Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 4: Trạng thái ứng suất

 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 1 
Chương 4 
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 
4.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT. 
4.1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTƯS)TẠI MỘT ĐIỂM. 
Xét một điểm K trong một vật thể cân 
bằng và các mặt cắt qua K, trên các mặt 
cắt ấy có các ứng suất pháp σ và ứng suất 
tiếp τ. Các ứng suất này thay đổi tùy vị trí 
mặt cắt (H.4.1). 
Định nghĩa TTỨS: TTƯS tại một điểm 
là tập hợp tất cảû những ứng suất trên các 
mặt đi qua điểm ấý. 
TTƯS tại một điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực của vật thể tại điểm 
đó. Nghiên cứu TTƯS là tìm đặc điểm và liên hệ giữa các ứng suất σ , τ, 
xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ nhất để tính toán độ bền hay giải thích, 
đoán biết dạng phá hỏng của vật thể chịu lực. 
 4.1.2 Biểu diễn TTƯS tại một điểm 
Tưởng tượng tách một phân tố hình 
hộp vô cùng bé bao quanh điểm K. Các 
mặt phân tố song song với các trục toạ 
độ (H 4.2). 
Trên các mặt của phân tố sẽ có chín 
thành phần ứng suất: 
 +Ba ứng suất pháp: σx , σy , σz 
 +Sáu ứng suất tiếp. τxy , τyx , τxz , τzx , 
τyz , τzy , 
 Ứng suất pháp σ có 1 chỉ số chỉ phương pháp tuyến mặt có σ . 
Ứng suất tiếp τ có hai chỉ số: Chỉ số thứ nhất chỉ phương pháp tuyến của 
mặt cắt có τ, chỉ số thứ hai chỉ phương của τ. 
• σ
τ 
K 
P4 
P3
P2P1 
y 
x 
H.4.1. Ứng suất tại một điểmz
z
x
y 
τ yz 
τ zy 
τ zx τ xz
τxy
τyx
σ y 
σ xσ z 
 H.4.2 
Các thành phần ứng suất 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 2 
4.1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp 
 Trên hai mặt vuông góc, nếu mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào 
cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ) thì mặt kia cũng có ứng suất tiếp hướng vào 
cạnh ( hướng ra khỏi cạnh ), trị số hai ứng suất bằng nhau ( H.4.3) 
⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮ ; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ (4.1) 
TTỨS tại một điểm còn 6 thành phần ứng suất 
4.1.4 Mặt chính, phương chính và ứng suất chính. Phân loại TTƯS 
Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng tại một điểm bất kỳ của vật thể 
chịu lực luôn tìm được một phân tố hình hộp vuông góc mà trên các mặt 
của phân tố đó chỉ có ứng suất pháp, mà không có ứng suất tiếp (H4.4a). 
Những mặt đó gọi là mặt chính. 
Pháp tuyến của mặt chính gọi là phương chính. 
Ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính và ký hiệu là: 
σ1 , σ2 và σ3. Quy ước: σ1 > σ2 > σ3. 
 Thí dụ : 
σ1 = 200 N/cm2; 
σ2 = −400 N/cm2; 
σ3 = −500 N/cm2 
 Phân loại TTƯS : 
- TTƯS khối : Ba ứng 
suất chính khác 
không (H.4.4a). 
- TTƯS phẳng: Hai ứng suất chính khác không (H.4.4b). 
- TTƯS đơn: Một ứng suất chính khác không (H.4.4c). 
H. 4.4 Các loại trạng thái ứng suất
b) 
a) c)
τ 
τ
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 3 
 TTƯS khối và TTƯS phẳng gọi là TTƯS phức tạp. 
4.2 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH. 
4.2.1 Cách biểu diễn – Quy ưóc dấu 
Cách biểu diển: 
 Xét một phân tố (H.4.5a). Ứng suất trên mặt vuông góc với trục z 
bằng không và mặt này là một mặt chính vì có ứng suất tiếp bằng không. 
Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố đang xét bằng hình chiếu của 
toàn phân tố lên mặt phẳng Kxy (H.4.5b). 
Quy ước dấu: + σ > 0 khi gây kéo ( hướng ra ngoài mặt cắt) 
 + τ > 0 khi làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ 
Hình 4.5b biểu diển các ứng suất > 0 
 (qui ước nầy phù hợp với bài toán thanh) 
4.2.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ 
Vấn đề: Xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng song song với trục z và có 
pháp tuyến u tạo với trục x một góc α (α > 0 khi quay ngược chiều kim 
đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a). Giả thiết đã biết ứng suất σx, σy và τxy. 
♦ Tính σu và τuv : Tưởng tượng cắt phân tố bằng mặt cắt nghiêng đã 
nêu, mặt cắt chia phân tố ra làm hai phần, xét cân bằng của một phần 
phân tố (H.4.6b) 
 H. 4.5 TTỨS trong bài toán phẳng
a)z
x
y
σy
σx σx
τxy
τyx
K
σx
σ
τxy
σ y 
τ y x 
b) 
σu 
u
v 
 τuv
ασxσx 
σy
σy
τxy
τyx τyx 
τxy
σx
σy 
x
y
z
 a) b)
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 4 
Trên mặt nghiêng có ứng suất σu và τuv , chúng được xác định từ 
phương trình cân bằng tĩnh học. 
* ∑U=0 ⇒ 0cossinsincos =+−+− ατασατασσ dzdxdzdxdzdydzdydsdz xyyxyxu 
 * ∑V=0 ⇒ 0sincoscossin =++−− ατασαταστ dzdxdzdxdzdydzdydsdz xyyxyxuv 
 Kể đến: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα, 
ααα
αααα
2sin
2
1cossin
)2cos1(
2
1);2cos1(
2
1cos2
=
−=+= 2sin 
⇒ ατασσσσσ 2sin2cos22 xy
yxyx
u −−++= (4.2a) 
 ατασστ 2cos2sin2 xy
yx
uv +−+= (4.2b) 
 ♦ Tính σv : Xét mặt nghiêng có pháp 
tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u 
(H.4.7). Thay thế α bằng (α + 90°) vào (4.2a) 
, 
⇒ ứng suất pháp tác dụng trên mặt có pháp 
tuyến v: 
ατασσσσσ 2sin2cos
22 xy
yxyx
v +−−+= (4.3) 
 Tổng (4.2a) và (4.3), ⇒ 
b)
σ y 
τ yx 
τxy τ uv 
u 
v 
x 
y 
α σ x 
σ u 
H.4.6 Ứng suất trên mặt nghiêng 
τuv τ xy τ yx 
σ u 
dx 
dy dz
ds 
σ y 
x
y 
z 
v 
u
α 
a) 
α σ x 
H. 4.7 Ứng suất trên 
2 mặt vuông góc nhau 
τ uv 
τ vu 
v 
u 
x 
α 
α + 90 
o 
σ u 
σ v 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 5 
 yxvu σσσσ +=+ (4.4) 
 Biểu thức trên cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng trên hai mặt 
vuông góc của phân tố ứng suất phẳng tại một điểm là hằng số và không 
phụ thuộc vào góc α. 
Đó là Bất Biến Thứ Nhất của ứng suất pháp 
Thí dụ 4.1 Thanh có diện tích 5 cm2, chịu kéo với lực P = 40 kN. Xác định 
ứng suất trên mặt cắt nghiêng một góc 30o với mặt cắt ngang (H.4.8). 
 Giải 
Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (Chương 3) 
 2kN/cm 8
5
40 ===
F
P
xσ 
 Tách phân tố hình hộp bao điểm K 
nằm trên mặt cắt ngang. 
 Ta cóù: 2kN/cm 8+=xσ , 0=yσ 
 Mặt cắt nghiêng có pháp tuyến 
hợp với trục với trục x (trục thanh) một 
góc( +30o ). 
Từ (4.2) ⇒ 
( )
2
2
kN/cm 46,330.2sin
2
82sin
2
kN/cm 630.2cos1
2
82cos
22
+=+=+=
=+=+=
ox
uv
oxx
n
αστ
ασσσ
4.2.3 Ứng suất chính - Phương chính - Ứng suất pháp cực trị 
1- Ứng suất chính - phương chính 
 Ngoài mặt chính là mặt đã biết vuông góc 
với trục z, hai mặt chính còn lại là những mặt 
song song với trục z (vì phải vuông góc với 
mặt chính đã có). 
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp = 0 ⇒ Tìm 
hai mặt chính còn lại bằng cách cho uvτ =0 
H. 4.9 Ứng suất chính
x 
σ 1 
σ 2 
σ 1 σ 2 
) 1 ( o α 
o o o 90 
) 1 ( ) 2 ( + = α α 
H.4.8 
σ u 
σx 
v 
u 
30
τ uv 
σu
P P = 40 kN 
K 
30 
o u 
v
τuv
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 6 
 Nếu gọi oα là góc của trục x hợp với phương chính thì điều kiện để tìm 
phương chính là: uvτ =0 ⇔ 02cos2sin2 =+
−+ ατασσ xyyx 
 ⇒ Phương trình xác định α0 : βσσ
τα tantan =−−= yx
xy
o
2
2 (4.5) 
 22
πβα ko ±= ⇒ 201
βα = và 2202
πβα ±= 
(4.5) cho thấy có hai giá trị α0 sai biệt nhau 90°. Vì vậy, có hai mặt chính 
vuông góc với nhau và song song với trục z. Trên mỗi mặt chính có một 
ứng suất chính tác dụng. 
Hai ứng suất chính này cũng là ứng suất pháp cực trị (ký hiệu là 
σmax hay σmin ) bởi vì 
yx
xyu
dz
d
σσ
τασ −−=⇔=
2
2tan0 giống với (4.5) 
Giáù trị ứng suất chính hay ứng suất pháp cực trị có thể tính được 
bằng cách thế ngược trị số của α trong (4.5) vào (4.2a). 
 Để ý rằng: 
oo
o
o ααα
αα
2tan1
1;
2tan1
2tan2sin
22 +±=+±= ocos2 
⇒ 2
2
3,1
min
max 22 xy
yxyx τσσσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±+== (4.6) 
Ta lại thấy σ max + σ min = σ 1 + σ 3 = σ x + σ y 
Thí dụ 4.2 Tìm ứng suất 
chính và phương chính của 
TTƯS (H.4.10a). Đơn vị của 
ứng suất là kN/cm2. 
 Giải 
Theo quy ước dấu, ta có: 
2
y
2 kN/cm 2 ;kN/cm 4 == σσ x 2kN/cm 1 +=xyτ 
Phương chính xác định từ (4.5): 
 1
24
222tan −=−
−=−−= yx
xy
o σσ
τα ⇒ ooo k180452 +−=α 
 ⇒ '3067;'3022 )2()1( oooo =−= αα (i) 
a) H. 4.10 
y
x
1
4
2
b)
x
y 
σ1
σ2
67o30’ 
22o30’ 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 7 
 Có 2 phương chính ( 2 mặt chính) vuông góc nhau 
 Các ứng suất chính được xác định từ (4.6): 
 ⎪⎩
⎪⎨⎧=±=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −±+=
2
2
kN/cm 
kN/cm 
58,1
41,4
231
2
24
2
24 2
min
maxσ (ii) 
 Để xác định mặt chính nào từ (i) có ứng suất chính (ii) tác dụng, ta 
dùng (4.2b), chẳng hạn với '3022)1( oo −=α , ta có: 
 ( ) ( ) 2kN/cm 41,4'30222sin1'30222cos
2
24
2
24 =−−−−++= oouσ 
Vậy : σ1 = 4,41 kN/cm2 ứng với góc nghiêng '3022)1( oo −=α , 
 σ2 = 1,58 kN/cm2 tác dụng trên mặt có '3067)2( oo −=α . 
Các mặt và ứng suất chính biểu diễn trên phân tố ở H.4.10b. 
 2- Ứng suất tiếp cực trị 
 Tìm ứng suất tiếp cực trị và mặt nghiêng trên đó có ứng suất tiếp cực 
trị bằng cách cho 0=α
τ
d
d uv 
 02sin22cos)( =−−= ατασσα
τ
xyyx
uv
d
d (4.7) 
⇔ =−=
xy
yx
τ
σσα
2
2tan (4.7) 
So sánh (4.7) với (4.5) ⇒ 
oαα 2tan
12tan −= 
(4.8) 
 ⇒ oo k9022 ±= αα hay oo k45±= αα ⇒ 
 Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với những mặt chính một góc 45°. 
Thế (4.8) vào (4.2b), ta được : 
 2
2
min
max 2 xy
yx τσστ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −±= (4.9) 
4.2.4 Các trường hợp đặc biệt 
1- TTƯS phẳng đặc biệt 
Phân tố trên H.4.12 có: 0; xy ττσσσ === yx ; 
Từ (4.6) 
⇒
σ
τ
 TTUSphẳng đặc biệt
τ
 TTUS Trượt thuần tuý
H. 4.13
H. 4.11Ứng suất tiếp cực trị
o o 45 
) 2( ) 2( 1 + = αα 
τ max
σ 
H.4.12
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 8 
22
,1
min
max 42
1
2
τσσσσ +±== 3 (4.10) 
 Phân tố có 2 ứng suất chính ( sẽ gặp ở trường hợp thanh chịu uốn ). 
2- TTƯS trượt thuần túy (H.4.13) 
Ở đây, ττσσ === xyyx ;0 ;Thay vào (4.6) 
 ⇒ τσσ ±== 3 ,1
min
max hay τσσ =−= 31 (4.11) 
Hai phương chính được xác định theo (4.5): 
 ∞=oα2tan ⇔ 24
ππα ko += (4.12) 
Những phương chính xiên góc 45o với trục x và y. 
 3- Trường hợp phân tố chính (H.4.14) 
 Phân tố chính chỉ có σ 1 , σ 3 ,τ = 0; 
 Thay vào (4.9), ta được: 
2
31
minmax,
σστ −±= (4.13) 
4.3 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ. 
1- Vòng tròn Mohr ứng suất. 
Công thức xác định ứng suất trên mặt cắt nghiêng (4.2) có thể biểu 
diễn dưới dạng hình học bằng vòng tròn Mohr. Để vẽ vòng tròn Mohr, ta 
sắp xếp lại (4.2) như sau: 
 ατασσσσσ 2sin2cos
22 xy
yxyx
u −−=+− (4.14) 
 ατασστ 2cos2sin
2 xy
yx
uv +−= (4.14)’ 
Bình phương cả hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng lại, ta được: 
 2
2
2
2
22 xy
yx
uv
yx
u τσστσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− (4.15) 
Đặt: 2
2
2
;
2 xy
yxyxc τσσσσ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+= 2R (4.16) 
 (4.15) thành: ( ) 222 Rc uvu =+− τσ (4.17) 
Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành σ và 
trục tung τ, (4.17) là phương trình của một 
đường tròn có tâm nằm trên trục hoành với 
hoành độ là c và có bán kính R . Như vậy, các 
giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên tất cả các mặt song song với 
σ1 
σ3 
H. 4.14 
O 
C σ 
R 
C
τ 
H. 4.15 Vòng 
tròn ứng suất 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 9 
trục z của phân tố đều biểu thị bằng tọa độ những điểm trên vòng tròn. Ta 
gọi vòng tròn biểu thị TTƯS của phân tố là vòng tròn ứng suất hay vòng 
tròn Mohr ứng suất của phân tố. 
 Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16) 
- Định hệ trục tọa độ τσO : trục hoành σ // trục x, trục tung τ // trục y của 
phân tố và hướng lên 
trên. 
-Trên trục σ định điểm 
E(σx, 0) và điểm F(σy, 0) 
Tâm C là trung điểm 
của EF 
- Định điểm cực P (σy, 
τxy ) . 
- Vòng tròn tâm C, qua 
P là vòng tròn Mohr cần vẽ 
 Chứng minh: + C là trung điểm của EF ⇒ cyx =+=+=
2
σσ
2
OFOEOC 
Trong tam giác vuông CPF: xy
yx τσσ =−=−= FP ;
2
OFOEFC
2
Do đó ⇒ 22
2
22
2
FPFCCP Rxy
yx =+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=+= τσσ 
2- Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 
σ
x 
 x
F C
σ
P
τx y 
O 
τ
H.4.16 
vòng tròn ứng suất Cách vẽ 
σ y
E
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 10 
 H. 4.17 Định ứng suất trên mặt nghiêng 
B F 
C
E 
G 
A 
max 
M 
max
D 
min
uv
xy 
xy
y x 
x 
y 
y
u 
uv 
max P 
max
u
x
u 
u 
minx
u 
uv
2α 
α
Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng của phân 
tố có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α. 
Cách tìm σu ; τuv 
Vẽ vòng tròn Mohr như H.4.17. 
 Từ cực P vẽ tia Pu // với phương u cắt vòng tròn tại điểm M. 
 Hoành độ của M = σu ; Tung độ của M = τuv 
Chứng minh: 
Ký hiệu 2α1 là góc (CA,CD), 2α là góc (CD,CM). 
 Hình 4.17 cho: 
( )
αααασσ
αασσ
2sin2sin2cos2cos
2
22cos
2
CGOCOG
11
1
RR
R
yx
yx
−++=
+++=+=
nhưng: xyyxR τασσα ==−== ED2 Rsin CE 1;22cos 1 
nên: uxyyxyx σατασσσσ =−−++= 2sin2cos22OG 
 Tương tự, ta có: 
( )
uvxy
yx
RRR
τατασσ
αααααα
=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
+=+=
2cos2sin
2
2cos2sin2sin2cos22sinGM 111
Ta nhận lại được phương trình (4.2) 
3- Định ứng suất chính- phương chính- Ứng suất pháp cực trị 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 11 
Trên vòng tròn ứng suất ( H.4.17) 
 Điểm A có hoành độ lớn nha ... tròn lớn nhất, (H.4.24). 
 2
31
2
σστ −=max, (18) 
x
y
z
II
σ1
σ3 
σ2 
I
III
H.4.22. TTƯS khối với mặt 
cắt nghiêng bất kỳ
H.4.24 
 Ba vòng tròn Mohr ứng suất 
σ
σ1
3 
1
2
2σ3O
τ
τmax,3 
τmax,τmax,
σ2 σ1 
τ
Ο
σ 
σ 2
σ3
σ τ
1
σ 2 
σ 2 
σ 1 τ 
σ 3
σ
σ
σ1 
σ 2 
σ1 τ 
σ2 
H. 4.23TTỨS khối và các mặt // trục chính 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 14 
4.4 LIÊN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 
4.4.1 Định luật Hooke tổng quát 
1- Liên hệ ứng suất pháp và biến dạng 
dài 
 ♦TTƯS đơn: trong chương 3, đã có: 
Định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất pháp 
và biến dạng dài : 
E
σε = (4.19) 
 ε - biến dạng dài tương đối theo phương σ. 
 Theo phương vuông góc với σ cũng có biến dạng dài tương đối ε’ 
ngược dấu với ε: 
E
σμμεε −=−=' (4.20) 
♦ TTƯS khối: với các ứng suất chính σ 1, σ2 , σ3 theo ba phương chính 
I, II, III (H.4.25). Tìm biến dạng dài tương đối ε1 theo phương I . 
 Biến dạng dài theo phương I do σ 1 gây ra: E111 )( σ=σε 
 Biến dạng dài theo phương I do σ 2 gây ra: E221 )(
σμσε −= 
 Biến dạng dài theo phương I do σ 3 gây ra: E331 )(
σμσε −= 
 Biến dạng dài tương đối theo phương I do cả ba ứng suất σ 1, σ2 , σ3 
sinh ra sẽ là tổng của ba biến dạng trên: 
 [ ])(1)()()( 3213121111 σσμσσεσεσεε +−=++= E (4.21) 
Tương tự, biến dạng dài tương đối theo hai phương chính II , III còn lại: 
 ( )[ ]1322 1 σσμσε −−= E (4.22) 
 ( )[ ]2133 1 σσμσε +−= E (4.23) 
♦ TTƯS tổng quát: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đối với vật liệu 
đàn hồi đẳng hướng, σ chỉ sinh ra biến dạng dài mà không sinh ra biến 
dạng góc , τ chỉ sinh ra biến dạng góc mà không sinh ra biến dạng dài. 
⇒ Trong trường hợp phân tố ở TTƯS tổng quát, vẫn có 
σ1 
σ3 
σ2 
I
II
III
x 
y 
z 
H.4.25. TTƯS khối 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 15 
 (4.24) 
2-Liên hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng 
góc 
 ( Định luật Hooke về trượt) 
Phân tố ở TTƯS trượt thuần tuý (H.4.26). Biến 
dạng góc (góc trượt) γ biểu thị độ thay đổi 
góc vuông. 
 Định luật Hooke về trượt: 
G
τγ = (4.25) 
trong đó: G - là môđun đàn hồi trượt. Thứ nguyên của G là [lực/(chiều dài)2] 
và đơn vị thường dùng là N/m2 hay MN/m2. 
Liên hệ giữa E, ν và G như sau: 
)1(2 μ+=
EG 
 (4.26) 
4.4.2 Định luật Hooke khối 
Tính độ biến đổi thể tích của một phân tố hình 
hộp có các cạnh bằng da1, da2 và da3 . 
Thể tích của phân tố trước biến dạng là: 
 321 dadadaVo = 
 Sau biến dạng, phân tố có thể tích là: 
 )da)(da)(( 3322111 dadadadaV Δ+Δ+Δ+= 
 Gọi biến dạng thể tích tương đối là θ, ta có: 
 3211 εεεθ ++=−=
o
o
V
VV
 (4.27) 
σ1
σ3 
σ2
I
II
III
x 
y
z
H.4.27. TTƯS khối 
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
σσμσε
σσμσε
σσμσε
+−=
+−=
+−=
1
1
1
τ 
γ 
H. 4.26 TTỨS trượt thuần tuý- 
 Biến dạng góc 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 16 
 Thế (4.21)(4.22),(4.23) vào (4.27) ⇒ 
 ( )321321 21 σσσμεεεθ ++−=++= E (4.28) 
đặt tổng ứng suất pháp là: 321 σ+σ+σ=Σ 
(4.28) thành: ∑−=
E
μθ 21 (4.29) 
công thức (4.29) được gọi là định luật Hooke khối biểu thị quan hệ tuyến 
tính giữa biến dạng thể tích tương đối và tổng ứng suất pháp. 
Nhận xét : 
♦Từ (4.29), nếu vật liệu có hệ số Poisson μ = 0,5 ( cao su), thì θ luôn 
luôn bằng không tức là thể tích không đổi dưới tác dụng của ngoại lực. 
♦ Công thức trên cho thấy θ phụ thuộc vào tổng ứng suất pháp chứ 
không phụ thuộc vào riêng từng ứng suất pháp. Như vậy, nếu cũng với 
phân tố ấy ta thay các ứng suất chính bằng một ứng suất trung bình σtb có 
giá trị bằng trung bình cộng của ba ứng suất chính nói trên: 
33
321 σσσσ ++=Σ=tb 
thì biến dạng thể tích tương đối của phân tố trên vẫn không thay đổi. 
 Thật vậy, với những ứng suất chính là σtb , biến dạng thể tích bằng: 
 ( ) Σ−=++−=
EE tbtbtb
μσσσμθ 21211 
 Kết quả trên có ý nghĩa như sau: với phân tố ban đầu là hình lập 
phương, trong hai trường hợp trên ta thấy thể tích phân tố đều biến đổi như 
nhau. 
- Tuy nhiên, trong trường hợp đầu khi các ứng suất chính khác nhau, 
phân tố vừa biến đổi thể tích vừa biến đổi hình dáng tức là trở thành 
phân tố hình hộp chữ nhật sau khi biến dạng. 
 - Còn trong trường hợp thứ hai, khi thay các ứng suất chính bằng ứng 
suất trung bình, phân tố chỉ biến đổi về thể tích mà không biến đổi hình 
dáng, nghĩa là sau khi biến dạng phân tố vẫn giữ hình lập phương. 
- Về mặt lý luận, có thể phân phân tố ở TTUS khối chịu các ứng suất 
chính σ1 , σ2 , σ3 thành 2 phân tố (H. 4.28). Phân tố b) chỉ biến đổi thể tích, 
phân tố c) chỉ biến đổi hình dáng. 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 17 
 σ 2 
σ 1 
σ 3 = 
σtb
σtb
σ tb + 
σ3 - σtb
σ1 - σtb 
σ2 - σtb
a) b) c)
H.4.28 Phân tích TTUS khối thành 2 TTUS 
4.5 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 
♦ Ở chương 3, phân tố ở TTƯS đơn (thanh bị kéo hoặc nén): 
Thế năng biến dạng đàn hồi riêng 2σε=u (4.30) 
♦ Trong TTƯS khối, sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta có thế 
năng biến dạng đàn hồi riêng bằng: 
222
332211 εσεσεσ ++=u (4.31) 
thay ε1, ε2, ε3 theo định luật Hooke trong (4.21) - (4.23) vào , ⇒ 
 ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }1233132232112
1 σσμσσσσμσσσσμσσ +−++−++−=
E
u 
hay ( )[ ]133221232221 221 σσσσσσμσσσ ++−++= Eu (4.32) 
Ta có thể phân tích thế năng biến dạng đàn hồi u thành hai thành phần: 
-Thành phần làm đổi thể tích gọi là thế năng biến đổi thể tích utt 
-Thành phần làm đổi hình dáng gọi là thế năng biến đổi hình dáng uhd 
Ta có: u = utt + uhd 
Để tính thế năng biến đổi hình dáng, ta thay các ứng suất σ1, σ2 và σ3 
bằng ứng suất (σ1 -σtb ), (σ2 -σtb ), (σ3 -σtb ), tác dụng lên các mặt phân tố. 
 σ 2 
σ 1 
σ 3 = 
σtb
σtb
σtb + 
σ3 - σtb
σ 1 - σ tb
σ 2 - σ tb 
H.4.29 Phân tích TTỨS thành hai TTỨS 
 Thế vào (4.32) ta có thế năng biến đổi hình dáng bằng: 
 ( )[ ] ( )2321133221232221 6 21221 σσσμσσσσσσνσσσ ++−−++−++= EEuhd 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 18 
hay : ( )31322123222131 σσσσσσσσσμ −−−+++= Euhd (4.33) 
 ♦ TTƯS đơn , thay σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = 0 vào (4.32) và (4.33), ta được thế 
năng riêng và thế năng biến đổi hình dáng như sau: 
 2
2
3
1 ;
2
σμσ
E
u
E
u hd
+== (4.34 
Thí dụ 4.4: Cho phân tố như hình vẽ: 
 ở trạng thái ứng suất phẳng. 
Tính xε , yε , uε (phương utạo vứi trục x một góc 30 0 . 
 Cho E=104kN/cm2 , μ =0,34 ,α =300 α 
Ta có 26 cmkNx /=σ 
 28 cmkNy /=σ 
 22 cmkN /−=τ 
 060=α 
[ ] [ ] 44 10283834061011 −×=−=−= ,),(yxx E μσσε 
[ ] [ ] 44 10965634081011 −×=−=−= ,),(ỹyyy E μσσε 
2232922
22
cmkNxy
yxyxõ
u /,sincos =−
−++= ατασσσσσ 
[ ] [ ] 2611711 cmkN
EE uyxuvuu
/,( =−+−=−= σσσμσμσσε 
x
6kN/cm 2
8kN/cm 2 
2kN/cm 2
u 
y
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 19 
Thí dụ 4.5: 
Một khối lập phương bằng bê tông đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A 
(tuyệt đối cứng) chịu áp suất phân bố đều ở mặt trên P= 1kN/cm2 (H.4.11). 
 Xác định áp lực nén vào vách rãnh, liên hệ giữa ứng suất và biến dạng 
dài tương đối theo các phương. Độ biến dạng thể tích tuyệt đối. Cho 
cạnh a = 5 cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36. 
Chọn hệ trục như hình vẽ.Ta có: khối bê tông ở TTỨSphẳng . 
 00 =−=≠ zx p σσσ ;kN/cm ; 2y 
 000 =≠≠ xz εεε ; ; y 
 Định luật Hooke cho biến dạng dài: 
 [ ] )( 01 =+−= zyxx E σσμσε 
 ⇒ 2 kN/cm0,361)-(0,36 −=×=−= px μσ 
 [ ] )-(1 )( 2ησσμσε EpE zxyy −=+−= 1 
 [ ] [ ] )(1p p)-p(--0 )( μμμμσσμσε +==+−= EEE yxzz 11 
Biến dạng thể tích tuyệt đối: 
[ ]
[ ] 0,0559cm- )(,
800
0,36)(2-1 
)
3=××−−×=
++−==Δ
5551360
21 V
E
V zyxv σσσμθ
H.4.11 
A 
P 
a 
x 
y 
z 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 20 
Thídụ4.6 
Một tấm mỏng có kích thước như trên H.4.5 
 chịu tác dụng của ứng suất kéo σ = 30 kN/cm2 
 theo phương chiều dài của tấm 
và ứng suất tiếp τ = 15 kN/cm2. 
a) Xác định ứng suất pháp theo phương 
 đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo 
b) Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn. 
 Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3 
.Gọi mmu σσ = , ummmm
mm
mm
u lll
l εε ×=Δ⇒Δ= 
[ ]vuu E ησσε −=
1 
200 535601560
2
030
2
030 cmkNu /,sin)(cos =−−−++=σ
[ ] 310857511 −=−−== .,)( uuummu E σσησεε 
 mmll mmu 0930501085751
3 ,., =×=Δ=Δ − 
m
n
25 mm 
15 mm
τ
σ
H 4 5
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 21 
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 
4.1 Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt AB của phân tố 
như trên H.4.1 bằng phương pháp giải tích và đồ thị. Đơn vị ứng suất tính 
bằng kN/cm2. 
H. 4.1
A 
B
50 o 
2 
4
A
B
30o
4
3
b)
A
B 
60o 
6 
c)
A 
B 
α 
6
d) 
A
B
60o
4
3
7
e)
A
B 
30 o 
6
3 
5 
f) 
a) b) c) 
4.2 Trên hai mặt tạo với nhau một góc α = 60o và đi 
qua một điểm ở TTƯS phẳng có các ứng suất như 
trên H.4.2. Hãy tính các ứng suất chính tại điểm đó, 
ứng suất pháp σu và biến dạng tương đối εu theo 
phương u. Cho: E = 2.10 kN/cm2; μ= 0,3. 
4.3 Trên mặt cắt m - n đi qua một điểm trong vật thể ở 
TTƯS phẳng có ứng suất toàn phần p = 3000 N/cm2, 
ứng suất này có phương tạo thành góc 60o với mặt 
cắt. Trên mặt vuông góc với mặt cắt đó chỉ có ứng 
suất tiếp (H.4.3). 
Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp 
với mặt cắt m - n một góc 45o. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó. 
6 kN/cm2
5 kN/cm2
3 kN/cm2
σu 
60o
H.4.2
τ 
n
m
p60o
45o
H. 4.3
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 22 
4.4 Tại một điểm trên bề mặt của vật thể, ứng 
suất tác dụng lên phân tố nghiêng một góc 30o 
với trục x có trị số và hướng như trên H.4.30. 
a) Xác định ứng suất chính và phương chính. 
b) Xác định ứng suất tiếp cực trị và ứng suất 
pháp trên bề mặt có ứng suất tiếp cực trị. Biểu 
diễn các ứng suất đó trên H.4.4. 
4.5 Một tấm mỏng có kích thước như trên 
H.4.5 chịu tác dụng của ứng suất kéo σ 
= 30 kN/cm2 theo phương chiều dài của 
tấm và ứng suất tiếp τ = 15 kN/cm2. 
a) Xác định ứng suất pháp theo phương 
đường chéo mn và phương vuông góc 
với đường chéo 
b) Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn. 
 Cho E = 2.104 kN/cm2, μ= 0,3. 
4.6 Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều σx 
và σy như trên H.4.6. Các tấm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai 
phương x và y cho các số đo như sau: εx = 4,8.10–4 và εy = 1,3.10–4. 
Tính σx và σy, biết E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3. 
4.7 Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở 
A, B, C để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou (H.4.7). 
Các số đo thu được: 444 10.625,1 ;10.81,2 ;10.81,2 −−− =ε−=ε−=ε unm 
Xác định ứng suất chính, phương chính tại điểm đó. 
Cho : E = 2.104 kN/cm2 ; μ= 0,3. 
α = 30o
x
y 
3 kN/cm2
5 kN/cm2 
H. 4.4
m
n 
25 mm 
15 mm
τ
σ 
H 4 5
H. 4.6 H. 4.7
O
45
o
B 
A 
x
n
m 
C B
A
u 
45o 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 23 
4.8 Tại điểm A của một dầm cầu có gắn hai 
tenxômét để đo biến dạng theo phương 
nằm ngang và phương thẳng đứng (H.4.8). 
Khi xe chạy qua cầu, người ta đo được: εx 
= 0,0004; εy = –0,00012.Tính ứng suất 
pháp theo phương dọc và phương thẳng 
đứng của dầm. Cho biết E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3. 
4.9 Có một phân tố hình hộp có các cạnh: a = 2cm; 
 b = 4 cm; c = 2 cm, chịu tác dụng của các lực P1, P2 
trên bốn mặt của phân tố (xem H.4.9). Cho : P1 = 60 
kN; P2 = 120 kN; E = 2.104 kN/cm2; μ= 0,3. 
a) Xác định các biến dạng dài Δa, Δb, Δc của các cạnh 
a, b, c và biến đổi thể tích của phân tố hình hộp. 
b) Muốn biến đổi thể tích ΔV = 0 thì phải đặt thêm lực 
pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại? 
Tính τmax trong trường hợp này. 
4.10 Một khối hình hộp làm bằng thép có kích thước cho trên H.4.10, được 
đặt giữa hai tấm cứng tuyệt đối, chịu lực nén P = 250 kN. Tính lực tác 
dụng tương hỗ giữa mặt tiếp xúc của hình hộp với các tấm cứng. Cho μ= 
0,3. 
. 
H. 4.10
1 0 
c m 5c
m
5 cm
y
x 
a) 
b)
P
P
H.4.8
x x 
y 
y 
A 
H.4.9
P1 
P1 
P2 P2 
a 
c 
b 
 GV: Lê Đức Thanh 
____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________ 
Chương 4: Trạng thái ứng suất 24 
4.11 Một khối lập phương bằng bê tông đặt vừa khít rãnh của vật thể A 
chịu áp suất phân bố đều ở mặt trên P = 1 kN/cm2 (H.4.11). 
 Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối. 
Cho cạnh a = 5 cm; E = 8.102 kN/cm2; μ= 0,36. 
. Vật thể A coi như cứng tuyệt đối. 
4.12 Một tấm thép kích thước a × b × c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng, hai 
tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như H.4.12. Khi tấm 
thép chịu áp lực p phân bố trên hai mặt bên thì ứng suất kéo của thanh 
là bao nhiêu? Tính ứng suất chính trong tấm thép. Cho Etấm = Ethanh và 
diện tích F của thanh. 
a
p 
p 
y 
x b x 
H.4.12
c
z