Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 2: Lý thuyết nội lực

 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 1 
Chương 2 
LÝ THUYẾT NỘI LỰC 
2.1 KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT - ỨNG SUẤT 
 1- Khái niệm về nội lực: 
 Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng 
(H.2.1). Trước khi tác dụng lực, giữa các phân tử của vật thể luôn có các 
lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng nhất định. Dưới tác dụng của 
ngoại lực, các phân tử của vật thể có thể dịch lại gần nhau hoặc tách xa 
nhau. Khi đó, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải thay đổi để 
chống lại các dịch chuyển này. Sự thay đổi của lực tương tác giữa các 
phân tử trong vật thể được gọi là nội lực. 
 Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài thì được gọi là vật 
thể ở trạng thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không. 
 2-Phương pháp khảo sát nội lực: Phương pháp mặt cắt 
 Xét lại vật thể cân bằng và 1 điểm C trong vật thể (H.2.1),. 
 Tưởng tượng một mặt phẳng Π cắt qua C và chia vật thể thành hai 
phần A và B; hai phần này sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên 
diện tích mặt tiếp xúc theo định luật lực và phản lực. 
 Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nó phải cân 
bằng với ngoại lực ban đầu (H.2.2). 
 Xét một phân tố diện tích ΔF bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt 
Π có phương pháp tuyến v. Gọi pΔ là vector nội lực tác dụng trên ΔF . Ta 
định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là: 
 dF
pd
F
pp
F
=Δ
Δ= →Δ 0lim 
 Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/[chiều dài]2 (N/m2, N/cm2). 
P 2 
P 1 P6
P5
P4P 3 
A B
H.2.1 Vật thể chịu lực cân bằng
Δp
ΔF 
H.2.2 Nội lực trên mặt cắt 
P1
P2
P3
A
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 2 
Ứng suất toàn phần p có thể phân ra hai thành 
phần: 
 + Thành phần ứng suất pháp σv có phương 
pháp tuyến của mặt phẳng Π 
 + Thành phần ứng suất tiếp τv nằm trong mặt 
phẳng Π ( H.2.3 ). 
 Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức: 
 222 vvvp τσ += (2.1) 
 Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của 
vật liệu tại một điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị 
phá hoại. Do đó, việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của 
vật liệu, và chính là một nội dung quan trọng của môn SBVL. 
Thừa nhận: Ứng suất pháp σv chỉ gây ra biến dạng dài. 
 Ưùng suất tiếp τv chỉ gây biến dạng góc. 
σν
Hình 2.3 Các thành 
phần 
 ứng suất 
pτν
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 3 
2.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 
1- Các thành phần nội lực: 
 Như đã biết, đối tượng khảo sát của SBVL là những chi tiết dạng thanh, 
đặc trưng bởi mặt cắt ngang (hay còn gọi là tiết diện) và trục thanh. 
 Gọi hợp lực của các nội lực phân bố trên mặt cắt ngang của thanh là R. 
 R có điểm đặt và phương chiều chưa biết . 
 Dời R về trọng tâm O của mặt cắt ngang ⇒ 
⎩⎨
⎧
M Mômen
R Lực có phương bất kỳ 
 Đặt một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc ngay tại trọng tâm mặt cắt 
ngang, Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến của mặt cắt, còn hai trục x, y 
nằm trong mặt cắt ngang. 
 Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục: 
 + Nz, theo phương trục z (⊥ mặt cắt ngang) gọi là lực dọc 
 + Qx theo phương trục x (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. 
 + Qy theo phương trục y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt. 
 Mômen M cũng được phân ra ba thành phần : 
 + Mômen Mx quay quanh trục x gọi là mômen uốn . 
 + Mômen My quay quanh trục y gọi là mômen uốn . 
 + Mômen Mz quay quanh trục z gọi là mômen xoắn. 
 Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt 
ngang (H.2.4) 
. 
P 2 
P 1 P 6 
P 5 
P 4 P 3 
A B 
H.2.4 Các thành phần nội lực
Mz P1
P2
P3
A
P1
P2
P3
A 
Qy 
Qx 
Nz 
y 
x 
z 
Mx x 
z 
y 
My
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 4 
2 Cách xác định: 
 Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ 
sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên 
đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu PI và các nội lực. 
Các phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: 
x
n
i
ixx
y
n
i
iyy
z
n
i
izz
QPQZ
QPQY
NPNZ
⇒=+⇔=∑
⇒=+⇔=∑
⇒=+⇔=∑
∑
∑
∑
=
=
=
00
00
00
1
1
1
 (2.2) 
trong đó: Pix, Piy, Piz - là hình chiếu của lực Pi xuống các trục x, y, z. 
 Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: 
z
n
i
izz
y
n
i
iyy
x
n
i
ixx
MPmMOzM
MPmMOyM
MPmMOxM
⇒=+⇔∑
⇒=+⇔∑
⇒=+⇔∑
∑
∑
∑
=
=
=
0)(/
0)(/
0)(/
1
1
1
 (2.3) 
vớiù:mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - các mômen của các lực Pi đối với các trục x,y, z. 
3-Liên hệ giữa nội lực và ứng suất: 
 Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau: 
 - Lực dọc là tổng các ứng suất pháp 
 - Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó 
 - Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x 
hoặc y 
 - Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 5 
2-3 BÀI TÓAN PHẲNG: 
 Trường hợp bài toán phẳng ( ngoại lực nằm trong một mặt phẳng ( thí 
dụ mặt phẳng yz)), chỉ có ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng yz : 
Nz, Qy, Mx. 
♦ Qui ước dấu (H.2.5) 
 - Lực dọc Nz > 0 khi gây kéo 
đoạn thanh đang xét (có chiều 
hướng ra ngoài mặt cắt) 
 - Lực cắt Qy > 0 khi làm quay 
đoạn thanh đang xét theo chiều kim 
đồng hồ. 
 - Mômen uốn Mx > 0 khi căng 
thớ dưới ( thớ y dương ). 
♦ Cách xác định: 
 Dùng 3 phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng phần A) hay 
phần B) 
Hình 2.5: Chiều dương 
các thành phần nội 
M > 0X
N > 0 z
Q > 0y
y
P1
P2
P3
A
M > 0 X 
Q > 0y
N > 0 z 
y
P4
P5
P6
B
O O
Từ phương trình Σ Z = 0 ⇒ Nz 
Từ phương trình Σ Y = 0 ⇒ Qy (2.4) 
Từ phương trình Σ M/O = 0 ⇒ Mx 
Mx 0
Mx > 0 
Mômen M x > 0 , Mômen M x < 0
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 6 
Thí dụ 2.1 Xác định các trị số nội lực tại mặt cắt 1-1 của thanh AB, với : 
 q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa2. ( H.2.6) 
 Giải. 
 Tính phản lực: Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực 
liên kết VA, HA, VB. 
Viết các phương trình cân bằng tỉnh học khi xét cân bằng thanh AB 
 02M - a x P 
2
0 0 =−+×⇒=∑ axVaqaAM B 
 ⇒ HA = 0; kN 5,27411 == qaVA ; kN 5,241 == qaVB 
 Tính nội lực: Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần. 
 Xét sự cân bằng của phần bên trái (H.2.6) : 
mkN 25,21
8
17 
2
25,10
kN 5,2 
4
1 00
00
2
1
==×−×−×=⇒=
−=−=⇒=−−−⇒=
=⇒=
∑
∑
∑
qaaqaaqaaVMO
M
qaQQPqaVY
NZ
A
A 
Nếu xét cân bằng của phần phải ta cũng tìm được các kết quả như trên. 
Σ Z = 0 ⇒ HA = 0 
Σ Y = 0 ⇒ VA +VB - qa – P = 0 
M = 
2qa2 
H.
2.6 
1
1
k
A
q P = 
2qa 
1,5a
a a
B
V A V B
A 
q P = 
2qa 
1,5aV A
Q
M
N
H A
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 7 
2.4 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TOÁN PHẲNG ) 
 1. Định nghĩa: Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một 
thanh không giống nhau. 
 Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực 
theo vị trí của các mặt cắt ngang. Hay gọi là măït cắt biến thiên. 
 Nhờ vào BĐNL có thể xác định vị trí mặt cắt có nội lực lớn nhất và trị 
số nội lực ấy. 
2. Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích: 
 Để vẽ biểu đồ nội lực ta tính nội lực trên mặt cắt cắt ngang ở một vị 
trí bất kỳ có hoành độ z so với một gốc hoành độ nào đó mà ta chọn trước. 
Mặt cắt ngang chia thanh ra thành 2 phần. Xét sự cân bằng của một phần 
(trái, hay phải) , viết biểu thức giải tích của nội lực theo z.. 
Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục hoành song song với 
trục thanh (còn gọi là đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được 
diễn tả bởi các đoạn thẳng vuông góc các đường chuẩn. 
Thí dụ 2.2- Vẽ BĐNL của dầm mút thừa (H.2.7) 
 Giải 
 Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ 
z so với gốc A, ta có ( 0 ≤ z ≤ l ) 
 Biểu thức giải tích của lực cắt 
và mômen uốn tại mặt cắt 1-1 
được xác định từ việc xét cân bằng 
phần phải của thanh: 
)(0)(0
00
00
1
zlPMzlPMO
M
PQPQY
NZ
xx
yy
−−=⇒=−+⇒=
=⇒=−⇒=
=⇒=
∑
∑
∑
Cho z biến thiên từ 0 đến l, ta sẽ được 
biểu đồ nội lực như trên H.2.7. 
Qui ước:+Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trên trục hoành. 
 +Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành. 
z
BA
K
zQ
p
Hình 2.7 M
zPlM
P
1 
P
B
K
1 
1 
Q
N
M
l
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 8 
 (Tung độ của biểu đồ mômen luôn ở về phía thớ căng của thanh). 
Thí dụ 2.3 – Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu tải phân bố đều q (H.2.8a). 
 Giải 
 Phản lực: Bỏ các liên kết tại A và B, 
thay bằng các phản lực ( H.2.8a). 
 ∑Z = 0 ⇒ HA =0. 
 Do đối xứng ⇒ 
2
ql V V BA == 
 Nội lực: Chọn trục hoành như trên 
H.2.8b. Xét mặt cắt ngang 1-1 tại K có 
hoành độ là z, ( 0 ≤ z ≤ l ). Mặt cắt chia 
thanh làm hai phần. 
 Xét cân bằng của phần bên trái AK 
(H.2.8b) 
 Từ các phương trình cân bằng ta suy ra: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=−=⇒=∑
−=−=⇒=∑
=⇒=∑
)(
222
0/
)
2
(
2
0
00
2
1 zl
qzqzzqlMOM
zlqqzqlQY
NZ
x
y
z
 Qy là hàm bậc nhất theo z, Mx là hàm bậc 2 theo z. 
 Cho z biến thiên từ 0 đến l ta vẽ được các biểu đồ nội lực (H2.8). 
 Cụ thể: +Khi z=0 ⇒ Qy = ql/2 , Mx = 0 
 +Khi z=l ⇒ Qy = -ql/2 , Mx = 0 
 +Tìm Mx, cực trị bằng cách cho đạo hàm dMx / dz =0, 
 dMx / dz =0 ⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒
=⇒=−
8
2
0
2
2qlM
lzqzql
maxõx,
 Qua các BĐNL, ta nhận thấy: 
 Lực cắt Qy có giá trị lớn nhất ở mặt cắt sát gối tựa, 
 Mômen uốn Mx có giá trị cực đại ở giữa dầm. 
a
)
z
1
1
K B
q
l
1
1 Qy 
Mx V 
=
B ql
2V 
A ql
2
A
z
y
VA
ql
2ql
8
2 
Qy
Mx
+
b
)
c
)
d
)
A
H.2.8 
Nz z
HA = 
0
ql
2
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 9 
Thí dụ 2.4 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu lực tập trung P ( H.2.9a) . 
 Giải 
 Phản lực: Các thành phần phản lực tại các gối tựa là: 
 0=AH ; l
PbVA = ; l
PaVB = 
 Nội lực : Vì tải trọng có phương vuông góc với trục thanh nên lực dọc 
Nz trên mọi mặt cắt ngang có trị số bằng không. 
 Phân đoạn thanh: Vì tính liên tục của các hàm số giải tích biểu diển 
các nội lực nên phải tính nội lực trong từng đoạn của thanh; trong mỗi đoạn 
phải không có sự thay đổi đột ngột của ngoại lực . 
 ♦ Đoạn AC- Xét mặt cắt 1-1 tại điểm K1 trong đoạn AC và cách gốc A 
một đoạn z, ( 0 ≤ z ≤ a ). 
Khảo sát cân bằng của phần bên trái ta được các biểu thức giải tích của 
nội lực: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−===
−===
z
l
alPz
l
PbzVM
l
alP
l
PbVQ
Ax
Ay
)(.
)(
 (a) 
 ♦ Đoạn CB- Xét mặt cắt 2-2 tại điểm K2 
Trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z , ( a 
≤ z ≤ l ). Tính nội lực trên mặt cắt 2-2 bằng 
cách xét phần bên phải (đoạn K2B). Ta 
được: 
)()( zl
l
PazlVM
l
PaVQ
Bx
By
−=−=
−=−=
 (b) (b) 
 Từ (a) và (b) dễ dàng vẽ được các biểu 
đồ nội lực như H.2.9d,e. 
 Trường hợp đặc biệt : Nếu a=b= L/2, khi đó mômen cực đại xảy ra tại giữa 
dầm và có giá trị: Mmax = PL/4 
z
M x
l - z
VB
c
)
+
- 
P
b l 
Pa
l
Q y
M x
Pa
b l
M x
Q y
z
VA
1
1
VA l
z
VB
B
1
1
K1 A 2 
2 
K2
a b
a)
b
)
d
)
e)
H. 2.9 
P 
Q y
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 10 
Thí dụ 2.5 Vẽ BĐNL của dầm đơn giản chịu tác dụng của mômen tập trung 
Mo (H.2.10a.) 
 Giải 
 Phản lực: Xét cân bằng của toàn dầm ABC ⇒ các phản lực liên kết tại 
A và B là: 0=AH ; l
MVV oBA == , chiều phản lực như H.2.10a. 
 Nội lực: 
 Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A 
một đoạn z1 ;(0 ≤ z1 ≤ a ).Xét cân bằng của 
đoạn AK1 bên trái mặt cắt K1 ⇒ các nội lực 
như sau 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
−=−=
111
1
z
l
MzVM
l
MVQ
o
Ax
o
Ay
 (c) 
 Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn 
CB cách gốc A một đoạn z2 với (a ≤ z2 ≤ l ) . 
Xét cân bằng của phần bên phải K2B ⇒ các 
biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2 là: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
−=−=
)()( 222
2
zl
l
MzlVM
l
MVQ
o
Bx
o
By
 (d) 
BĐNL được vẽ từ các biểu thức (c), (d) của nội 
lực trong hai đoạn (H.2.10d-e). 
 Trường hợp đặc biệt: Mômen tập trung Mo 
đặt tại mặt cắt sát gối tựa A (H.2.11). 
 Qy và Mx sẽ được xác định bởi (d) ứng với 
 a = 0. BĐNL vẽ như H.2.11 
- 
Mo
l
B
a)
b
)
c
)
Q
y
H. 2.11
M
x
M / l o
l 
V =B
Mo
Mo
l V = A
M o
a 
z1
l – z2 VB
c
) 
- 
M o
l 
M 
Q 
z1 
VA
1 
1 
VA VB
B
1 
1 
K1 A 2 
2
K2
l – z2
K1
1 y
a)
x1 M 2 x 2
2
A
Qy
a 
M o
l (l - a) 
H. 2.10 
Mx
z
Q 2y
Mo / l
C 
M o
z2 
b)
d)
e)
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 11 
 Các nhận xét : 
 - Nơi nào có lực tập trung, biểu đồ lực cắt nơi đó có bước nhảy. Trị số 
của bước nhảy bằng trị số lực tập trung. Chiều bước nhảy theo chiều lực 
tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải 
 - Nơi nào có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước 
nhảy. Trị số của bước nhảy bằng trị số mômen tập trung. Chiều bước nhảy 
theo chiều mômen tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải 
 Kiểm chứng các nhận xét : 
 Khảo sát đoạn Δz bao quanh một điểm K có tác dụng lực tập trung P0 , 
mômen tập trung M0 ( H.2.12b). 
 Viết các phương trình cân bằng ⇒ 
 ∑Y = 0 ⇒ Q1 + P0 – Q2 = 0 ⇒ Q2 – Q1 = P0 (i) 
 ∑M/K = 0 ⇒ M1 +M0 - M2 + Q1
2
zΔ
 - Q2
2
zΔ
 =0 
 Bỏ qua vô cùng bé bậc một Q1
2
zΔ
 , Q2
2
zΔ
 , ⇒ M2 - M1 = M0 (ii) 
Biểu thức (i) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ lực cắt. 
Biểu thức (ii) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen. 
z Δz
P0
M0 
1 2
Δz
21
Q 2 
M 2 Q 1
M1 
a) b)H. 2.12
M0 
P0
K 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 12 
2.4. LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ TRONG 
THANH THẲNG 
 Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ (H.2.13a). Tải trọng tác dụng trên 
thanh này là lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương 
hướng lên (H.2.13b). 
z dz
q(z)M o 
1 2q(z)
dz
21
Q + dQ yy 
M+ dM x x Q y
Mx 
a) b)H. 2.13 
 Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 
(H.2.13b). Nội lực trên mặt cắt 1-1 là Qy và Mx. Nội lực trên mặt cắt 2-2 so 
với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân và trở thành Qy + dQy; Mx + dMx . Vì 
dz là rất bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz. 
Viết các phương trình cân bằng: 
1-Tổng hình chiếu các lực theo phương đứng 
 ∑Y = 0 ⇒ Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) = 0 
 ⇒ 
dz
dQ
zq y=)( (2.4) 
Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của lực phân bố vuông góc với trục 
thanh. 
 2- Tổng mômen của các lực đối với trọng tâm mặt cắt 2-2 ta được: 
 ∑M/o2 = 0 ⇒ 0)(2)( =+−+⋅⋅+ xxxy dMMMdzdzzqdzQ 
 Bỏ qua lượng vô cùng bé bậc hai 
2
)(
2dzzq ⋅ ⇒ 
 yx Qdz
dM = (2.5) 
 Đạo hàm của mômen uốn tại một mặt cắt bằng lực cắt tại mặt cắt đó 
 Từ (2.4) và (2.5) ⇒ )(2
2
zq
dz
Md x = (2.6) 
nghĩa là: Đạo hàm bậc hai của mômen uốn tại một điểm chính là bằng 
cường độ của tải trọng phân bố tại điểm đó. 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 13 
Thí dụ 2.6 Vẽ BĐNL cho dầm 
đơn giản AB chịu tác dụng của tải 
phân bố bậc nhất như H.2.14. 
 Giải 
• Phản lực: Giải phóng liên 
kết, đặt các phản lực tương ứng ở 
các gối tựa, xét cân bằng của toàn 
thanh, 
 ∑X =0 ⇒ HA = 0, 
lqVY
lqVllqlVBM
oB
oAoA
3
10 
6
1
32
10
=⇒=
=⇒××=⇒=
∑
∑
• Nội lực: Cường độ của lực 
phân bố ở mặt cắt 1-1 cách gốc A một đoạn z cho bởi: q(z)= q0 
l
z 
 Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần bên trái (H.2.14b). 
 ∑Y = 0 ⇒ 
l
zqlqzzqVQ ooAy 262
)(
2
−=−= (e) 
 ∑M/o1 = 0 ⇒ l
zqzlqzzzqzlqM ooox 6632
)(
6
3
−=××−= (g) 
 Từ (e) và (g) ta vẽ được biểu đồ lực cắt và mômen cho dầm đã cho. 
Các biểu đồ này có tính chất như sau: 
 Biểu đồ lực cắt Qy có dạng bậc 2. Tại vị trí z = 0, q(z) = 0 nên ở đây 
biểu đồ Qy đạt cực trị: (Qy)z = 0 = Qmax = 6lqo 
 Biểu đồ mômen uốn Mx có dạng bậc 3. Tại vị trí 3lz = ; Qy = 0. Vậy tại 
đây Mx đạt cực trị: 
39
)(
2
max
3
lqMM olzx
=== 
A
1 
1 
qo
B
VA V B l 
z
z
M x 
Q y V = q 0 l Ao 16
+
Mmaz
 q o l 
3 
3l
 qol
6
H.2.14 
a)
b)
VB = qo l13
q(z)
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 14 
Thí dụ 2.7 Vẽ BĐNL cho dầm chịu lực tổng quát (H.2.15) 
 Giải 
 Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng 
toàn thanh, suy ra phản lực liên kết tại A và 
C là: 
 HA = 0 , VA = 2qa; VC = 2qa 
 Nội lực: 
 * Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc A (0 ≤ z ≤ a), 
xét cân bằng phần trái 
• 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
2
2
2
2
1
1
qzqazM
qzqaQ
 * Đoạn BC: Mặt cắt 2-2, gốc A (a ≤ z ≤ 2a) 
và xét cân bằng phần trái: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
−=
2
2
2
2
3 
qaqazM
qaQ
* Đoạn CD: Mặt cắt 3-3, gốc A, (2a ≤ z ≤ 3a)ø xét cân bằng phần phải: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=
2
)3( 
)3(
2
3
3
zaqM
zaqQ
 (2a ≤ z ≤ 3a) 
 Biểu đồ mômen và lực cắt vẽ như H.2.15. 
M2
aVA Q 2z
Mo
P = 2qa 
M = qa o 2 
A
V = 2qa A V = 2qaC
a a a
qq
+ +
- 
q
a
q
a 
q
a qa
2
2
q
a 
2 
2 
q
a 
2 
2
3
Mx
Qy
1
1
3
B C D
2 
2 
H. 2.15
M1z
V = 
2qa
A
Q1
Q3 q 
M3 3a – z 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 15 
Thí dụ 2.8 Vẽ biểu đồ nội lực trong khung chịu tải trọng như trên H.2.16. 
a
z1
A
K1
K3
1
3
D
z3
VDVA
HA
Hình 2.15
1 3
2
2
B
K2
C
P = qa
z2
qa2
q
a
Giải 
Tính phản lực liên kết 
 Xét sự cân bằng của toàn khung dưới tác dụng của tải trọng ngoài và 
các phản lực liên kết ta suy ra: 
 ∑Ngang = 0 ⇒ HA = 0 
 qaVaqaqaaqaaVDM Aa 2
50
2
0 2 −=→=×++×+×⇒=∑ 
 ∑Đứng = 0 ⇒ VA + VD= 0 ⇒ VD = 2
5 qa+ ( Đúng chiều đã chọn ) 
Vậy chiều thật của VA ngược với chiều đã chọn 
a)
+
+
q
a
N5
2
q
a
5
2
q
a
–
3
2
q
a
2
5
2
q
a
2
M
parabol
e
c
)
d
) 
5 
2 q
a 52 q
a
B
3 
2 q
a 
2 
5 
2 q
a C qa
5
2
qa2
5
2 q
a
q
a 
2 
q
a
q
a
5
2
qa
Q+ 
2qa 
b
)
–
qa 
H..16
q
a
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 16 
Vẽ biểu đồ nội lực 
Đoạn AB: dùng mặt cắt 1-1 và xét cân bằng đoạn AK1 ta được: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
2
2
2
2
5
2
1
11
11
1
qzqazM
qzqaQ
qaN
 (0 ≤ z1 ≤ a) 
Đoạn BC: dùng mặt cắt 2-2 và xét cân bằng đoạn ABK2 ta được: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
2
2
2
2
2
2
5
2
5
2
5
qazqaM
qaQ
qaN
 (0 ≤ z2 ≤ a) 
Đoạn CD: dùng mặt cắt 3-3 và xét cân bằng DK3 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
−=
0
0 
2
5 
3
3
3
M
Q
qaN
 (0 ≤ z3 ≤ a) 
 Kiểm tra sự cân bằng nút 
 Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút. 
Nếu tách nút ra khỏi hệ thì ta phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung 
(nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt, giá trị của chúng được lấy từ biểu 
đồ vừa vẽ. 
 Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ 
cân bằng, nghĩa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn. Ngược lại, 
nếu các phương trình không thỏa mãn thì các nội lực tính sai. 
N 1 M1
2q
a
z 1 
Q1 
q
a
2 
5 
K1 
A
q
a 
5
2
Q3
N3
M3
Z3
V = D
D
K3
2q
a 
q
a 
5 
2 
N 2
M 2 
z 2 
a
Q 2 
K2 
B
q
a 
2 
A
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 17 
 Cụ thể đối với khung đang xét, ta tách nút B và đặt vào đó mômen tập 
trung qa2 và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng 
như H.2.16d: 
 - Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt, 
lực cắt 25 2qa có chiều hướng lên và mômen 25 2qa gây căng thớ dưới. 
 - Tại mặt cắt trên thanh đứng có lực dọc 25qa+ hướng ra ngoài mặt cắt 
(hướng xuống) lực cắt +qa hướng từ phải sang trái và mômen 23 2qa gây ra 
căng thớ trong khung nên chiều quay có mũi tên hướng ra ngoài. 
 Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn: 
 ∑ X = 0 ; ∑ Y = 0 ; ∑ M/B = 0 
 Tương tự, tách nút C và đặt vào đó lực tập trung qa hướng từ trái sang 
phải và các thành phần nội lực trên các đoạn thanh ngang và đứng như 
H.2.16d. 
 - Tại mặt cắt trên thanh ngang có lực dọc +qa hướng ra ngoài mặt cắt, 
lực cắt 25qa− có khuynh hướng làm quay phần đoạn thanh đang xét ngược 
chiều kim đồng hồ nên có chiều hướng xuống, còn mômen thì bằng không. 
 - Tại mặt cắt trên thanh thẳng đứng tồn tại lực dọc 25qa− có chiều 
huớng vào mặt cắt (hướng lên) và không có lực cắt cũng như mômen. 
 Ta dễ dàng thấy rằng các phương trình cân bằng được thỏa mãn: 
 ∑ =+−= 0 qaqaX ; 02525 =+−=∑ qaqaY ; 0=∑ BM 
 Vậy các nút B và C đều cân bằng nghĩa là các hệ nội lực tại các 
nút đúng. 
Thí dụ 2.9 Vẽ BĐNL trong thanh cong (H.2.17) 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 18 
 Giải 
 Cắt thanh tại tiết diện 
1-1, xác định bởi góc ϕ (0 
≤ ϕ ≤ 90o), xét cân bằng 
của phần trên dưới tác 
dụng của các ngoại lực 
và các thành phần nội lực 
đặt theo chiều dương quy 
ước như H.2.17b. 
 Phương trình cân 
bằng hình chiếu các lực 
theo phương pháp tuyến với mặt cắt cho: N = 2Psinϕ – Pcosϕ = 
P(2sinϕ – cosϕ) (a) 
 Phương trình cân bằng hình chiếu các lực theo phương đường kính 
cho: Q = 2Pcosϕ + Psinϕ = P(2cosϕ + sinϕ) (b) 
 Phương trình cân bằng của các mômen các lực đối với trọng tâm mặt 
cắt dẫn đến: 
 M = – 2PRsinϕ – PR(1 – cosϕ) = – PR(2sinϕ + 1 – cosϕ) (c) 
 Cho ϕ một vài trị số đặc biệt và tính các trị số nội lực tương ứng, ta vẽ 
được biểu đồ. 
 Lực cắt đạt cực trị khi 0=ϕd
dQy , nghĩa là khi: 
 -2sinϕ + cosϕ = 0 ⇒ tgϕ = 0,5 ⇒ ϕ = ϕo = 26o56’ 
 sinϕo = 0,4472 ; cosϕo = 0,8944 
 Ta có bảng nội lực sau: 
ϕ 0 ϕo 45o 900 
N 
Q 
M 
– P 
2 P 
0 
0 
2,236 P 
- PR 
0,7 P 
2,12 P 
-1,7 PR
2 P 
+P 
-3PR 
Khi vẽ cần chú ý đặt các tung độ theo phương vuông góc với trục thanh, 
tức là theo phương bán kính như trên H.2.17c,d,e. 
P A
2P
ϕ
M 
N
Q 
R
45o
P 
2.12P 
Q max =2,236P 
ϕo
Q 3PR
b
)
d
)
e)
H. 2.17 
1 
1,7PR
PR
M
ϕo
2P
P A
2P
ϕ R
B
ϕo
0,7PP
2PN
a)
c
)
1
1
-
+
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 19 
2.5 CÁCH VẼ BIỂU ĐỒ NHANH 
2.5.1 Phương pháp vẽ từng điểm 
 Dựa trên các liên hệ vi phân, ta định dạng các BĐNL tùy theo dạng tải 
trọng đã cho và từ đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ. 
 Trên 1 đoạn thanh 
+ q =0 ⇒ Q = hằng số, M = bậc nhất. 
+ q = hằng ⇒ Q = bậc nhất, M = bậc hai. 
. 
+ Nếu biểu đồ có dạng hằng số , chỉ cần xác định một điểm bất kỳ. 
+ Nếu biểu đồ có dạng bậc nhất , cần tính nội lực tại hai điểm đầu và cuối 
đoạn thanh. 
 + Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần ba giá trị tại điểm đầu, điểm 
cuối và tại nơi có cực trị, nếu không có cực trị thì cần biết chiều lồi lõm của 
biểu đồ theo dấu của đạo hàm bậc hai. Đoạn thanh có lực phân bố q 
hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu đồ mômen hướng lên. Ngược lại, 
nếu q hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ mômen hướng xuống. 
Tóm lại, đường cong mômen hứng lấy lực phân bố q. 
Thí dụ 2.10: Vẽ BĐNL trong dầm cho trên H.2.18 (phương pháp vẽ điểm) 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 20 
 Giải. 
Phản lực liên kết 
 qaVaVqaqaqaBM CC 2
30222 0 222 =⇒=×−++−⇒=∑ 
 qaVY B∑ =⇒= 250 
Nội lực 
 Đoạn AB: q=0⇒ Qy = hằng số, 
 Mx = bậc nhất. 
 Trong trường hợp này Qy là hằng 
số bằng không vì QA(AB) = 0. 
 ⇒ Mx trong đoạn này sẽ là hằng số 
 MA (AB) = MB (BA) = – Mo = -qa2 
 Đoạn BD: q= hằng ⇒ Qy = bậc 1, 
 Mx = bậc 2. 
 Tại B: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=
+=
2)(
)(
2
5
qaMM
qaQ
o
BD
B
BD
B
 Tại D: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
=−=
2
2
2)(
)(
22
3
2
3
2
5
qaqaqaM
qaqaqaQ
BD
D
BD
D
 Biểu đồ Qy trong đoạn này không có vị trí nào =0 ⇒ biểu đồ Mx không 
có cực trị. 
 Chỉ cần nối hai giá trị mômen tại B và D bằng đường cong bậc hai có 
bề lõm sao cho hứng lấy lực q. 
 Đoạn DC: q= hằng ⇒ Qy = bậc 1, Mx = bậc 2. 
 Tại D: 
2
1)( qaQ DCD −= ; 2
2
2)(
22
3 qaqaqaM DCD =−= 
 Tại C: 0 ; 
2
3 =−=−= CCC MqaVQ 
 Biểu đồ Qy trong đoạn này không có vị trí nào =0 ⇒ biểu đồ Mx không 
có cực trị. 
 Chỉ cần nối hai giá trị mômen tại D và C bằng đường cong bậc hai có 
bề lõm sao cho hứng lấy lực q. 
 Các biểu đồ lực cắt Qy và mômen Mx lần lượt được vẽ trên H.2.18b,c. 
a a
Mo = qa2
q
q
a 
2 
a)
b
)
c
)
a
P = 
2qa 
A D C
VC = 32
q
a
+ 
– 
5
2
q
a
3
2
q
a
1 
2 q
a 
3
2
q
a
q
a
2
H. 2.18 
Mx
Qy
2 VB = 5 q
a 
B
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 21 
2.5.2 Cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng 
 Khi thanh chịu tác dụng nhiều loại tải trọng, ta có thể vẽ biểu đồ nội 
lực trong thanh do từng tải trọng riêng lẻ gây ra rồi cộng đại số lại để được 
kết quả cuối cùng. 
Thí dụ 10. Vẽ biểu đồ mô men trong dầm như H.2.18a bằng cách cộng 
biểu đồ. 
Giải. Tải trọng trên thanh được chia thành hai trường hợp cơ bản: 
 + Hình 2.18b biểu diễn mô men do lực tập trung P gây ra 
 + Hình 2.18c biểu diễn mô men do lực phân bố đều q gây ra 
Hình 2.18dbiểu diễn mô men tổng hợp cần tìm, các tung độ bằng tổng 
đại số các tung độ tại các tiết diện tương ứng trên H.2.18b,c 
Bảng tóm tắt dầm console , dầm đơn giản, dầm đầu thừa 
a
q
P = 2qa
Pa 
H.2.18
a) 
b) 
c
) 
d
) 
qa2/
2 
Pa + 
qa2/
2 
A B
C
P 
L
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 22 
. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 
2.1. Vẽ biểu đồ nội lực của các dầm cho trên H.2.1. 
M = 10 kNm 
P = 5 kN q P = 2qa q = 5 kN/m
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 23 
2.2. Không cần tính ra phản lực, vẽ BĐNL của các dầm cho trên H.2.2. 
2.3. Vẽ biểu đồ nội lực như trên H.2.3. 
2.4. Vẽ biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định như trên H.2.4. 
a) 
a2a 3a 
P = 2qaq
b
)
a 4a
P = qa M = qa
21
2 q
H.2.2 
a) 
qo = 2 kN/m
b
)
a
q
1 
m 
1 
m 
3 
m 
P = 8 kN 
A
B
D
C 
a 
H.2.3 
1 
m 
1 
m 
1 
m 
a a
M = qa2
2
P
a) b
)P = 6qa 
q
c
) 
2a a 
P = 4 kN
1 
m 
2 
m 
1 
m 
M = 16 kNm 
q = 2 kN/m
d
)
P = qa
e) 
a2a 3a 
P = qaq M = qa 2
f
)
P 
q = 10 kN/m
1 
m 
2 
m 
2 
m 
1m
m 
M = 15 kNm
P = 20 kN
H.2.1
M = qa2 M = qa2
3a 3aa a
H. 2.4 
 GV: Lê Đức Thanh 
Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 24 
2.5. Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung sau (H.2.5). 
2.6. Vẽ biểu đồ lực dọc, mômen uốn, mômen xoắn cho thanh không 
gian (H.2.6). 
P = ql 
q
l 
l 
a) 
l
b
)
2q
a 
q
a
q
q
a
,
,
0,
75
a 
0,
75
a 
H.2.5
P = qa
P = qa 
q
a) 
a
P = qa
q
2P
a
a
b
)
H. 2.6