống gồm 2 phần: phần các bài tập mẫu 
và phần bài tập tự luyện). 
Bước 5. Dạy học theo hệ thống bài tập đã xây dựng 
(theo hệ thống bài tập mẫu). 
Bước 6. Rút kinh nghiệm, điều chỉnh lại cả phần các 
bài tập mẫu và phần bài tập tự luyện (về cách giải, các 
lưu ý trong TD của HS, trong cách gợi ý của GV, về sự 
chưa phù hợp nội dung, thứ tự,... của các bài tập,...). 
2.5.3. Ví dụ về hệ thống bài tập phát triển tư duy logic 
cho học sinh lớp 4, 5 
Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã xây dựng 
được một số hệ thống bài tập nhằm phát triển TD cho 
HS: các bài tập suy luận đơn giản giải bằng phương pháp 
lập bảng; Các bài toán giải bằng phương pháp lựa chọn 
tình huống; Các bài toán giải bằng phương pháp biểu đồ 
ven; Bài tập Định nghĩa những phép toán mới; Các bài 
toán trong các kì thi toán quốc tế; các bài toán liên quan 
tới nguyên lí Dirichlet. Hệ thống bài tập chúng tôi trình 
bày ở đây gồm hai phần: Phần 1. Các bài tập mẫu; Phần 
2. Các bài tập tự luyện. Trong bài viết, chúng tôi trình 
bày giới thiệu một số bài tập trong một hệ thống các bài 
tập đó (phần các bài tập mẫu). 
Các bài toán trong các kì thi toán quốc tế (về hình học) 
Để xây dựng hệ thống bài tập này, chúng tôi chủ yếu 
khai thác, có chỉnh sửa các bài toán thuộc các đề thi toán 
quốc tế (chủ yếu là các bài toán trong đề thi toán 
Kangaroo trong những năm gần đây, tại Singapore và 
Canada). Các dạng bài tập này cần đến khả năng TD, 
sự suy luận nhanh và sáng tạo nhưng lại hết sức chặt 
chẽ, logic. 
Để giải các bài toán này, HS cần phải biết cách suy 
luận, tưởng tượng, biết thế các đối tượng cho nhau, cần 
phải có suy luận tốt, đầy đủ (theo nghĩa xét đủ các trường 
hợp, xét một cách toàn diện),... Đây là loại bài toán mới 
so với HS Việt Nam, nhưng lại khá thường gặp trong một 
số kì thi Toán quốc tế ở cấp tiểu học. 
Bài 1. Bạn Minh muốn làm một khối hộp giống như 
chiếc khối rubic của bạn Nga (ở hình 1). Nhưng bạn 
Minh mới xếp được như hình 2. Hỏi cần bao nhiêu khối 
hộp nhỏ nữa để bạn Minh hoàn thành khối hộp? 
Hình 1 Hình 2 
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Lắp khối rubic như ở hình 2 thành khối như 
ở hình 1 bằng cách: Lần 1: Ghép 2 khối lập phương nhỏ 
vào hàng 2 để lấp đầy hàng 2. Lần 2: Ghép tiếp 5 khối 
lập phương nhỏ vào hàng trên cùng để lấp đầy khối rubic. 
Như vậy sau 2 lần ghép tất cả 7 khối lập phương nhỏ vào 
hình 2 thì được khối rubic như hình 1. Vậy chọn đáp án 
(D). 
Cách 2: Số khối lập phương nhỏ trong hình 1: 3 x 3 x 
3 = 27 (hình). Số khối lập phương nhỏ trong hình 2: 9 + 
7 + 4 = 20 (hình). Số khối lập phương nhỏ còn thiếu để 
ghép thành rubic như hình 1 là: 27 - 20 = 7 (hình). Vậy 
chọn đáp án D. 
Cách 3: Có thể tưởng tượng ngược lại với cách 1: 
tháo một số khối lập phương nhỏ ở hình 1 ra thì được 
khối ở hình 2. Từ đó HS tìm ra đáp số. 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
30 
Bài 2. Bên ngoài của một khối hộp được sơn màu 
xám và trắng như hình bên. Hãy chỉ ra dưới đây đâu là 
lưới sơn cho khối hộp trên? 
Hướng dẫn: 
Quan sát khối lập phương ta nhận xét: 
- Mỗi mặt của khối hộp là 4 hình vuông nhỏ được sơn màu 
xám và màu trắng xen kẽ nhau nên đáp án đúng có thể là 
hình (C) hoặc hình (E); - Hai mặt tiếp xúc bất kì của khối 
lập phương thì mỗi ô vuông nhỏ liền nhau có màu giống 
nhau. Vậy hình (E) là lưới sơn cho khối hộp trên. 
Bài 3. Bạn Ngọc đang tập học đi xe đạp. Tuy nhiên, 
Ngọc mới chỉ biết rẽ phải chứ chưa rẽ trái được. Hỏi 
Ngọc phải rẽ phải ít nhất bao nhiêu lần nếu muốn đi từ A 
đến B (như hình 3)? 
Hình 3 
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 
Hướng dẫn: 
Cách 1: Nếu đi từ A theo hướng đã chọn, thì chỉ có 
thể có hai cách rẽ phải (tại A1, A2); tiếp đó, tới B1 và B2 
đều chỉ có một cách rẽ phải. Tới đây, cần lưu ý rằng, đi 
theo hướng tới B2 có hai cách rẽ phải tại B1 hoặc tại G. 
Tới đây, nói chung có thể nhận ra ngay rằng đi thẳng tới 
G, rẽ một lần rồi tới K rẽ phải thêm lần nữa là cách đi ít 
lần rẽ phải nhất. Nhìn ngược lại, sẽ chọn cách đi: A → 
A1 → B1 → G → K → B. 
Hình 4 
Cách 2: Đi ngược lại từ B đến A. Nếu đi từ A tới B 
mà chỉ rẽ phải, tức là B sẽ xuất phát theo hướng mũi tên, 
rồi chỉ rẽ trái để tới A. Suy luận tương tự cũng tìm ra 
được đường đi như trên. 
Bài 4. Bạn Tuấn có nhiều miếng bìa như hình 1. Bạn 
ấy muốn xếp các miếng bìa (không chồng lên nhau) lên 
trên miếng bìa hình chữ nhật như hình 2. Hỏi bạn Tuấn 
xếp được nhiều nhất bao nhiêu miếng bìa như vậy? 
Hình 1 Hình 2 
Hướng dẫn: 
Đây là một bài toán thú vị: Hoạt động cắt, ghép hình 
thể hiện tư tưởng phân hoạch trong giải tích. Có thể xác 
định rằng số hình cần thiết để xếp thành hình chữ nhật 
lớn bằng: (4 x 5) : 4 = 5 (lấy diện tích hình lớn chia cho 
diện tích hình nhỏ). Như vậy, chỉ có thể có tối đa là 5 
hình. Dễ dàng loại các phương án A, B, E. HS cần phải 
phân tích, thử nghiệm thì mới loại được một trong hai 
câu C, D. 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 
*A2 
*A1 
* B2 
* B1 
 * G K * 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
31 
Bài 5. Cho các hình được tô đậm như dưới đây được 
vẽ trên mảnh giấy hình vuông: 
Hỏi trong các hình trên có bao nhiêu hình có cùng 
chu vi với mảnh giấy? 
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 
Hướng dẫn: 
Quan sát các hình để so sánh từng cạnh của mỗi hình 
được tô đậm với các cạnh của mảnh giấy ta thấy: Hình 1, 
hình 4, hình 5 và hình 6 có cùng chu vi với mảnh giấy. 
Hình 2, hình 3 không có cùng chu vi với mảnh giấy (do 
còn thừa các cạnh ở mặt trong của chữ H và chữ U). Suy 
ra chọn Đáp án C. 
Bài 6. Cho hình vẽ sau (đã được tô màu xám và 
màu trắng). 
Hình nào dưới đây có thể chọn để ghép vào vị trí có 
dấu hỏi (dấu “?”) sao cho diện tích hai phần xám và trắng 
là bằng nhau? 
Hướng dẫn: 
Đếm số phần xám hiện đang có trong hình là 3,5 ô. 
Số phần trắng hiện đang có trong hình là 4,5 ô. Để hình 
có số phần xám và phần trắng bằng nhau thì cần có thêm 
1 ô màu xám. Chọn đáp án B. 
Bài 7. Khối hộp (hình 1) được tạo bởi 27 khối 
hộp nhỏ. 
Hình 1 
Phải bỏ đi bao nhiêu khối hộp nhỏ để khi nhìn từ trên 
xuống, từ bên trái hay bên phải ta đều thấy được dạng 
như hình 2? 
Hình 2 
(A) 16 (B) 20 (C) 24 (D) 30 (E) 36 
Hướng dẫn: 
- Nhìn từ phía trước thì phải bỏ đi 3 khối hộp nhỏ ở 
hàng giữa của mặt trên cùng. - Nhìn từ bên phải thì phải 
bỏ đi 2 khối hộp nhỏ còn lại ở hàng giữa của mặt trên 
cùng. - Nhìn từ trên xuống thì củng phải bỏ đi 2 khối hộp 
nhỏ còn lại ở hàng giữa của mặt trước. Vậy phải bỏ đi 3 
+ 2 + 2 = 7 khối hộp nhỏ để dù nhìn khối hộp lớn từ bên 
phải, từ trên hay từ phía trước, bạn cũng nhận được hình 
2. Chọn đáp án (D). 
Bài 8. Quang muốn cắt từ hình 1 thành những hình 
tam giác giống nhau như hình 2. 
Hình 1 
Hình 2 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 26-32 
32 
Hỏi bạn ấy có thể cắt được bao nhiêu hình tam giác 
như vậy? 
(A) 8 (B) 12 (C) 14 (D) 15 (E) 16 
Hướng dẫn: 
- Quan sát hình 2 được tạo bởi 2 nửa của 1 hình vuông 
nhỏ ghép lại. Nên mỗi hình 2 do bằng 1 hình vuông nhỏ. 
- Đếm hình 1 được tạo bởi 15 hình vuông nhỏ. - Vậy từ 
hình 1 có thể cắt được 15 hình 2. Vậy chọn đáp án D. 
Bài 9. Diện tích hình chữ nhật ABCD là 10cm2. Điểm 
M và N là điểm giữa của các cạnh AD và BC. Diện tích 
hình tứ giác MBND bằng bao nhiêu? 
(A) 0,5cm2 (B) 5cm2 (C) 2,5cm2 (D) 7,5cm2 (E) 10cm2 
Hướng dẫn: 
Nối M với N chia đôi hình chữ nhật ABCD thành 2 
hình chữ nhật bằng nhau AMNB và DCNM. Không cần 
tính toán, nối M với N, được 4 tam giác bằng nhau. Suy 
ra chọn đáp án B. 
3. Kết luận và bàn luận 
TD có vai trò quan trọng trong đời sống và học tập. 
TDLG tạo điều kiện ban đầu, thuận lợi cho các loại hình 
TD cao hơn như TD phản biện, TD sáng tạo. Trong dạy 
học Toán ở tiểu học, đặc biệt là ở hai lớp cuối cấp (lớp 4, 
5), GV có điều kiện thuận lợi hơn trong việc tổ chức dạy 
học phát triển TDLG cho HS. Một trong các cách đó là 
xây dựng các hệ thống bài tập có dụng ý sư phạm, nhằm 
bồi dưỡng cho HS các thao tác TDLG. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Phan Trọng Ngọ (chủ biên, 2003). Các lí thuyết phát 
triển tâm lí người. NXB Đại học Sư phạm. 
[2] Abdulkadir - Cagru, A. - Lutfi (2013). An Analysis 
of Mathematics Teacher Candidates Logical 
Thinking Level: Case of Turkey. Journal of 
Education and Instructional Studies in The World, 
Vol. 3(1), pp. 83-91. 
[3] Collete Gray - Macblain (2014). Các lí thuyết học 
tập về trẻ em (Learning theories in childhood, Hiếu 
Tân dịch). NXB Hồng Đức. 
[4] Süleyman YAMAN (2005). Effectiveness on 
development of logical thinking skills of problem 
based learning skills in science teaching. Journal of 
Turkish Science Education Vol. 2, Issue 1. 
[5] Buzan Tony (2006). The mind map book. Pearson 
Education Limited, UK. 
[6] Akhsanul In’am (2016). A Logical Thinking 
Analysis through the Euclidean Geometry. Global 
Journal of Pure and Applied Mathematics, Volume 
12, Number 1 (2016), pp. 1069-1075. 
[7] Vũ Quốc Chung (1995). Góp phần hoàn thiện nội 
dung và phương pháp dạy học yếu tố hình học theo 
hướng bồi dưỡng một số năng lực tư duy cho học 
sinh tiểu học. Luận án phó tiến sĩ Khoa học sư phạm 
- Tâm lí, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. 
[8] Nguyễn Văn Thuận (2004). Góp phần phát triển 
năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ 
Toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông 
trong dạy học đại số. Luận án tiến sĩ, Trường Đại 
học Vinh. 
[9] Chu Cẩm Thơ (2010). Vận dụng phương pháp kích 
thích tư duy của học sinh trong dạy học môn Toán ở 
trường trung học phổ thông. Luận án tiến sĩ, Trường 
Đại học Sư phạm Hà Nội. 
[10] Trần Đức Chiển (2007). Rèn luyện năng lực tư duy 
thống kê cho học sinh trong dạy học thống kê - xác 
suất ở môn Toán Trung học phổ thông. Luận án tiến 
sĩ Giáo dục học, Viện Chiến lược và Chương trình 
giáo dục. 
[11] Tôn Thân (1995). Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài 
tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng 
tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học 
phổ thông cơ sở Việt Nam. Luận án tiến sĩ Khoa học 
giáo dục, Viện Khoa học giáo dục. 
[12] Nguyễn Thị Kim Thoa (2008). Rèn luyện kĩ năng 
tiền chứng minh cho học sinh lớp 5 thông qua dạy 
học các yếu tố hình học. Luận án tiến sĩ, Trường Đại 
học Sư phạm Hà Nội. 
[13] Đỗ Tùng (2014). Hình thành kĩ năng tư duy cho học 
sinh lớp 4, lớp 5 thông qua dạy học giải toán. Luận 
án tiến sĩ Khoa học giáo dục, Trường Đại học Sư 
phạm Hà Nội. 
[14] Phan Thị Luyến (2008). Rèn luyện tư duy phê phán 
của học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ 
đề phương trình và bất phương trình. Luận án tiến 
sĩ, Viện Khoa học giáo dục Việt Nam.