Giáo trình Sức bền vật liệu 1 nâng cao

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ 
******* 
ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO 
BÀI GIẢNG 
SỨC BỀN VẬT LIỆU 1 
NÂNG CAO 
(Dùng cho sinh viên cao đẳng) 
Quảng Ngãi, 12/2016 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 2 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 3 
MỤC LỤC 
Mục lục ............ 3 
Lời nói đầu .............. 4 
Chƣơng 6. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 
6.1. Khái niệm ...................................................................... 5 
6.2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi ...... 6 
6.3. Phương pháp tích phân không định hạn ........ 7 
6.4. Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ........ 11 
6.5. Bài toán siêu tĩnh của thanh chịu uốn ......... 16 
Câu hỏi ôn tập.... 18 
Trắc nghiệm .......... 18 
Chƣơng 7. THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 
7.1. Khái niệm ........ 20 
7.2. Thanh chịu uốn xiên ............ 20 
7.3. Thanh chịu uốn và kéo - nén ........... 35 
7.4. Thanh chịu kéo - nén lệch tâm ................ 44 
7.5. Thanh chịu uốn và xoắn .......... 50 
7.6. Thanh chịu lực tổng quát .................... 56 
Câu hỏi ôn tập.... 57 
Trắc nghiệm .......... 57 
Tài liệu tham khảo ............ 60 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 4 
LỜI NÓI ĐẦU 
(Cho lần điều chỉnh, bổ sung lần nhất) 
Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm 
thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở được giảng dạy trong 
các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng. Mục 
đích của môn học là cung cấp những kiến thức cần thiết về 
cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải quyết các vấn đề liên 
quan từ thiết kế đến chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cứu 
các môn học chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và 
xây dựng. 
Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao được biên 
soạn kế tiếp sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu 1 dành 
cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học 
chế tín chỉ của Trường đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng 
gồm 2 chương. Trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn 
tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố các kiến 
thức đã học. Đi kèm với Bài giảng này, chúng tôi có biên 
soạn tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu 1 nâng cao. 
Bài giảng này được biên soạn nhằm giúp sinh viên cao 
đẳng học chế tín chỉ có thêm tài liệu tham khảo. Tuy có điều 
chỉnh và bổ sung nhưng chắc chắn không tránh khỏi những 
sai sót, rất mong được sự đóng góp của bạn đọc để tài liệu 
ngày càng được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành 
cảm ơn. 
Quảng Ngãi, tháng 12/2016 
 Người biên soạn 
 Mobil: 090 531 1727 
 Email: baoqng2006@gmail.com 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 5 
Chương 6. 
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 
A. MỤC TIÊU 
- Thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi. 
- Xác định được chuyển vị (độ võng, góc xoay) của dầm chịu uốn bằng các 
phương pháp: tích phân không định hạn và đồ toán (tải trọng giả tạo). 
B. NỘI DUNG 
6.1. KHÁI NIỆM 
6.1.1. Đƣờng đàn hồi, độ võng, góc xoay 
- Đường đàn hồi: Trong uốn phẳng, dầm chịu tác dụng của ngoại lực trong 
mặt phẳng quán tính chính trung tâm và trục của dầm bị uốn cong (H. 6.1). 
Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi. Bán kính cong 
của dầm tại một vị trí được xác định: 
x
x
M1
ρ EJ
= (6.1) 
Hình 6.1 
- Chuyển vị: Chuyển vị của tiết diện được đặc trưng bởi chuyển vị thẳng của 
trọng tâm và chuyển vị xoay của mặt phẳng tiết diện. 
+ Chuyển vị thẳng: Chuyển vị thẳng có thể phân làm hai thành phần: 
chuyển vị ngang u và chuyển vị đứng v. Với giả thiết biến dạng bé, nên thành 
phần chuyển vị ngang u là số vô cùng bé bậc hai so với chuyển vị đứng v nên có 
thể bỏ qua. Do đó chuyển vị thẳng được cho là chuyển vị đứng v và gọi là độ 
võng của dầm: 
y = y(z) = v(z). 
y 
a) b) 
Đường đàn 
hồi 
y 
z dz 
dz 
dy 
Z 
P 
dyy 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 6 
+ Chuyển vị xoay: Chuyển vị xoay của tiết diện một góc so với vị trí ban 
đầu gọi là góc xoay: 
 zy
dz
dy
'tan 
Vì chuyển vị là bé (y << l) nên zy
dz
dy
'tan . 
Vậy: Đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến 
dạng. 
6.1.2. Qui ƣớc dấu của độ võng và góc xoay 
- Độ võng y > 0: nếu hướng theo chiều dương trục y, tức là hướng xuống 
dưới. 
- Góc xoay > 0: nếu quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại 
điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ, hay mặt cắt tại điểm khảo sát sau khi biến 
dạng quay theo chiều kim đồng hồ. 
6.1.3. Điều kiện cứng của dầm chịu uốn 
Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn nhất của dầm maxy (điều 
kiện cứng) theo công thức: 
max 1 1
1000 100
y
L
  
  max
1 1
.
1000 100
y L
  
 (6.2) 
Với L là chiều dài của dầm hoặc nhịp dầm. 
6.2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GẦN ĐÚNG CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI 
6.2.1. Phƣơng trình vi phân gần đúng 
Theo hình học vi phân, ta có độ cong của hàm y(z) được xác định: 
3
2 2
1 "
1 '
y
y
 (6.3) 
So sánh (6.1) và (6.3) ta được: 
( )
3
2 2
"
1 '
x
x
My
EJ
y
= ±
+
Khảo sát dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như hình vẽ (H. 6.2) ta thấy 
y” và M x luôn luôn ngược dấu nên: 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 7 
( )
3
2 2
"
1 '
x
x
My
EJ
y
= -
+
Vì dầm có chuyển vị bé nên: 2'y << 1, ta có phương trình vi phân gần đúng 
của đuờng đàn hồi: 
x
x
EJ
M
y '' (6.4) 
Hình 6.2 
6.2.2. Các phƣơng pháp xác định độ võng và góc xoay 
Có ba phương pháp cơ bản để xác định độ võng và góc xoay: 
1) Phương pháp tích phân không định hạn 
2) Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) 
3) Phương pháp diện tích momen. 
Ta sẽ khảo sát hai phương pháp xác định thường dùng. 
6.3. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN 
6.3.1. Phƣơng trình góc xoay và phƣơng trình đƣờng đàn hồi 
Bằng phương pháp tích phân không xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu 
thức (6.4), ta được: 
- Phương trình góc xoay: 
' .x
x
M
y dz C
EJ
 (6.5) 
- Phương trình đường đàn hồi: 
.x
x
M
y dz dz Cz D
EJ
 (6.6) 
Trong đó: C và D là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện 
biên (điều kiện về chuyển vị và góc xoay tại các đầu dầm). 
y 
O 
z 
Mx Mx 
0xM 
y'' < 0 0'' y 
0xM 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 8 
6.3.2. Điều kiện biên của một số dầm đơn giản 
a) Đầu ngàm của dầm console (H. 6.3a): 
Chuyển vị và góc xoay đều bằng không. 
0 AAy 
b) Dầm đặt trên hai gối tựa (H. 6.3b): 
- Tại các đầu khớp, gối đỡ của dầm đơn giản chuyển vị bằng không. 
0 BA yy . 
- Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đàn hồi khác nhau: 
chuyển vị và góc xoay của bên trái và bên phải bằng nhau. 
ph
C
tr
C
ph
C
tr
C yy
Hình 6.3 
Ví dụ 6.1: Cho dầm console như hình vẽ (H. 6.4). Biết: P, l, EJ = const. 
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm. 
b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm. 
Giải: 
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm. 
Hình 6.4 
Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: 
A A B 
0 By 0 Ay 
C 
0 AAy 
a) b) 
P 
z 
 l 
l - z 
MX 
P 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 9 
M
x
 + P (l – z) = 0 M
x
= - P (l – z) 
Phương trình vi phân của đường đàn hồi: 
( )" x
x x
M P
y l z
EJ EJ
= - = - 
Phương trình góc xoay: 
 Cz
EJ
P
z
EJ
Pl
zy
xx
 2.
2
.' 
Phương trình của đường đàn hồi: 
2 3
2 6x x
Pl P
y z z Cx D
EJ EJ
= - + + . 
Điều kiện biên: tại O (z = 0): y’ = y = 0 C = D = 0. 
Vậy: 2.
2
.' z
EJ
P
z
EJ
Pl
zy
xx
Và: 
3
.
J2
2
x
z
lz
E
P
y . 
b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm. 
Độ võng và góc xoay lớn nhất tại z = l: 
x
A
A
EJ
Pl
E
Pl
yy
2
J3
2
max
x
3
max
0A nghĩa là mặt cắt ngang sau khi biến dạng xoay đi góc cùng chiều 
kim đồng hồ và 0Ay nghĩa là chuyển vị xuống phía dưới theo chiều dương 
của trục y. 
Ví dụ 6.2: Cho dầm đặt lên hai gối đỡ có chiều dài L chịu tác dụng của tải 
trọng phân bố đều q như hình vẽ (H. 6.5a). Biết: EJ x = const. 
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm. 
b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất. 
Giải: 
a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm. 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 10 
Phản lực tại hai gối tựa: 
2
A B
qL
V V 
Momen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là: 
M
x
 - V A .z + 
2
2
qz
 = 0 
2
2 2
x
qLz qz
M 
Hình 6.5 
Phương trình vi phân của đường đàn hồi: 
( )2"
2
x
x x
M q
y Lz z
EJ EJ
= - = - - 
Phương trình góc xoay: 
2 3
'
2 2 3x
q Lz z
y C
EJ
 (a) 
Phương trình độ võng: 
DCz
zLz
EJ
q
y
x
1262
43
 (b) 
Điều kiện biên: tại A (z = 0): y(0) = 0 ; tại B (z = L): y(L) = 0 
B 
q 
A 
z 
L 
V
A
BV
1 
1 
a) 
b) 
c) 
d) 
Mx 
y 
ymax 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 11 
Thay vào (a) và (b) ta được: C = 
3
24 x
qL
EJ
; D = 0. 
Vậy: 
3 2 3
2 3
6 4
' 1
24 x
qL z z
y
EJ L L
Và: 
3 2 3
2 3
x
2
1
24 J
qL z z z
y
E L L
. 
b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất. 
- Độ võng lớn nhất tại giữa nhịp [vì y’
2
L 
= 0]: 
4
max
x
5
2 384 J
L qL
y y
E
- Góc xoay lớn nhất tại các gối tựa A (z = 0) và B (z = L) [vì tại đó có y” = 
0]: 
+ Tại A (z = 0): 
3
max
24
A
x
qL
EJ
+ Tại B (z = L): 
3
max
24
B
x
qL
EJ
* Nhận xét: Khi tính toán ta căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng mà 
chia dầm thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn biểu thức của momen uốn nội 
lực xM và độ cứng EJ x là các hàm liên tục. Nghĩa là ta phải lập phương trình 
đường đàn hồi cho từng đoạn và ở mỗi đoạn ta phải xác định hai hằng số tích 
phân. 
Vậy nếu dầm chia ra làm n đoạn, thì ta phải lập n phương trình đường đàn 
hồi và xác định 2n hằng số tích phân. Do vậy bài toán áp dụng phương pháp trên 
có nhược điểm là có khối lượng tính toán nhiều vì phải chia làm nhiều đoạn nên 
ít được áp dụng để giải. 
6.4. PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN (PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ 
TẠO) 
6.4.1. Khái niệm 
Ở chương 1, ta đã xác lập các liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân 
bố q(z) là: 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 12 
2
2
( ) ( )
yx
dQd M
q z a
dz dz
Đồng thời, ta cũng có liên hệ giữa nội lực và chuyển vị như sau: 
2
"
2
( )
EJ
x
x
Md y
y b
dz
Như ta đã biết ở Chương 1, vẽ biểu đồ nội lực khi biết q(z) ta có thể suy ra 
biểu đồ yQ và xM mà không cần tích phân (a). 
Dựa vào sự tương tự giữa hai liên hệ vi phân (a) và (b), ta có thể tìm được 
y(z) và y’(z) mà không cần tích phân (b). 
Ta tưởng tượng tác dụng lên một dầm nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải 
trọng phân bố giả tạo nào đó có cường độ là: 
EJ
x
gt
x
M
q (6.7) 
Nghĩa là qui luật phân bố của tải trọng giả tạo gtq giống như qui luật phân 
bố của 
EJ
x
x
M
. 
Do đó, gọi momen uốn trên dầm giả tạo là gtM , thì: 
22
2 2EJ
gtx
gt
x
d MMd y
q
dz dz
Hay: 
22
2 2
"
gt
gt
d Md y
y q
dz dz
Hoặc: 
' gtdQdy
dz dz
6.4.2. Chọn dầm giả tạo 
Ta phải chọn dầm giả tạo và các điều kiện liên kết sao cho có sự tương ứng 
giữa độ võng y của dầm thực với momen uốn giả tạo gtM của dầm giả tạo cũng 
như sự tương ứng giữa góc xoay của dầm thực với lực cắt giả tạo gtQ của dầm 
giả tạo. 
y (dầm thực) = gtM (dầm giả tạo) 
 (dầm thực) = gtQ (dầm giả tạo) 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 13 
Như vậy, thay vì tính tích phân phương trình vi phân (6.4) ta chỉ cần tính 
lực cắt giả tạo gtQ để có góc xoay và tính momen uốn giả tạo gtM để có độ 
võng y của dầm thực. 
Ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với các dầm thực theo Bảng 6.1 
Bảng 6.1. Dầm giả tạo tương ứng với dầm thực 
Dầm thực Dầm giả tạo 
 y = 0; y = 0; 
 0 0 
 M gt = 0; M gt = 0; 
 Q gt 0 Q gt 0 
 y = 0; y 0; 
 = 0 0 
 M gt = 0; M gt 0; 
 Q gt = 0 Q gt 0 
 y 0; y = 0; y = 0; 
 0 0 0 
M gt 0; M gt = 0; M gt = 0; 
Q gt 0 Q gt 0 Q gt 0 
y 0; y = 0; y = 0; y 0; 
 0 0 0 0 
M gt 0; M gt = 0; M gt = 0; M gt 0; 
Q gt 0 Q gt 0 Q gt 0 Q gt 0 
6.4.3. Xác định tải trọng giả tạo gtq , lực cắt giả tạo gtQ và momen giả tạo gtM 
6.4.3.1. Xác định tải trọng giả tạo gtq . 
Ta có: 
EJ
x
gt
x
M
q , nghĩa là gtq và xM luôn luôn ngược dấu nhau, do đó: 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 14 
- Nếu 
xM > 0 thì gtq < 0: chiều gtq hướng xuống phía dưới. 
- Nếu xM 0: chiều gtq hướng lên phía trên. 
6.4.3.2. Xác định lực cắt giả tạo gtQ và momen giả tạo gtM 
Ta có: 
gt gtQ q  (6.8) 
và .gt gt CM q z  . (6.9) 
Do đó ta cần xác định diện tích 
gtq  và hoành độ trọng tâm diện tích Cz 
của hình giới hạn bởi đường cong. Bảng 6.2 cho ta các số liệu của một số hình 
thường gặp. 
Bảng 6.2. Diện tích và vị trí trọng tâm của một số hình thường gặp 
q gt Hình 
Diện tích 
Vị trí 
trọng tâm 
 Cz 
Đường 
bậc nhất 
Lh
2
2L
3
Đường 
bậc hai 
lõm 
Lh
3
3L
4
Đường 
bậc hai 
lồi 
2Lh
3
5L
8
Đường 
bậc n 
Lh
n +1
 n +1 L
n + 2
zC 
L 
h
C 
C 
h
L 
zC 
zC 
L 
h
C 
zC 
L 
h
C 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 15 
Đường 
bậc hai 
đối xứng 
2Lh
3
L
2
6.4.4. Trình tự tìm góc xoay và độ võng 
1) Vẽ biểu đồ xM : căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng. 
2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1. 
3) Đặt tải trọng giả tạo gtq lên dầm giả tạo: 
EJ
x
gt
x
M
q 
4) Tính : 
 = gtQ gtq  
5) Tính y: 
y = gtM = .gt Cq z  
Ví dụ 6.3: Cho một dầm console chịu tải trọng phân bố đều q như hình vẽ 
(H. 6.6a). 
Tính độ võng và góc xoay tại đầu tự do của dầm. Biết dầm có độ cứng EJ x 
là hằng số. 
Giải: 
- Vẽ biểu đồ momen uốn (H. 6.6b): xM là đường cong bậc hai lõm ( xM < 0 
vì làm căng thớ trên). 
- Chọn dầm giả tạo: như hình 6.6c. 
- Đặt tải trọng giả tạo gtq lên dầm giả tạo: 
EJ
x
gt
x
M
q > 0 (vì xM < 0) có 
chiều hướng lên trên (H. 6.6c). 
- Tính góc xoay và độ võng y: 
Góc xoay và độ võng y tại đầu tự do của dầm cũng là lực cắt giả tạo gtQ 
và momen uốn giả tạo gtM tại B của dầm giả tạo. 
Ta có: 
C h
zC 
L 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 16 
B = 
B
gtQ 
2 31
0
3 2 6
gt AB
x x
qL qL
q x xL
EJ EJ
  
y = gtM = 
3 43
. 0
6 4 8
gt CAB
x x
qL qL
q z x L
EJ EJ
  
Mặt cắt sau biến dạng chuyển vị hướng phía dưới và xoay theo chiều kim 
đồng hồ. 
Hình 6.6 
6.5. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN 
Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định được các phản lực và 
nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số cần tìm luôn lớn hơn 
số phương trình cân bằng tĩnh học thiết lập được. 
Để giải bài toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm một số phương trình cần 
thiết dựa vào điều kiện biến dạng. 
Ta có thể dùng phương pháp đồ toán để tính độ võng và góc xoay cho các 
phương trình biến dạng. 
Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực yQ và xM của dầm siêu tĩnh chịu lực q = 
const như hình vẽ (H.6.7a). Biết dầm có độ cứng EJ x là hằng số. 
c) 
L 
A 
q 
B 
qL
2
2 
Mx 
qL
2
2EJx 
a) 
b) 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 17 
Giải: 
- Xác định các phản lực ở ngàm A và gối đỡ B 
Ta có bốn ẩn số (phản lực liên kết) cần tìm nhưng chỉ có ba phương trình 
cân bằng tĩnh học. 
Vì vậy ta cần phải thiết lập thêm một phương trình theo điều kiện biến dạng. 
Giả sử bỏ gối đỡ tại B và thay bằng một phản lực BV (H. 6.7b). Ta được một 
dầm tĩnh định chịu tác dụng bởi lực phân bố đều q và lực tập trung BV (chưa 
biết). 
Hình 6.7 
Điều kiện biến dạng là độ võng của đầu tự do B phải bằng không: By = 0. 
B 
q 
A 
L 
A 
q 
B 
VB 
qL2 
2EJx 
VB.L 
E.Jx 
5 
8 
+ 
_ 
a) 
b) 
c) 
d) 
qL 
qL2 
8 
1 
9 
128 
qL2 
qL 
8 
3 
Qy 
Mx 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 18 
Do đó để thiết lập ...  
b
y
a
x
Trong đó a và b là giao điểm của đường trung hòa với trục x và y. 
7.4.3.2. Tính chất của đường trung hòa 
1) Đường trung hòa không đi qua trọng tâm mặt cắt, nó cắt trục x tại a và 
trục y tại b. 
2) Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực K vì a 
và b luôn trái dấu với KK yx , . 
3) Điểm đặt lực K tiến gần tâm O của mặt cắt thì đường trung hòa rời xa 
tâm O vì khi KK yx , giảm thì a, b tăng và ngược lại. 
4) Khi K nằm trên trục Ox (yK = 0) thì đường trung hòa song song với trục 
Oy và có phương trình là x = a. 
 Khi K nằm trên trục Oy (xK = 0) thì đường trung hòa song song với trục 
Ox và có phương trình là y = b. 
5) Khi đường trung hòa nằm ngoài mặt cắt thì trên mặt cắt chỉ chịu một loại 
ứng suất: kéo hoặc nén. 
7.4.4. Lõi của mặt cắt ngang 
7.4.4.1. Khái niệm 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 47 
Trong các công trình xây dựng ta dùng các vật liệu dòn như gạch, đá, bê 
tông,  Đối với vật liệu dòn, khả năng chịu nén tốt nhưng chịu kéo kém. Vì vậy 
khi thiết kế những bộ phận công trình nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí đặt lực 
sao cho trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất nén (toàn bộ mặt cắt ngang chịu nén), 
nghĩa là đường trung hòa không cắt qua mặt cắt ngang. Như vậy điểm đặt lực K 
phải nằm trong một miền bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang. Miền này gọi 
là lõi của mặt cắt ngang (lõi tiết diện). 
Từ tính chất trung hoà có thể nằm ngoài mặt cắt ngang, ta luôn tìm được 
một miền có chứa trọng tâm, sao cho lực đặt trong miền đó thì mặt cắt ngang chỉ 
chịu lực cắt hoặc chỉ chịu nén. 
Vậy: Lõi của mặt cắt ngang là một miền bao kín quanh trọng tâm mặt cắt 
ngang. Khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hòa nằm ngoài mặt 
cắt ngang và khi lực lệch tâm đặt trên chu vi miền đó thì đường trung hòa tiếp 
xúc với chu vi mặt cắt ngang. 
7.4.4.2. Xác định lõi mặt cắt 
Lõi của mặt cắt được xác định như sau: 
- Tìm trọng tâm mặt cắt ngang và xác định hệ trục quán tính chính trung 
tâm của mặt cắt ngang. 
- Xác định các điểm đặt lực K: 
+ Vẽ các đường trung hòa tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang. 
+ Mỗi đường trung hòa ta với phương trình đường trung hòa: 
1 
b
y
a
x
Với vị trí của đường trung hòa ta xác định được tọa độ (a,b). 
+ Với mỗi đường trung hòa này ta xác định tọa độ một điểm đặt lực 
K KK yx , theo công thức: 
b
i
y
a
i
x xK
y
K
22
; 
- Xác định lõi: Nối các điểm đặt lực K ta được chu vi của lõi. 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 48 
* Chú ý: Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc chu vi mà không được cắt mặt 
cắt ngang, vì vậy mặt cắt ngang là đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là đa giác lồi 
(H. 7.21). 
Hình 7.21 
7.4.4.3. Lõi của một số mặt cắt ngang thường gặp 
a) Lõi của hình chữ nhật 
- Ta có hệ trục QTCTT Oxy như hình vẽ. 
- Xác định các điểm K: 
+ Khi đường trung hòa trùng cạnh AB, ta có: a = , b = - 
2
h
. 
Tọa độ điểm K tương ứng: 
2 2 2 /12
0;
/ 2 6
y x
K K
i i h h
x y
a b h
+ Khi đường trung hòa trùng cạnh BC, ta có: a = 
2
b
, b = . 
Tọa độ điểm K tương ứng: 0;
6
2
12
2
2
2
b
i
y
b
b
b
a
i
x xK
y
K 
+ Do tính đối xứng ta được các tọa độ tương ứng: 
6
;0
h
 và 
0;
6
b
. 
- Xác định lõi: Nối các điểm K, ta được lõi tiết diện là một hình thoi (H. 
7.21) 
b) Lõi của hình tròn 
Khi đường trung hòa là một tiếp tuyến với đường tròn, ta có: a = , b = 
2
D
. 
y 
E D 
x C 
B A 
F 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 49 
Tọa độ điểm K tương ứng: 
8
2
16;0
2
22 D
D
D
b
i
y
a
i
x xK
y
K 
Do tính đối xứng của tiết diện, ta được lõi tiết diện là một đường tròn đồng 
tâm có đường kính bằng 
8
D
 (H. 7.23) 
 Hình 7.22 Hình 7.23 
Ví dụ 7.8: Cho một mối ghép bu lông như hình vẽ (H. 7.24a). Biết thân bu 
lông đường kính d = 20mm, lực tác dụng lên đầu bu lông P = 6kN có độ lệch tâm 
e = 15mm. 
a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp. 
b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh. Biết 
vật liệu có   214 /kN cm . 
Giải: 
a) Xác định đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp. 
Đây là bài toán kéo lệch tâm. Lực lệch tâm N = P có độ lệch tâm là e = 
15mm = 1,5cm so với tâm thanh (H. 7.24b). 
Gọi K ,K Kx y là điểm đặt lực N, ta có: 1,5 ; 0K Kx cm y . 
Vì lực nằm trên trục x, nên đường trung hòa sẽ song song với trục y và 
phương trình của đường trung hòa: x = a. 
Với: 
2
y
K
i
a
x
Bình phương bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục y: 
y 
b/2 b/2 
h
/2
x 
h
/2
b/6 b/6 
h
/6
h
/6
x 
y 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 50 
4
2 2
2 2
2
264 0,25
16 16
4
y
y
d
J d
i cm
dF
 . 
2
0,25
0,17
1,5
y
K
i
a cm
x
 . 
Vậy: x = - 0,17 
Hình 7.24 
b) Tính các ứng suất pháp cực trị và kiểm tra điều kiện bền của thanh. 
Bên trái trục trung hòa chịu kéo, nên điểm có ứng suất kéo lớn nhất là điểm 
A 1; 0A Ax y và bên phải trục trung hòa chịu nén, nên điểm có ứng suất nén 
lớn nhất là điểm B 1; 0B Bx y (H. 7.25). 
Do đó ứng suất cực đại tại A là: 
ax 22 2 2
2
1,5 1. . . 6
1 1 1
0,252
4
13,37 /
z K A K B K A
m A
y x y
N x x y y N x x
F i i F i
kN cm
 
Do đó ứng suất cực tiểu tại B là: 
min 22 2 2
2
1,5 1. . . 6
1 1 1
0,252
4
9,55 /
z K B K B K B
B
y x y
N x x y y N x x
F i i F i
kN cm
 
Ta có điều kiện bền:   2
ax
13,37 14 /
m
kN cm  . 
a) b) 
e 
e 
z 
N = P 
K B A 
y 
x 
P 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 51 
Vậy: Bảo đảm điều kiện bền. 
Hình 7.25 
7.5. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN 
7.5.1. Khái niệm 
 Một thanh gọi là uốn và xoắn khi trên mặt cắt ngang có ba thành phần 
nội lực là: momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 
7.5.2. Thanh tròn chịu uốn và xoắn 
7.5.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang 
Hình 7.26 
Đối với mặt cắt hình tròn thì mọi trục đi qua tâm O đều là trục quán tính 
chính trung tâm nên đó là uốn phẳng. Hợp hai momen xM và yM ta được uM : 
2 2
u x yM M M 
Mặt phẳng chứa uM là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, đó là mặt 
phẳng tải trọng (V). Giao giữa mặt phẳng tải trọng (V) và mặt cắt ngang là đường 
tải trọng. 
Đường tải trọng 
Đường trung hòa 
A 
x 
v y 
V 
MU 
z 
MZ 
B 
u 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 52 
Do đó trên mặt cắt ngang của thanh tròn có hai thành phần ứng suất: 
- Ứng suất pháp  : do momen uốn uM gây nên uốn phẳng. 
- Ứng suất tiếp  : do momen xoắn zM gây nên phân bố như xoắn thuần 
tuý (bỏ qua lực cắt Q y ). 
7.5.2.2. Ứng suất cực trị và điều kiện bền 
 a) Ứng suất cực trị 
Thanh chịu uốn thuần túy đồng thời chịu xoắn. Đường trung hòa vuông góc 
với đường tải trọng, nên điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm là giao điểm 
của đường tải trọng với chu vi mặt cắt ngang, đó là những điểm xa đường trung 
hòa nhất (H. 7.26). Tại đó ứng suất pháp: 
u
22
u
minmax
WW
yxu
MMM 
  (7.28) 
Và ứng suất tiếp: 
o
zM
W
max  (7.29) 
Với: yxu WWW và 2o uW W . 
c) Điều kiện bền 
Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng: 
 td  (7.30) 
Để tính ứng suất tương đương ta dựa vào các thuyết bền: 
- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 
22
3 4 zyzt  
Với: uW2W o 
2 2 2
3
3
u uW W
x y z t
t
M M M M

- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: 
2 2 2
2 2 4
4
u u
0,75
3
W W
x y z t
t z zy
M M M M
  
* Tổng quát: Điều kiện bền được viết gọn dưới dạng: 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 53 
  
uW
td
td
M
 (7.31) 
Trong đó: 
- Đối với thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 
222
3 zyxt MMMM (7.32) 
- Đối với thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng: 
222
4 75,0 zyxt MMMM (7.33) 
- Đối với mặt cắt ngang tròn: 3u 1,0W D 
Ví dụ 7.9: Một trục truyền bằng thép đường kính d = 60mm chịu lực như 
hình vẽ (H. 7.27). Động cơ điện có công suất và số vòng quay của động cơ là N = 
20kW, n = 500vg/ph tác dụng tại đầu B của trục. Puly có trọng lượng và đường 
kính là G = 2kN, D = 500mm, puly truyền lực kéo nằm ngang có lực kéo trên các 
nhánh của dây đai song song nhau và 21 2TT . 
Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng. Biết 
  2/12 cmkN  , L = 2m. 
Hình 7.27 
Giải: 
- Xác định ngoại lực tác dụng lên trục: 
Momen xoắn trên trục: 
cmkNNm
n
N
xM .2,38382
500
20
.10.55,9.1055,9 33 
Lực căng đai được xác định theo điều kiện cân bằng của momen xoắn: 
2
.
2
.
2
. 221
D
T
D
T
D
TM 
T1 
T2 
A B 
D
G 
d
2
L
2
L
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 54 
 kN
x
D
M
T 53,1
50
2,3822
2 
Do đó: kNTT 06,32 21 
Lực tác dụng tổng của lực căng tác dụng lên trục: 
kNTTT 59,453,106,321 
Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn như trên hình 7.28a. 
- Vẽ biểu đồ nội lực: 
Các biểu đồ nội lực như Hình 7.28b,c,d. 
.100
4
200.2
2
.
2
max kNcm
LP
M x 
kNcm
xLT
M y 5,229
4
20059,4
2
.
2
max 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Hình 7.28 
- Kiểm tra bền: 
Ứng suất tương đương theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: 
G 
T 
Mx 
x 
y 
z 
z 
y 
x 
z 
229,5 
100 
38,2 
z 
My 
Mx 
Mz 
kNcm 
kNcm 
kNcm 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 55 
3
222
u
22
4
1,0
75,0
W
3
D
MMMM zyxtd
zt
  
Mặt cắt nguy hiểm tại C có : 
kNcmMkNcmMkNcmM zyx 2,38;5,229;100 
  22
3
222
4 /12/69,11
0,1.6
2,3875,05,229100
cmkNcmkNt 
  . 
Vậy trục thỏa mãn điều kiện bền. 
Ví dụ 7.10: Trục hộp giảm tốc có gắn một bánh răng trụ răng thẳng chịu tác 
dụng bởi lực tiếp tuyến 1000tP N và lực hướng tâm 400rP N . 
Xác định đường kính d của trục theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất. Biết: 
đường kính trung bình của bánh răng 50cd mm , vật liệu làm trục có 
  24500 /N cm , a = 50mm, b = 20mm. 
Giải: 
- Xác định ngoại lực tác dụng lên trục: 
. 1000 5
2500
2 2
t tb
z
P D x
M Ncm 
. 400 2 800x rM P b x Ncm . 
. 1000 2 2000y tM P b x Ncm 
- Vẽ biểu đồ nội lực: 
Các biểu đồ nội lực như hình 7.29b,c,d 
- Xác định đường kính trục d: 
Ta thấy mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt tại B. Ta có công thức kiểm tra bền 
theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: 
 
2 2 2
3
uW
x y z
t
M M M
 
2 2 2 4
3 3 3
800 2000 2500 1089 10 3300
4500 4500 4500
0,1 0,1 0,1
x
d d d
3
3300
1,95 19,5
0,1 4500
d cm mm
x
 . 
Vậy: 19,5d mm 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 56 
Hình 7.29 
7.6. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT 
7.6.1. Khái niệm 
Một thanh gọi là chịu lực tổng quát khi trên mặt cắt ngang của nó có đầy đủ 
sáu thành phần nội lực: zyxzyx NQQMMM ,,,,, . 
Vì ảnh hưởng của lực cắt yx QQ , đến độ bền là bé nên bỏ qua. 
7.6.2. Thanh tròn chịu lực tổng quát 
7.6.2.1. Ứng suất trên mặt cắt ngang 
Theo nguyên lý cộng tác dụng: 
- Ứng suất pháp: do các thành phần nội lực là lực dọc zN , momen uốn 
yx MM , . 
- Ứng suất tiếp: do các thành phần nội lực là momen xoắn zM . 
Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, nên: 
Mx 
My 
Mz N.cm 
N.cm 
N.cm 
800 
2000 
2500 
b a b 
d
c
 M 
C 
A B 
D 
Pr 
Pt 
A B 
x 
Pt 
y 
z 
My 
Mz 
Mx 
Pr 
M 
C 
D 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 57 
u
uz
W
M
F
N
 max (7.34) 
u
uz
W
M
F
N
 min (7.35) 
o
zM
W
max  (7.36) 
7.6.2.2. Điều kiện bền 
Kiểm tra bền thanh theo một trong các thuyết bền sau: 
- Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (thứ ba): 
  223 4 zyzt 
- Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (thứ tư): 
  224 3 zyzt 
C. CÂU HỎI ÔN TẬP 
1. Thế nào là thanh chịu lực đơn giản, thanh chịu lực phức tạp? Cho ví dụ cụ thể. 
2. Thế nào là uốn xiên? Nội lực trên mặt cắt uốn xiên? Công thức tính ứng suất? 
Vị trí của đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền? 
3. Thế nào là thanh chịu uốn và kéo - nén? Công thức tính ứng suất? Vị trí của 
đường trung hoà? Biểu đồ ứng suất pháp? Điều kiện bền? 
4. Thế nào kéo - nén lệch tâm? Công thức tính ứng suất? Vị trí của đường trung 
hoà? Điều kiện bền? Thế nào lõi của mặt cắt ngang và cách xác định lõi của 
mặt cắt ngang? 
5. Thế nào là thanh chịu uốn và xoắn? Ứng suất trên mặt cắt ngang tròn? Điều 
kiện bền? 
6. Thế nào thanh chịu lực tổng quát? Cách tính ứng suất và điều kiện bền? 
D. TRẮC NGHIỆM 
1. Nội lực của thanh chịu uốn xiên gồm có: 
a) momen uốn xM và yM . 
b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . 
c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 
2. Nội lực của thanh chịu lực tổng quát gồm có: 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 58 
a) sáu thành phần. 
b) bốn thành phần nếu bỏ qua lực cắt 
c) cả hai câu trên đều đúng 
3. Trong các mặt cắt chịu lực nào sau đây chỉ có ứng suất pháp: 
a) uốn và kéo – nắn, kéo – nén lệch tâm, uốn và xoắn. 
b) uốn xiên, uốn và kéo – nén, kéo – nén lệch tâm. 
c) uốn xiên, uốn và kéo – nén, uốn và xoắn. 
4. Nội lực của thanh chịu uốn và kéo – nén gồm có: 
a) momen uốn xM và yM . 
b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . 
c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 
5. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn xiên: 
a) đi qua trọng tâm mặt cắt. 
b) không vuông góc với đường tải trọng. 
c) cả hai câu trên đều đúng 
6. Trong công thức tính ứng suất pháp, giá trị momen uốn qui ước là dương khi: 
a) xM kéo phần dương của trục y và yM kéo phần dương của trục x. 
b) xM kéo phần âm của trục y và yM kéo phần âm của trục x. 
c) cả hai câu trên đều sai. 
7. Nội lực của thanh chịu kéo – nén lệch tâm gồm có: 
a) momen uốn xM và yM . 
b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . 
c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 
8. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu uốn và kéo – nén: 
a) đi qua trọng tâm mặt cắt. 
b) không đi qua trọng tâm mặt cắt. 
c) cả hai câu trên đều đúng 
9. Trong biểu đồ ứng suất pháp: 
a) tại vị trí trục trung hòa có giá trị bằng “0”. 
b) những điểm xa trục trung hòa nhất có ứng suất lớn nhất. 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 59 
c) cả hai câu trên đều đúng. 
10. Nội lực của thanh chịu uốn và xoắn gồm có: 
a) momen uốn xM và yM . 
b) momen uốn xM , yM và lực dọc zN . 
c) momen uốn xM , yM và momen xoắn zM . 
11. Đường trung hòa trong mặt cắt chịu kéo – nén lệch tâm: 
a) không bao giờ qua phần tư có chứa điểm đặt lực. 
b) không đi qua trọng tâm mặt cắt. 
c) cả hai câu trên đều đúng 
12. Qui ước dấu ,  dương khi: 
a) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa cùng 
chiều kim đồng hồ. 
b) quay phần dương trục x đến đường tải trọng hay đường trung hòa ngược 
chiều kim đồng hồ. 
c) cả hai câu trên đều sai. 
13. Nội lực của thanh chịu lực phức tạp gồm có: 
a) hai thành phần. 
b) nhiều thành phần 
c) cả hai câu trên đều đúng 
14. Lõi của mặt cắt là một miền bao quanh trọng tâm mặt cắt sao cho: 
a) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm ngoài 
mặt cắt. 
b) khi lực lệch tâm đặt trong miền đó thì đường trung hoàn toàn nằm trong 
mặt cắt. 
c) cả hai câu trên đều sai. 
15. Phát biểu nào sau đây là đúng trong uốn xiên: 
a) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng nằm cùng một góc 
phần tư của hệ trục tọa độ. 
b) Đường tải trọng và đường trung hòa bao giờ cũng vuông góc với nhau. 
c) Đối với mặt cắt tròn không có uốn xiên. 
Sức bền vật liệu 1 nâng cao 
 60 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1 Nguyễn Đức Cán, Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Tp. HCM, 
2007. 
 2 Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng; Sức bền vật liệu tập 1; NXB Giáo 
dục, 1997. 
 3 Đỗ Tấn Dân; Sức bền vật liệu tập 1; Trường ĐH Cần Thơ, 2000. 
 4 Đặng Việt Cương, Nguyễn Nhật Thăng, Nhữ Phương Mai; Sức bền 
vật liệu tập 1; NXB KH và KT, 2003. 
[5] Thái Thế Hùng; Sức bền vật liệu; NXB KH & KT, Hà Nội, 2006. 
+7,5