Giáo trình Sức bền vật liệu - Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp

 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 1 
Chương 10 
THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 
10.1 KHÁI NIỆM 
 ♦ Định nghĩa 
 Thanh chịu lực phức tạp khi trên các mặt 
cắt ngang có tác dụng đồng thời của nhiều 
thành phần nội lực như lực dọc Nz, mômen uốn 
Mx, My, mômen xoắn Mz (H.10.1). 
 Khi một thanh chịu lực phức tạp, ảnh 
hưởng của lực cắt đến sự chịu lực của thanh 
rất nhỏ so với các thành phần nội lực khác nên 
trong tính toán không xét đến lực cắt. 
 2- Cách tính toán thanh chịu lực phức tạp 
 Aùp dụng Nguyên lý cộng tác dụng 
 Nguyên lý cộng tác dụng: Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng 
thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đó do tác động của các nguyên nhân 
riêng lẽ ( Chương 1) 
10.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN 
1- Định nghĩa – Nội lực 
 Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt 
ngang chỉ có hai thành phần nội lực là mômen 
uốn Mx và mômen uốn My tác dụng trong các 
mặt phẳng yoz và xoz (H.10.2). 
 Dấu của Mx , My : 
Mx > 0 khi căng thớ y > 0 
My > 0 khi căng thớ x > 0 
 Theo Cơ học lý thuyết, ta có thể biểu 
diễn mômen Mx và My bằng các véc tơ 
mômen Mx và My (H.10.3); Hợp hai mômen 
này là mômen tổng Mu . Mu nằm trong mặt 
phẳng voz, mặt phẳng này thẳng góc với 
trục u (chứa véc tơ mômen Mu) và chứa 
trục thanh (H.10.3). 
H.10.1 
Mx
My 
Mz 
z
x
y 
O 
Nz
H.10.2 
Mx
My 
z
x
y 
O 
v 
x
zO 
Mu 
y 
H.10.3 Mômen tổng 
và mặt phẳng tải trọng 
u
 mặt phẳng tải trọng 
Mx 
My 
Mu 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 2 
Mặt phẳng tải trọng là mặt phẳng chứa Mu. 
Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang là Đường tải trọng 
(trục v ) 
Ký hiệu α : Góc hợp bởi trục x và đường tải trọng; Ta có 
 22 yxu MMM += (10.1) 
y
x
M
M=αtan (10.2) 
Định nghĩa khác của uốn xiên: Thanh chịu uốn xiên khi trên các mặt cắt 
ngang chỉ có một mômen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà 
không trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm yOz hay xOz. 
 Đặc biệt, đối với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục chính 
trung tâm ( trục đối xứng ), nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng 
là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Do đó, mặt cắt ngang thanh tròn 
luôn luôn chỉ chịu uốn phẳng. 
 2- Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 
 Theo nguyên lý cộng tác dụng, tại một điểm A (x,y) bất kỳ trên tiết diện, 
ứng suất do hai mômen Mx , My gây ra tính theo công thức sau : 
 xJ
M
y
J
M
y
y
x
x
z +=σ (10.3) 
 Trong (10.3), số hạng thứ nhất chính là ứng suất pháp do Mx gây ra, số 
hạng thứ hai là ứng suất pháp do My gây ra 
 Công thức (10.3) là công thức đại số, vì các mômen uốn Mx, My và tọa 
độ điểm A(x,y) có dấu của chúng 
 Trong tính toán thực hành, thường dùng công 
thức kỹ thuật như sau: 
 x
J
M
y
J
M
y
y
x
x
z ±±=σ (10.4) 
 Trong (10.4), lấy dấu cộng (+) hay (–) tuỳ theo 
điểm tính ứng suất nằm ở miền chịu kéo hay nén 
do từng nội lực gây ra 
 H.10.4 biểu diển các miền kéo, nén trên mặt cắt do các mômen uốn 
 Mx , My gây ra : + , - do Mx 
 do My 
Mx
o
x 
B 
y
+ 
+ 
z
+
+ 
My 
H.10.4 Biểu diển các 
miền kéo, nén trên mặt 
 cắt do Mx , My gây ra
+ _ , 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 3 
 Thí dụ 1. Tiết diện chữ nhật bxh= 20×40 cm2 chịu 
uốn xiên (H.10.5), cho Mx = 8 kNm và My = 5 kNm. 
Chiều hệ trục chọn như h.10.5a 
 Ứng suất pháp tại B (xB =+10 cm; yB =- 20 cm) 
 + Tính theo (10.3) như sau: 
 233 kN/cm )10(
12
)20(40
500)20(
12
)40(20
800 +−=σB 
 + Tính theo (10.4) như sau: 
Mx gây kéo những điểm nằm dưới Ox và gây nén những điểm trên Ox; 
My gây kéo phía trái Oy và gây nén phía phải Oy. 
 Biểu diễn vùng kéo bằng dấu (+) và vùng nén bằng dấu (–) trên tiết 
diện (H.10.4a) ta có thể thấy, tại điểm B; Mx gây nén; My gây kéo. 
 ⇒ 233 kN/cm )10(
12
)20(40
500)20(
12
)40(20
800 +−=σ B 
 3- Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất 
 Công thức (10.3) là một hàm hai biến, nó có đồ thị là một mặt phẳng 
trong hệ trục Oxyz. Nếu biểu diễn giá trị ứng suất pháp σz cho ở (10.3) bằng 
các đoạn thẳng đại số theo trục z định hướng dương ra ngoài mặt cắt 
(H.10.6a), ta được một mặt phẳng chứa đầu mút các véctơ ứng suất pháp 
tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt ứng suất (H.10.6.a). 
y
σmin
Ox
_
+
_
K
z
σmax +y
σmin
 Ox
_
+
z σmax a) b)
y
Hình 10.6 
a) Mặt ứng suất; b) Biểu đồ ứng suất phẳng 
 Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và mặt cắt ngang là đường trung 
hòa, ta thấy, đường trung hòa là một đường thẳng và là quỹ tích của 
những điểm trên mặt cắt ngang có trị số ứng suất pháp bằng không. 
B
o z
b 
h 
y 
x 
Mx
H.10.5a)
My
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 4 
 Cho biểu thức σz = 0, ta được phương trình đường trung hòa: 
 0 . .y yx x
x y x y
M MM Jy x y x
J J M J
+ = ⇒ = − (10.5) 
 Phương trình (10.5) có dạng y = ax, đường trung hòa là một đường 
thẳng qua gốc tọa độ, và có hệ số góc tính theo công thức: 
 .y x
x y
M Jtg
M J
β = − (10.5) 
 Ta thấy: 
 - Đường trung hòa chia tiết diện làm hai miền: miền chịu kéo và miền 
chịu nén. 
 - Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung 
hòa có cùng giá trị ứng suất. 
 - Càng xa đường trung hòa, trị số ứng suất của các điểm trên một 
đường thẳng vuông góc đường trung hòa tăng theo luật bậc nhất. 
 Dựa trên các tính chất này, có thể biểu diễn sự phân bố bằng biểu đồ 
ứng suất phẳng như sau. 
 Kéo dài đường trung hòa, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường trung 
hoà tại K, ứng suất tại mọi điểm trên đường trung hòa (σz = 0) biểu diễn 
bằng điểm K trên đường chuẩn. Sử dụng phép chiếu thẳng góc, điểm nào 
có chân hình chiếu xa K nhất là những điểm chịu ứng suất pháp lớn nhất. 
 - Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất, gọi là σmax. 
 - Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi là σmin.
 Tính σmax, σmin rồi biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía của đường 
chuẩn rồi nối lại bằng đường thẳng, đó là biểu đồ ứng suất phẳng, trị số ứng 
suất tại mọi điểm của tiết diện trên đường thẳng song song với đường trung 
hoà chính là một tung độ trên biểu đồ ứng suất xác định như ở (H.10.6.b). 
 4- Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền 
 ° Ứng suất pháp cực trị: Gọi A(xA, yA) và B(xB, yB) là hai điểm xa 
đường trung hoà nhất về phía chịu kéo và chịu nén, công thức (10.4) cho: 
max
min
yx
A A A
x y
yx
B B B
x y
MM
y x
J J
MM
y x
J J
σ σ
σ σ
= = +
= = − −
 (10.6) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 5 
 Đối với thanh có tiết diện chữ nhật (b x h), điểm xa đường trung hoà 
nhất luôn luôn là các điểm góc của tiết diện, khi đó: 
 ⎮xA ⎮=⎪ xB⎮ = 2h ; ⎪ yA⎮ =⎮ yB⎮ = 2h 
y
y
x
x
W
M
W
M +=σmax ; 
y
y
x
x
W
M
W
M −−=σmin (10.7) 
với: 
62/
 ;
62/
22 hb
b
J
Wbh
h
JW yyxx ==== 
 ° Đối với thanh có tiết diện tròn, khi tiết diện chịu tác dụng của hai 
mômen uốn Mx, My trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, mômen tổng 
là Mu tác dụng trong mặt phẳng vOz cũng là mặt phẳng quán tính chính 
trung tâm , nghĩa là chỉ chịu uốn phẳng, do đó: 
 3
3
22
minmax, 1,032
. ;; DDWMMM
W
M
uyxu
u
u ≈π=+=±=σ (10.8) 
 ° Điều kiện bền: trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên chỉ có 
ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, hai 
điểm nguy hiểm là hai điểm chịu σmax, σmin, tiết diện bền khi hai điểm nguy 
hiểm thỏa điều kiện bền: 
 nminkmax ][;][ σ≤σσ≤σ (10.9) 
 Đối với vật liệu dẻo: [σ ]k = [σ ]n = [σ ], điều kiện bền được thỏa khi: 
 ][,max minmax σ≤σσ (10.8) 
Thí dụï 2. Một dầm tiết diện chữ T chịu lực như trên H.10.7.a. Vẽ biểu đồ 
nội lực, xác định đường trung hoà tại tiết diện ngàm, tính ứng suất σmax, σmin. 
Cho: q = 4 kN/m; P = qL; L = 2 m; a = 5 cm. Các đặc trưng của tiết diện chữ 
T được cho như sau: yo = 7a/4, Jx = 109a4/6 ; Jy = 34a4/6. 
Giải. Phân tích lực P thành 2 thành phần trên hai trục x và y, ta được: 
 Px = P.cos300 = P 3 /2 = qL 3 /2; Py = P.sin300 = P/2 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 6 
= 
 Xét thanh chịu lực trong từng mặt phẳng riêng lẻ. 
 Trong mặt phẳng (yOz), hệ chịu lực phân bố và lực tập trung Py, biểu đồ 
mômen vẽ trên H.10.7.b, theo quy ước, biểu đồ này là Mx. Tương tự, trong 
mặt phẳng (xOz), hệ chịu lực phân bố và lực tập trung Py, biểu đồ mômen vẽ 
trên H.10.7.c, đó là My. 
 Phương trình đường trung hòa: . .y x
x y
M Jy x
M J
= − (a) 
 Tại tiết diện ngàm: Mx = qL2; My = 3 qL2/2 
 Chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.5.d, nếu chọn chiều dương của trục x 
và y như trên H.10.8.a thì trong (a), các mômen uốn dều có dấu +. 
 Ta có: xx
a
a
qL
qLy .77,2
6/34
6/109.2/3 4
4
2
2
−=−= (b) 
 Biểu diễn tiết diện bằng hình phẳng theo tỷ lệ, từ (b) có thể vẽ chính 
xác đường trung hòa, áp dụng cách vẽ biểu đồ ứng suất, ta cũng vẽ được 
biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.8.b). 
Hình 10.7 a) Sơ đồ tải trọng 
 dụng lên thanh
b) Xét thanh trong mặt phẳng 
 vẽ biểu đồ Mx
c) Xét thanh trong mặt phẳng 
 vẽ biểu đồ My
d) Biểu đồ nội lực không 
y
M x 
x
2a 2a
yo a
4a
O
a
P
30o
q 
z
x
y 
a
L 
z
y 
q 
P y = P/2
b) 
qL 2 
P x = P 2/3
3 
x 
M y c) 
d)
Mx
y
3
qL2
My
x
z 
2
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 7 
A
C
B σmax
σmin
b)a)
My
Mx
x
y
z
o
 Hình 10.8 
 a) Chọn chiều dương của trục x, y . 
 b) Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất phẳng 
 Dựa trên biểu đồ ứng suất ta có thể tìm thấy điểm chịu kéo nhiều nhất 
là điểm A(⎮xA⎮ = 2a,⎪yA⎮ = 7a/4), điểm chịu nén nhiều nhất là điểm 
C(⎮xB⎮ = 2a,⎮yB⎮ = 3a/4); điểm B(⎪xB⎮ = a/2,⎮yB⎮ = 13a/4) có chân hình 
chiếu khá gần C, cần tính ứng suất tại đây. 
 Áp dụng công thức (10.4), ta có: 
 2
y
2
x
2
maxA cm
kN145,5)a2(
I
2/qL3)
4
a7(.
I
qL =++=σ=σ 
 2
y
2
x
2
minC cm
kN384,3)a2(
I
2/qL3)
4
a3(.
I
qL −=−+=σ=σ 
Thí dụï 3. Một thanh tiết diện tròn rỗng chịu tác dụng của ngoại lực 
(H.10.9). Tính ứng suất pháp σmax, σmin, xác định đường trung hoà tại tiết 
diện ngàm. 
Giải. Phân tích lực 2P và lực P lên hai trục vuông góc x, y. Lần lượt xét sự 
làm việc của thanh trong từng mặt phẳng yOz, xOz, ta vẽ được biểu đồ 
mômen Mx, My tương ứng (H.10.10b). 
2PP 2 P 
x z
2 a a
60o 30 
o 
y y
x
 Hình 10.9 Thanh tiết diện tròn rỗng chịu tải 
 trong hai mặt phẳng khác 
60
o
30o
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 8 
2aa2a
P/2 3
My
Mx(3 3
3
P
3
(3 – 3 Pa
a
z z
x
y
b)
P
a)
 Hình 10.10 Biểu đồ mômen biểu diễn trong hai mặt phẳng vuông góc 
 Với thanh tiết diện tròn, khi có hai mômen uốn Mx, My tác dụng trong hai 
mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, ta có thể đưa về một mômen uốn phẳng Mu 
trong tác dụng mặt phẳng quán tính chính trung tâm vOz, với: Mu là mômen 
tổng của Mx và My. 
 Tại tiết diện ngàm, Mx, My có giá trị lớn nhất, ta có: 
 ⎮Mu ⎪ = 22 yx MM + = 9,475 Pa 
 Theo công thức của uốn phẳng, ta được: 
 2
4
43
4
43
u
u
minmax, cm
kN41,8
)
10
81(
32
10.
Pa745,9
)
D
d1(
32
D
Pa745,9
W
M ±=
−π
±=
−π
±=±=σ 
 Phương trình đường trung hòa: 
 y x
x y
M Jy x
M J
= − ⋅ ⋅ (a) 
 Tại tiết diện ngàm: PaPaMx 196,6)133( =+= 
chiều Mx và My biểu diễn ở H.10.11.a, nếu chọn chiều dương của trục x và y 
về phía gây kéo của My và Mx (H.10.11.a) thì trong (a), giá trị của các 
mômen uốn lấy trị tuyệt đối. 
 Ta có: xx
Pa
Pay 204,0).1.(
196,6
268.1 −== (b) 
y y
Mx x
My
 z
a)
A
x
Đường trung hòa
B
b) 
Hình 10.11 
a) Định hướng hệ trục x,y; b) Vẽ đường trung hoà trên hình phẳng 
 Đường trung hòa được vẽ trên hình phẳng (H.10.11b), nếu vẽ một 
đường thẳng qua tâm O, thẳng góc với đường trung hòa, giao điểm của 
đường này với chu vi là hai điểm chịu ứng suất kéo và nén lớn nhất. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 9 
10.3 THANH CHỊU UỐN CỘNG KÉO ( HAY NÉN ) 
 1- Định nghĩa 
 Thanh chịu uốn cộng kéo (hay nén) đồng 
thời khi trên các mặt cắt ngang có các thành phần 
nội lực là mômen uốn Mu và lực dọc Nz. 
 Mu là mômen uốn tác dụng trong mặt phẳng 
chứa trục z, luôn luôn có thể phân thành hai 
mômen uốn Mx và My trong mặt phẳng đối xứng 
yOz và xOz (H.10.11). 
 2- Công thức ứùng suất pháp 
 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, ta thấy bài toán đang xét là tổ hợp 
của thanh chịu uốn xiên và kéo (hay nén) đúng tâm. Do đó, tại một điểm bất 
kỳ trên mặt cắt ngang có tọa độ (x,y) chịu tác dụng của ứng suất pháp tính 
theo công thức sau: x
I
M
y
I
M
A
N
y
y
x
xz
z ++=σ (10.9) 
 Ứng suất pháp gây kéo được quy ước dương. 
Các số hạng trong công thức (10.9) là số đại số, ứng suất do Nz lấy (+) 
khi lực dọc là kéo và ngược lại lực nén lấy dấu trừ; ứng suất do Mx, My lấy 
dấu như trong công thức (10.1) của uốn xiên, nếu định hướng trục y,x dương 
về phía gây kéo của Mx, My thì lấy theo dấu của y và x. 
x
z
a)
y
O
h
b
A
My Mx
Nz
y
x
O
h
b
A
b)
My
Mx
Nz
Hình 10.12
 a) Định hướng hệ trục x,y khi dùng công thức (9.9)
 b) Định dấu cộng trừ khi dùng công thức (9.10)
+
+
+
+
+
+
 Khi tính toán thực hành, ta cũng có công thức kỹ thuật: 
 x
I
M
y
I
M
A
N
y
y
x
xz
Z ±±±=σ (10.10) 
 Trong công thức (10.10), ứng với mỗi số hạng, ta lấy dấu (+) nếu đại 
x
O z
Hình 10.11 Các thành phần nội 
lực trên mặt cắt ngang
My Mx
Nz
y
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 10 
lượng đó gây kéo và ngược lại. 
 Ví dụï, đối với tiết diện trên H.10.12.a, cho Mx = 10 kNm; My = 5 kNm; 
 Nz = 10 kN; h = 2b = 40 cm, tính ứng suất tại A. 
Sử dụng công thức (10.9), chọn chiều dương trục x,y như H.10.12.a, 
xA = 10, yA = –20, ta được: 
2
33
kN/cm 0125,01875,01875,00125,0
)10(
12:20.40
500)20(
12:40.20
1000
40.20
10
=+−=σ
+−+=σ
A
A 
 Để áp dụng công thức (10.10), có thể biểu diễn tác dụng gây kéo, nén 
 ... i đối đẳng với 
lực nén 75 kN, giả sử phản lực nền phân bố theo quy luật bậc nhất, phản 
lực nền phải phân bố trên một diện tích mặt móng 100 × (3 × 8,7) = 100 × 26 
cm2 tính từ mép chịu nén lớn nhất (H10.19.c). 
 Điều kiện cân bằng cho: 
 σmin.100.26/2 = 75 => σmin = 0,0577 kN/cm2 = 5,77 kG/cm2 
 Kết quả này cho thấy, do mặt đế móng không được thiết kế sử dụng 
toàn bộ diện tích mặt móng nên ứng suất nén truyền lên nền tăng lên, móng 
thiết kế không hợp lý. 
10.4 UỐN CỘNG XOẮN 
 1- Định nghĩa 
 Thanh chịu uốn cộng xoắn khi trên các mặt cắt ngang có tác dụng đồng 
thời của mômen uốn Mu trong mặt phẳng chứa trục thanh và mômen xoắn 
Mz. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 18 
 2- Thanh tiết diện chữ nhật 
 Uốn xoắn thanh tiết diện chữ nhật thường gặp trong công trình dân 
dụng như lanh tô đỡ ô văng, dầm chịu lực ngoài mặt phẳng đối xứng, thanh 
chịu uốn trong hệ không gian... 
 Xét một tiết diện chữ nhật chịu uốn xoắn (H.10.20) trong đó mômen 
uốn Mu đã được phân tích thành hai mômen uốn Mx, My trong các mặt phẳng 
quán tính chính trung tâm yOz, xOz. 
b)
σmin(Mx,My) σmin(Mx,My)
σmax(Mx,My) σmax(Mx,My)
σmax(Mx) σmax(Mx)
σmin(Mx) σmin(Mx)
τ1 τmaxτmax
τ1
σmax(My) σmax(My) σmin(My) σmin(My)
B
D
FE
C
A
 Hình 10.20 a) Các thành phần nội lực của thanh chịu uốn cộng xoắn
 b) Trạng thái ứng suất của các phân tố
y
x
z
B
Mz F
D
E
My
Mx
a)A
C
 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được 
các kết quả như sau (H.10.20.b): 
 Tại các góc tiết diện (A,B), chỉ có ứng suất pháp lớn nhất do Mx,My, 
phân tố ở trạng thái ứng suất đơn: 
y
y
x
x
W
M
W
M ±±=σ minmax, (10.19) 
 Điều kiện bền: [ ] [ ]nk σ≤σσ≤σ minmax ; 
 Tại điểm giữa cạnh ngắn (C,D), chịu ứng suất pháp lớn nhất do Mx và 
ứng suất tiếp τ1 do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: 
 max1minmax, ; γτ=τ±=σ
x
x
W
M (10.20) 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: ][3 22 σ≤τ+σ 
 Tại điểm giữa cạnh dài (E,F), chịu ứng suất pháp lớn nhất do My và ứng 
suất tiếp τ1max do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 19 
 2maxminmax, ..; bh
M
W
M
z
y
y
α=τ=σ (10.21) 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: ][3 22 σ≤τ+σ 
3- Tiết diện tròn 
 Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn đồng thời rất thường gặp khi tính trục 
truyền động vì quá trình truyền tác dụng xoắn qua các puli luôn kèm theo 
tác dụng uốn do lực căng dây đai, do trọng lượng bản thân trục, puli... 
 Xét một thanh tiết diện tròn chịu tác dụng của mômen uốn Mu và 
mômen xoắn Mz (H.10.21.a). Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng 
trong những mặt phẳng khác nhau, ta luôn luôn có thể phân tích chúng 
thành các thành phần tác dụng trong hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, từ 
đó xác định Mx, My, sau đó xác định mômen tổng Mu = 22 yx MM + . 
B
v
u
Mz
zO
 Mu
A
a)
B
τmax(Mz)σmin(Mu)
σmin(Mu)
τmax(Mz)
σmax(Mu) σmax(Mu)
A
b)
Hình 10.21 a) Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn
 b) Trạng thái ứng suất phân tố 
 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được 
các kết quả như sau (H.10.21.b): 
 Dưới tác dụng của mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn 
nhất σmax, σmin, ngoài ra, do tác dụng của mômen xoắn Mz, tại hai điểm A, B 
còn chịu ứng suất tiếp τmax, đó là hai điểm nguy hiểm nhất trên tiết diện. 
 Ta có: 22minmax, ; yxu
u
u MMM
W
M +=±=σ (10.22) 
p
z
W
M=τmax 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 20 
 Phân tố đang xét vừa chịu ứng suất pháp vừa chịu ứng suất tiếp, đó là 
phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: 
 ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: 
 ][3 22 σ≤τ+σ 
P
a/2
C
B
Muốn
Mxoắn
A a
3qa2
9qa2/8
9qa2/8
+
q
b)
1728 kN.cm648 kN.cm
30cm
20cm
c)
P
q
a/2
a
a)
Hình 10.22 a) Khung chịu uốn với tải trọng thẳng góc mặt phẳng 
khung 
 b) Sơ đồ tính khung và biểu đồ nội lực không gian vẽ theo 
 nguyên lý cộng tác dụng 
 c) Các điểm nguy hiểm trên tiết diện 
Ví dụï 10.5 Một thanh gẫy khúc ABC tiết diện chữ nhật (20cm × 30cm) chịu 
tác dụng của tải trọng như H.10.22.a. Vẽ biểu đồ nội lực, kiểm tra điều kiện 
bền tại tiết diện ngàm. Cho: q = 4 kN/m; P = 2qa; a = 1,2 m; [σ] = 1 kN/cm2. 
Giải. Biểu đồ nội lực được vẽ trên H.10.22.b, tại tiết diện ngàm chịu nội lực 
lớn nhất (H.10.22.c): 
 Mx = 3qa2 = 3.4.(1,2)2.100 = 1728 kN.cm 
 Mz = 9qa2/8 = 9.4.(1,2)2.100/8 = 648 kN.cm 
 Tại trung điểm cạnh ngắn, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: 
2
22max1
2
2max
kN/cm 2,0
20.30.231,0
648.859,0
..
..
kN/cm 576,0
6/30.20
1728
==αγ=τγ=τ
===σ
bh
M
W
M
z
x
x
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 21 
 Điều kiện bền: 
 [ ] 222222 kN/cm 1 kN/cm 7,02,0.4576,04 =σ<=+=τ+σ 
 Tại trung điểm cạnh dài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy: 
 222max kN/cm 233,020.30.231,0
648
.
==α=τ hb
Mz 
 Điều kiện bền: [ ] 22max /k 5,02/ /k 233,0 cmNcmN =σ<=τ 
Ví dụï 10.6 Một trục tròn đường kính d, mang pu li chủ động đường kính D1 
và pu li bị động đường kính D2. Mô tơ truyền lực kéo T1 lên một nhánh dây 
đai của pu li D1 làm quay trục, kéo theo pu li D2. Coi hiệu suất truyền là 1, 
lực kéo trên một nhánh dây đai D2 là T2 = T1.D1/D2. Ngoài ra, giả sử lực căng 
ban đầu trên dây đai bằng nửa lực kéo tác dụng lên dây đai. Tính đường 
kính trục d (H.10.23.a). 
 Cho: trọng lượng pu li G1 = G2 = 1 kN; D1 = 50 cm; D2 = 30 cm; 
T1 = 5 kN; [σ] = 12 kN/cm2. Bỏ qua trọng lượng bản thân của trục. 
Giải. Lực căng ban đầu trên dây đai của pu li D1 là: T1/2 = 5/2 = 2,5 kN 
 Lực kéo truyền lên dây đai D2 là: T2 = T1.D1/D2 = 5.50/30 = 8,33 kN 
 Lực căng ban đầu trên dây đai D2 là: T2/2 = 8,33/2 = 4,17 kN 
 Dời lực trên dây đai về tâm của trục, ta có thể đưa ra sơ đồ tính của trục 
như trên H.10.23.b. Biểu đồ mômen uốn Mx, My và mômen xoắn Mz vẽ ở 
H.10.23.c. 
 Tại tiết diện đặt pu li D2 chịu nội lực lớn nhất: 
 Mx = 20 kN.cm, My = 150 kN.cm; Mz = 125 kN.cm. 
 Mômen uốn tổng Mu = 22 yx MM + = 151,32 kN.cm gây ra ứng suất pháp 
lớn nhất là: 
 33
1,1542
32/.
32,151
DDW
M
u
u
z =π==σ 
 Mômen xoắn Mz = 125 kNcm gây ra ứng suất tiếp lớn nhất là: 
 33max
9,636
16/.
125
DDW
M
p
z =π==τ 
 Điều kiện bền theo thuyết bền thứ ba: [ ]σ≤τ+σ 22 .4 
 Ta có: [ ] [ ] cm 5,52000
)(
9,636.4
)(
1,1542
3
2
2323
2
≥⇒σ≤⇒σ≤+ D
DDD
 Có thể chọn đường kính trục là 55 mm. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 22 
T2/2
20cm
T2/2
T2
T1/2 D2
40cm
D1
20cm
a)
T1/2 T1
T2.D2/2
20cm
G2
40cm
G1
T1.D1/2
2T2
20cm
b) 2T1
d
MZ
150 kN.cm
20 k
N.c
m
125kN.cm
116,6 kN.cm
c) My
Mx
Hình 10.23
 a) Trục tiết diện tròn chịu uốn cộng xoắn
 b) Sơ đồ tính trục
 c) Biểu đồ nội lực 
10.5 THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT 
1. Định nghĩa 
 Thanh chịu lực tổng quát khi trên các mặt cắt ngang có tác dụng của 
lực dọc Nz, mômen uốn Mu và mômen xoắn Mz. 
 Thanh chịu lực tổng quát thường gặp khi tính các thanh chịu lực theo sơ 
đồ không gian. 
 1- Thanh có tiết diện chữ nhật 
 Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về kéo (nén), về uốn, và 
về xoắn, ta được các kết quả như sau (H.10.24.a,b): 
σmax (Mx,My,Nz)
σmin (My,Nz)
b)
σmin (Mx,My,Nz) σmin (Mx,My,Nz)
σmax (Mx,My,Nz)
σmax (Mx,Nz) σmax (Mx,Nz)
σmin (Mx,Nz) σmin (Mx,Nz)
τ1 τmaxτmax
τ1
σmax (My,Nz) σmax (My,Nz) σmin (My,Nz)
B
D
FE
C
A
y
x
z
B
Mz F
D
E
My
Mx
a)
A
C
Nz
Hình 10.24 a) Các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang
 b) Trạng thái ứng suất của các phân tố 
 Tại các góc tiết diện, chỉ có ứng suất pháp do Nz, Mx, My, phân tố ở 
trạng thái ứng suất đơn: 
y
y
x
xz
W
M
W
M
A
N ±±±=σ minmax, (10.23) 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 23 
 Điều kiện bền: [ ]kσ≤σmax ; [ ]nσ≤σmin 
 Tại điểm giữa cạnh dài, phân tố vừà chịu ứng suất pháp lớn nhất do My 
và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp lớn nhất do Mz, đó là phân tố ở trạng 
thái ứng suất phẳng: 
y
yz
W
M
A
N ±±=σ minmax, ; 2max hb
Mz
α=τ (10.24) 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: ][3 22 σ≤τ+σ (10.25) 
 Tại điểm giữa cạnh ngắn, phân tố vừa chịu ứng suất pháp lớn nhất do 
Mx và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất tiếp do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất 
phẳng: 
x
xz
W
M
A
N ±±=σ minmax, ; max1 γτ=τ (10.26) 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: ][3 22 σ≤τ+σ 
 2- Thanh có tiết diện tròn (H.10.25.a,b) 
 Điểm nguy hiểm nằm trên chu vi, đó là hai điểm A,B. hai điểm này vừa 
chịu ứng suất pháp lớn nhất do mômen Mu và lực dọc Nz, vừa chịu ứng suất 
tiếp lớn nhất do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng. 
 22minmax, ; yxu
u
uz MMM
W
M
A
N +=±±=σ (10.27) 
p
z
W
M=τmax (10.28) 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 Theo thuyết bền thứ 4: ][3 22 σ≤τ+σ 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 24 
σmin(M , N )u z
σmin(M , N )u z
σmax(M , N )u z σmax(M , N )u z
A
B
τmax(M )z
τmax(M )z
B
v
u
zO
Mu
A
Mz
a)
b)
a) Các thành phần nội lực
b) Trạng thái ứng suất của các phân tố
Hình 10.25
Ví dụï 10.7 Có một thanh tiết diện tròn đường kính D chịu một hệ lực không 
gian như trên H.10.26.a. Vẽ biểu đồ nội lực. xác định đường kính D. 
 Cho: q = 4 kN/m; P = qa; a = 4 m; [σ] = 16 kN/cm2. 
Giải. Biểu đồ nội lực được vẽ ở H.10.26.b. 
 Tại ngàm tiết diện chịu nội lực lớn nhất: 
 Nz = qa = 4.4= 16 kN (nén); Mx = qa2 = 4.42.100 = 6400 kN.cm 
 My = qa2/2 = 4.42.100/2 = 3200 kN.cm; Mz = qa2/8 = 4.42.100/8 = 800 
kN.cm 
P = qa
qa2/8
qa
qa2
qa2/2
qa2/2
q = 4 kN/m
a/2
a
MzNz
b)a)
Muốn do qMuốn do P
qa2/8
Hình 10.26 a) Sơ đồ tính thanh chịu lực phức tạp
b) Biểu đồ nội lực vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng 
 Ứng suất pháp lớn nhất: 
32/.
4,7155
4/.
16
kN.cm 41,715532006400
32max
2222
max
DD
MMM
W
M
A
N
yxu
u
uz
π+π=σ
=+=+=
+=σ
 Ứng suất tiếp lớn nhất: 
16/.
800
3max DW
M
p
z
π==τ 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 25 
 Điều kiện bền: 
 Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
 [ ]σ≤π+π+π⇒ 23232 )16/.
800.(4)
32/.
4,7155
4/.
16(
DDD
 Trong tính toán thực hành, để thuận lợi cho việc giải bất phương trình 
trên, ban đầu chọn D theo uốn xoắn, bỏ qua ứng suất do lực dọc, sau đó 
kiểm tra lại, ta có: 
 [ ] cm 6,16)
16/.
800.(4)
32/.
4,7155( 23
2
3 ≥⇒σ≤π+π⇒ DDD 
Ban đầu, chọn: D = 168 mm. 
Kiểm tra điều kiện bền: 
Theo thuyết bền thứ 3: ][4 22 σ≤τ+σ 
[ ] 222
2
3
2
32
1654,15)86,0.(4)38,15072,0(
)
16/8,16.
800.(4)
32/8,16.
4,7155
4/8,16.
16(
kN/cm kN/cm 2 =<=++
++⇒
σ
πππ 
Vậy chọn: D = 168 mm. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 10 
10.1 Một thanh cong xon tiết diện chữ nhật chịu tác dụng của tải trọng như 
H.10.27. Vẽ biểu đồ nội lực, tính ứng suất pháp lớn nhất, xác định vị trí 
đường trung hoà tại mặt cắt ngàm. 
30o
12 cm
L = 2 m
E = 103 kN/cm2 2
0
cm
Hình 10.27
q = 4 kN/m
P = qL
q
P = qL
10.2 Xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của ứng suất pháp, vị trí đường trung 
hoà tại mặt cắt nguy hiểm của dầm (H.10.28), a = 1 m. 
P = 4 kN
12
 cm
20
cm
P a2a
Hình 10.28
y
x
z
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 26 
10.3 Xác định σmax , σmin và vị trí đường trung hoà tại mặt cắt nguy hiểm của 
cột H.10.29. 
20 cm
q = 2 kN/m
P = 80 kN
y
x
z
40cm
4
m
Hình 10.29 
10.4 Một cột chịu tải trọng như H.10.30. Xác định ứng suất nén lớn nhất và 
nhỏ nhất tại mặt cắt chân cột. Cho trọng lượng riêng của vật liệu cột là: γ 
= 20 kN/m3. 
k
C B
A
1 m
0,8 m
3 m
2
m
6
m
Hình 10.30
P = 1000 kN
10.5 a. Một trụ đỡ có tiết diện gồm hai thép hình số hiệu [ 24 chịu tải trọng 
như H.10.31. 
Xác định ứng suất kéo và nén lớn nhất tại mặt cắt chân cột có xét cả 
trọng lượng của cột. 
 b. Một cột chịu tải trọng như H.10.32. Tính ứng suất ứng suất kéo và nén 
lớn nhất. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 27 
4 m
2 m
6
m
P1 = 2 kNP2 = 0,5 kN
G
Hình 10.31
40 cm
20
c
m
P1 = 20 kN
P2 = 5 kNq = 3 kN/m
Hình 10.32
6
m
e = 60 cm
4
m
10.6 Một cột tròn rỗng chịu tác dụng của tải trọng như H.10.33.a. 
 Tính ứng suất pháp σmax, σmin tại tiết diện chân cột, xác định vị trí và biểu 
diễn đường trung hoà tại tiết diện này. 
Giả sử móng cột có kích thước 2 m × 1,2 m × h, trọng lượng riêng 
γ = 25 kN/m3 (H.10.33.b) và trục cột được bố trí đi qua tâm móng. Hãy 
chỉ cách bố trí mặt bằng móng và tính kích thước h sao cho ở đáy móng 
không phát sinh ứng suất kéo. 
z
x
y
P1 = 100 kN
H
 =
 4
 m
2d = 40 cm d
P2 =10 kN
P2 = 5 kN
Hình 10.33
a)
h
2 m
1,2 m
b)
10.7 Một khung tiết diện chữ nhật đều, có thanh căng AB, chịu tác dụng 
của tải trọng như H.10.34. Vẽ biểu đồ nội lực của khung và nội lực kéo 
trong thanh AB. xác định ứng suất σmax, σmin và vị trí đường trung hoà tại 
mặt cắt ngang K. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 28 
I24
q = 4kN/m
P = 4 kN
H
=
3
m
L = 2 m
Hình 10.35Hình 10.34
A
K
q = 6 kN/m
h = 2b
b =
20 cm
L/2 = 4 m L/2 = 4 m
2 m
4 m
B
10.8 Một khung tiết diện chữ I24, chịu tác dụng của tải trọng như H.10.35. 
xác định nội lực tại tiết diện chân cột. Kiểm tra bền. 
 Cho [σ]=16 kN/cm2. 
10.9 Một thanh gẫy khúc tiết diện tròn đường kính d chịu lực như H.10.36. 
Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng suất tiếp 
lớn nhất. Cho [σ] = 2,8 kN/cm2. 
30 cm
10 cm
d
d
d
40
cm
P1 = 0,8 kN
P2=0,5 kN
Hình 10.36 
10.10 Một trục truyền động tiết diện tròn đường kính d có sơ đồ tính như 
H.10.37. Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng 
suất tiếp lớn nhất. Cho [σ] = 10 kN/cm2. 
 GV: Lê đức Thanh 
Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 
 29 
M4 = 4 kNm
aa a a a
M1 =10 kNmM2 = 2 kNm M3 = 4 kNm
P P P=1 kNP
a
Hình 10.37