Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời

 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 1 
Chương 12 
UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 
12.1 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN 
 Xét một thanh chịu uốn bởi tác động đồng thời của lực ngang R và 
lực nén dọc P như trên H.12.1. Nếu chuyển vị là đáng kể thì cần phải xét 
cân bằng của thanh trên sơ đồ biến dạng và mômen nội lực sẽ bao gồm 
ảnh hưởng của lực R và P: 
 M(z) = MR + MP = MR + Py(z) (12.1) 
trong đó: MR - mômen uốn do riêng tải trọng ngang gây ra 
 Py(z) - mômen uốn do lực dọc gây ra. 
R
P z 
y(z) 
Hình 12.1 Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 
 Bài toán như vậy được gọi là uốn ngang và uốn dọc đồng thời. 
 Đặc điểm của bài toán: 
 - Mômen M(z) phụ thuộc vào độ võng y(z) 
 - Mômen M(z) phụ thuộc phi tuyến vào lực P vì độ võng y(z) cũng phụ 
thuộc vào P. Vì vậy, nguyên lý cộng tác dụng không áp dụng được cho loại 
bài toán này. 
12.2 PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC 
 Để tìm được mômen uốn, trước hết cần thiết lập phương trình vi phân 
đường đàn hồi của dầm chịu lực nén P và tải trọng ngang. 
P P
q(z)
y(z)
q(z)
O
α
dz
P
Q + dQ
M + dMP
M
Q
Hình 12.2 Thanh chịu uốn nén 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 2 
 Xét cân bằng trên sơ đồ biến dạng của phân tố thanh dz như trên 
H.12.2 
 0:0 =α−−−+=∑ tgPdzQdzMdMMMo 
chú ý rằng : 
dz
dytg =α 
ta có: Q
dz
dyP
dz
dM =− (12.2) 
lấy đạo hàm hai vế của (12.2), chú ý rằng )(zq
dz
dQ −= , ta có phương trình: 
 )(2
2
2
2
zq
dz
ydP
dz
Md −=− (12.3) 
thế "EIyM −= (*) vào (12.3) ta thu được: 
 )(" zqPyEIyIV =+ (12.4) 
 Đây là phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm chịu nén uốn. 
Nếu biết tải trọng tác dụng và các điều kiện biên thì có thể giải (12.4) để 
tìm đường đàn hồi, từ đó suy ra mômen uốn theo phương trình (*). Trong 
thực tế, thường có nhiều quy luật tải trọng khác nhau trên chiều dài thanh 
nên việc giải phương trình (12.4) rất phức tạp. Vì vậy, người ta thường áp 
dụng phương pháp gần đúng dưới đây. 
12.3 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG 
 Xét dầm đơn giản chịu tải trọng đối xứng như H.12.3. 
q
f0
a)
q
f
b)
P
ll
Hình 12.3 Đường đàn hồi đối xứng 
 Sơ đồ (a) chỉ chịu tải trọng ngang, với độ võng giữa nhịp fo. 
 Sơ đồ (b) chịu đồng thời tải trọng ngang và tải trọng dọc, có độ võng 
giữa nhịp f. 
 Giả thiết đường đàn hồi có dạng hình sine (giống dạng mất ổn định), ta 
có phương trình đường đàn hồi trong hai trường hợp như sau: 
l
zfy oo
π= sin ; 
l
zfy π= sin 
 Dạng phương trình này thỏa điều kiện biên 0" == yy tại hai khớp. 
Mômen uốn nội lực tương ứng như sau: 
 oooo ylEIl
zf
l
EIEIyM 2
2
2
2
" sin π=ππ=−= 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 3 
 y
l
EI
l
zf
l
EIEIyM 2
2
2
2
" sin π=ππ=−= 
 Thế các kết quả này vào phương trình (12.1) ta có: 
 Pyy
l
EIy
l
EI o +π=π 2
2
2
2
 (12.5) 
từ đó suy ra: 
2
2
/1
)()(
l
EIP
zyzy o π−
= 
hay: 
th
o
P
P
zyzy
−
=
1
)()( (12.6) 
với: 2
2
l
EIPth
π= là lực tới hạn của thanh khi mất ổn định trong mặt phẳng 
uốn. 
đạo hàm hai vế của (12.6) và nhân với –EI ta có: 
thP
P
zEIyzEIy
−
−=−
1
)()(
"
0" 
hay: 
th
o
P
P
MzM
−
=
1
)( (12.7) 
Chú ý: - Nếu tải không đối xứng nhưng cùng hướng về một phía thì các 
công thức trên kém chính xác hơn nhưng vẫn dùng được. 
 - Nếu thanh có liên kết hai đầu khác thì vẫn dùng được các công thức 
(12.6), (12.7) nhưng cần xét tới hệ số liên kết μ trong công thức Pth: 
 2
2
)( l
EIPth μ
π= (12.8) 
12.4 ỨNG SUẤT VÀ KIỂM TRA BỀN 
 Ứng suất lớn nhất được tính theo công thức: 
)1(
max
th
o
P
PW
M
A
P
W
M
A
P
−
+=+=σ (12.9) 
 Vì ứng suất phụ thuộc phi tuyến vào tải trọng nên kiểm tra bền theo 
ứng suất cho phép không đảm bảo an toàn theo hệ số n dự kiến. Trong 
trường hợp này, người ta dùng điều kiện an toàn theo tải trọng như sau: 
 o
th
o
P
nPW
nM
A
nP σ≤
−
+
)1(
 (12.10) 
Ví dụ 12.1 Tìm mômen uốn và độ võng lớn nhất của dầm thép chữ INo36 
chịu lực như trên H.12.4. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 4 
x
q = 2 kN/m
S = 120 kN
4m
y
Hình 12.4 
Giải. Sử dụng bảng tra thép định hình, tương ứng với số hiệu INo36 và các 
ký hiệu trên hình trên, ta có: 
A = 61,9 cm2; Ix = 516 cm4; Iy = 13380 cm4; E = 2,1.104 kN/cm2 
 Trị số lớn nhất của mômen uốn, độ võng do tải trọng ngang gây ra tại 
giữa nhịp: kNmqlMo 48
4.2
8
22
=== 
 cm
EI
qly
x
o 615,0516.10.1,2
400.10.2.
384
5.
384
5
4
424
===
−
 Trị số lực tới hạn: 
 ( ) ( ) kNl
EIP xth 668400.1
516.10.1,2.
2
42
2
2
=π=μ
π= 
 Độ võng của dầm, theo công thức gần đúng: 
 cm
P
S
yy
th
o 75,0
668
1201
615,0
1
=
−
=
−
= , tăng 22% so với oy 
 Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần đúng thứ nhất: 
 kNmSyMM o 9,4075,0.1204 =+=+= 
 Mômen uốn lớn nhất, theo công thức gần đúng thứ hai: 
 kNm
P
S
MM
th
o 87,4
668
1201
4
1
=
−
=
−
= sai số 0,5% so với công thức gần đúng thứ 
nhất. 
 Giá trị mômen trong trường hợp uốn ngang và dọc tăng 22,5% so với 
mômen chỉ do lực ngang gây ra, tức là thiên về an toàn hơn. 
12.5 THANH CÓ ĐỘ CONG BAN ĐẦU 
1- Ảnh hưởng của độ cong ban đầu 
 Xét thanh có độ cong ban đầu, chịu lực nén P như trên H.12.5. Giả sử 
đường cong ban đầu có dạng: 
l
zayo
π= sin (12.11) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 5 
P z
yo
y1
a
y l/2l/2
Hình 12.5 Thanh có độ cong ban đầu 
 Do tác dụng của lực P, thanh bị võng thêm có phương trình y1(z). Độ 
võng toàn phần: y = yo + y1 
 (12.12) 
 Mômen uốn do lực P gây ra: 
 )( 1yyPPyM o +== (12.13) 
 Phương trình vi phân độ võng thêm: 
 )( 1''1 yyPMEIy o +−=−= (12.14) 
thế (12.11) vào (12.14) và đặt: 
EI
P=α2 ta có: 
l
zayy πα−=α+ sin212''1 (12.15) 
 Nghiệm của phương trình này có dạng: 
l
za
l
zBzAy π
−α
π+α+α= sin1
1cossin
22
21 (12.16) 
 Các điều kiện biên: 
00)(
00)0(
1
1
=⇒=
=⇒=
Aly
By 
 Do đó: 
l
za
l
EI
P
l
za
l
y π
−π
=π
−α
π= sin1
1sin
1
1
2
2
22
21 
hay: 
l
za
k
ky π−= sin11 (12.17) 
với: 
2
2
l
EI
P
P
Pk
th π
== (12.18) 
Độ võng toàn phần:
l
z
k
a
l
za
k
kayyy o
π
−=
π
−+=+= sin1sin)1(1 
hay: 
th
o
P
P
yy
−
=
1
 (12.19) 
 Mômen lớn nhất giữa nhịp: 
thP
P
PaPyM
−
==
1
maxmax (12.20) 
 Nếu đường cong ban đầu có dạng bất kỳ thì có thể phân tích thành 
chuỗi Fourier như sau: ...2sinsin 21 +π+π= l
za
l
zayo (12.21) 
thế (12.13) vào (12.21) và giải ra 1y ta có: 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 6 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π−+
π
−= ...
2sin
2
sin
1 2
21
1 l
z
k
a
l
z
k
aky (12.22) 
vì: 1<=
thP
Pk nên khi P đủ lớn thì số hạng đầu trội hẳn và chỉ cần xét số 
hạng này. 
2- Xác định lực tới hạn bằng thực nghiệm thanh liên kết khớp hai 
đầu 
 Xét thanh chịu nén như trên H.12.6, trong thực tế thanh luôn có độ 
cong ban đầu. 
P
a1 δ
Hình 12.6
Thanh có độ cong ban đầu chịu nén
a1
δ
α
tanα = Pth
Hình 12.7
 Cách xác định lực tới hạn
p
δ
 Khi lực P đủ lớn thì dù thanh bị cong ban đầu thế nào, ta vẫn có quan 
hệ giữa δ và 1a theo (12.17): 
11
1
1
−
=−=δ
P
P
aa
k
k
th
hay: 1)( aPPth −
δ=δ 
 Đây là phương trình bậc nhất của hai biến δ và P/δ nên có đồ thị là 
một đường thẳng như trên H.12.7. 
 Khi thí nghiệm, ứng với mỗi giá trị lực nén iP , ta đo được chuyển vị iδ 
và tính được ii P/δ , từ đó lập bảng kết quả thí nghiệm có dạng: 
P P1 P2  Pn 
δ 1δ 2δ  nδ 
P/δ 11 /Pδ 22 /Pδ  nn P/δ 
 Từ đó xác định các điểm trên hệ trục δδ −P và vẽ được đồ thị như trên 
H.12.7. Ta thường dùng phương pháp bình phương cực tiểu để xác định thP 
và độ võng ban đầu lớn nhất 1a . 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 7 
12.6 CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM 
 Xét cột mảnh chịu nén lệch tâm bởi lực P như trên H.12.8. 
l
zayo
π= sin (12.11) 
 Do tác dụng của lực P, cột bị cong và có phương trình y(z). 
 Mômen uốn tại một tiết diện do lực P gây ra: 
 )()}({ zPyPezyePM +=+= (12.23) 
trong đó: e - là độ lệch tâm ban đầu; y - là độ võng của trục cột. 
 Phương trình vi phân đường đàn hồi như sau: 
EI
Mzy −=)('' (12.24) 
 Thế (12.23) vào (12.24) và đặt 
EI
P=α2 ta 
được: 
 eyy 22" α−=α+ (12.25) 
 Nghiệm tổng quát của phương trình này là 
tổng của nghiệm thuần nhất và nghiệm riêng: 
 ezBzAy −α+α= cossin (12.26) 
trong đó: A và B - là các hằng số của nghiệm 
thuần nhất; e - là nghiệm riêng. 
 Các điều kiện biên: 
 eBy =⇒= 0)0( 
2
tan
sin
)cos1(0)( le
l
leAly α=α
α−=⇒= 
 Phương trình đường đàn hồi trở thành: 
 )1cossin
2
(tan −α+αα= zzley (12.27) 
 Độ võng lớn nhất tại giữa nhịp, tức 
2
lz = là: 
 )1
2
cos
1(max −α==δ ley (12.29) 
 (12.28) 
 Nếu e = 0 hoặc P = 0 thì 0=δ . 
P
y
l
z
P
y(z)
e
e
Hình 12.8 Cột có độ cong ban đầu
δ
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 8 
 Đồ thị quan hệ giữa P - δ được cho trong H.12.9. Đồ thị này chỉ có ý 
nghĩa khi vật liệu còn đàn hồi, tức là δ còn nhỏ và P < Pth. 
Pth
P
δ
e = 0
e = e1
e = e2
e2 > e1
Hình 12.9 Đồ thị quan hệ giữa P - δ 
 Mômen uốn lớn nhất tại giữa nhịp được tính: 
2
cos
1)( maxmax l
EI
P
PeyePM =+= (12.30) 
 Quan hệ maxM - P cho bởi H.12.10. Khi P nhỏ thì PeM ≈max , nhưng khi P 
lớn thì maxM tăng rất nhanh. 
 Từ các đồ thị này ta thấy quan hệ P - δ và maxM - P phi tuyến. 
 Trong thực tế, tính cột mảnh chịu nén lệch tâm cần thiết phải xét đặc 
điểm phi tuyến này để đảm bảo an toàn. 
P th
Mmax
P
Hình 12.10 Quan hệ giữa Mmax - P
Pe
 Ứng suất cực đại trong thanh: 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+=+=σ
2
cos
11 2
max
max l
EI
Pr
ec
A
P
I
cM
A
P (12.31) 
với: A - diện tích tiết diện thanh; r - bán kính quán tính 
 c - khoảng cách từ trục trung tâm đến mép xa nhất của tiết diện. 
 Vì ứng suất phụ thuộc phi tuyến vào tải trọng nên kiểm tra bền theo 
ứng suất cho phép không đảm bảo an toàn theo hệ số n dự kiến. Trong 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 12: Uốn ngang và uốn dọc đồng thời 9 
trường hợp này, người ta dùng điều kiện an toàn theo tải trọng như phương 
trình (12.10). 
BÀI TẬP CHƯƠNG 12 
12.1 Tính ứng suất nén lớn nhất theo phương pháp gần đúng của dầm chịu 
uốn ngang và uốn dọc đồng thời cho trên H.12.11. 
a)
100
2 m2 m
q = 200 N/m
P = 4 kN
4 m
1
E = 103 kN/cm2
100
1
1 - 1
2 m2 m
q = 3 kN/m
P = 257 kN
4 m
1
Po = 5 kN
1
1 – 1
2C No20
b)
Hình 12.11 
12.2 Cho dầm chịu lực như trên H.12.9. Hãy tính ứng suất pháp lớn nhất và 
hệ số an toàn n nếu [σ] = 24 kN/cm2 . Tính độ võng lớn nhất. 
q = 0,5 kN/m
2 m
P = 4 kN
E = 103 kN/cm2
b)
10 cm
10 cm
P1 = 1 kN20 cm
P = 8 kN40 cm
E = 2 x 104 kN/cm2
1 m1 m
a) 
Hình 12.12 
12.3 Tính cường độ tải trọng cho phép tác dụng lên 
dầm AB như trên H.12.10, biết hệ số an toàn về 
độ bền n = 1,6. Dầm AB bằng thép số 3 có mặt 
cắt hình ống với đường kính trong d = 6 cm và 
đường kính ngoài D = 10 cm, vật liệu có [σ] = 24 
kN/cm2, khi tính bỏ qua trọng lượng của dầm. 
 Kiểm tra ổn định của dầm nếu lấy kođ = 2. Cho E = 2.104 kN/cm2. 
5 m
60o
q
A B
Hình 12.13