Mô hình boson tương tác và phổ năng lượng hạt nhân Yb và Os

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Duy Lý và tgk 
18 
MÔ HÌNH BOSON TƢƠNG TÁC 
VÀ PHỔ NĂNG LƢỢNG HẠT NHÂN Yb VÀ Os 
INTERACTING BOSON MODEL 
AND ENERGY SPECTRA OF NUCLEI Yb AND Os 
NGUYỄN DUY LÝ và NGUYỄN THỊ THU QUYÊN 
 ThS. Trường Đại học Văn Lang, nguyenduyly@vanlanguni.edu.vn, Mã số: TCKH11-05-2018 
 ThS. Trường Đại học Văn Lang, nguyenthuquyen@vanlanguni.edu.vn 
TÓM TẮT: Bài viết trình bày một số kết quả sử dụng mô hình Boson tương tác mô tả phổ 
năng lượng hạt nhân, xét cho các hạt nhân nặng 170
70 100Yb và 
178
76 102Os . Dùng kết quả phân 
tích cách tính trị riêng của toán tử Casimir đơn giản hóa đã tính trong [7, tr.110], [8, tr.1] 
và làm khớp phổ tính toán theo mô hình với số liệu thực nghiệm cho một số hạt nhân bền 
và không bền mới phát hiện được nêu ở trên. So sánh cho thấy các phổ lý thuyết và thực 
nghiệm phù hợp nhau. 
Từ khóa: mô hình Boson tương tác; IBM; hạt nhân chẵn-chẵn; phổ năng lượng hạt nhân. 
ABSTRACTS: The article presents several results of applying the interacting Boson model 
to interprete the energy spectra of nuclei 170
70 100Yb and 
178
76 102Os . The findings are used to 
analyze the method of computing the simplifying eigenvalues for Casimir operators of 
Hamiltonian and fit the spectra of the model with the experimental data for some stable 
and unstable nuclei which were recently discovered. The comparison of experimental 
spectra with theoretical ones gives good fitting results. 
Key words: interacting Boson model; IBM; even-even nuclei; energy spectra of nuclei. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Mô hình Boson tương tác do A. Arima 
và F. Iachello nêu ra vào năm 1975 [1], [2, 
tr.1069], [3], [4] dựa trên chuyển động tập 
thể của hạt nhân đạt được rất nhiều kết quả 
đáng khích lệ khi mô tả phổ năng lượng của 
nhiều hạt nhân. Có thể hình dung, mô hình 
là hệ mà trong đó chuyển động tập thể dạng 
đơn cực và tứ cực đóng vai trò chủ yếu. Mô 
hình cho thấy đặc biệt hiệu quả khi khảo sát 
các hạt nhân trung bình và nặng. 
Bài viết trình bày một số kết quả mới 
mà các tác giả đã tính toán trong việc sử 
dụng mô hình để giải thích phổ năng lượng 
của hạt nhân bền và không bền và xét cụ 
thể cho các hạt nhân 170
70 100Yb và 
178
76 102Os . 
2. NỘI DUNG 
2.1. Mô hình Boson tƣơng tác 
Khi mô tả chuyển động tập thể của hạt 
nhân bằng phương pháp biến số tập thể, 
thực tế chỉ xét đến một số bậc đa cực . 
Khi biến dạng hạt nhân là nhỏ có thể chỉ 
giới hạn xét hạng thức đa cực bậc  = 2 
(chuyển động tứ cực) và hạng thức đa cực 
bậc  = 0 (chuyển động đơn cực). Hạng 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 11, Tháng 9 - 2018 
19 
thức  = 1 (chuyển động lưỡng cực) không 
có mặt vì dịch chuyển khối tâm là tầm 
thường, từ hạng thức  = 3, 4, (chuyển 
động 8, 16 cực,) trở đi có thể bỏ qua vì 
các đóng góp này quá nhỏ [5, tr.110]. 
Hạt nhân là một hệ các fermion. Xét 
hạt nhân chẵn-chẵn trong đó, chuyển động 
tập thể của hạt nhân được xét như một hệ 
gồm 2 loại boson lấp đầy, các s-boson có 
mômen  0 và các d-boson có mômen  
 2. Các boson này hình thành từ hiệu ứng 
kết nhóm của các proton và neutron. Do 
hiệu ứng này khối chất lỏng Fermi đã trở 
thành khối chất lỏng Bose đơn giản hóa. 
Mô hình Boson tương tác có các toán 
tử hủy và sinh boson đa cực bậc không ký 
hiệu là s và s+ ( = 0), các toán tử hủy và 
sinh đa cực bậc hai ký hiệu là d và d
(
0, 1, 2 ). Các toán tử này tuân theo hệ 
thức giao hoán Bose [1, 4]. 
, 1s s , ,d d  
 , 
, 0s d
 , , 0d d  , , 0d d 
 (1a) 
Từ 6 toán tử hủy và 6 toán tử sinh nói 
trên lập được 36 tích song tuyến, mỗi tích 
gồm một toán tử sinh và toán tử hủy: 25 
toán tử dạng d d 
, 5 toán tử dạng d s
, 5 
toán tử dạng s+d và 1 toán tử dạng s+s. 
36 vi tử này là các vi tử của nhóm đối 
xứng của hệ và là nhóm U(6). Để thuận tiện 
cho việc trình bày, các toán tử hủy và sinh 
ký hiệu chung là b và b
 (1  6). 
Chúng là các toán tử boson và tuân theo 
các hệ thức giao hoán sau: 
[ , ] ,b b  
[ , ] [ , ] 0b b b b   
 (1b) 
Các vi tử của nhóm U(6) có thể chọn là 
.B b b  
Toán tử Hamilton của hạt nhân chẵn-
chẵn có dạng: 
'
0
, , ,
L
B L
L M
L L
L
L
H b b
u b b b b
 

    
  
 
 
 
(2) 
Trong đó các công thức sau đây của 
phần hạt nhân lõi mô tả bằng mô hình 
boson tương tác: 
Các toán tử số boson: 
0
ˆ
sn s s
 , 
0
ˆ 5dn d d
 (3a), toán tử mômen 
xung lượng: 
1
ˆ 10L d d

 ,
0
1 1
2ˆ 10 3L d d d d 
(3b), 
toán tử mômen tứ cực : 
2
Qˆ s d d s d d

 , 
0
2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 ( 1)mm m m m
m m
Q Q Q Q Q Q Q  
(3c) 
Các biến đổi của (2) và (3) đã được 
trình bày trong [7, tr.110], [8, tr.1], [9, tr.1]. 
Với hạt nhân chẵn-chẵn mô tả bởi 
nhóm U(6), toán tử Hamilton với đối xứng 
động lực là tổ hợp tuyến tính của các toán 
tử Casimir bậc hai. Khi hạ cảm nhóm U(6) 
xuống nhóm O(2), thu được ba xích nhóm 
bất khả quy. Mỗi xích nhóm sẽ cho một 
biểu thức của một kiểu chuyển động tập thể 
của hạt nhân. 
Xích nhóm đầu tiên: loại tất cả các vi 
tử liên quan đến s-boson, ta còn 25 vi tử có 
dạng 
L
d d được mô tả bằng nhóm U(5). 
Sau đó bỏ 15 vi tử d-boson liên quan đến 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Duy Lý và tgk 
20 
L = 0, 2, 4, ta còn 10 vi tử được mô tả bằng 
nhóm O(5). Cuối cùng loại 7 vi tử liên quan 
đến L = 3, còn 3 vi tử d-boson liên quan 
đến L = 1, được mô tả bởi nhóm O(3) và 
hình chiếu của nó được mô tả bởi nhóm 
O(2): 
U(6)  U(5)  O(5)  O(3)  O(2) (4a) 
Với xích nhóm thứ hai ta xét 1 + 3 + 5 = 9 
vi tử đơn cực, hai cực và tứ cực
00ˆ ˆ ˆ 5s dN n n s s d d
 , 
Lˆ và Qˆ , được mô tả bởi nhóm U(3). Số 
hạng liên quan đến boson có thể bỏ qua, khi 
đó ta còn 8 vi tử liên quan đến toán tử hai cực 
và tứ cực tương ứng với nhóm SU(3), làm 
tương tự như trên ta thu được xích nhóm: 
U(6)  SU(3)  O(3)  O(2) (4b). 
Cuối cùng lấy 3 + 7 + 5 = 15 vi tử 
Lˆ , 
3
d d

 , 
2 2
d s s d
 
 , 
tương ứng với nhóm O(6), bỏ 5 vi tử cuối cùng 
ta thu được nhóm O(5), xích nhóm có dạng: 
U(6)  O(6)  O(5)  O(3)  O(2) (4c). 
Phổ hạt nhân liên quan đến xích nhóm 
(4c) - xích nhóm không bền gamma đã 
được trình bày trong [5, tr.110], công trình 
này chỉ khảo sát các hạt nhân có phổ liên 
quan đến chuyển động quay, tương ứng với 
xích nhóm (4b). 
 U(6)  SU(3)  O(3)  O(2) (4b) 
Vì xét hạt nhân cố định nên trị riêng 
của toán tử Casimir của nhóm đầu xích 
U(6) là một hằng số, còn nhóm cuối xích 
O(2) không tạo nên năng lượng của hạt 
nhân nếu không có lực từ. Do đó, chỉ có hai 
toán tử Casimir bậc hai của hai nhóm trong 
lòng xích tham gia chủ yếu vào phổ năng 
lượng hạt nhân là các nhóm SU(3) và O(3), 
ký hiệu lần lượt là C2SU(3) và C2O(3) [1], [6]. 
Như vậy, toán tử Hamilton của hạt 
nhân khi tính đến các nhóm đối xứng động 
lực sẽ có dạng: 
2 (6) 2 (3) 2 (3)
ˆ
U SU OH aC bC cC (5) 
Casimir bậc hai của các nhóm: nhóm SU(3): 
Gồm hai vi tử Lˆ và Qˆ , toán tử Casimir: 
2 2
2 (3)
3ˆ ˆ ˆ2
4
SUC Q L , trị riêng của toán tử này: 
2 2
2 (3) 3( )SUC      (6). 
Trong đó 2Qˆ là tương tác tứ cực-tứ 
cực, (,) là các cặp số đánh dấu trạng thái 
cơ sở được xác định theo quy tắc:  = 2N – 
6l – 2, với l = 0, 1,...;  = 0, 2, 4,..., N. 
Nhóm O(3): Vi tử 2Lˆ , toán tử Casimir: 
2
2 (3)
ˆ ˆ
OC L , trị riêng C2O(3) = L(L + 1) (7). 
Thay các trị riêng đã rút gọn của các 
toán tử Casimir vào (5) ta được biểu thức 
sau đây cho phổ năng lượng: 


0 ( 3) ( 3)
2 (2 3) ( 1)
E E a
N N bL L
   

(8) 
Trong đó, L là số lượng tử mômen của 
hạt nhân còn N là số boson và là cố định 
khi xét một hạt nhân (N ns + nd, ns là số 
s-boson và nd là số d-boson). Biểu thức phụ 
thuộc hai hệ số hằng số là a, b. 
2.2. Giải thích phổ năng lƣợng của các 
hạt nhân chẵn-chẵn 
Như đã nêu trên, số lượng các hạt nhân 
bền và không bền phát hiện đến thời điểm 
này đã vượt quá con số 3200, bài toán đặt 
ra ở đây là phải giải thích cấu trúc và phổ 
năng lượng của chúng. Các tác giả đã áp 
dụng mô hình Boson tương tác phân tích 
hàng loạt hạt nhân chẵn-chẵn ở các vùng 
bền và không bền, và báo cáo này nêu hai 
trong số đó. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Số 11, Tháng 9 - 2018 
21 
Các kết quả tính toán và đo được nêu 
và so sánh trong Hình 1 và Hình 2. Số liệu 
thực nghiệm được lấy từ [10]. Tính toán 
liên quan đến (8) thực hiện cho các hạt 
nhân chẵn-chẵn tuân theo mô hình Boson 
tương tác. 
Các hạt nhân 170
70 100Yb và 
178
76 102Os được 
chọn vì có phổ năng lượng thể hiện rõ tính 
chất của hạt nhân đối xứng quay, trong đó 
hạt nhân 170
70 100Yb bền và hạt nhân 
178
76 102Os
không bền có các mức năng lượng mới 
được xác định gần đây, các tính toán lý 
thuyết còn xác định một số mức nữa như là 
một tiên đoán các mức có thể xuất hiện. 
Các hình vẽ cho thấy, các kết quả tính toán 
lý thuyết phù hợp với thực nghiệm. Nói 
cách khác, các hạt nhân được khảo sát mô 
tả tốt bởi mô hình Boson tương tác.
Hình 1. Phổ năng lượng của 
170
70 100Yb với các hệ số a 4,76155; b 13,187 
Hình 2. Phổ năng lượng của 
178
76 102Os với các hệ số a 5,04746, b 16,0847 
0 
84 
277 
574 
964 
1438 
1069 
1139 
1294 
1146 
1225 
1330 
1445 
1602 
0 
79 
264 
554 
949 
1451 
1057 
1136 
1321 
1136 
1215 
1321 
1453 
1611 
0
900
1800
E
 (
k
e
V
)
Exp. Theory 
0 
132 
398 
761 
1194 
1682 
650 
771 
1213 
1396 
864 
1032 
0 0 
97 
322 
676 
1158 
1769 
757 
854 
1079 
1433 
854 
950 
0
1000
2000
E
 (
k
e
V
)
Exp. Theory 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC VĂN LANG Nguyễn Duy Lý và tgk 
22 
3. KẾT LUẬN 
Trên đây, chúng tôi đã chọn hai hạt 
nhân cho thấy sự phù hợp của phổ năng 
lượng với mô hình Boson tương tác mang 
tính chất điển hình. Cấu trúc của các hạt 
nhân này thể hiện rõ tính đúng đắn của mô 
hình Boson tương tác. 
Hiện tại, chưa thể đòi hỏi lý thuyết và 
thực nghiệm phù hợp nhau với độ chính 
xác cao, vì đây là một mô hình mới đưa ra 
và chưa sử dụng các hiệu chỉnh bổ sung. 
Chắc chắn, còn thiếu một hoặc một vài số 
hạng nào đó vừa có ý nghĩa vật lý căn bản, 
vừa để làm khớp thực nghiệm tốt hơn các 
số liệu về phổ năng lượng tính toán. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] F. Iachello, A. Arima (2006), The Interacting Boson Model, Cambridge Univ. Press - 
New York. 
[2] A. Arima, F. Iachello (1975), Phys, Rev. Lett, 35. 
[3] F. Iachello, P. van Isacker (2005), The Interacting Boson-Fermion Model, Cambridge 
Univ, Press – New York. 
[4] W. Pfeiffer (1998), An Introduction to the Interacting Boson Model of the Atomic 
Nucleus, Hochschulverlag – Zurich. 
[5] Lương Duyên Phu, Nguyễn Duy Lý, Trần Quốc Lâm (2007), Mô hình boson tương tác 
và phổ năng lượng hạt nhân, Trường Đại học Đà Lạt. 
[6] F. Iachello (2006), Lie Algebras and Applications, Springer - Berlin. 
[7] Lương Duyên Phu, Nguyễn Duy Lý (2008), Siêu đối xứng động lực và phổ năng lượng 
hạt nhân, Trường Đại học Đà Lạt. 
[8] Lương Duyên Phu, Nguyễn Duy Lý (2008), Dynamical Supersymmetry and Energy 
Spectra of Nuclei Ba and W, Nuclear Science and Technology 4. 
[9] Lương Duyên Phu, Nguyễn Duy Lý (2014), Siêu đối xứng động lực và phổ năng 
lượng hạt nhân, xét cho các cặp nhân đồng hành 172 17170 102 70 101Yb Yb và 
168 169
68 100 68 101Er Er , Thông 
báo khoa học, Trường Đại học Thủ Dầu Một. 
[10] R.B. Firestone, Shirley (1996), Table of Isotopes, Lawrence Berkeley National 
Laboratory - University of California. 
Ngày nhận bài: 02-5-2018. Ngày biên tập xong: 04-9-2018. Duyệt đăng: 24-9-2018