Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập 1)

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ 
******* 
ThS. NGUYỄN QUỐC BҦO 
 SỨC BỀN VẬT LIỆU 
TẬP 1 
STRENGTH OF MATERIALS 
PART 1 
Quҧng Ngãi, 12/2016 
 Sức bền vật liệu 1 
2 
MӨCăLӨC 
Mөcălөc ................ 2 
Lӡiănóiăđҫu ....... 4 
CácăkíăhiӋuăthôngădөngă....... 5 
Chѭѫng 1. CÁCăKHÁIăNIӊMăCѪăBҦNăă 
1.1. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cӭu ............................ 7 
1.2. Các giả thiết cơ bản về vật liệu ...... 8 
1.3. Ngoại lực ........ 9 
1.4. Nội lực ...... 12 
1.5. Ӭng suất ... 30 
1.6. Biến dạng và chuyển vị ........ 32 
Câu hỏi ôn tập ............................................................................................. 33 
Chѭѫngă2.ăăă THANHăCHӎU KÉO - NÉNăĐỎNGăTỂMă 
2.1. Khái niệm ................................. 34 
2.2. Ӭng suất trên mặt cắt ngang ........ 34 
2.3. Biến dạng cӫa thanh chịu kéo - nén . 38 
2.4. Các đặc trưng cơ học cӫa vật liệu .... 42 
2.5. Thế nĕng biến dạng đàn hồi khi kéo - nén ...... 45 
2.6. Tính toán điều kiện bền ............................................ 46 
2.7. Bài toán kéo - nén siêu tĩnh .......... 52 
Câu hỏi ôn tập ............................................................................................. 55 
Chѭѫngă3.ă TRҤNGăTHÁIăӬNG SUҨTăVĨăCÁCăTHUYӂTăBӄN 
3.1. Khái niệm về trạng thái ӭng suất ......... 56 
3.2. Trạng thái ӭng suất phẳng .... 58 
3.3. Quan hệ giữa ӭng suất và biến dạng (Các định luật Hooke) ... 61 
3.4. Các thuyết bền ................. 64 
Câu hỏi ôn tập ............................................................................................. 68 
Chѭѫngă4.ăă ĐҺC TRѬNGăHỊNHăHӐCăCӪAăMҺTăCҲTăNGANGă 
4.1. Khái niệm ......... 69 
4.2. Diện tích - Momen tĩnh - Trọng tâm......... 69 
4.3. Momen quán tính ................. 74 
 Sức bền vật liệu 1 
3 
4.4. Momen chính trung tâm cӫa một số mặt cắt đơn giản ..................... 76 
4.5. Công thӭc chuyển trục song song cӫa momen quán tính ........ 78 
4.6. Công thӭc xoay trục cӫa momen quán tính ..............80 
Câu hỏi ôn tập ............................................................................................. 83 
Chѭѫngă5. THANHăCHӎUăUӔNăPHҶNGă 
5.1. Khái niệm ..... 84 
5.2. Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng .... 85 
5.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng ..... 97 
5.4. Dầm chống uốn đều ........... 110 
5.5. Chuyển vị cӫa dầm chịu uốn ..... 111 
Câu hỏi ôn tập ........................................................................................... 116 
Chѭѫngă6. THANH THҶNG CHӎU XOҲN THUҪN TUÝ 
6.1. Khái niệm ....................................... 117 
6.2. Ӭng suất trên mặt cắt ngang cӫa thanh tròn .. 121 
6.3. Biến dạng cӫa thanh tròn chịu xoắn ... 126 
6.4. Tính thanh tròn chịu xoắn .................................................. 128 
6.5. Bài toán xoắn siêu tĩnh ........... 131 
6.6. Thanh thẳng mặt cắt chữ nhật chịu xoắn ................................132 
6.7. Tính lò xo xoắn hình trụ bước ngắn ................134 
Câu hỏi ôn tập ........................................................................................... 137 
Phөălөc 
PL 01. Các đơn vị đo lưӡng thông dụng ....... 138 
PL 02. Bảng tra hệ số mođun đàn hồi dọc......139 
PL 03. Bảng tra hệ số biến dạng dọc.......139 
PL 04. Bảng tra ӭng suất cho phép ........140 
PL 05. Thuật ngữ Kỹ thuật Anh - Việt ...141 
TƠiăliӋuăthamăkhҧoă.......... 143 
 Sức bền vật liệu 1 
4 
LӠIăNịIăĐҪU 
Sͱc bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm 
thuộc khối kiến thͱc kỹ thuật cơ sở được giảng dạy trong 
các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng. Mục 
đích cͯa môn học là cung cấp những kiến thͱc cần thiết về 
cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải quyết các vấn đề liên 
quan từ thiết kế đến chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cͱu 
các môn học chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và 
xây dựng. 
Bài giảng Sͱc bền vật liệu 1 được biên soạn theo 
chương trình giảng dạy được điều chỉnh nĕm 2016 cͯa 
Trường Đại học Phạm Vĕn Đồng dành cho sinh viên bậc đại 
học ngành Cơ khí. Bài giảng gồm 6 chương. Trong mỗi 
chương đều có phần Câu hỏi ôn tập giúp cho học viên cͯng 
cố các kiến thͱc đã học. Đi kứm với Bài giảng này, chúng 
tôi có biên soạn tài liệu Trắc nghiệm và Bài tập Sͱc bền 
vật liệu 1. 
Bài giảng này đã được hiệu chỉnh và bổ sung nhiều 
lần, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những sai sót, rất 
mong được sự đóng góp cͯa bạn đọc để tài liệu ngày càng 
được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. 
 Quảng Ngãi, tháng 12 - 2016 
 Người biên soạn 
 NguyӉnăQuӕcăBҧo 
 Email: baoqng2006@gmail.com 
 Sức bền vật liệu 1 
5 
CÁCăKệăHIӊUăTHỌNGăDӨNG 
 KíăhiӋu Tênăgӑi Đѫnăvӏ 
Hệ toạ độ 
z Trục thanh 
X,Y Hệ trục chính trung tâm 
 , Toạ độ cực 
Đặc trưng 
vật liệu 
E 
Môđun đàn hồi dọc (môđun đàn hồi 
Young) 
2kN/cm 
 Hệ số Poisson 
G Môđun đàn hồi trượt (môđun đàn hồi cắt) 2kN/cm 
Đặc trưng 
hình học 
yx S,S Momen tĩnh đối với trục x, y. 3m 
yx J,J 
Momen quán tính cӫa hình phẳng đối với 
trục x, y. 
4m 
oJ Momen quán tính cực 4m 
xyJ 
Momen quán tính ly tâm (cӫa hình phẳng 
đối với hệ trục xy). 
4m 
yx W,W Momen chống uốn đối với trục x, y. 3m 
oW Momen chống xoắn cӫa mặt cắt tròn 3m 
yx ii , 
Bán kính quán tính cӫa tiết diện đối với 
trục x, y m 
Ngoại lực 
P Lực tập trung N 
M Momen tập trung N.m 
q Cưӡng độ cӫa lực phân bố trên 1 đoạn N/cm 
p Cưӡng độ cӫa lực phân bố trên 1 diện tích 2N/cm 
m Cưӡng độ cӫa momen phân bố trên 1 đoạn N/m 
 Sức bền vật liệu 1 
6 
Ͱng suất 
 Ӭng suất pháp 2N/m 
 Ӭng suất tiếp 2N/m 
p Ӭng suất toàn phần 2N/m 
321 ,,  Các ӭng suất chính cӫa trạng thái ӭng suất 2N/m 
tl Ӭng suất giới hạn tỉ lệ 2N/m 
ch Ӭng suất giới hạn chảy 2N/m 
b Ӭng suất giới hạn bền 2N/m 
  ,   Ӭng suất cho phép 2N/m 
th Ӭng suất tới hạn 2N/m 
Nội lực 
N z Lực dọc N 
Q x , Q y Lực cắt N 
M x , M y Momen uốn Nm 
M z Momen xoắn Nm 
Chuyển vị 
và biến 
dạng 
 Biến dạng dài tỉ đối 
 Biến dạng góc tỉ đối 
l Biến dạng dài tuyệt đối 
 Góc xoắn tỉ đối cӫa thanh 
y, Độ võng và góc xoay cӫa thanh chịu uốn 
Các kí hiệu 
khác 
EF 
Độ cӭng cӫa mặt cắt khi thanh chịu kéo - 
nén 
EJ Độ cӭng cӫa mặt cắt khi thanh chịu uốn 
GJ Độ cӭng cӫa mặt cắt khi thanh chịu xoắn 
 Độ mảnh cӫa thanh 
 Hệ số giảm ӭng suất cho phép (hệ số uốn dọc) 
 Sức bền vật liệu 1 
7 
Chѭѫngă1. 
CÁCăKHÁIăNIӊMăCѪăBҦN 
A.ăMӨCăTIểU 
- Cung cấp những khái niệm cơ bản như: nội lực, ӭng suất, biến dạng và các 
giả thiết cơ bản về vật liệu. 
- Nắm vững các nội dung để làm cơ sӣ cho các chương sau, nhất là vẽ biểu 
đồ nội lực. 
B.ăNӜIăDUNG 
1.1.ăĐӔIăTѬӦNGăVĨăNHIӊMăVӨăNGHIểNăCӬU 
 1.1.1. Đӕiătѭӧng 
Khác với Cơ lý thuyết, khảo sát sự cân bằng và chuyển động cӫa vật rắn 
tuyệt đối, còn Sͱc bền vật liệu khảo sát vật thể thực tӭc là vật rắn biến dạng. 
Đối tượng nghiên cӭu cӫa Sͱc bền vật liệu là các vật rắn biến dạng và có 
các dạng vật thể là: 
- Khối (H. 1.1a): là những vật thể có kích thước theo ba phương tương 
đương nhau. Ví dụ như: hộp, viên bi, móng máy,  
- Tấm và vỏ (H. 1.1b,c): là những vật thể có kích thước theo hai phương lớn 
hơn nhiều so với phương thӭ ba. Ví dụ như: sàn nhà, trần nhà, tưӡng, vỏ bồn 
chӭa,  
- Thanh (H. 1.1d,e): là những vật thể có kích thước theo một phương lớn 
hơn nhiều so với phương thӭ ba. 
 e) 
Hình 1.1 
Nội dung nghiên cӭu ӣ đây, chӫ yếu là thanh và hệ thanh (khung, dàn). 
a) 
b) 
d) 
c) 
 Sức bền vật liệu 1 
8 
- Thanh có thanh thẳng và thanh cong. 
- Hệ thanh (khung) có khung phẳng và khung không gian. 
Trong tính toán thanh được biểu diễn bằng đưӡng trục cӫa nó. 
 1.1.2.ăNhiӋmăvө 
Sͱc bền vật liệu là một phần cӫa cơ học vật rắn biến dạng. Nó cung cấp các 
kiến thӭc cơ bản để tính độ bền, độ cӭng vững và ổn định cho các chi tiết máy 
cũng như một bộ phận cӫa công trình khi chịu tác dụng cӫa ngoại lực. 
Khi thiết kế các chi tiết máy hoặc các bộ phận cӫa công trình ta phải đảm 
bảo hai điều kiện: 
- Về an toàn: 
+ Chi tiết không bị phá hӫy tӭc là đӫ bền (điều kiện bền). 
+ Chi tiết không bị biến dạng dọc, xoay, ... quá lớn tӭc là đӫ cӭng (điều 
kiện cͱng). 
+ Chi tiết dịch chuyển trong phạm vi cho phép tӭc là đảm bảo về chuyển 
vị (điều kiện ổn định). 
- Về kinh tế: tiết kiệm vật liệu nhất. 
* Sͱc bền vật liệu có nhiệm vụ đưa ra các phương pháp tính toán về độ bền, 
độ cӭng và độ ổn định cӫa các chi tiết máy hoặc các bộ phận cӫa công trình. 
Cùng với các kết quả cӫa Sͱc bền vật liệu, bằng phương pháp suy diễn toán 
học, Sͱc bền vật liệu tìm ra mối liên hệ giữa tác dụng cӫa môi trưӡng (ngoại lực) 
với sự biến đổi về đặc trưng hình học (biến dạng) và trạng thái cơ học bên trong 
(nội lực) cӫa vật thể. 
1.2.ăCÁCăGIҦăTHIӂTăCѪăBҦNăVӄăVҰTăLIӊU 
Để việc tính toán được đơn giản nhưng vẫn đảm bảo được độ chính xác cần 
thiết môn Sͱc bền vật liệu công nhận các giả thiết sau: 
 1.2.1.ăGiҧăthiӃtă1 
Vật liệu có tính liên tục, đồng nhất và đẳng hướng. 
Nghĩa là: 
- Liên tục: thể tích cӫa vật thể đều có vật liệu, không có lỗ hổng, vết nӭt tế 
vi. 
 Sức bền vật liệu 1 
9 
- Đồng nhất: tính chất cơ học, vật lý cӫa vật liệu ӣ mọi nơi trong vật thể 
đều giống nhau. 
- Đẳng hướng: tính chất cӫa vật liệu theo mọi phương đều như nhau. 
Gỉa thiết này chỉ đúng với vật liệu như: thép, đồng, ; còn gạch, gỗ,  thì 
không đúng. 
 1.2.2.ăGiҧăthiӃtă2 
Vật liệu đàn hồi hoàn toàn và tuân theo định luật Hooke. 
Nghĩa là: 
- Khi có lực tác dụng thì vật thể bị biến dạng, khi bỏ lực tác dụng đi thì vật 
thể trӣ lại hình dạng và kích thước ban đầu cӫa nó. 
Vật liệu thoả mãn giả thiết này gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính. Thực tế 
không có vật liệu đàn hồi hoàn toàn mà có biến dạng dư. 
- Tuân theo định luật Hooke: Trong phạm vi biến dạng đàn hồi cӫa vật liệu, 
biến dạng cӫa vật thể tỉ lệ bậc nhất với lực gây ra biến dạng đó. 
Giả thiết này chỉ đúng với kim loại như thép, đồng,  có lực tác dụng trong 
phạm vi nào đó và phạm vi nghiên cӭu cӫa Sͱc bền vật liệu cũng chỉ giới hạn 
trong các vật liệu tuân theo định luật này. 
 1.2.3.ăGiҧăthiӃtă3 
Biến dạng cͯa vật thể là bỨ. 
* Ghi chú 
Áp dụng các giả thiết trên trong tính toán ta có thể: 
- Nghiên cͱu một phân tố bỨ để suy rộng cho cả vật thể (phỨp tính vi tích 
phân). 
- Xem điểm đặt các ngoại lực không đổi trong khi vật thể bị biến dạng (sơ 
đồ không biến dạng). 
- Áp dụng nguyên lí cộng tác dụng (nguyên lí độc lập tác dụng): 
“Một đại lượng (nội lực, biến dạng, chuyển vị, ͱng suất,) do nhiều 
nguyên nhân gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đó do từng nguyên nhân riêng lẻ gây 
ra” 
Do đó thay việc tính toán bài toán phͱc tạp bằng cách giải các bài toán đơn 
giản hơn để giải quyết. 
 Sức bền vật liệu 1 
10 
1.3.ăNGOҤIăLӴC 
 1.3.1.ăĐӏnhănghƿa 
Ngoại lực là lực tác động từ các vật khác hoặc từ môi trưӡng bên ngoài lên 
vật thể đang xét. 
 1.3.2.ăPhơnăloҥi 
Ngoại lực gồm: tải trọng và phản lực. 
 1.3.2.1. Tải trọng 
a) Định nghĩa 
Tải trọng là lực chӫ động tác dụng trực tiếp lên vật thể mà vị trí, tính chất và 
trị số đã biết. 
Ví dụ như: trọng lượng cӫa vật,  
 b) Phân loại: 
Tải trọng được chia ra như sau: 
- Cĕn cͱ vào tính chất tác dụng: 
+ Tải trọng tĩnh: nêú nó tĕng rất chậm từ 0 đến một giá trị nhất định rồi 
giữ nguyên giá trị đó không kể lực qúan tính. 
+ Tải trọng động: giá trị cӫa nó tĕng đột ngột hay kể đến quán tính. 
- Cĕn cͱ vào hình thͱc tác dụng: 
+ Tải trọng tập trung: là tải tác dụng lên vật trên một diện tích truyền 
lực khá bé, có thể coi như một điểm. Tải trọng tập trung có thể là lực tập trung 
hoặc momen tập trung. 
Thӭ nguyên là: [lực] hoặc [lực] x [chiều dài]. 
Đơn vị thưӡng dùng là: N, kN,  hoặc N.m, kNm,  
+ Tải trọng phân bố: là tải trọng tác dụng lên một đoạn dài hay trên một 
diện tích truyền lực đáng kể cӫa vật. 
Lực phân bố có thể là lực phân bố đều (hình chữ nhật), lực phân bố không 
đều (hình tam giác, hình thang, ...) 
Đơn vị: Tải trọng phân bố trên một đoạn q là: N/cm, kN/m, T/m, ; tải 
trọng phân bố trên một diện tích p là: N/m .,..T/m ,kN/m , 222 
* Chú ý 
 Sức bền vật liệu 1 
11 
1) Để tính toán một chi tiết hoặc một kết cấu, trước tiên ta phải thiết lập sơ 
đồ tính, đó là sơ đồ kết cấu. Trong sơ đồ kết cấu, mỗi một dầm được biểu diễn 
bởi một đường trục và các liên kết đã được mô hình hoá. Các tính toán đều được 
thực hiện trên sơ đồ này (H. 1.2). 
Hình 1.2 
2) Khi tính phản lực liên kết từ điều kiện cân bằng, trên sơ đồ kết cấu ta 
phải thay lực phân bố bằng hợp lực (lực tập trung) cͯa nó. Giá trị cͯa hợp lực 
bằng diện tích cͯa biểu đồ lực phân bố, còn đường tác dụng cͯa nó đi qua vị trí 
khối tâm cͯa biểu đồ đó. 
Thường có hai trường hợp (H. 1.3): 
- Lực phân bố là hằng số (qui luật hình chữ nhật): 
+ Lực tập trung: Q = q.L. 
+ Trọng tâm đặt tại trong tâm hình chữ nhật: LxC .2
1 
- Lực phân bố là hàm bậc nhất (qui luật hình tam giác): 
+ Lực tập trung: Q = 
2
1 q.l. 
+ Trọng tâm đặt tại trọng tâm hình tam giác: lxC .3
2 
Hình 1.3 
z 
VA 
VB 
A 
 C 
B 
qlP 
2qlM 
2qlM q 
HA 
D 
y lll
L/2 L/2 
Q 
q 
Q 
2/3 L 
L 
 Sức bền vật liệu 1 
12 
 1.3.2.2. Phản lực liên kết 
a) Định nghĩa 
Phản lực liên kết là lực thụ động, phát sinh tại chỗ tiếp xúc giữa vật thể 
đang xét và các vật thể khác khi tải trọng tác dụng. 
Ví dụ như: Lực phát sinh tại các gối đỡ tác động lên trục, ... 
Giá trị phản lực phụ thuộc vào tải trọng. Liên kết có chuyển động bị cản trӣ 
theo phương nào thì xuất hiện phản lực liên kết theo phương đó. 
b) Các liên kết và phản lực liên kết: 
Khi chịu tác dụng cӫa ngoại lực, một thanh muốn duy trì được hình dạng và 
vị trí ban đầu thì phải liên kết với vật thể khác. Tùy theo tính chất cản trӣ chuyển 
động mà có các sơ đồ liên kết thưӡng gặp là: 
- Gối di động (H. 1.4a): chỉ cản trӣ chuyển động theo phương thẳng đӭng, 
phát sinh phản lực liên kết V theo phương cản trӣ, gồm khớp di động, liên kết 
tựa,  
- Gối cố định (H. 1.4b): cản trӣ chuyển động theo phương bất kỳ. Phản lực 
thưӡng được phân làm hai thành phần: thẳng đӭng V và nằm ngang H, gồm 
khớp bản lề,  
- Ngàm (H. 1.4c): cản trӣ chuyển động theo phương bất kỳ và xoay. Phản 
lực thưӡng được phân làm ba thành phần: thẳng đӭng V, nằm ngang H và ngẫu 
lực M, gồm liên kết ngàm,  
 a) b) c) 
Hình 1.4 
1.4.ăNӜIăăLӴC 
 1.4.1.ăĐӏnhănghƿa 
V V V V V 
H H 
H M 
 Sức bền vật liệu 1 
13 
Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể một 
hình dáng nhất định. Dưới tác dụng cӫa ngoại lực, các lực liên kết giữa các phần 
tử cӫa vật tĕng lên để chống lại sự biến dạng. 
* Vậy: Nội lực là lượng thay đổi cͯa lực liên kết để chống lại sự biến dạng 
cͯa vật do ngoại lực gây ra. 
Độ gia tĕng (nội lực) chỉ đạt được một giá trị nào đó thì vật liệu sẽ bị phá 
hӫy. Vì vậy xác định nội lực là một trong những nội dung cơ bản cӫa môn Sͱc 
bền vật liệu. 
 1.4.2.ăXácăđӏnhănӝiălӵcătrênămһtăcҳtăngangăcӫaăthanh 
Nội lực được xác định bằng phương pháp mặt cắt (hay phương pháp 
Cauchy) . 
Xét một vật thể chịu lực ӣ trạng thái cân bằng (H. 1.5). Để tìm nội lực tại 
một điểm K nào đó trong vật thể, ta tưӣng tượng dùng một mặt phẳng  cắt qua 
K. Vật thể được chia ra làm hai phần A và B. Gọi F là diện tích mặt cắt. 
Giả sử xét sự cân bằng cӫa phần A thì ta phải tác dụng lên mặt F một hệ lực 
phân bố. Đó là nội lực cần tìm. 
Vì phần A cân bằng nên nội l ... 7) 
Trong đó: oJG. là độ cͱng cͯa thanh chịu xoắn. 
* Chú ý: 
1) Khi thanh có 
o
z
JG
M
.
 = const trên suốt chiều dài thanh, ta có: 
o
z
JG
lM
.
. (6.18) 
2) Khi 
ko
z
GJ
M
 = const trong từng đoạn thanh l k , khi đó ta có: 
 Sức bền vật liệu 1 
127 

n
k
k
ko
z l
JG
M
1
.
.
 (rad) (6.19) 
3) Khi tính góc xoắn cần phải chú ý đến dấu cӫa momen xoắn và kích 
thước mặt cắt ngang trong đoạn cần tính. 
Ví dụ 6.4: Một trục rỗng có đưӡng kính ngoài 10cm, đưӡng kính lỗ 5cm 
chịu tác dụng cӫa tải trọng như hình vẽ (H. 6.7a), với 1M = 20kNm, 2M = 
10kNm, 3M = 40kNm, l = 20cm, G = 8.10
4MN/m2. Hãy: 
a) Vẽ biểu đồ momen xoắn nội lực 
b) Tính ӭng suất lớn nhất cӫa trục. 
c) Góc xoắn tương đối giữa hai đầu trục. 
Giải: 
a) Biểu đồ momen xoắn 
 c) 
Hình 6.7 
Ta áp dụng phương pháp cộng tác dụng để vẽ biểu đồ. Ta phân tích ngoại 
lực thành ba trưӡng hợp tác dụng riêng lẻ. Mỗi trưӡng hợp gây nên một momen 
M2 
M3 
Mz 
L L L 
kNm 
 a) 
b) 
_ 
_
+ 
+ 
_ 
D C B 
A 
M3 M2 M1 
20 M2 
M1 
10 40 
M3 10 
30 
20 
M1 
 Sức bền vật liệu 1 
128 
xoắn nội lực 1 2 3( , , )M M M như trên hình 6.7 (Chú ý: Dấu cͯa biểu đồ momen nội 
lực là ngược dấu cͯa momen tạo nên nó). 
Biểu đồ zM cӫa thanh là tổng đại số cӫa ba biểu đồ trên: 
1 2 3zM M M M 
Ta có biểu đồ như hình 6.7c. 
b) Ӭng suất tiếp lớn nhất 
Muốn xác định ӭng suất lớn nhất ta cần xác định momen nội lực lớn nhất. 
Theo biểu đồ nội lực như hình vẽ ta có: 3ax 30 . 3.10 .mM kN m kN cm . 
Ta có: 
3
max max
max 3 4 34
3
2
300 3.10
0,2 (1 ) 0,2.10 0,93750,050,2.10 1
0,1
16 /
o
M M
W D x
kN cm
 
c) Góc xoắn giữa hai đầu trục: 
Góc xoắn giữa hai đầu trục AD là: 
CDBCABAD = )...(
.
1
332211 lMlMlMJG zzzo
Mà: 
4
4 40,050,1.(0,1) 1 937,5
0,1o
J cm
 Do đó: 31 ( 2000.20 3000.20 1000.20)8.10 .937,5AD 
 = 
00,01 0,57rad 
Vậy góc xoắn giữa hai đầu trục là: 00,57AD 
Kết quả: 00,57AD . 
6.4.ăTệNHăTOÁNăTHANHăTRọNăCHӎUăXOҲN 
 6.4.1.ăĐiӅuăkiӋnăbӅnăvƠăđiӅuăkiӋnăcӭng 
 6.4.1.1. Điều kiện bền 
Nếu mặt cắt ngang cӫa trục không đổi thì điều kiện là: 
 maxmax max z
o
M
W
   (6.20) 
 Sức bền vật liệu 1 
129 
* Chú ý: 
1) Nếu đường kính cͯa thanh thay đổi thì điều kiện bền sẽ là: 
 max max z
o k
M
W
  (6.21) 
2) Quan hệ giữa   và   tuỳ theo các thuyết bền ta có như sau: 
- Theo thuyết bền ͱng suất tiếp lớn nhất (thuyết bền thͱ ba): 
   
2
 (6.22) 
- Theo thuyết bền thế nĕng biến đổi hình dáng (thuyết bền thͱ tư): 
   
3
 (6.23) 
 6.4.1.2. Điều kiện cͱng 
Khi biến dạng, ta có điều kiện: 
   
o
z
JG
M
.
max maxmax (rad/m) (6.24) 
Thưӡng:   (0,15 2) độ/m. 
* Chú ý: Nếu  tính bằng đơn vị là độ/m thì: 1 rad = 180 độ. Do đó : 
  max 180.
.
z
o
M
G J
  (độ/m) (6.25) 
 6.4.2.ăBaăbƠiătoánăcѫăbҧn 
Từ điều kiện bền và điều kiện cӭng trên ta có ba dạng bài toán cơ bản: 
 6.4.2.1. Kiểm tra bền và cͱng 
Thoả mãn các điều kiện theo (6.20) và (6.21). 
 6.4.2.2. Chọn kích thước mặt cắt ngang 
- Theo điều kiện bền:   1D
MW zo  (6.26) 
- Theo điều kiện cӭng:   2. DG
MJ zo  (6.27) 
Từ các điều kiện trên ta chọn đưӡng kính có trị số lớn hơn: D = max 
 21, DD . 
 6.4.2.3. Tìm tải trọng cho phỨp 
 Sức bền vật liệu 1 
130 
- Theo điều kiện bền:   1. zoz MWM  (6.28) 
- Theo điều kiện cӭng:   2. zoz MJGM  (6.29) 
Từ các điều kiện trên ta chọn tải trọng có trị số bé hơn: 21,min zzz MMM . 
Ví dụ 6.5: Một thanh tròn chịu tác dụng bӣi mômen xoắn M z = 2kN.m. Mặt 
cắt có đưӡng kính là 6,5cm. 
Kiểm tra độ bền và độ cӭng cӫa thanh. Biết:   = 40MN/m2; G = 
8.104MN/m2 và   = 0,0175rad/m. 
Giải: 
 - Kiểm tra điều kiện bền:   
o
z
W
M
max 
Mà: zM = 2 (kN.m) = 2 x 10-3MN.m. 
W o = 0,2 d
3
 = 0,2 (65 x 10-3)3 = 5,5 x 10-5m3 
  3 2 2max 52 10 36,3 / 40 / .5,5 10
x MN m MN m
x
 
* Kết luận: Đảm bảo điều kiện bền. 
- Kiểm tra điều kiện cӭng:  
JG
Mz
.
max 
Mà: J = 0,1 d
4
 = 0,1 (65 x 10-3)4 = 18 x 10-7 m4 . 
  3max 4 72 10 1 0,013 / 0,0175 / .8 10 18 10 4 18
x
rad m rad m
x x x x
 
* Kết luận: Đảm bảo điều kiện cӭng. 
Ví dụ 6.6: Một trục bằng thép có công suất N = 30kW quay với vận tốc n = 
300vg/ph. 
Tính đưӡng kính trục theo điều kiện bền và cӭng. Biết:   = 80MN/m2; G = 
8.104MN/m2 và   = 0,65độ/m. 
Giải: 
Ta có: M z = 955300
30
.10.55,9.10.55,9 33 
n
N Nm = 955 x 10-6MN.m. 
- Theo điều kiện bền: 
  
o
z
W
M   
MzW 0,2 D3  
Mz 
 Sức bền vật liệu 1 
131 
   23 10.9,3.2,0 z
MD m = 39mm 
- Theo điều kiện cӭng: 
  
180
.
. o
z
JG
M
  ..
180.
 G
MJ zo 
 0,1 D4  ..
180.
 G
M z
  
6
244 4
.180 955.10 .180 5,7.10
. . .0,1 8.10 .3,14.0,65.0,1
zMD m
G 
  = 57mm 
Vậy để thỏa mãn cả hai điều kiện thì D = 57mm. 
6.5.ăBĨIăTOÁNăXOҲNăSIểUăTƾNH 
Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh tương tự như cách giải bài toán kéo - nén 
siêu tĩnh. Để giải bài toán này ta lập thêm phương trình biến dạng (góc xoắn). 
Ví dụ 6.7: Một trục tròn bị ngàm ӣ hai đầu chịu tác dụng cӫa ngẫu lực M 
như hình vẽ có: a = 40cm, b = 60cm (H. 6.8a). 
a) Vẽ biểu đồ momen xoắn cӫa trục theo M. 
b) Từ điều kiện bền, tính tải trọng cho phép [M]. Biết: d = 3cm, 
  25 /kN cm , G = 8x10 3 2/kN cm . 
Giải: 
a) Vẽ biểu đồ momen xoắn cӫa trục theo M 
Dưới tác dụng cӫa M tại hai đầu ngàm phát sinh các phản ngẫu lực AM và 
BM . Ta có phương trình cân bằng tĩnh học: 
0A BM M M 
 A BM M M (a) 
Để giải Bài toán siêu tĩnh ta phải dựa vào điều kiện biến dạng cӫa thanh để 
lập phương trình chuyển vị. Giả sử bỏ ngàm A và thay thế bằng phản ngẫu lực 
AM , ta được thanh tĩnh định (H. 6.8b). 
Điều kiện thay thế là góc xoắn 0 AB , do đó: 
. ( ). 0
. .
A A
AB AC CB
o o
M a M M b
G J G J
 Sức bền vật liệu 1 
132 
 .40 ( ).60 0
. .
A A
o o
M M M
G J G J
 40 60 0A AM M M 
 100 60 0AM M (b) 
Giải hệ phương trình (a) và (b), ta được: 
0,6AM M (c) 
Thay (c) vào (a), ta được: 0,4.BM M 
- Đoạn AC: 1 10 0,6z A z AM M M M M . 
- Đoạn CB: 2 20 0,4z A z AM M M M M M M . 
Ta có biểu đồ như hình vẽ (H. 6.8c). 
b) Từ điều kiện bền, tính tải trọng cho phép [M] 
Điều kiện bền:  maxmax z
o
M
W
  
   3
ax
. 0,6 5 0,2 3z omM W M x x 
   45 .M kN cm 
* Chú ý: Để có phương trình (b) ta cũng có thể viết phương trình biến dạng 
như sau: . 0A
o o
M a b M b
GJ GJ
Hình 6.8 
6.6.ăTHANHăTHҶNGăMҺTăCҲTăCHӲăNHҰTăCHӎUăXOҲN 
Lý thuyết đàn hồi cho ta các kết quả: 
MB 
M
MM M
A 
a b 
B 
a) 
b) 
c) 
M
+ 
- 
MZ 
 Sức bền vật liệu 1 
133 
- Giả thiết mặt cắt phẳng không đúng đối với thanh có mặt cắt không tròn 
(chữ nhật, vuông, tròn, ). 
- Trên mặt cắt ngang chỉ có ӭng suất tiếp. 
- Các giá trị oo WJ , được thay bằng tt WJ , là các đặc trưng hình học qui 
ước, ta có: 2bhWt (6.32) 
Và 3bhJt  (6.33) 
Do đó, ta có: 
- Ӭng suất tiếp cực đại: 2max bh
M z
  (6.34) 
- Ӭng suất lớn thӭ hai: max1  (6.35) 
Trong đó:  ,, là các hệ số cho trong Bảng 6.1. 
Bảng 6.1. Giá trị các hệ số  , và  
h/b 1 1,5 1.75 2 2,5 3 
 0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 
 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 
 1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 
h/b 4 5 6 10 
 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 
 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 
 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 
Phân bố ӭng suất được biểu diễn như hình 6.9. 
Hình 6.9 
max
1
 Sức bền vật liệu 1 
134 
- Góc xoắn tỉ đối: 3bhG
M z
 (6.36) 
6.7.ăTệNHăLọăXOăXOҲNăHỊNHăTRӨăBѬӞCăNGҲN 
 6.7.1.ăKháiăniӋm 
Lò xo là chi tiết máy được dùng phổ biến trong các thiết bị cӫa ngành cơ 
khí, với mục đích giảm chấn do tải trọng động gây ra như trong hệ thống giảm 
chấn ô tô, xe máy, đế các động cơ điện,  
Lò xo hình trụ là một sợi dây thép mặt cắt vuông, chữ nhật hoặc tròn quấn 
quanh lõi hình trụ, do đó nó chỉ chịu lực theo phương cӫa hình trụ này. 
 6.7.2. Tính lò xo 
 6.7.2.1. Điều kiện bền 
Ta tính lò xo trụ có: 
- D là đưӡng kính trung bình cӫa lò xo. 
- d là đưӡng kính cӫa dây lò xo. 
- h là bước cӫa lò xo. 
- n là số vòng dây làm việc cӫa lò xo. 
- là góc nghiêng cӫa dây lò xo. 
Ӣ đây ta tính với lò xo có bước ngắn (H. 6.10). 
Hình 6.10 
Để tính nội lực ta tưӣng tượng cắt lò xo bằng một mặt cắt và xét cân bằng 
cӫa phần trên chẳng hạn, ta được: 
2
.0
2
.
.0
DPMDPMm
PQPQY
zz
yy


P 
h
d 
P 
P 
RPM . 
D 
Qy 
R 
 Sức bền vật liệu 1 
135 
Như vậy trên mặt cắt ngang có ӭng suất tiếp do yQ và xM gây ra : 
MQ  
Bỏ qua độ nghiêng cӫa dây lò xo, xem mặt cắt là tròn, các thành phần ӭng 
suất được biểu diễn như Hình 6.11. 
Hình 6.11 
Ӭng suất tiếp cực đại là trên mặt cắt là: 
D
d
d
PD
d
PD
d
P
d
DP
d
P
W
M
F
Q
o
zy
MQ
2
1884
16
2
.
4
332
32max
 
Trong thực tế d bé hơn rất nhiều so với D nên: 1
2
D
d
 và ta có công thӭc 
tính ӭng suất cực đại gần đúng là: 
3max
8
d
PD
  (6.37) 
Thực chất ӭng suất tiếp do lực cắt không phân bố đều, mặt cắt dây không 
tròn và sợi dây không là thanh thẳng nên ӭng suất do momen xoắn được tính 
không chính xác, do đó trong tính toán thực hành ta có công thӭc thực nghiệm 
như sau: 
3max
8
.
d
PDK  (6.38) 
trong đó: K là hệ số điều chỉnh được tính bằng công thӭc: 
1
25,0
d
D
d
D
K (6.39) 
A 
0
yQ P RPM Z . 
max
A 
 Sức bền vật liệu 1 
136 
Điều kiện bền cӫa lò xo:   max 
 6.7.2.2. Biến dạng cͯa lò xo 
Gọi  là độ co, dãn cӫa lực P gây nên. Công cӫa ngoại lực P tạo biến dạng 
là: 
PA .
2
1 
Thế nĕng biến dạng đàn hồi tích lũy trong lò xo (bỏ qua thế nĕng do lực cắt 
yQ ): 
2 4
2 2 3
4 4
.
.1 1 1 84
. . .
2 2 2
32
z
o
P D DnM l P D nU
dGJ GdG
Trong đó: l là chiều dài lò xo, nếu n là số vòng làm việc cӫa lò xo thì: 
Dnl 
Áp dụng nguyên lý bảo toàn nĕng lượng, cho: A = U, ta được : 
C
P
Gd
nPD 4
38 (6.40) 
Với: 
nD
GdC 3
4
8
trong đó: C – độ cӭng cӫa lò xo. 
 n – số vòng chịu lực cӫa lò xo. 
 d – đưӡng kính sợi lò xo. 
 D – đưӡng kính trung bình cӫa trụ lò xo. 
 G – modun đàn hồi trượt cӫa vật liệu làm lò xo 
Ví dụ 6.8: Lò xo chịu lực kéo P = 3200N, dây lò xo có đưӡng kính d = 2cm, 
đưӡng kính trung bình cӫa trụ lò xo D = 20cm, số vòng làm việc cӫa lò xo 18 
vòng,   21028 /108,/105,2 mNxGmNx  ; 
a) Kiểm tra bền lò xo. 
b) Tính độ dãn cӫa lò xo. 
Giải: 
a) Kiểm tra bền lò xo. 
 Sức bền vật liệu 1 
137 
Ta có công thӭc: 3max 8. d
PDK  
Mà: 14,1
1
2
20
25,0
2
20
1
25,0
d
D
d
D
K 
Do đó:  4 2max 38 3200 201,14. 2,32 10 /3,14 2
x x
x N cm
x
  = 4 22,5 10 /x N cm 
Vậy lò xo bảo đảm điều kiện bền. 
b) Tính độ dãn cӫa lò xo. 
Ta có: 46
3
4
3
2108
1820320088
xx
xxx
Gd
nPD 
 = 28,8cm 
Vậy:  28,8cm 
C.ăCỂUăHӒIăỌNăTҰP 
1) Thế nào gọi là thanh chịu xoắn thuần túy? 
2) Trình bày sự liên hệ giữa mômen xoắn, công suất và số vòng quay. 
3) Thiết lập công thͱc tính ͱng suất tiếp trên mặt cắt ngang cͯa thanh tròn chịu 
xoắn thuần túy. 
4) Biểu đồ phân bố ͱng suất tiếp trên mặt cắt ngang cͯa thanh tròn chịu xoắn thuần 
túy. 
5) Hình dạng hợp lý cͯa thanh tròn chịu xoắn là gì? Để đánh giá mͱc độ hợp lý ta 
dùng hệ số gì? 
6) Thế nào là góc xoắn tương đối, góc xoắn tỉ đối? Thiết lập công thͱc tính góc 
xoắn tương đối giữa hai mặt cắt ngang. 
7) Kiểm tra theo điều kiện bền và điều kiện cͱng đối với thanh tròn chịu xoắn thuần 
túy. 
8) Cách giải bài toán xoắn siêu tĩnh. 
9) Tính thanh thẳng mặt cắt chữ nhật chịu xoắn. 
10) Tính lò xo trụ bước ngắn. 
 Sức bền vật liệu 1 
138 
PHӨăLӨCă01. 
CÁCăĐѪNăVӎăĐOăLѬӠNGăTHỌNGăDӨNG 
Đҥiălѭӧngăđo Đѫnăvӏăđo KíăhiӋu Quiăđổi 
Khối lượng Kilogam kg 
Thời gian Giây s 
Chiều dài 
met m 
 cm 1 m = 10 2 cm 
 mm 1 m = 10 3 mm 
Lực 
Newton N 1 N = 0,102 kG 
kiloNewton kN 1 kN = 10 3 N 
 daN 1 daN = 10 N 1,02 kG 
MegaNewton MN 1 MN = 10 6 N 
Kilogam lực kG 1 kG = 9,81 N = 0,981 daN 
Tấn lực T 1 T = 10 3 kG 
Ͱng suất, Áp 
lực 
2N/m 1 2N/m 1,02.10 25 kG/cm 
2MN/m 222 kG/cm 10,2kN/cm 0,1 MN/m 1 
2daN/cm
22 kG/cm 1,02bar 1daN/cm 1 
Pascal Pa 1 Pa = 1 N/m 2 
2kG/cm 1 2kG/cm 0,0981 2MN/m 
Công, 
Nĕng lượng 
Joule J 1 J 0,102 kGm 
 kGm 1 kGm 9,81 J 
Công suất 
Watt W 1 W 102 kGm/s = 1,36 HP 
KiloWatt kW 1 kW = 10 3 W 
Mã lực HP 1 HP 0,736 kW 75 kGm/s 
 Sức bền vật liệu 1 
139 
PHӨăLӨCă02. 
BҧngătraăHӋăsӕămôđunăđƠnăhӗiădӑc E 
VұtăliӋu E (MN/m2) 
Thép lò xo 22.104 
Thép C 20.104 
Thép Niken 19.104 
Gang xám 11,5.104 
Đồng 12.104 
Đồng thau (10 – 12).104 
Nhôm và đura (7 – 8).104 
Bê tông (1,5 – 2,3).104 
Gỗ (0,8 – 1,2).104 
Cao su 8 
PHӨăLӨCă03. 
BҧngătraăhӋăsӕăbiӃnădҥngăngang (hệ số Poisson)  . 
VұtăliӋu  
Thép 0,25 – 0,33 
Gang 0,23 – 0,27 
Đồng 0,31 – 0,34 
Thuỷ tinh 0,25 
Đất sỨt 0,20 – 0,40 
Nhôm 0,32 – 0,36 
Đá hộc 0,14 – 0,16 
Bê tông 0,08 – 0,18 
Cao su 0,47 
 Sức bền vật liệu 1 
140 
PHӨăLӨCă04 
BҧngătraăӬngăsuҩtăchoăphépăkhiăkéoă  k 
vƠăӭngăsuҩtăchoăphépăkhiănénă  n 
VұtăliӋu  k MN/m2  n MN/m2 
ThỨp xây dựng (1,4 – 1,6).102 
ThỨp chế tạo máy (1,4 – 1,6).102 
Gang xám (0,28 – 0,8).102 (1,2 – 1,5).102 
Đồng (0,3 – 1,2).102 
Nhôm (0,3 – 0,8).102 
Đura (0,8 – 1,5).102 
 Sức bền vật liệu 1 
141 
PHӨăLӨCă05. 
THUҰTăNGӲăKỸăTHUҰTăANHă- VIӊT 
(TECHNICAL TERMS) 
A 
- Axis = trục. 
- Axis of inertia = trục quán tính. 
B 
- Bar = thanh. 
- Beam = dầm. 
- Bending = uốn 
- Bending moment = mômen uốn. 
- Block = khối 
- Body = vật thể. 
- Box = Case = vỏ. 
C 
- Compression = sự nén. 
- Concentrated load = tải trọng tập trung. 
- Cross section = tiết diện (mặt cắt ngang) 
D 
- Deformation = sự biến dạng. 
- Diagram = biểu đồ. 
- Distributed load = tải trọng phân bố 
- Dynamic loading = tải trọng động 
E 
- Elongation = độ dãn dài 
- External force = ngoại lực 
F 
- Factor of safety = hệ số an toàn. 
I 
- Internal force = nội lực 
L 
- Load = tải trọng. 
M 
 Sức bền vật liệu 1 
142 
- Modulus of elasticity = môđun đàn hồi. 
- MohrẲsăcircleăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă= vòng tròn Mohr. 
- Moment of inertia = momen quán tính. 
N 
- Normal stress = ӭng suất pháp. 
P 
- Planar-stressed state = trạng thái ӭng suất phẳng. 
- Plate = tấm. 
- PoissonẲsăratio = hệ số Poisson. 
- Polar moment of inertia = mômen quán tính độc cực 
- Principal stress = ӭng suất chính. 
O 
- Oblique bending = uốn xiên. 
R 
- Rigid body = vật rắn 
S 
- Static loading = tải trọng tĩnh. 
- Static moment = momen tĩnh. 
- Strength = độ bền 
- Strength of material = sӭc bền vật liệu. 
- Strength theory = lý thuyết bền. 
- Stress = ӭng suất. 
- Stressed state = trạng thái ӭng suất. 
T 
- Tangential stress = ӭng suất tiếp. 
- Tension = sự kéo. 
- Torsion = xoắn. 
Y 
- YoungẲsămodulusă 
 (= modulus of Elongation) = mođun đàn hồi dọc 
 Sức bền vật liệu 1 
143 
TÀI LIӊU THAM KHẢO 
  1 Đỗ Sanh, Nguyễn Vĕn Vượng; Cơ học ͱng dụng, NXB KH & KT, 
Hà Nội, 1995. 
 2 Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sͱc bền vật liệu tập 1; NXB Giáo 
dục, 1997. 
 4 Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thĕng, Nhữ Phương Mai; Sͱc bền 
vật liệu tập 1; NXB KH và KT, 2003. 
 3 Đỗ Tấn Dân; Sͱc bền vật liệu tập 1; Trưӡng ĐH Cần Thơ, 2000. 
 5 Lê Thanh Phong; Sͱc bền vật liệu; Trưӡng ĐH SP Kỹ thuật Tp. 
HCM, 2005. 
 6 Thái Thế Hùng; Sͱc bền vật liệu; NXB KH & KT, Hà Nội, 2006. 
 7 Thái Hoàng Phong; Sͱc bền vật liệu Phần 1; Trưӡng ĐH Bách 
Khoa ĐN, 2007.