Mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn có khâu đàn hồi tịnh tiến

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 111
MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN 
CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN 
Nguyễn Quang Hoàng1,*, Nguyễn Văn Quyền1, Vũ Đức Vương2 
Tóm tắt: Máy nâng hạ được sử dụng nhiều trong việc bốc dỡ hay xếp hàng trong 
kho. Việc nâng cao tốc độ vận hành của máy hay giảm vật liệu của khâu thao tác sẽ 
làm cho hiệu ứng dao động do tính đàn hồi của khâu trở nên không thể bỏ qua 
được. Bài báo này trình bày việc mô hình hóa và điều khiển tay máy đơn với khâu 
đàn hồi chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm một đầu ngàm 
và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng riêng của 
dầm, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập. Trên cơ sở mô 
hình này cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến 
chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát. Nhờ công cụ phần mềm Matlab 
các kết quả mô phỏng được đưa ra. 
Từ khóa: Tay máy đàn hồi, Dầm Euler – Bernoulli tịnh tiến, Phương pháp Ritz – Galerkin bộ điều khiển PD, 
Điều khiển dựa trên năng lượng. 
1. MỞ ĐẦU 
Tay máy robot được sử dụng trong nhiều 
lĩnh vực công nghiệp. Tay máy robot truyền 
thống được thiết kế có độ cứng cao, do đó, 
có thể được mô hình như hệ các vật rắn 
tuyệt đối được liên kết bởi các khớp quay 
hoặc khớp tịnh tiến để thuận tiện cho việc 
điều khiển hệ thống này. Độ cứng cao đạt 
được bằng cách tăng kích thước và khối 
lượng của khâu và do đó làm tăng kích 
thước của các cơ cấu dẫn truyền động, cùng 
với đó mức tiêu thụ năng lượng cho robot 
cũng tăng lên. Ngược lại, một tay máy robot 
nhẹ mảnh có chi phí vật liệu và năng lượng 
thấp hơn. Tuy nhiên, việc giảm khối lượng 
khâu sẽ dẫn đến việc giảm độ cứng của 
khâu. Các tay máy trở nên mềm hơn và khó 
khăn hơn để điều khiển chính xác. Do đó, 
tính chất đàn hồi của khâu không thể bỏ qua trong việc điều khiển robot nhẹ mảnh hoặc 
các thiết bị chuyển động với tốc độ cao. 
Báo cáo này trình bày việc mô hình hóa và mô phỏng tay máy đơn với khâu đàn hồi 
chuyển động tịnh tiến. Trước hết, bài toán dao động của dầm Euler – Bernoulli dầm một 
đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập trung được khảo sát. Dựa trên các dạng dao động 
riêng, các phương trình mô tả tay máy có khâu đàn hồi được thiết lập. 
2. MÔ HÌNH HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY ĐƠN 
CÓ KHÂU ĐÀN HỒI TỊNH TIẾN 
2.1. Mô hình động lực 
Khảo sát mô hình tay máy như trong hình 1, bao gồm: cơ cấu chấp hành tịnh tiến ở bên 
trái; dầm Euler – Bernoulli đồng chất, thiết diện không đổi, có chiều dài L, khối lượng 
riêng ρ; và tải trọng được mô hình như chất điểm có khối lượng mt. Gọi z(t) là dịch chuyển 
mt 
u 
z 
m0 
x w(x,t) 
L 
E,I,L, 
ĐC một chiều 
Khớp nối 
Hình 1. Mô hình tay máy đàn hồi. 
Hệ truyền động 
trục vít 
Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông 
 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 112 
dọc trục z của con trượt khối lượng m0 và ( , )w x t là độ võng của trục dầm tại mặt cắt cách 
con trượt một khoảng x. Áp dụng nguyên lý Hamilton hoặc nguyên lý d’Alembert, phương 
trình vi phân chuyển động của dầm Euler – Bernoulli [1-3] được đưa ra như sau: 
4 5 2
4 4 2
0
i e
w w w w
EI I A z z
tx t x t
         
  (1) 
trong đó, E là môđun đàn hồi của vật liệu, I và A lần lượt là mômen quán tính mặt và 
diện tích của thiết diện dầm, 
e
 là hệ số cản ngoài và 
i
 là hệ số cản trong. Trong phương 
trình trên, lực cản ngoài với tỷ lệ bậc nhất với vận tốc, 
d e
F Awdx  , và lực cản trong 
được suy ra từ mô hình cản Kelvin–Voigt ( )
i
E    [10]. 
Các điều kiện biên tại hai đầu dầm được đưa ra như sau: 
0x : (0, ) 0, (0, ) 0
w
w t t
x


x L : 
2
2
( , ) 0
w
EI L t
x


(2) 
Và: 
2 3 2
,2 2 2
( , ) ( , ) ( , )
i t e tip
w w w w
EI I L t m z L t z L t
x tx t x t
           
  (3) 
Phương trình chuyển động của con trượt dẫn động nhận được nhờ nguyên lý 
d’Alembert như sau: 
2
0 20 0
2
,2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
L L
e
t e tip
w w
m z Adx z x t z x t dx
tt
w w
m z L t z L t u
tt
    
    
   
 
 (4) 
trong đó, 
0
m là khối lượng của con trượt, 
c
u và 
z
d z lần lượt là lực điều khiển và lực cản 
nhớt tác dụng lên con trượt, 
fric
f là lực ma sát Coulomb tác dụng lên con trượt. 
Nếu bỏ qua cản trong và cản ngoài phương trình mô tả hệ trở thành 
4 2
4 2
0
w w
EI A z
x t
     
 , khi 0 x L (5) 
với điều kiện biên tại hai đầu dầm: 
 0x : (0, ) 0, (0, ) 0
w
w t t
x


 (6) 
 x L : 
2
2
( , ) 0
w
EI L t
x


 và 
3 2
3 2
( , ) ( , )
t
w w
EI L t m L t z
x t
     
 (7) 
cùng với phương trình chuyển động của khâu dẫn 
2 2
0 2 20
( , ) ( , )
L
t c z fric
w w
m z Adx z x t m z L t u d z f
t t
     
     (8) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 113
2.2. Biến đổi bài toán về dạng phương trình vi phân thường 
Phương trình dao động tự do không cản của dầm với khối lượng tập trung ở đầu dầm 
Trong mục này, phương trình đặc trưng và dạng dao động riêng ứng với các tần số dao 
động riêng được đưa ra để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng phương trình vi 
phân thường, dùng cho bài toán mô phỏng và điều khiển. Trong trường hợp này, với 
0z  các phương trình (5) trở thành [4-6]: 
4 2
4 2
0
w w
EI A
x t
 
 
, khi 0 x L (9) 
với các điều kiện biên một đầu ngàm chặt và một đầu mang khối lượng tập trung 
 (0, ) 0, (0, ) 0
w
w t t
x


 và 
2 3 2
2 3 2
( , ) 0, ( , ) ( , )
t
w w w
EI L t EI L t m L t
x x t
  
  
 (10) 
Áp dụng phương pháp tách biến Bernoulli, nghiệm của phương trình (9) được tìm ở dạng: 
 ( , ) ( ) ( )w x t X x T t (11) 
Thế (11) vào phương trình (9), ta được: 
 2( ) ( ) 0T t T t  (12) 
4
2
4
( )
( ) 0
d X x A
X x
EIdx
 (13) 
Nghiệm của phương trình (13) có dạng: 
 1 2 3 4( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( )L L L LX x C x C x C x C x
    (14) 
trong đó, 
4
4 2 AL
EI
  và 
1 2 3 4
, , ,C C C C là các hằng số. Từ các điều kiện biên (10) ta nhận 
được 
 3 1 4 2 2 1
(sin sinh )
, ,
(cos cosh )
C C C C C C
 
 
 (15) 
Và: 
 1 1 cos cosh (cos sinh sin cosh ) 0C       
 (16) 
trong đó, t t
beam
m m
AL m

 . Từ điều kiện hệ số 
1
C phải không triệt tiêu, ta nhận được 
phương trình đặc trưng hay phương trình tần số của dầm như sau: 
 1 cos cosh cos sinh sin cosh 0       (17) 
Giải phương trình phi tuyến (17), ta nhận được các trị riêng ,( 1,2,...)
k
k , sau đó thế 
vào (14), ta thu được các hàm riêng: 
 1,
1,
(sin sinh )
( ) sin( ) sinh( ) cos( ) cosh( ) : ( )
(cos cosh )
( )
k kx x x x
k k k k k k kL L L L
k k
k k
X x C x
C x
 
    
 

 (18) 
Các hàm riêng thỏa mãn điều kiện trực giao sau đây: 
0
0,
( ) ( ) ( ) ( )
0,
L
ik i k i t k
i k
A x x dx L m L
i k
    
 (19) 
Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông 
 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 114 
Hằng số 
1,k
C trong (18) được xác định từ điều kiện chuẩn hóa 1
ik
 hoặc để đơn 
giản, ta lấy 
1,
1
k
C . 
Biến đổi phương trình đạo hàm riêng về hệ phương trình vi phân thường 
Để biến đổi hệ phương trình mô tả hệ (1)-(4) về dạng phương trình vi phân thường – 
dạng đơn giản để mô phỏng và thiết kế bộ điều khiển - ta tìm nghiệm ( , )w x t của hệ bằng 
phương pháp khai triển theo các hàm riêng dạng: 
1
( , ) ( ) ( )
p
k k
k
w x t x q t
  với 1,2, 3,...p (20) 
Thế biểu thức (20) vào phương trình (1) ta nhận được: 
3 3
"" ""
3 30 0
1 1
,0 0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p pL L
k k
j k j k i j k j k
k k
p L L
e j k e tip j k k j k t j k
k
d d
EI x x dx L L q t I x x dx L L q t
dx dx
x x dx L L q t A x x dx m L L
 
     
        
  
 


1
,0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2,...,
p
k
k
L L
j t j e j e tip j
q t
A x dx m L z x dx L z j p    


 
 (21) 
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: 
23 2
""
3 2 20 0
2 2 4
40
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
L L
jk k
j k j
L
j j k j t k j jk j jk
d xd d x
EI x x dx L L EI dx
dx dx dx
EI
x A x dx L m L m m
AL
 
  
      
 (22) 
với 
0
( ) ( ) ( ) ( ).
L
jk j k j t k
m x A x dx L m L    
Dựa vào tính chất trực giao của các hàm riêng (19), cùng với (22), phương trình (21) 
được viết lại dưới dạng thu gọn như sau: 
, , 1 , , , 1 ,
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2,...,
p p p
i e e
j k k j p j k j k k j p j k k
k k k
m q t m z d d q t d z k q t j p
       (23) 
trong đó 
3
"" 4
, 3 40
( ) ( ) ( ) ( )
L
jk jki k
j k i j k j i i i j jk
k kd I
d I x x dx L L I m
EI Edx AL

    
 (24) 
, , , 1 ,0 0
( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
L L
e e
j k e j k e tip j k j p e j e tip j
d x x dx L L d x dx L      
 (25) 
Thế (20) vào (4), ta nhận được: 
,0 0
1 1
, 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
p pL L
k t k k e k e tip k k
k k
e e tip t c z fric
A x dx m L q t x dx L q t
L z m AL m z u d z f
    
   
  
1, 1, 1, 1 1, 1
1 1
( ) ( )
p p
e e
p k k p k k p p p p c fric
k k
m q t d q t m z d z u f
      
(26) 
trong đó, các phần tử khối lượng và cản được xác định như sau: 
1, 1, 1 00
1, , 1, 1 ,0
( ) ( ), ( )
( ) ( ),
L
p k k t k p p t
L
e e
p k e k e tip k p p z e e tip
m A x dx m L m m AL m
d x dx L d d L
   
   
 (27) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 115
Các phương trình (23) và (26) viết lại dưới dạng ma trận: 
 ,o c fricu u u f Ms Ds Ks B  (28) 
trong đó, 
1 2
[ , , ..., , ] ,T
p
q q q z s 
o( 1) 1
[0, 0, ..., 0,1]T
p 
 B . 
Để phân biệt giữa dịch chuyển của con trượt dẫn z và các tọa độ suy rộng q của dầm 
đàn hồi, phương trình chuyển động trên được viết lại ở dạng sau 
11 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
1T T T
u
z z zm d k
M m D d K kq q q 0
m d k
 
 
 (29) 
Hạ bậc (29) ta nhận được phương trình trạng thái của hệ dạng: 
u x Ax B , với [ , ]T T T x s s 
và 1 1 1,
o
0 I 0
A B
M K M D M B
(30) 
Phương trình đầu ra của hệ 
Theo sơ đồ hình 1, ta xác định được dịch chuyển của điểm đầu dầm nơi có khối lượng 
tập trung: 
1
( ) ( ) 1
p
tip k kk
z L q z L
z


q
 với 
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
p
L L L L   
 (31) 
đo được bằng các sensor, khi đó, phương trình đầu ra của hệ thống được thể hiện bởi 
phương trình: 
( ) 0 0 0
0 1 0 0
0 0 ( ) 0
0 0 0 1
tip
base
tip
base
w L
z z
w L
z z
q
y Cx
q 
 


 (32) 
Trong trường hợp chỉ có thể đo được vị trí và vận tốc của con trượt dẫn, phương trình 
đo của hệ trở thành: 
0 1 0 0
0 0 0 1
base
base
z z
z
z
q
y Cx
q 

 (33) 
2.3. Thiết kế bộ điều khiển 
Xem xét hàm trữ năng 1 1
2 2
T TE s Ms s Ks  , đạo hàm theo thời gian của hàm trữ năng 
và chú ý đến phương trình (28) ta thu được: 
 ( ) .T T T ToE u zu zu s Ms s Ks s B Ds Ks Ks s Ds
          (34) 
Số hạng zu biểu thị năng lượng cung cấp bởi các động cơ dẫn động cho hệ. Bất đẳng 
thức trong phương trình (34) cho thấy rằng hệ thống là thụ động. Trong trường hợp đầu 
vào bằng 0, 0,u hệ thống có một sự cân bằng ổn định , 0, 0, 0
d
z z z q q  , tại đó, 
năng lượng đạt giá trị cực tiểu và bằng 0. 
Từ tính chất thụ động của hệ thống, để thiết kế bộ điều khiển hàm Lyapunov đề xuất 
được chọn như sau: 
Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông 
 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 116 
 2 2
1 1
( )
2 2v p d
V E k z k z z  , với 0, 0
v p
k k (35) 
Đạo hàm V theo thời gian ta nhận được: 
 ( )
T
v p d
V z u k z k z z 
s Ds     (36) 
Từ phương trình (36) một luật điều khiển u sẽ được chọn thỏa mãn: 
 ( )p d v du k z z k z k z   (37) 
Lưu ý rằng, từ (29) ta tính được z , sau đó, thay vào (37) để xác định luật điều khiển. 
Tuy nhiên, để cho đơn giản ta chọn 0
v
k , và nhận được bộ điều khiển PD như sau: 
 ( )d p du k z k z z  (38) 
Khi đó, ta có 2 0T
d
V k z s Ds    . 
3. MÔ PHỎNG SỐ 
Các mô phỏng số được thực hiện để minh họa ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến 
chuyển động của điểm tác động cuối và hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất. Trong mô 
phỏng này, bộ số liệu sau đây được sử dụng [8, 9]: 
9 269 10 N/mE  , 1 424.1667 10I m  , 37850 kg/m , 5 25 10 mA  , 
0.3 mL , 0.01 kg
t
m , 
0
0.455 kgm . 
Vị trí cần đạt tới zd = 0.3 m. Bộ điều khiển PD sử dụng các tham số: 100pk , 50.dk 
Số các dạng riêng đầu tiên được sử dụng trong các mô phỏng lần lượt là 1, 2p p và 
6p . Các kết quả mô phỏng được thể hiện trên các hình 2 đến 5. 
0 1 2 3 4 5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t [s]
z
, 
z
tip
 [
m
]
 z
z
tip
Hình 2. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 1, hệ 2 DOF. 
0 1 2 3 4 5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t [s]
z
, 
z
tip
 [
m
]
 z
z
tip
Hình 3. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 2, hệ 3 DOF. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 117
0 1 2 3 4 5
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t [s]
z
, 
z
tip
 [
m
]
 z
z
tip
Hình 4. Chuyển động của khâu dẫn và đầu dầm, khi p = 6, hệ 7 DOF. 
0 1 2 3 4 5
-2
0
2
4
t [s]
u
 [
N
]
Hình 5. Lực điều khiển con trượt, khi p = 1. 
Các đồ thị trên cho thấy con trượt đạt đến vị trí mong muốn của nó trong khoảng 2,5 
giây. Ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu đến chuyển động của điểm tác động cuối được 
thể hiện trong các hình 2, 3 và 4. Các kết quả trên cũng cho thấy không có sự khác biệt 
nhiều khi số lượng dạng riêng 2p và 6p sử dụng trong mô phỏng. 
4. KẾT LUẬN 
Bài báo này đã trình bày việc mô hình hóa tay máy đơn chuyển động tịnh tiến có khâu 
đàn hồi. Dựa trên các dạng riêng của dầm một đầu ngàm và đầu kia có khối lượng tập 
trung, hệ phương trình đạo hàm riêng đã được biến đổi về phương trình vi phân thường. 
Trên cơ sở mô hình này, cùng với bộ điều khiển PD, ảnh hưởng của tính đàn hồi của khâu 
đến chuyển động của điểm tác động cuối được khảo sát. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Meirovitch, L. (2001), “Fundamentals of Vibrations’’, McGraw-Hill, New York. 
[2] Thomson W. T., M. D. Dahleh (2005), “Theory of Vibration with Applications (Fifth 
Edition)”, Prentice-Hall, Inc., NJ. 
[3] Erturk A., D. J. Inman (2011), “Piezoelectric Energy Harvesting”, John Wiley & 
Sons, Ltd., United Kingdom. 
[4] Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4)”, NXB Khoa học và 
Kỹ thuật, Hà Nội. 
[5] Zhi-Cheng Qiu (2012), “Adaptive nonlinear vibration control of a Cartesian flexible 
manipulator driven by a ballscrew mechanism”, Mechanical Systems and Signal 
Processing, 30, pp. 248–266. 
Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông 
 N. Q. Hoàng, N. V. Quyền, V. Đ. Vương, “Mô hình hóa và điều khiển đàn hồi tịnh tiến.” 118 
[6] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2009), “Nonlinear response of a flexible Cartesian 
manipulator with payload and pulsating axial force”, Nonlinear Dynamics, 57, pp. 
177–195. 
[7] Pratiher, B., S. K. Dwivedy (2007), “Non-linear dynamics of a flexible single link 
Cartesian manipulator”, International Journal of Non-Linear Mechanics, 42, pp. 
1062–1073. 
[8] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2004), “Lyapunov-Based Vibration 
Control of Translational Euler-Bernoulli Beams Using the Stabilizing Effect of Beam 
Damping Mechanisms”, Journal of Vibration and Control, 10, pp. 933–961. 
[9] Dadfarnia, M., N. Jalili, B. Xian, D. M. Dawson (2003), “Lyapunov-based 
Piezoelectric Control of Flexible Cartesian Robot Manipulators”, Proceedings of the 
American Control Conference Denver, Colorado, pp. 5227–5232. 
[10] Banks, H. T. and D. J. Inman (1991), “On Damping Mechanisms in Beams”, 
Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics, 58 (3), pp. 716–723. 
ABSTRACT 
MODELING AND CONTROLLING A DEGREE OF FREEDOM MANIPULATOR 
WITH TRANSLATIONAL ELASTIC LINK 
Lifting equipment are widely used in the loading or unloading in warehouses. 
Increasing the equipment's operating speed or reducing the dimensions of the link 
will cause the vibration effect of the elasticity of the suture to be inevitable. In this 
paper, the modeling and controlling of a degree of freedom with translational 
elastic link are presented. First of all, the vibration problem of a single beam and 
the other end of the beam is investigated. Based on the types of beams, equations 
describing translational elastic link are established. Based on this model together 
with the PD controller, the influence of the elasticity of the suture to the motion of 
the last impact point was investigated. Thanks to the Matlab software tools the 
simulation results are given. 
Keywords: Mechatronic system, PD controller, Ritz-Galerkin method, Flexible manipulator. 
Nhận bài ngày 02 tháng 5 năm 2017 
Hoàn thiện ngày 10 tháng 6 năm 2017 
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 7 năm 2017 
Địa chỉ: 
 1Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; 
 2Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử, Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên. 
 * Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn