Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 1 
Chương 6 
 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 
6.1 KHÁI NIỆM 
Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy 
ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang 
F (mặt cắt F, diện tích F). Trong những trường hợp khác, như thanh chịu 
uốn, xoắn thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích F mà 
còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt nghĩa còn những yếu tố 
khác mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. 
Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp mặt cắt đặt khác nhau như trên 
H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt 
hơn trường hợp b), tuy rằng trong trong hai trường hợp diện tích của mặt cắt 
ngang thanh vẫn như nhau. Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ 
thuộc vào cách sắp đặt và vị trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của 
lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần ). Cho nên sự chịu lực không 
những phụ thuộc F, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác 
của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định và thiết kế mặt 
cắt của thanh cho hợp lý. 
6.2 MÔMEN TĨNH - TRỌNG TÂM 
H.6.1. Dầm chịu uốn 
a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang
z a)
P
xy
P 
y 
b)
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 2 
Xét một hình phẳng biểu diễn mặt 
cắt ngang F ( mặt cắt F ) như trên H.6.2. 
Lập một hệ tọa độ vuông góc Oxy trong 
mặt phẳng của mặt cắt. M(x,y) là một 
điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh 
M một diện tích vi phân dF. 
♦ Mômen tĩnh của mặt cắt F đối với 
trục x (hay y) là tích phân: 
∫∫ ==
F
y
F
x xdFSydFS , (6.1) 
vì x, y có thể âm hoặc dương nên 
mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương. 
 Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài)3]. 
 ♦ Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt F đối với trục đó 
bằng không. 
 ♦ Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm. 
⇒ Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không. 
 ♦ Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt F: 
Dựng hệ trục ooCyx song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có 
 oCoC yyyxxx +=+= ; , với C(x c ,y c ) 
 Thay vào (6.1), ⇒ 
 ∫∫∫ +=+=+=
F
xoCo
F
Co
F
Cx SFydFydFydFyyS )( 
vì trục ox là trục trung tâm nên 0=xoS , ⇒ 
 FyS Cx = , và : FxS Cy = (6.2) 
 Từ (6.2) ⇒ 
 F
Sy
F
S
x xC
y
C == ; (6.3) 
Kết luận: Tọa độ trọng tâm ),( CC yxC được xác định trong hệ trục xOy ban 
đầu theo mômen tĩnh Sx , Sy và diệân tích F theo (6.4). 
 Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử dụng (6.2), (6.3) 
để xác định các mômen tĩnh. 
Nhận xét 1: 
H.6.2 Mặt cắt F và trọng tâm C
•
x
y
M
dF
F
O
C 
x 
x o x C 
xo
yC
yo
y o 
y
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 3 
 Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh 
đối với trục đối xứng bằng không (H.6.3a,b). 
 Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối 
xứng (H.6.3c). 
 Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được 
ghép từ nhiều hình đơn giản. 
 Tính chất: mômen tĩnh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của 
các hình đơn giản. 
Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác hoặc mặt cắt các 
loại thép định hình I, U, V, L ta đã biết trước (hoặc có thể tra theo các bảng 
trong phần phụ lục ) diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được 
mômen tĩnh của hình phứùc tạp gồm n hình đơn giản: 
i
n
inny
i
n
innx
xFxFxFxFS
yFyFyFyFS
∑
∑
=+++=
=+++=
1
2211
1
2211
...
...
 (6.4) 
trong đó: iii yxF ,, - diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i, 
n - số hình đơn giản. 
⇒ Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy. 
∑
∑
=
=== n
i
i
n
i
ii
y
C
F
xF
F
S
x
1
1 ; 
∑
∑
=
=== n
i
i
n
i
ii
x
C
F
yF
F
S
y
1
1 (6.5) 
C x 
y 
a) 
C 
x
y 
c) 
C
x
y
b)
H.6.3 Mặt cắt có trục đối xứng
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 4 
Thí dụ 6-1 Xác định trọng tâm 
mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình 
chữ nhật như trên H.6.4. Tọa độ 
trọng tâm C của hình trên là: 
;
21
2211
FF
FxFx
F
S
x yC +
+==
21
2211
FF
FyFy
F
Sy xC +
+== 
Thí dụ 6.2 Một mặt cắt thanh 
ghép, gồm thép chữ Ι số hiệu 
No55, thép chữ [ số hiệu No27, 
và thép chữ nhật 15 × 1,2 cm (H.6.5). Xác định trọng tâm C của mặt cắt. 
 Giải. 
Tra bảng (ΓOCT 8239-89) ⇒ số liệu sau: 
 - Đối với thép chữ Ι No55: 
 h2 = 55 cm 
 t = 1,65 cm 
F2 = 118 cm2 
- Đối với thép chữ [ No27: 
h3 = 27 cm 
F3 = 35,2 cm2 
z3 = 2,47 cm 
- Hình chữ nhật: 
F1 = 15 cm x 1,2 cm = 18 cm2 
Chọn hệ trục tọa độ xy qua gốc C2 ⇒ tọa độ trọng tâm của ba hình trên là: 
 cm 1,28
2
 2,1
2
 55
1 =+=y ; 02 =y ; cm 97,29 47,22
 55 3 =+=y 
 Diện tích và mômen tĩnh của toàn mặt cắt là: 
 F = F1 + F2 + F3 = 18 + 118 + 35,2 = 171,2 cm2 
 ( )( ) ( )( ) 3332211 144,5492,3597,290181,28 cmFyFyFySx −=−+=++= 
vì y là trục đối xứng, trọng tâm C sẽ nằm trên trục này. 
⇒ Tọa độ điểm C là: m
F
Syx xCC c 322,171
144,549 ;0 −≈−=== 
 Dấu (–) cho thấy trọng tâm C nằm phía dưới trục x. 
 Chú ý rằng, trục x có thể chọn tùy ý song ở thí dụ này ta đặt trục x đi 
qua trọng tâm C2 của mặt cắt chữ Ι cho tiện tính toán. 
H .6 .4 T r o ïn g t a âm h ìn h p h ư ùc t a ïp
x
x
x
x 1
x 2
y 2
y 1
C 1
C 2 
C
O
y
y C
x C
x
F 1 
F 2 
H.6.5. Trong tâm C của hình ghép
x
x
x
x
C1 
C2 
C3 
C X 
x 
y ≡ Y 
y1 
y3 
yC 
z3 
IoN55 
[ No27
150 × 12 mmI 
II
III 
 GV: Lê đức Thanh 
_________________________________________________________________ 
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 5 
Thí dụ 6.3. Cho mặt cắt hình chữ U .Tìm trọng tâm C 
Chọn hệ trục x,y như hình vẽ, trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối 
xứng, C nằm trên trục y) 
cm
F
S
y xC 61242424
1012422424 =×+×
××+××==
)()(
)( 
Hay : 
cm
FF
SS
y xxC 612161624
10121681624
21
21 =××
××××==
)_()(
)_()(
_
_
6.3 MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 
1- Mômen quán tính (MMQT) 
♦Mômen quán tính độc cực 
 ( MMQT đối với điểm) của mặt cắt F 
đối với điểm O được định nghĩa là 
biểu thức tích phân: 
 dFJ
F
∫= 2ρρ (6.6) 
với ù: ρ - khoảng cách từ điểm M đến 
gốc tọa độ O, 
♦Mômen quán tính đối với trục 
y và x của mặt cắt F được định nghĩa: 
 ∫∫ ==
F
x
F
y dFyJdFxJ
22 ; (6.7) 
♦Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt F đối với hệ trục x,y được định 
nghĩa: 
 ∫=
F
xy xydFJ (6.8) 
 Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy: 
- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài]4 
- Jx , Jy , Jp > 0 
- MMQT ly tâm Jxy cóù thể dương, âm hoặc bằng không. 
 - Vì 222 yx +=ρ nên yx JJJ +=ρ (6.9) 
ρ
• 
x x
y
y
M 
dF 
F
O
H. 6.6 Hình phẳng F 
x 
X12cm 
H. 6.12
4cm 4cm 
16cm 
4cm 
yY
C
1 
2