Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 5: Lý thuyết bền

 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 1 
Chương 5 
LÝ THUYẾT BỀN 
5.1 KHÁI NIỆM VỀ LÝTHUYẾT BỀN 
♦ Điều kiện bền thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm ( chương 3), 
( TTỨS đơn) : 
 [ ] [ ]nk σ≤σ=σσ≤σ=σ 3min1max ; 
trong đó, [ ]
toànansốHệ
liệuvậtcủahiểmnguysuấtỨngphépchosuấtỨng o )(σ= ; [ ]
n
0σσ = 
 Ứng suất nguy hiểm σ0 có được từ những thí nghiệm kéo (nén) đúng tâm: 
 - Đối với vật liệu dẻo là giới hạn chảy σch 
 - Đối với vật liệu dòn là giới hạn bền σb. 
♦ Để viết điều kiện bền ở một điểm của vật thể ở TTỨS phức tạp 
(phẳng hay khối), cần phải có kết quả thí nghiệm phá hỏng những mẫu thử 
ở TTỨS tương tự. Việc thực hiện những thí nghiệm như thế rất khó khăn vì: 
- Ứng suất nguy hiểm phụ thuộc vào độ lớn của các ứng suất chính và 
phụ thuộc vào tỉ lệ giữa những ứng suất này. Do đó phải thực hiện một số 
lượng rất lớn các thí nghiệm mới đáp ứng được tỉ lệ giữa các ứng suất chính 
có thể gặp trong thực tế 
- Thí nghiệm kéo, nén theo ba chiều cần những thiết bị phức tạp, không 
phổ biến rộng rãi như thí nghiệm kéo nén một chiều 
Vì vậy, không thể căn cứ vào thí nghiệm trực tiếp mà phải dựa trên các 
giả thiết về nguyên nhân gây ra phá hỏng của vật liệu hay còn gọi là những 
thuyết bền để đánh giá độ bền của vật liệu. 
Định nghĩa :Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân phá hoại 
của vật liệu, nhờ đó đánh giá được độ bền của vật liệu ở mọi TTỨS khi chỉ 
biết độ bền của vật liệu ở TTỨS đơn ( do thí nghiệm kéo, nén đúng tâm). 
 Nghĩa là, với phân tố ở TTỨS bất kỳ có các ứng suất chính σ1, σ2, σ3, ta 
phải tìm ứng suất tính theo thuyết bền là một hàm của σ1, σ2, σ3 rồi so sánh 
với [σ]κ hay [σ]ν ở TTỨS đơn. 
⇒ Điều kiện bền của vật liệu có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như 
sau: ( ) kt f ][,, 321 σσσσσσ ≤== tđ ( hay ( ) nt f ][,, 321 σσσσσ ≤= ) 
 σt , σtđ được gọi là ứng suất tính hay ứng suất tương đương. Vấn đề là 
phải xác định hàm f hay là tìm được thuyết bền tương ứng. 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 2 
5.2 CÁC THUYẾT BỀN (TB) CƠ BẢN 
1- Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (TB 1) 
♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất pháp lớn nhất của 
phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến ứng suất nguy hiểm ở TTỨS đơn. 
♦ Nếu ký hiệu: 
 σ1 , σ2 , σ3 : ứng suất chính 
của TTỨS phức tạp 
 σ0k hay σ0n - ứng suất nguy 
hiểm về kéo và nén 
 n - hệ số an toàn 
⇒ Điều kiện bền theo TB 1: 
k
k
t n
][011 σ=σ≤σ=σ (5.1a) 
n
n
t n
][031 σ=σ≤σ=σ (5.1b) 
trong đó: σt1 - là ứng suất tính hay ứng suất tương đương theo TB 1 
♦ Ưu khuyết điểm: TB 1, trong nhiều trường hợp, không phù hợp với 
thực tế. Thí dụ trong thí nghiệm mẫu thử chịu áp lực giống nhau theo ba 
phương (áp lực thủy tĩnh), dù áp lực lớn, vật liệu hầu như không bị phá hoại. 
Nhưng theo TB 1 thì vật liệu sẽ bị phá hỏng khi áp lực đạt tới giới hạn bền 
của trường hợp nén theo một phương. 
TB 1 không kể đến ảnh hưởng của các ứng suất khác cho nên TB này 
chỉ đúng đối với TTỨS đơn. 
 2- Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (TB 2) 
♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do biến dạng dài tương đối lớn 
nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối lớn 
nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở TTỨS đơn. 
♦ Gọi ε1 : biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp 
 ε0k : biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị kéo 
theo một phương ( TTỨS đơn). 
Theo định luật Hooke, ta có: 
 ( )[ ]3211 1 σσμσε +−= E (a) 
E
k
k
0
0
σ=ε (b) 
H.5.1. TTỨS khối 
σ1
σ3
σ2
I
II
III
σ0k 
I
II
III 
H.5.2. Trạng thái nguy 
hiểm của TTỨS đơn
σ0k 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 3 
Kết hợp (a) và (b), kể đến hệ số an toàn n 
⇒ Điều kiện bền theo TB 2: 
( )[ ]
EnE
k0
321
11 σσσμσ ≤+− (c) 
hay ( ) kt ][3212 σσσμσσ ≤+−= (5.2a) 
Đối với trường hợp biến dạng 
co ngắn, ta có 
 ( ) kt ][3232 σσσμσσ ≤+−= (5.2b) 
♦ Ưu khuyết điểm: TB biến 
dạng dài tương đối tiến bộ hơn so với TB ứng suất pháp vì có kể đến ảnh 
hưởng của cả ba ứng suất chính. Thực nghiệm cho thấy TB này chỉ phù hợp 
với vật liệu dòn và ngày nay ít được dùng trong thực tế. 
3- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (TB 3) 
♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do ứng suất tiếp lớn nhất của 
phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy 
hiểm của phân tố ở TTỨS đơn. 
♦ Gọi: τmax - ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở TTỨS phức tạp ; 
 τ0k - ứng suất tiếp lớn nhất ở trạng thái nguy hiểm của phân tố bị 
kéo theo một phương ( TTỨS đơn). 
 n – Hệ số an toàn 
⇒ Điều kiện bền theo TB 3: 
n
okττ ≤max (d) 
trong đó, theo (4.18), chương 4, ta có: 
2
;
2
0
0
31
max
k
k
σ=τσ−σ=τ (e) 
 (e) vào (d), ⇒ 
n
k
22
031 σσσ ≤− 
⇒ Điều kiện bền theo TB 3: 
 kt ][313 σ≤σ−σ=σ (5.3) 
♦ Ưu khuyết điểm: TB ứng suất tiếp lớn nhất phù hợp với thực nghiệm 
hơn nhiều so với hai TB 1 và TB 2 . Tuy không kể tới ảnh hưởng của ứng 
suất chính σ2 song TB này tỏ ra khá thích hợp với vật liệu dẻo và ngày 
nay được sử dụng nhiều trong tính toán cơ khí và xây dựng. Nó cũng 
phù hợp với kết quả mẫu thử chịu áp lực theo ba phương. 
H.5.1. TTỨS khối 
σ1
σ3
σ2
I
II
III
σ0k 
I
II
III 
H.5.2. Trạng thái nguy 
hiểm của TTỨS đơn
σ0k 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 4 
4- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (TB 4) 
♦ Nguyên nhân vật liệu bị phá hỏng là do thế năng biến đổi hình dáng 
của phân tố ở TTỨS phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dáng ở trạng 
thái nguy hiểm của phân tố ở TTỨS đơn. 
♦ Gọi: uhd - Thế năng biến đổi 
hình dáng của phân tố ở TTỨS 
phức tạp 
 (uhd)o - Thế năng biến 
đổi hình dáng ở trạng thái nguy 
hiểm của phân tố bị kéo theo một 
phương (ở TTỨS đơn). 
 n – Hệ số an toàn 
⇒ Điều kiện để phân tố ở TTỨS 
phức tạp không bị phá hỏng là bền theo TB 4 là: 
 uhd < (uhd)o (g) 
 Theo 4.5 ,chương 4, ta đã có: 
( )
( ) 20
133221
2
3
2
2
2
1
3
1
3
1
kohd
hd
E
u
E
u
σν
σσσσσσσσσν
+=
−−−+++=
 (h) 
 Thế (h) vào (g) , lấy căn bậc hai của hai vế , kể đén hệ số an toàn n 
⇒ Điều kiện bền theo TB 4: 
 k][133221232221 σ≤σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ 
hay là: kt ][1332212322214 σ≤σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ=σ (5.4) 
trong đó: σt4 - là ứng suất tương đương theo thuyết bền thứ tư. 
♦ Ưu khuyết điểm: TB thế năng biến đổi hình dáng được dùng phổ 
biến trong kỹ thuật vì khá phù hợp với vật liệu dẻo. Ngày nay được sử 
dụng nhiều trong tính toán cơ khí và xây dựng . 
H.5.1. TTỨS khối 
σ1
σ3
σ2
I
II
III
σ0k 
I
II
III 
H.5.2. Trạng thái nguy 
hiểm của TTỨS đơn
σ0k 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 5 
 CÁC KẾT QUẢ ĐẶC BIỆT: 
 1- TTỨS phẳng đặc biệt (H.5.3): 
 Các ứng suất chính : 0 ;
22 2
2
2
3,1 =στ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ σ±σ=σ 
 Theo TB ứng suất tiếp (5.3): 
 ][4 22313 σ≤τ+σ=σ−σ=σt (5.5) 
 Theo TB thế năng biến đổi hình dáng (5.4): 
 ][2312312322214 σ≤σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ=σt 
 hay: ][3 22 σ≤τ+σ (5.6) 
 2- TTỨS trượt thuần túy (H.5.4): 
 Các ứng suất chính : 0 |;| 231 =στ=σ−=σ 
 Theo TB ứng suất tiếp: 
 ][||2313 σ≤τ=σ−σ=σt 
hay: 
2
][|| σ≤τ (5.7) 
 Theo TB thế năng biến đổi hình dáng: 
 ][3 24 σ≤τ=σt 
hay: 
3
][|| σ≤τ (5.8) 
a) 
σ 
τ 
σ τ 
H. 5.3
τ
τ
H.5.4 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 6 
5- Thuyết bền về các TTỨS giới hạn (TB 5 hay là TB Mohr) 
TB Mohr được xây dựng trên cơ sở các kết quả thực nghiệm, khác với 
các TB trước xây dựng trên cơ sở các giả thuyết. 
Ở chương 4, ta đã biết một TTỨS khối với ba ứng suất chính σ1, σ2 và 
σ3 có thể biểu diễn bằng ba vòng tròn Morh 1, 2 và 3 với đường kính tương 
ứng là σ2 − σ3 , σ1 − σ3 và σ1 − σ2 như Hình.4.22. Nếu vật liệu ở trạng thái 
nguy hiểm thì những vòng tròn tương ứng với TTỨS nguy hiểm được gọi là 
những vòng tròn Mohr giới hạn. Thực nghiệm cho thấy, ứng suất pháp σ2 ít 
ảnh hưởng đến sự phá hoại của vật liệu nên ta chỉ để ý đến vòng tròn Mohr 
lớn nhất gọi là vòng tròn chính xác định bởi đường kính σ1 − σ3. 
Tiến hành thí nghiệm cho các TTỨS khác nhau và tìm trạng thái giới hạn 
tương ứng của chúng, trên mặt phẳng tọa độ σ, τ ta vẽ được một họ các 
đường tròn chính giới hạn như ở H.5.5. Nếu vẽ đường bao những vòng tròn 
đó ta sẽ thu được một đường cong giới hạn, đường cong này cắt trục hoành 
ở điểm tương ứng với trạng thái có ba ứng suất chính là ứng suất kéo có giá 
trị bằng nhau. Giả thiết rằng đường bao là duy nhất đối với mỗi loại vật liệu, 
ta nhận thấy nếu TTỨS nào biểu thị bằng một vòng tròn chính nằm trong 
đường bao thì vật liệu đảm bảo bền, vòng tròn chính tiếp xúc với đường bao 
thì TTỨS đó ở giới hạn bền còn nếu vòng tròn chính cắt qua đường bao thì 
vật liệu bị phá hỏng. 
Việc phải thực hiện một số lượng lớn các thí nghiệm để xác định các 
vòng tròn giới hạn và vẽ chính xác đường cong giới hạn là không đơn 
giản.Vì vậy, người ta thường vẽ gần đúng đường bao bằng cách dựa trên cơ 
sở hai vòng tròn giới hạn kéo và nén theo một phương với đường kính tương 
ứng là [σ] k và [σ]n. Ở đây, để cho tiện ta thay thế các ứng suất nguy hiểm 
σ0κ và σ0n bằng ký hiệu ứng suất cho phép [σ]k và [σ]n tức là đã có kể tới hệ 
τ
đường bao
H. 5.5 Các vòng tròn Mohr giới 
han và đường cong giới han
τ
σ
Cn Ck 
O
H. 5.6 Đường bao giới hạn 
đơn giản hóa
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 7 
số an toàn. Đường bao được thay thế bằng đường thẳng tiếp xúc với hai 
vòng tròn giới hạn như trên H.5.6. 
H. 5.7 Trạng thái ứng suất giới hạn và đường bao 
N
M
K
M1N1
σ 
τ
[σ]n [σ]k
σ3
σ1
Cn CkC
Xét một TTỨS khối có vòng tròn Mohr lớn nhất σ1 và σ3 tiếp xúc với 
đường bao, nằm ở giới hạn về độ bền. Trên H.5.7, vòng tròn này được vẽ 
bằng đường nét đứt. Sau đây, ta thiết lập liên hệ giữa những ứng suất chính 
σ1 và σ3 với các ứng suất cho phép [σ]k và [σ]n. Từ hình vẽ ta có tỷ lệ thức:
1
1
1
1
KM
MM
KN
NN = 
 Thay thế các trị số: 
( ) ( )
( ) ( )( )311311
11
][
2
1 KM ; ][
2
1MM
][][
2
1KN ; ][][[
2
1NN
σ+σ−σ=σ−σ−σ=
σ+σ=σ−σ=
kk
knkn
vào tỷ lệ thức trên, ta nhận được điều kiện giới hạn: 
 ( )31
31
][
][
][][
][][
σ+σ−σ
σ−σ−σ=σ+σ
σ−σ
k
k
kn
kn 
hoặc: k
n
k ][
][
][
31 σ=σσ
σ−σ 
 Như vậy, điều kiện bền theo TB Mohr (TB 5) được viết là: k][31 σ≤ασ−σ
 (5.9a) 
với hệ số: 
n
k
][
][
σ
σ=α (5.9b) 
Tuy bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất chính σ2 và đơn giản hóa đường 
cong giới hạn thành đường thẳng, thuyết bền Mohr có ưu điểm hơn những 
thuyết bền trên vì nó không dựa vào giả thuyết nào mà căn cứ trực tiếp vào 
trạng thái giới hạn của vật liệu. Thực tế cho thấy TB này phù hợp với vật 
liệu dòn, tuy nhiên nó cho kết quả chính xác chỉ khi vòng tròn giới hạn của 
TTỨS đang xét nằm trong khoảng hai vòng tròn giới hạn kéo và nén. 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 8 
5.3 VIỆC ÁP DỤNG CÁC TB 
Trên đây là những TB được dùng tương đối phổ biến. Việc áp dụng TB 
này hay TB khác để giải quyết bài toán cụ thể phụ thuộc vào loại vật liệu sử 
dụng và TTỨS của điểm kiểm tra. 
Đối với TTỨS đơn, người ta dùng TB 1 để kiểm tra độ bền. 
Đối với TTỨS phức tạp, nếu là vật liệu dòn, người ta thường dùng TB 5 
(TB Mohr) hay TB 2, nếu là vật liệu dẻo người ta dùng TB 3 hay TB 4. 
Hiện nay, có nhiều TB mới được xây dựng, tổng quát hơn và phù hợp 
hơn với kết quả thực nghiệm. Tuy vậy, những TB này cũng có những nhược 
điểm nhất định nên chưa được sử dụng rộng rãi. 
Thí dụ: Kiểm tra bền phân tố vật thể ở TTỨS khối như trên H.5.8. Ứng 
suất cho theo kN/cm2. Cho biết: 2kN/cm 16][ =σ . 
 Giải. 
 Chọn hệ tọa độ như trên H.5.8. 
Theo quy ước ta có: 
σx = -5 kN/cm2 , σy = 6 kN/cm2 , τzy = -τyz = 4 kN/cm2 
σz =0 , τxz = τzx =τyx = τxy =0 
 Mặt vuông góc với trục x là mặt chính với ứng 
suất chính 2kN/cm 5−=xσ . Hai ứng suất chính còn lại 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với ứng suất chính đã cho và có giá trị 
bằng: 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=±=τ+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ σ−σ±σ+σ=σ
2
2
2
2
min
max
kN/cm 2
kN/cm 8
53
22 zy
yzyz 
 Do đó: 232221 kN/cm 5 ;kN/cm 2 ;kN/cm 8 −=σ−=σ=σ 
 Theo TB ứng suất tiếp: 
 22313 kN/cm 16kN/cm 31)5(8 <=−−=σ−σ=σt 
 Theo TB thế năng biến đổi hình dáng: 
 ( ) ( ) ( )( )
22
222
323121
2
3
2
2
2
14
kN/cm 16kN/cm 79,11 
525882528 
<=
−−−−−×−−++=
σσ−σσ−σσ−σ+σ+σ=σt
 Như vậy, theo cả hai TB phân tố này đảm bảo bền. 
H. 5.8
5
4 
6
x 
y 
z 
 GV: Lê đức Thanh 
Thanhđg Tuấn 
Chương 5: Lý Thuyết Bền 9 
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 
5.1 Khi nén vật liệu theo ba 
phương cùng với trị số ứng 
suất pháp (H.5.1), người ta 
thấy vật liệu không bị phá 
hoại. Hãy kiểm tra bền đối 
với phân tố trên bằng TB 
ứng suất tiếp lớn nhất và TB thế năng biến đổi hình dáng lớn nhất. 
5.2 Dùng TB ứng suất tiếp lớn nhất để tính áp lực p lớn nhất tác dụng trên 
khối thép trên H.5.2. Khối thép đó được đặt khít vào trong khối thép lớn. 
Cho E = 2.107 N/cm2; μ = 0,28; 
[σ ] = 16 kN/cm2. 
5.3 Cho TTỨS như H.5.3. Tính ứng 
suất tương đương (vế trái của công 
thức kiểm tra bền) theo TB thế năng 
biến đổi hình dáng và TB Mohr. Cho 
σok/σon = 0,25. 
5.4 Cho TTỨS tại một điểm của vật 
thể chịu lực như H.5.4: 
σ1 = 20 kN/cm2; σ2 = – 40 kN/cm2; 
σ3 = – 80 kN/cm2 
Kiểm tra độ bền theo TB 3 và TB 4. 
 Biết [σ] = 120 kN/cm2. 
5.5 Một trụ tròn bằng thép (μ= 0,3) đặt khít giữa hai tường cứng như H.5.5. 
Phần giữa của trụ chịu áp lực p phân bố đều. Tính ứng suất tương đương 
theo TB 4 ở phần giữa và phần đầu của hình trụ. 
σ
σ
σ
H. 5.1
P P
z
xy
H. 5.2 
a) b)
σ1
σ2
σ3
H. 5.4
a
a
a
P
x
y
z
p
H. 5.5
4 kN/cm2
2 kN/cm2
8 kN/cm2
H. 5.3