Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 13: Tải trọng động

 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 1 
Chương 13 
TẢI TRỌNG ĐỘNG 
13.1 KHÁI NIỆM 
1- Tải trọng động 
 Trong các chương trước, khi khảo sát một vật thể chịu tác dụng của 
ngoại lực, ta coi ngoại lực tác dụng là tĩnh, tức là những tải trọng gây ra gia 
tốc chuyển động bé, vì vậy khi xét cân bằng có thể bỏ qua được ảnh hưởng 
của lực quán tính. 
 Tuy nhiên, cũng có những trường hợp mà tải trọng tác dụng không thể 
coi là tĩnh vì gây ra gia tốc lớn, ví dụ như sự va chạm giữa các vật, vật quay 
quanh trục, dao động... Khi này, phải xem tác dụng của tải trọng là động, và 
phải xét đến lực quán tính khi giải quyết bài toán. 
2- Phương pháp nghiên cứu 
 Khi giải bài toán tải trọng động, người ta thừa nhận các giả thiết sau: 
 - Vật liệu đàn hồi tuyến tính 
 - Chuyển vị và biến dạng của hệ là bé. 
 Như vậy, nguyên lý cộng tác dụng vẫn áp dụng được trong bài toán tải 
trọng động. 
 Khi khảo sát cân bằng của vật thể chịu tác dụng của tải trọng động, 
người ta thường áp dụng nguyên lý d’Alembert. Tuy nhiên, trong trường hợp 
vật chuyển động với vận tốc thay đổi đột ngột như bài toán va chạm thì 
nguyên lý bảo toàn năng lượng được sử dụng. 
 Để thuận tiện cho việc tính hệ chịu tải trọng động, các công thức thiết 
lập cho vật chịu tác dụng của tải trọng động thường đưa về dạng tương tự 
như bài toán tĩnh nhân với một hệ số điều chỉnh nhằm kể đến ảnh hưởng 
của tác dụng động, gọi là hệ số động. 
 Trong chương này chỉ xét các bài toán tương đối đơn giản, thường gặp, 
có tính chất cơ bản nhằm mở đầu cho việc nghiên cứu tính toán động lực 
học chuyên sâu sau này. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 2 
13.2 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LÀ HẰNG SỐ 
 Một thanh tiết diện A có chiều dài L và trọng lượng riêng γ, mang một 
vật nặng P, được kéo lên với gia tốc a như H.13.1.a. 
Tưởng tượng cắt thanh cách đầu mút một 
đoạn x. Xét phần dưới như trên H.13.1.b, lực 
tác dụng gồm có: trọng lượng vật nặng P 
 Trọng lượng đoạn thanh γAx 
 Lực quán tính tác dụng trên vật P là 
g
aP. 
 Lực quán tính của đoạn thanh là 
g
Axaγ 
 Nội lực động Nđ tại mặt cắt đang xét. 
 Theo nguyên lý d’Alembert, tổng hình 
chiếu của tất cả các lực tác dụng lên thanh theo phương đứng kể cả lực 
quán tính phải bằng không, ta được: 
 Nđ − γAx − P − gPa − gAxaγ = 0 
 Nđ = γAx + P + gPa + gAxaγ 
 ⇒ Nđ = (γAx + P)(1 + ga ) 
 Đại lượng (γAx + P) chính là nội lực trong thanh ở trạng thái treo không 
chuyển động, gọi là nội lực tĩnh Nt. 
 Ta được: Nđ = Nt.(1 + g
a ) (13.1) 
 Ứng suất trong thanh: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +==
g
a
g
a
A
N
A
N
t
td
d 11 σσ (13.2) 
có thể đặt: Kđ = 1 + g
a : Hệ số động (13.3) 
 σđ = σtKđ (13.4) 
 Ứng suất lớn nhất tại mặt cắt trên cùng của thanh: 
 σđmax = σt,max.Kđ 
với: σt = (γAL + P)/A 
 Điều kiện bền trong trường hợp này là: 
 σđmax ≤ [σ ]k (13.5) 
 Ta thấy có hai trường hợp: 
γ.A.1a/gNđ
γ .A. 1 xγ ,A 
 Pa P
b)
a)
P.a/g
Hình 13.1 
a) Vật chuyển động lên với gia tốc a 
b) Nội lực và ngoại lực tác dụng lên 
 phần thanh đang xét
x
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 3 
 - Khi chuyển động lên nhanh dần đều (gia tốc a cùng chiều chuyển 
động) và chuyển động xuống chậm dần đều (gia tốc a ngược chiều chuyển 
động) hệ số động Kđ > 1, nội lực động lớn hơn nội lực tĩnh. 
 - Ngược lại, khi chuyển động lên chậm dần đều và chuyển động xuống 
nhanh dần đều thì Kđ < 1, nội lực động nhỏ hơn nội lực tĩnh. 
 Dù vậy, khi một vật thể chuyển động như bài toán trên đây, phải tính 
toán thiết kế với Kđ > 1. 
Thí dụ 13.1 Một thanh dài 10m có tiết diện vuông 30 cm x 30 cm và trọng 
lượng riêng γ = 2500 kG/m3, được kéo lên với gia tốc a = 5 m/s2 (H.13.2). 
Xác định đoạn mút thừa b để mômen âm tại gối tựa bằng mômen dương tại 
giữa nhịp. Vẽ biểu đồ mômen, tính ứng suất pháp lớn nhất. 
Hình 13.2 
 a) Thanh được kéo lên với gia tốc a; b) Sơ đồ tính và biểu đồ mômen 
 Khi thanh được kéo lên với gia tốc a, thanh chịu tác dụng của lực quán 
tính, khi đó tải trọng tác dụng lên hệ là tải trọng phân bố đều, gồm có: 
 q = qbt + qqt = γA(1) + γA(1).a/g 
 = 2500(0,3.0,3) + 2500(0,3.0,3).5/10 = 337,5 KG/m 
 Sơ đồ tính của thanh và biểu đồ mômen cho ở H.13.2.b. 
 Để mômen tại gối bằng mômen giữa nhịp, ta có: 
 LbqbbLqqb 206,0
28
)2(
2
222
=⇒−−= 
với b = 0,206L thì mômen lớn nhất là: 
2
2max
222
max,
KG/cm 9,15
30.30
6.100.11,716
KG.m 11,716
2
)10.206,0(5,337
2
)206,0(
2
===σ⇒
====
x
x
x
W
M
LqqbM
L - 2b b
qa2
2
qa2
2
q(L - 2b)2
8
- qa
2
2
b L - 2b b
L
a
Nd
b
qqt = γ.A(1)a/g
qbt = γ.A(1) 
a) b)
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 4 
13.3 VÔ LĂNG QUAY ĐỀU 
 Một vô lăng có bề dày δ, đường kính trung bình D, tiết diện A, trọng 
lượng riêng γ, quay quanh trục với vận tốc góc không đổi ω (H.13.3.a). 
Hình 13.3 a) Tải trọng tác dụng lên vô lăng
 b) Tách vô lăng theo mặt cắt xuyên tâm
qđqđγ,A, δ
ω
y
dϕ
ϕ
x
b)
 D
σđσđ
a)
Với chuyển động quay đều, gia tốc góc ω& = 0, gia tốc tiếp tuyến: 
0
2
== Dat ω& chỉ có gia tốc pháp tuyến hướng tâm là: 2
2 Dan ω= (a) 
 Một đoạn dài đơn vị của vô lăng có khối lượng γA/g chịu tác dụng của 
lực quán tính ly tâm là: 
g
ADa
g
Aq n 2
.
2ωγγ ==đ (b) 
 Để tính nội lực trong vô lăng, dùng mặt cắt tách vô lăng theo mặt cắt 
xuyên tâm, xét cân bằng của một phần (H.13.3.b), do đối xứng, trên mặt cắt 
vô lăng không thể có biến dạng uốn (do mômen), biến dạng trượt (do lực 
cắt) mà chỉ có biến dạng dài do lực dọc, nghĩa là chỉ có ứng suất pháp σđ. 
 Vì bề dày δ bé, có thể xem σđ là phân đều, lực ly tâm tác dụng trên 
chiều dài ds của vô lăng là qđ ds, phân tố ds định vị bởi góc ϕ, lấy tổng hình 
chiếu theo phương đứng, ta có: 
 2σđA = ∫πo dq ds sinϕ 
thay: qđ = γADω2/2g và ds = D dϕ/2 vào, ta được: 
g
wD
d 4
22
γ=σ (13.6) 
 Vì ứng suất trong vô lăng là ứng suất kéo nên điều kiện bền vô lăng: 
 σđ ≤ [σ ]k (13.7) 
Chú ý. Khi tính vô lăng, ta đã bỏ qua ảnh hưởng của các nan hoa nối trục 
và vô lăng, nếu kể đến thì ứng suất kéo trong vô lăng sẽ giảm, độ phức tạp 
trong tính toán tăng lên nhiều, không cần thiết lắm trong tính toán thực 
hành. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 5 
Ví dụ 13.2 Một trục đứng đường kính D = 10 cm, trọng lượng riêng γ = 7850 
kG/m3, mang một khối lượng lệch tâm Q = 20 kG (H.13.4.a), trục quay với 
vận tốc n = 500 vòng/phút. Kiểm tra bền trục, tính chuyển vị tại điểm đặt 
khối lượng. Cho: [σ ] = 1600 kG/cm2; E = 2.106 kG/cm2, a = 0,5m. 
ω
2 KG.m
547,75 KG
20 KG
Q
a
e
a
136,94 KGm
1 KGm
30,8 KG
1 KGm
50,8 KG61,6 KG
Mx,QMx,Qqt Nz
b)
Hình 13.4
a)
Giải. Vận tốc góc: 
 rad/s 33,5260/500)14,3(2
60
2 === nπω 
 Lực quán tính ly tâm Qlt do trọng lượng Q là: 
KG 
N 
68,547
85,54761,0.33,52.20 22
=
===
qt
qt
Q
e
g
QQ ω 
 Bỏ qua ảnh hưởng do tác dụng tĩnh của trọng lượng Q và trọng lượng 
bản thân của trục vì chúng nhỏ so với lực ly tâm Qlt. 
 Mômen do lực ly tâm gây ra là (H.13.4.b): 
 Mxmax = QltL/4 = 547,68(1)/4 = 136,92 kGm 
 Ứng suất lớn nhất của trục: 
 22max,max kG/cm 36,139532/)10(14,3
100.92,136 ===σ
x
x
W
M
 Nếu kể đến trọng lượng bản thân trục và tác dụng tĩnh của Q, tại tiết 
diện giữa trục chịu tác dụng của các nội lực như sau (H.13.4.b) 
 Nz = 50,8 kG (nén); Mx = 135,92 kGm. 
2kG/cm 
75,1395392,0
32/)10(14,3
100.92,136
4/)10(14,3
8,30
22
max,
max
+=
+=+=
x
xz
W
M
A
Nσ
 Trong trường hợp này, trọng lượng bản thân của trục và tác dụng tĩnh 
của Q có thể bỏ qua. 
 Chuyển vị do tác dụng của lực Qlt có thể tính theo công thức sau: 
 cm 0116,0
64/)10(14,3.10.2.48
)100.(75,547
48 46
33
===
xEI
QLy 
13.4 DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 6 
1- Khái niệm 
 Một hệ chuyển động qua lại một vị trí cân bằng xác định nào đó, Ví dụ 
quả lắc đồng hồ, gọi là hệ dao động. Khi hệ chuyển từ vị trí cân bằng này 
sang vị trí cân bằng kế tiếp sau khi đã qua mọi vị trí xác định bởi quy luật 
dao động, ta gọi hệ đã thực hiện một dao động. 
 Chu kỳ là thời gian hệ thực hiện một dao động, ký hiệu là T tính bằng 
giây (s). 
 Tần số là số dao động trong một giây, ký hiệu là f, chính là nghịch đảo 
của chu kỳ, f = 1 / T (1/s). 
 Số dao động trong 2π giây gọi là tần số góc, hay còn gọi là tần số vòng, 
ký hiệu là ω, ta thấy ω = 2π / T (1/s). 
 Bậc tự do là số thông số độc lập xác định vị trí của hệ đối với một hệ 
quy chiếu nào đó. Đối với một hệ dao động như trên H.13.5.a, vị trí của hệ 
xác định bởi độ dịch chuyển (y) theo thời gian (t), hệ quy chiếu sẽ là (t,y). 
 Khi tính một hệ dao động, ta cần đưa về sơ đồ tính. Xác định sơ đồ tính 
của một hệ dựa trên điều kiện phải phù hợp với hệ thực trong mức độ gần 
đúng cho phép. 
 Xét dầm cho trên H.13.5.a, nếu khối lượng dầm không đáng kể, có thể 
xem dầm như một liên kết đàn hồi không khối lượng, vị trí của hệ quyết định 
do vị trí của khối lượng vật nặng, hệ có một bậc tự do, vì chỉ cần biết tung 
độ y(t) của vật nặng là xác định được vị trí của hệ tại mọi thời điểm (t). Với 
hệ ở H.13.5.b, bậc tự do là hai, vì cần phải biết y1(t), y2(t). Đối với trục chịu 
xoắn (H.13.5.c), bậc tự do cũng là hai, vì cần phải biết góc xoắn ϕ1(t), ϕ2(t). 
Hình 13.5 a) Hệ một bậc tự do; b), c) Hệ hai bậc tự do
c)
ϕ1(t)
ϕ2(t)
y(t)a)
y1(t)b) y2(t)
 Khi kể đến khối lượng của dầm trên H.13.5.a, hệ trở thành vô hạn bậc 
tự do, vì phải biết vô số tung độ y(t) tại vô số điểm khối lượng suốt chiều dài 
dầm. Trong trường hợp này, cần chọn sơ đồ tính thích hợp, ví dụ nếu khối 
lượng dầm là nhỏ so với khối lượng vật nặng, có thể coi vật nặng đặt trên 
một liên kết đàn hồi không khối lượng, hệ có một bậc tự do. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 7 
 Nếu không thể bỏ qua khối lượng dầm, 
có thể đưa về hệ hữu hạn bậc tự do, bằng cách 
xem khối lượng dầm gồm N khối lượng mi đặt 
trên N điểm nút của thanh đàn hồi không khối lượng (H.13.6), N càng lớn, 
độ chính xác tính toán càng cao. 
 Một hệ đàn hồi có thể dao động tự do hay dao động cưỡng bức. 
 Dao động cưỡng bức là dao động của hệ khi chịu một tác động biến đổi 
theo thời gian, gọi là lực kích thích, tồn tại trong suốt quá trình hệ dao động 
như dao động của dầm mang một môtơ điện khi nó hoạt động, khối lượng 
lệch tâm của rôto gây ra lực kích thích. 
 Dao động tự do là dao động do bản chất tự nhiên của hệ khi chịu một 
tác động tức thời, không tồn tại trong quá trình hệ dao động như dao động 
của dây đàn. 
2- Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ một bậc tự do 
Hình 13.7 Hệ một bậc tự do chịu dao động cưỡng bức
y(t)
P(t)
M
y
 Xét hệ một bậc tự do chịu tác dụng một lực kích thích thay đổi theo thời 
gian P(t) đặt tại khối lượng M (H.13.7), tại thời điểm (t), độ võng của khối 
lượng M là y(t). Giả thiết lực cản môi trường tỷ lệ bậc nhất với vận tốc 
chuyển động, hệ số tỷ lệ β. 
 Gọi δ là chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị đặt tại đó gây 
ra. Chuyển vị y(t) là kết quả của các tác động: 
- Lực kích thích P(t) gây ra chuyển vị P(t)δ 
- Lực quán tính −M )t(y&& gây ra chuyển vị −M )t(y&& δ 
- Lực cản môi trường −β )t(y& gây ra chuyển vị −β )t(y& δ 
ta được y(t) = P(t)δ + [−My(t)δ ] + [ −βy(t)δ ] (a) 
 M δ )t(y&& + β δ )t(y& + y(t) = P(t). δ (b) (b) 
 Chia hai vế cho Mδ và đặt: 
 21 ;2 ω=δα=
β
MM
 (c) 
phương trình (b) trở thành: 
 )t(y&& + 2α )t(y& + ω2 y(t) = P(t).δ. ω2 (13.8) 
mi
Hình 13.6 Hệ hữu hạn bậc tự do
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 8 
(13.8) là phương trình vi phân dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do. 
3- Dao đôïng tự do 
 Khi không có lực kích thích và lực cản bằng không, hệ dao động tự do, 
phương trình (13.8) trở thành phương trình vi phân của dao động tự do: 
 )t(y&& + ω2 y(t) = 0 (13.9) 
 Tích phân phương trình (13.9), ta được nghiệm tổng quát có dạng: 
 y(t) = C1 cosωt + C2 sinωt (d) 
 Sử dụng giản đồ cộng các vectơ quay (H.13.8), có thể biểu diễn hàm 
(a) dưới dạng: 
 y(t) = A sin(ωt + ϕ) (e) 
 Hàm (e) là hàm sin, chứng tỏ dao động 
tự do là một dao động tuần hoàn, điều hòa. 
Biên độ dao động là A = 2221 CC + , tần số 
góc ω, độ lệch pha ϕ. ω còn gọi là tần số riêng 
được tính theo công thức: 
 ω δM1= (13.10) 
 Gọi P là trọng lượng của khối lượng M, ta có M = P/g, thay vào (13.10), 
ta được: ω δPg= 
 Tích số (P.δ) chính là giá trị chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do 
trọng lượng P của khối lượng dao động M tác dụng tĩnh gây ra, gọi là Δt. 
 Công thức tính tần số của dao động tự do trở thành: 
 ω
t
g
Δ= (13.11) 
 Chu kỳ của dao động tự do: 
tg
T Δ
π=ω
π=
/
22 (13.12) 
4- Dao động tự do có cản 
 Trong (13.8), cho P(t) = 0, ta được phương trình vi phân của dao động 
tự do có cản, hệ một bậc tự do: 
 )t(y&& + 2α )(ty& + ω2 y(t) = 0 (13.13) 
 Nghiệm của (13.13) tùy thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng: 
 K2 + 2αK + ω2 = 0 
 Khi: Δ = α2 – ω2 ≥ 0, phương trình đặc trưng có nghiệm thực: 
Hình 13.8 Giản đồ các vectơ
quay
t
A
y
ϕ
C2 ωt
C1
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 9 
 K1,2 = 22 ω−α±α− 
 Nghiệm tổng quát của (13.13) có dạng: 
 tKtK eCeCty 21 21)( += 
 Ta thấy hàm y(t) không có tính tuần hoàn, do đó hệ không có dao động, 
ta không xét trường hợp này. 
 Khi: Δ = α2 – ω2 < 0, đặt: ω12 = ω2 – α2, phương trình đặc trưng có 
nghiệm ảo: K1,2 = 1ωα i±− 
 Nghiệm tổng quát của (13.13) có dạng: 
 )sin()( 111 ϕωα += − teAty t 
 Hàm y(t) là một hàm sin có tính tuần hoàn, thể hiện một dao động với 
tần số góc ω1, độ lệch pha ϕ1, biên độ dao động là một hàm mũ âm A1e–αt, 
tắt rất nhanh theo thời gian. 
 Tần số dao động ω1 = 22 αω − , nhỏ hơn tần số dao động tự do ω (H ... trạng thái 1, trong dầm tích luỹ 
một thế năng biến dạng đàn hồi U1 được tính như sau: 
 01 2
1 PyU = 
Đặt
P
y0=δ là chuyển vị tại 
điểm va chạm do lực đơn vị 
gây ra. Thế vào biểu thức 
trên ta có: 
 201 2
1 yU δ= 
Ở trạng thái 2, thế năng biến 
dạng đàn hồi U2 trong dầm là: 
y0 
Chuyển vị
y0+yđ 
P 
Lực 
Hình 13.22. Đồ thị tính TNBDĐH 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 ( )δ
2
0
2 2
1 yyU += đ 
Như vậy khi hệ chuyển từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, 
thế năng biến dạng đàn hồi trong dầm được tích luỹ 
thêm một lượng: 
 ( ){ } ( )0đđđ yyyyyyUUU 22121 2202012 +=−+=−= δδ 
 đđ Py
yU += δ2
2
 (d) 
 Thay các biểu thức (b), (c), (d) vào (13.25) ta có: 
 ( ) ( ) đđđ yQPQPg
VQPyy o +++=+
222
2
1
2δ 
 Gọi yt là chuyển vị của 
dầm tại điểm va chạm do 
trọng lượng Q tác dụng tĩnh 
tại đó gây ra như trên 
H.13.23. Thay δQyt = vào 
phương trình trên, ta được: 
 ( ) 0/12
2
2 =+−− QPg
Vyyyy otđtđ (e) 
 Nghiệm của phương trình bậc hai (e) là: 
)1(
2
2
Q
Pg
Vyyyy ottt
+
+±=d 
Vì yđ > 0, nên chỉ chọn nghiệm dương của (e), tức là: 
 t
t
o
t
ot
ttd yK
Q
Pgy
Vy
Q
Pg
Vyyyy đ=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
++=
+
++=
)1(
11
)1(
22
2 (13.26) 
Do đó hệ số động được tính bởi: 
Hình 13.23. Sơ đồ tính chuyển vị yt 
Q 
yt
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
)1(
11
2
0
Q
Pgy
VK
t
d
+
++= (13.27) 
Khi vật Q rơi tự do từ độ cao H xuống dầm, tức là 
gHVo 2= , thay vào (13.27): 
)1(
211
Q
Py
HK
t
d
+
++= (13.28) 
 Khi tại điểm va chạm không có trọng lượng đặt sẵn 
P = 0, hệ số động tăng lên: 
t
d y
HK 211 ++= (1
 Khi P = 0, H = 0, nghĩa là trọng lượng Q đặt đột ngột 
lên dầm: 
 Kđ = 2 (1
 Theo (13.29), khi yt càng lớn, nghĩa là độ cứng của 
thanh càng nhỏ, thì Kđ càng nhỏ, do đó sự va chạm 
càng ít nguy hiểm. 
 Để đảm bảo điều kiện bền, người ta có thể làm tăng 
yt bằng cách đặt tại điểm chịu va chạm những vật thể 
mềm như lò xo hay tấm đệm cao su... 
 Khi đã tính được Kđ, có thể tính đại lượng S khác 
trong hệ tương tự như chuyển vị, nghĩa là: 
 PQttp SSKS += đ (13.31) 
 QtS là đại lượng cần tính (nội lực, ứng suất) do Q coi 
như đặt tĩnh lên hệ tại mặt cắt va chạm gây ra. 
 PtS là đại lượng cần tính (nội lực, ứng suất) do các 
tải trọng hoàn toàn tĩnh đặt lên hệ gây ra. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Điều kiện bền: σđ,max ≤ [σ] 
Chú ý: 
 Nếu chọn mốc thế năng bằng không ở vị trí dầm 
không biến dạng, thì cơ năng ban đầu của hệ chính là 
thế năng: 
 QH=π 
 Ngay sau khi va chạm, P và Q cùng chuyển động 
xuống dưới với vận tốc V thì cơ năng của hệ chính là 
động năng: 
 ( ) ( ) π<+=+=
+= QH
QP
QV
QPg
QV
g
QPT o
2
2
2
2
1
2
1 
Như vậy đã có sự mất mát năng lượng tương ứng với giả 
thiết va chạm mềm tuyệt đối của 2 vật thể; năng lượng 
này làm cho 2 vật thể biến dạng hoàn toàn dẻo, áp sát 
vào nhau và chuyển động cùng vận tốc về phía dưới. 
2- Va chạm ngang 
 Xét một dầm mang vật nặng P. 
Vật nặng Q chuyển động ngang với 
vận tốc V0 va chạm vào vật nặng P 
như trên H.13.24. Trọng lượng bản 
thân của dầm được bỏ qua. Giả 
thiết khi vật Q va chạm P cả hai vật cùng chuyển động 
ngang và đạt chuyển vị lớn nhất yđ. 
 Lập luận như trường hợp va chạm đứng, ta cũng có: 
Hình 13.24. Hệ một bậc tự do chịu va chạm ngang 
Vo P 
Q yđ
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Vận tốc của hai vật P, Q cùng chuyển động ngay 
sau khi va chạm là: 
 oVQP
QV += 
 Độ giảm động năng trong hệ: ( ) 2
2
2
1
oVQPg
QT += 
 Vì hai vật chuyển động theo phương ngang, nên 
không có sự thay đổi thế năng, tức là: 
 π = 0 
 Thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong hệ là: 
 δ2
2
đyU = 
 Nguyên lý bảo toàn năng lượng, T+π = U, ta được 
phương trình sau: 
 ( ) δ22
1 222 đyV
QPg
Q
o =+ 
Lấy giá trị nghiệm dương của yđ, ta được: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
Q
Pg
QVy o
1
2δ
đ (13.32) 
 Ta lại có 
Q
yt=δ , với yt là chuyển vị ngang của dầm 
tại điểm va chạm do trọng lượng Q tác dụng tĩnh nằm 
ngang tại đó. Thay vào phương trình (13.32) như sau: 
 đđ Ky
Q
Pgy
Vyy t
t
o
t =
+
=
)1(
 (13.33) 
 Hệ số động: 
)1(
Q
Pgy
VK
t
o
+
=đ (13.34) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Khi không đặt sẵn trọng lượng chịu va chạm, tức P 
= 0, hệ số động là: 
t
o
gy
VK =đ (13.35) 
 Khi đó, nội lực, ứng suất cũng được tính như sau: 
 Mđ = Mt.Kđ 
 σđ = σt.Kđ 
 ............... (
Điều kiện bền: ][max, σσ ≤đ 
Ví dụ 13.5 Một dầm 
công xon tiết diện chữ 
nhật (20 × 40) cm chịu va 
chạm đứng bởi một trọng 
lượng Q = 1 kN rơi tự do từ 
độ cao H = 0,5 m 
(H.13.25.a). Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm, tính ứng 
suất và độ võng lớn nhất của dầm. Nếu kể đến trọng 
lượng bản thân dầm q, tính lại ứng suất và độ võng. Nếu 
đặt tiết diện dầm như (H.13.25.b), tính lại ứng suất và 
độï võng. Cho: E = 0,7.103 kN/cm2; q = 0,64 kN/m. 
 Giải. Ứng suất động: 
 dQtd K,σσ = 
với: 
t
d y
HK 211 ++= 
 Không kể trọng lượng bản thân dầm, ta có: 
 cm 0357,0
12
40.20)10.7,0(3
)200(1
3 33
33
===
x
t EI
QLy 
Hình 13.25 Dầm công xon chịu va chạm
Q = 1 kN
H = 0,5 m
L = 2 m b)a)
Mx,Q
Q.L
Mx,q
Q.L2
2
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Hệ số động : 93,53
0357,0
)50(211 =++=dK 
 Ứng suất lớn nhất tại ngàm (H.13.25): 
2kN/cm 02,2)93,53(
6/40.20
)200(1
.
2
max,
max,,max,
==
=== d
x
d
x
x
dQtd KW
LQK
W
M
Kσσ
 Độ võng lớn nhất tại đầu tự do: 
 cmKyy dQt 92,1)93,53(0357,0max,,max === 
 Khi kể đến trọng lượng bản thân, có thể dùng 
phương pháp thu gọn khối lượng, khi đó coi như dầm 
không trọng lượng và tại đầu tự do có một trọng lượng là 
(33/140)qL = 0,3 kN (qL là trọng lượng dầm). 
 Hệ số động sẽ là: 
 43,47
)
1
3,01(0357,0
)50(211
)1(
211 =
+
++=
+
++=
Q
Py
HK
t
d 
 Ứng suất do va chạm là: 
 2kN/cm 78,143,47.
6/40.20
)200(1
2,max, === dQtd Kσσ 
 Kể thêm ứng suất do trọng lượng dầm: 
 2kN/cm 024,0
6/40.20
100.2.64,02/
2
22
max,,
max, ====
xx
qt
d W
qL
W
Mσ 
 Ứng suất lớn nhất trong dầm là: 
 σmax = 1,78 + 0,024 = 1,804 kN/cm2 
 Khi kể đến trọng lượng dầm, ứng suất lớn nhất 
giảm. 
 Độ võng tại đầu tự do 
 Độ võng do trọng lượng bản thân: 
 cm 017,0
12
40.20).10.7,0(8
)200(10.64,0
8 33
424
===
−
x
t EI
qLy 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Độ võng khi có va chạm: 
 cm71,1017,043,47.0357,0,max,,max, =+=+= qtdQtd yKyy 
 Nếu đặt tiết diện dầm như (H.13.25.b), ta được: 
 • Không kể trọng lượng dầm: 
 cm 143,0
12
20.40).10.7,0(3
)200.(1
3 33
33
===
x
t EI
QLy 
 Hệ số động : 46,27
143,0
)50(211 =++=dK 
 Ứng suất lớn nhất tại ngàm : 
2kN/cm 06,2)46,27(
6/20.40
)200.(1
2
max,
max,,max,
==
=== d
x
d
x
x
dQtd KW
QLK
W
M
Kσσ
 Độ võng tại đầu tự do: cm93,3)46,27.(143,0 ==ty 
 • Kể đến trọng lượng bản thân, ta dùng phương 
pháp thu gọn khối lượng, khi đó coi như dầm không 
trọng lượng và tại đầu tự do có một trọng lượng là 
(33/140)qL = 0,3 kN (qL là trọng lượng dầm). 
 Hệ số động sẽ là: 
 21,24
)
1
3,01(143,0
)50(211
)1(
211 =
+
++=
+
++=
Q
Py
HK
t
d 
 Ứng suất do va chạm là: 
 2kN/cm 816,121,24.
6/20.40
)200(1
2,max, === dQtd Kσσ 
 Kể thêm ứng suất do trọng lượng dầm: 
 2kN/cm 096,0
6/20.40
100.2.64,02/
2
22
max,,
max, ====
xx
qt
d W
qL
W
Mσ 
 Ứng suất lớn nhất trong dầm là: 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 σmax = 1,816 + 0,096 = 1,912 kN/cm2 
 Khi kể đến trọng lượng dầm, ứng suất lớn nhất 
giảm. 
 Độ võng tại đầu tự do: 
 cm48,3017,0)21,24.(143,0 =+=ty 
Ví dụ 13.6 Dầm ABC tiết diện I-24 chịu va chạm đứng 
bởi một trọng lượng Q = 2 kN rơi tự do từ độ cao H = 
50 cm (H.13.26.a), bỏ qua trọng lượng bản thân dầm, 
tính σmax; kiểm tra bền. Cho: I-24 có: Ix = 3460 cm4, Wx 
= 289 cm3, q = 0,273 kN/m; [σ] = 16 kN/cm2. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 b) và c) Hệ chịu va chạm có lò xo; d) Dầm chịu trọng lượng bản thân
c)
 d)
qL2/8
A
B
A
B
q
Q = 2 kN
QL/2
Q = 2 kN
H = 50 cm
H = 50 cm
A
I-24
C
C
C Clx = 5 kN/m
B
L/2
a)
L = 6 m
b)
A
B
A
B
 Bây giờ, đặt một lò xo có Clx = 5 kN/m tại C để đỡ 
vật va chạm Q (H.13.24.b), tính lại hệ số động và σmax; 
xét lại điều kiện bền. Nếu không đặt ở C mà thay lò xo 
vào gối tựa tại B (H.13.26.c), hệ số động là bao nhiêu? 
 Cho: E = 2.104 kN/cm2; [σ] = 16 kN/cm2. 
Giải. Không kể trọng lượng bản thân dầm. 
 Chuyển vị do Q tác dụng tĩnh tại C là: 
 cm 39,0
3460).10.2(8
)600.(1
8 4
33
===
x
t EI
QLy 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 Hệ số động: 
 04,17
39,0
)50(211 =++=dK 
 Ứng suất lớn nhất tại B (H.13.21): 
[ ] 22 kN/cm kN/cm 1669,17)04,17(
289.2
)600.(1
.2
.
max,
max,
max,,max,
=>==
===
σσ
σσ
d
d
x
d
x
x
dQtd KW
LQK
W
M
K
 Dầm không bền. 
 Chuyển vị tại C: yC = 0,39(17,04) = 6,64 cm 
 Xét trường hợp có lò xo đặt ngay tại điểm va chạm. 
 Chuyển vị do Q tác dụng tĩnh tại C là: 
 cm 59,02,039,0
5
1
3460).10.2(8
)600.(1
8 4
33
=+=+=+=
lxx
t C
Q
EI
QLy 
 Hệ số động : 
 06,14
59,0
)50(211 =++=dK 
 Ứng suất lớn nhất tại B (H.13.24): 
 2kN/cm 6.1406,14
289
)300.(1
max,,max, === dQtd Kσσ 
 σđmax < [σ] = 16 kN/cm2 
dầm thỏa điều kiện bền. 
 Chuyển vị của dầm tại C: yC = 0,39(14,06) = 5,48 
cm 
giảm so với trường hợp trên. 
 Xét trường hợp có lò xo đặt tại gối B. 
 Bây giờ, chuyển vị do Q tác dụng tĩnh tại C là: 
 cm 69,03,039,0
5
1
2
3
3460).10.2(8
)600.(1)2/3(
2
3
8 4
33
=+=+=+=
lxx
t C
Q
EI
QLy 
 Hệ số động: 08,13
69,0
)50(211 =++=dK 
 Ứng suất lớn nhất tại B (H.10.21): 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 2kN/cm 57,1308,13
289
)300.(1
max,,max, === dQtd Kσσ 
 Chuyển vị tại C: yC = 0,69(13,08) = 9,02 cm 
 Trong trường hợp này, ứng suất giảm nhưng chuyển 
vị tăng so với khi đặt lò xo ở đầu tự do. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 13 
13.1 Một vật nặng P được nâng lên cao với bằng hệ 
thống ròng rọc đơn giản như trên H.13.24.a. Nếu 
kéo dây cáp với gia tốc đều a, tính lực căng trên dây 
cáp. Nếu dùng hệ thống ba cặïp ròng rọc và cũng 
kéo dây với gia tốc a thì lực căng là bao nhiêu? 
Hình 13.25
P
a)
P
b)
P = 2kN
A = 5 m/s2
A
B C
D
Hình 13.26
450
13.2 Một kết cấu nâng vật nặng P chuyển động lên với 
gia tốc a (H.13.26). Tính nội lực phát sinh trong các 
thanh AB, BC và CD. 
13.3 Một trụ AB có chiều cao H, diện tích mặt cắt 
ngang là F, môđun chống uốn W, trọng lượng riêng 
là γ mang một vật nặng P. Trụ được gắn chặt vào 
một bệ vận chuyển theo phương ngang với gia tốc a 
(H.13.27). 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
 M2
Hình 13.29
a
a/2
a/2
A
B
C
D
P
Xem trụ bị ngàm tại tiết diện A vào bệ, xác định ứng 
suất pháp σmax, σmin tại mặt cắt nguy hiểm của trụ. 
Hình 13.27
A
H
P
F, W, γ
A
B
a
2 m 2 m4 m
F = 1 cm2
a = 2 m/s2
F = 1 cm2
Hình 13.28 
13.4 Xác định ứng suất pháp lớn nhất trong dây cáp và 
trong dầm I-24 do tác dụng đồng thời của trọng lực 
và lực quán tính khi hệ được kéo lên với gia tốc a 
(H.13.28). 
13.5 Một trục tiết diện tròn AB đường kính D mang một 
thanh CD tiết diện chữ nhật b.h, đầu thanh CD có 
một vật nặng trọng lượng P, hệ quay quanh trục AB 
với vận tốc n = 210 vg/ph (H.13.29). Tính ứng suất 
lớn nhất trong thanh CD và trục AB. 
 Cho: a = 1 m; D = 4 cm; h = 2b = 6 cm; P = 0,1 kN. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
Bỏ qua trọng lượng bản thân của hệ. 
13.6 Tính tần số góc và chu kỳ dao động của các hệ vẽ 
trên H.13.30, C1 và C2 là độ cứng của lò xo. 
Hình 13.30
C1
C2
C1 C2
a) c) d) e)
C1
C2
C1 C2
C1
C1
C2
Q
b)
Q 
Q Q 
Q 
13.7 Một dầm đơn giản mặt cắt hình chữ I số 40 dài 8 
m mang một trọng lượng 20 kN ở giữa nhịp. Tính tần 
số riêng ω của hệ khi có kể và khi không kể đến 
trọng lượng dầm. 
13.8 Một dầm thép I24 mang một môtơ nặng 2 kN tốc 
độ 200 vg/ph, lực quán tính do khối lượng lệch tâm 
là 0,2 kN (H.13.31). Bỏ qua trọng lượng bản thân 
của dầm và lò xo, xác định ứng suất động lớn nhất 
trong dầm trong các trường hợp sau: 
a) Dầm I24 đặt theo 
phương đứng (I) 
b) Dầm I24 đặt theo 
phương ngang ( ). 
13.9 Giả sử hai gối tựa 
lò xo trên dầm ở 
c =1,5 kN/cm
n = 200vg/ph
Q = 2 kN
Qo = 0,2 kN 
2 m
Hình 13.31
2 m 
c = 1,5 kN/cm 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
H.13.31 được thay bằng gối tựa cứng và đặt hai lò 
xo dưới đế môtơ như ở H.13.32. Tính lại ứng suất và 
độ võng lớn nhất trong dầm theo cả hai trường hợp 
như trên. Cho: E = 2.104 kN/cm2. 
n = 200 vg/ph
Q = 2 kN
Qo = 0,2 kN
 2 m
Hình 13.32
 2 m
c = 1,5 kN/cm
13.10 Một dầm gỗ tiết diện chữ nhật b.h, có đầu mút 
thừa gắn một ròng rọc để đưa một thùng trọng lượng 
Q chứa vật nặng P lên cao. (H.13.33). Hãy xét hai 
trường hợp: 
a) Vật nặng P được treo trong thùng và thùng được 
kéo lên với gia tốc a = 2 m/s2. Bỏ qua trọng lượng 
dầm, dây và ròng rọc, tính ứng suất lớn nhất của 
dầm. Cho: P = 0,5 kN; Q = 1 kN; L = 4 m. 
b) Trong quá trình dịch chuyển với gia tốc a = 2 m/s2 
vật nặng P bị rơi xuống đáy thùng. Tính lại ứng suất 
của dầm. Cho: H = 0,4 m. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
13.11 Một trọng lượng P = 0,5 kN rơi từ một độ cao H = 
10 cm xuống đầu C của một dầm tiết diện chữ nhật 
b × h = 20 × 40 cm2, dài L = 4 m (H.13.34.a). Tính 
ứng suất và độ võng lớn nhất của dầm 
Nếu thay gối tựa B bằng một lò xo có đường kính D 
= 100 mm, đường kính sợi thép d = 10 mm, số vòng 
làm việc n = 10 (H.13.34.b). Tính ứng suất và độ 
võng lớn nhất của dầm. 
Cho: Edầm = 2.104 kN/cm2, Gloxo = 8.103 kN/cm2. 
Hình 13.34
L/2
b)
b.h
A B C
H
P
L L/2
a)
b.h
A B C
H
P
L 
13.12 Xác định ứng suất của dầm khi vật bị va chạm 
ngang (H.13.35). Cho: a = 2 m; b.h = 20 × 40 cm2. 
Thanh DB tuyệt đối cứng. 
H = 0,4 m
300
L L/2
P
Q
Hình 13.33
b.h
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 13: Tải trọng động 
Hình 13.35
b.h
A B C
Q = 0,1 kN
V = 5 m/s
a
a2a
D