Giáo trình Hệ thống điều khiển tự động (Phần 1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ 
BÀI GIẢNG 
HỆ THỐNG 
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 
Bậc Cao Đẳng 
(Bộ Lao động-Thương binh và Xã hội) 
 GV: Nguyễn Đình Hoàng 
 Bộ môn: Điện - Điện tử 
 Khoa: Kỹ thuật Công nghệ 
Quảng Ngãi, năm 2018 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ 
BÀI GIẢNG 
HỆ THỐNG 
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 
Bậc học: CAO ĐẲNG 
 SỐ TÍN CHỈ: 2 
 GV: Nguyễn Đình Hoàng 
 Bộ môn: Điện - Điện tử 
 Khoa: Kỹ thuật Công nghệ 
Quảng Ngãi, năm 2018 
 Lời nói đầu 
Nhằm đáp ứng cho việc giảng dạy môn Lý thuyết Điều khiển tự động bậc Cao Đẳng, 
tác giả đã biên soạn bài giảng này nhằm làm tài liệu học tập cho các lớp chuyên ngành 
Kỹ thuật Điện- Điện tử tại Đại học Phạm Văn Đồng. Tài liệu này được sử dụng cho sinh 
viên các lớp Cao đẳng với thời lượng 30 tiết (2TC). Tác giả hy vọng rằng đây sẽ là tài 
liệu thiết thực cho các bạn sinh viên. 
Trong quá trình biên soạn, chắc chắn tài liệu không tránh khỏi có những sai sót. 
Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ Nguyễn Đình Hoàng - Khoa Kỹ Thuật Công Nghệ - 
Trường Đai học Phạm Văn Đồng. Xin chân thành cảm ơn. 
 Tác giả 
MỤC LỤC 
 Trang 
Chương 1: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động liên tục 
1.1 Khái niệm 
1.2 Các phương pháp mô tả toán học HTĐKTĐ 
1.3 Các qui tắc biến đổi sơ đồ khối 
Chương 2: Đặc tính động học của các khâu cơ bản và của hệ thống đktđ 
liên tục 
2.1 Khái niệm 
2.2 Đặc tính thời gian 
2.3 Đặc tính tần số 
2.4 Các khâu động học cơ bản 
Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống đktđ liên tục 
3.1 Khái niệm chung 
3.2 Tiêu chuản ổn định đại số 
Chương 4: Khảo sát chất lượng hệ thống đktđ liên tục 
4.1 Chỉ tiêu chất lượng 
4.2 Sai số xác lập 
4.3 Đáp ứng quá độ 
4.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng quá độ 
Chương 5: Tổng hợp hệ thống đktđ liên tục 
5.1 Khái niệm 
5.2 Các phương pháp hiệu chỉnh hệ thống 
5.3 Thiết kế hệ thống PID 
Phụ lục 
Tài liệu tham khảo 
1 
1 
6 
12 
19 
19 
19 
21 
25 
39 
39 
44 
49 
49 
50 
53 
58 
62 
62 
63 
64 
71 
72 
1 
CHƯƠNG 1: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 
LIÊN TỤC 
1.1 Khái niệm. 
1.1.1 Giới thiệu chung về hệ thống điều khiển tự động. 
Một câu hỏi khá phổ biến với những người mới làm quen với lý thuyết điều khiển 
là “Điều khiển là gì?”. Để có khái niệm về điều khiển chúng ta xét ví dụ sau. Giả sử 
chúng ta đang lái xe trên đường, chúng ta muốn xe chạy với tốc độ cố định 40km/h. Để 
đạt được điều này mắt chúng ta phải quan sát đồng hồ đo tốc độ để biết được tốc độ của 
xe đang chạy. Nếu tốc độ xe dưới 40km/h thì ta tăng ga, nếu tốc độ xe trên 40km/h thì 
ta giảm ga. Kết quả của quá trình trên là xe sẽ chạy với tốc độ “gần” bằng tốc độ mong 
muốn. Quá trình lái xe như vậy chính là quá trình điều khiển. Trong quá trình điều khiển 
chúng ta cần thu thập thông tin về đối tượng cần điều khiển (quan sát đồng hồ đo tốc độ 
để thu thập thông tin về tốc độ xe), tùy theo thông tin thu thập được và mục đích điều 
khiển mà chúng ta có cách xử lý thích hợp (quyết định tăng hay giảm ga), cuối cùng ta 
phải tác động vào đối tượng (tác động vào tay ga) để hoạt động của đối tượng theo đúng 
yêu cầu mong muốn. 
Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống 
để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trước. Điều khiển tự động là quá trình 
điều khiển không cần sự tác động của con người. 
Trong những năm gần đây, các hệ thống điều khiển (HTĐK) càng có vai trò quan 
trọng trong việc phát triển và sự tiến bộ của kỹ thuật công nghệ và văn minh hiện đại. 
Thực tế mỗi khía cạnh của hoạt động hằng ngày đều bị chi phối bởi một vài loại hệ thống 
điều khiển. Dễ dàng tìm thấy hệ thống điều khiển máy công cụ, kỹ thuật không gian và 
hệ thống vũ khí, điều khiển máy tính, các hệ thống giao thông, hệ thống năng lượng, 
robot,... 
1.1.2 Các thành phần cơ bản của hệ thống điều khiển 
Hình 1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển 
Chú thích các ký hiệu viết tắt: 
- r(t) (reference input): tín hiệu vào, tín hiệu chuẩn 
2 
- c(t) (controlled output): tín hiệu ra 
- cht(t): tín hiệu hồi tiếp 
- e(t) (error): sai số 
- u(t) : tín hiệu điều khiển. 
Để thực hiện được quá trình điều khiển như định nghĩa ở trên, một hệ thống điều 
khiển bắt buộc gồm có ba thành phần cơ bản là thiết bị đo lường (cảm biến), bộ điều 
khiển và đối tượng điều khiển. Thiết bị đo lường có chức năng thu thập thông tin, bộ 
điều khiển thực hiện chức năng xử lý thông tin, ra quyết định điều khiển và đối tượng 
điều khiển chịu sự tác động của tín hiệu điều khiển. Hệ thống điều khiển trong thực tế 
rất đa dạng, sơ đồ khối ở hình 1.1 là cấu hình của hệ thống điều khiển thường gặp nhất. 
1.1.3 Các bài toán cơ bản trong lĩnh vực điều khiển tự động 
Trong lĩnh vực điều khiển tự động có rất nhiều bài toán cần giải quyết, tuy nhiên 
các bài toán điều khiển trong thực tế có thể quy vào ba bài toán cơ bản sau: 
Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động đã biết cấu trúc và thông số. Bài toán đặt ra là 
trên cơ sở những thông tin đã biết tìm đáp ứng của hệ thống và đánh giá chất lượng của 
hệ. Bài toán này luôn giải được. 
Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc và thông số của đối tượng điều khiển. Bài toán đặt ra là 
thiết kế bộ điều khiển để được hệ thống thỏa mãn các yêu cầu về chất lượng. Bài toán 
nói chung là giải được. 
Nhận dạng hệ thống: Chưa biết cấu trúc và thông số của hệ thống. Vấn đề đặt ra là xác 
định cấu trúc và thông số của hệ thống. Bài toán này không phải lúc nào cũng giải được. 
a. Các nguyên tắc điều khiển 
Các nguyên tắc điều khiển có thể xem là kim chỉ nam để thiết kế hệ thống điều khiển 
đạt chất lượng cao và có hiệu quả kinh tế nhất. 
Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi Muốn quá trình điều khiển đạt chất lượng 
cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dòng thông tin: một từ bộ điều khiển đến đối tượng 
và một từ đối tượng ngược về bộ điều khiển (dòng thông tin ngược gọi là hồi tiếp). Điều 
khiển không hồi tiếp (điều khiển vòng hở) không thể đạt chất lượng cao, nhất là khi có 
nhiễu. 
 Các sơ đồ điều khiển dựa trên nguyên tắc thông tin phản hồi là: 
Điều khiển bù nhiễu (hình 1.2): là sơ đồ điều khiển theo nguyên tắc bù nhiễu để đạt đầu 
3 
ra c(t) mong muốn mà không cần quan sát tín hiệu ra c(t) . Về nguyên tắc, đối với hệ 
phức tạp thì điều khiển bù nhiễu không thể cho chất lượng tốt. 
 Hình 1.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển bù nhiễu 
Điều khiển san bằng sai lệch (hình 1.3): Bộ điều khiển quan sát tín hiệu ra c(t) , so sánh 
với tín hiệu vào mong muốn r(t) để tính toán tín hiệu điều khiển u(t) . Nguyên tắc điều 
khiển này điều chỉnh linh hoạt, loại sai lệch, thử nghiệm và sửa sai. Đây là nguyên tắc 
cơ bản trong điều khiển. 
 Hình 1. 3 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển san bằng sai lệch 
Điều khiển phối hợp: Các hệ thống điều khiển chất lượng cao thường phối hợp sơ đồ 
điều khiển bù nhiễu và điều khiển san bằng sai lệch như hình 1.4. 
Hình 1.4 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển phối hợp 
Nguyên tắc 2: Nguyên tắc đa dạng tương xứng: Muốn quá trình điều khiển có chất lượng 
thì sự đa dạng của bộ điều khiển phải tương xứng với sự đa dạng của đối tượng. Tính đa 
dạng của bộ điều khiển thể hiện ở khả năng thu thập thông tin, lưu trữ thông tin, truyền 
tin, phân tích xử lý, chọn quyết định,... Ý nghĩa của nguyên tắc này là cần thiết kế bộ 
điều khiển phù hợp với đối tượng. Hãy so sánh yêu cầu chất lượng điều khiển và bộ điều 
4 
khiển sử dụng trong các hệ thống sau: 
• Điều khiển nhiệt độ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) với điều khiển nhiệt độ lò sấy 
(không chấp nhận sai số lớn). 
• Điều khiển mực nước trong bồn chứa của khách sạn (chỉ cần đảm bảo luôn có 
nước trong bồn) với điều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất 
(mực chất lỏng cần giữ không đổi). 
Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài: Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt động trong 
môi trường cụ thể và có tác động qua lại chặt chẽ với môi trường đó. Nguyên tắc bổ sung 
ngoài thừa nhận có một đối tượng chưa biết (hộp đen) tác động vào hệ thống và ta phải 
điều khiển cả hệ thống lẫn hộp đen. Ý nghĩa của nguyên tắc này là khi thiết kế hệ thống 
tự động, muốn hệ thống có chất lượng cao thì không thể bỏ qua nhiễu của môi trường 
tác động vào hệ thống. 
Nguyên tắc 4: Nguyên tắc dự trữ: Vì nguyên tắc 3 luôn coi thông tin chưa đầy đủ phải 
đề phòng các bất trắc xảy ra và không được dùng toàn bộ lực lượng trong điều kiện bình 
thường. Vốn dự trữ không sử dụng, nhưng cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an 
toàn. 
Nguyên tắc 5: Nguyên tắc phân cấp: Đối với một hệ thống điều khiển phức tạp cần xây 
dựng nhiều lớp điều khiển bổ sung cho trung tâm. Cấu trúc phân cấp thường sử dụng là 
cấu trúc hình cây, ví dụ như hệ thống điều khiển giao thông đô thị hiện đại, hệ thống 
điều khiển dây chuyền sản xuất. 
b. Phân loại hệ thống điều khiển. 
• Hệ thống tuyến tính - Hệ thống phi tuyến 
Hệ thống tuyến tính không tồn tại trong thực tế, vì tất cả các hệ thống vật lý đều là 
phi tuyến. Hệ thống điều khiển tuyến tính là mô hình lý tưởng để đơn giản hóa quá trình 
phân tích và thiết kế hệ thống. Khi giá trị của tín hiệu nhập vào hệ thống còn nằm trong 
giới hạn mà các phần tử còn hoạt động tuyến tính (áp dụng được nguyên lý xếp chồng), 
thì hệ thống còn là tuyến tính. Nhưng khi giá trị của tín hiệu vào vượt ra ngoài vùng hoạt 
động tuyến tính của các phần tử và hệ thống, thì không thể xem hệ thống là tuyến tính 
được. Tất cả các hệ thống thực tế đều có đặc tính phi tuyến, ví dụ bộ khuếch đại thường 
có đặc tính bão hòa khi tín hiệu vào trở nên quá lớn, từ trường của động cơ cũng có đặc 
tính bão hòa. Trong truyền động cơ khí đặc tính phi tuyến thường gặp phải là khe hở và 
vùng chết giữa các bánh răng, đặc tính ma sát, đàn hồi phi tuyến... Các đặc tính phi tuyến 
thường được đưa vào HTĐK nhằm cải thiện chất lượng hay tăng hiệu quả điều khiển. Ví 
dụ như để đạt thời gian điều khiển là tối thiểu trong các hệ thống tên lửa hay điều khiển 
5 
phi tuyến người ta sử dụng bộ điều khiển on-off (bang-bang hay relay). Các ống phản 
lực được đặt cạnh động cơ để tạo ra mômen phản lực điều khiển. Các ống này thường 
được điều khiển theo kiểu full on - full off, nghĩa là một lượng khí nạp vào một ống định 
trước trong khoảng thời gian xác định, để điều khiển tư thế của phi tuyến. 
• Hệ thống bất biến - hệ thống biến đổi theo thời gian 
Khi các thông số của HTĐK không đổi trong suốt thời gian hoạt động của hệ thống, 
thì hệ thống được gọi là hệ thống bất biến theo thời gian. Thực tế, hầu hết các hệ thống 
vật lý đều có các phần tử trôi hay biến đổi theo thời gian. Ví dụ như điện trở dây quấn 
động cơ bị thay đổi khi mới bị kích hay nhiệt độ tăng. 
Một ví dụ khác về HTĐK biến đổi theo thời gian là hệ điều khiển tên lửa, trong đó 
khối lượng của tên lửa bị giảm trong quá trình bay. Mặc dù hệ thống biến đổi theo thời 
gian không có đặc tính phi tuyến, vẫn được coi là hệ tuyến tính, nhưng việc phân tích và 
thiết kế loại hệ thống này phức tạp hơn nhiều so với hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. 
c. Phân loại theo loại tín hiệu trong hệ thống 
• Hệ thống liên tục 
Hệ thống liên tục là hệ thống mà tín hiệu ở bất kỳ phần nào của hệ cũng là hàm 
liên tục theo thời gian. 
• Hệ thống rời rạc 
Khác với HTĐK liên tục, HTĐK rời rạc có tín hiệu ở một hay nhiều điểm trong hệ 
thống là dạng chuỗi xung hay mã số. Thông thường HTĐK rời rạc được phân làm hai 
loại: HTĐK lấy mẫu dữ liệu và HTĐK số. HTĐK lấy mẫu dữ liệu ở dạng dữ liệu xung. 
HTĐK số liên quan đến sử dụng máy tính số hay bộ điều khiển số vì vậy tín hiệu trong 
hệ được mã số hóa, mã số nhị phân chẳng hạn. 
6 
1.2 Các phương pháp mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ. 
Để có cơ sở cho phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác 
nhau, cơ sở đó chính là toán học. Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của 
hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc cao. Việc khảo sát 
hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khăn. Có hai 
phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng 
hơn, đó là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp không gian trạng thái. Phương 
pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại 
số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi 
phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các 
biến phụ (biến trạng thái). Mỗi phương pháp mô tả hệ thống đều có những ưu điểm riêng. 
Trong tài liệu này chúng ta sẽ mô tả hệ thống bằng hương pháp hàm truyền đạt. 
1.2.1 Phép biến đổi Laplace. 
 a. Định nghĩa: 
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t = 0, biến đổi Laplace của f(t) là: 
trong đó: s - là biến phức (biến Laplace) s = ϭ + jω 
L - là toán tử biến đổi Laplace 
F(s) - là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi Laplace. 
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa (1.1) hội tụ. 
 b. Tính chất của phép biến đổi Laplace. 
• Tính tuyến tính: 
Nếu hàm f1(t) có biến đổi Laplace là L{f
1
(t)} = F
1
(s) và hàm f
2
(t) có L{f
2
(t)} = F
2
(s) 
  (1.1) ).()()(
0
+ 
−== dtetftfsF stL
7 
thì: 
  )( )( )( )( 2 2 1 1 22 11 sFasFatfatfa +=+L (1.2) 
• Ảnh của đạo hàm: 
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L {f(t)}= F(s) thì: 
 )0()(
)( +−=



fssF
dt
tdf
L (1.3) 
trong đó f(0+) là điều kiện đầu. Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì: 
 )(
)( ssF
dt
tdf
=



 L 
• Ảnh của tích phân: 
 Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L {f(t)}= F(s) 
thì: 
s
sF
df
t
)(
)(
0
 =



 L (1.4) 
• Định lý chậm trễ: 
 Hình 1.5. Làm trễ hàm f(t) một thời gian là T 
8 
Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có hàm f(t-T). Khi đó: 
   .F(s) etfeTtf TsTs −− ==− )( .)( LL (1.5) 
• Định lý giá trị cuối: 
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L {f(t)}= F(s) thì: 
 (1.6) )(lim)(lim
0
ssFtf
st → →
= 
 c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản 
Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ 
bản. Ví dụ như để khảo sát hệ thống điều khiển ổn định hóa tín hiệu vào được chọn là 
hàm nấc, để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi tín hiệu vào được chọn là hàm hàm 
dốc, nhiễu tác động vào hệ thống có thể mô tả bằng hàm dirac. Tín hiệu ra của hệ thống 
tự động cũng có dạng là tổ hợp của các tín hiệu cơ bản như hàm nấc, hàm mũ, hàm sin, 
 Do đó trong mục này chúng ta xét biến đổi Laplace của các hàm cơ bản để sử dụng 
trong việc phân tích và thiết kế hệ thống ở các phần sau. 
 Hình 1.6 Các hàm cơ bản 
a) Hàm xung đơn vị; b) Hàm nấc đơn vị; c) Hàm dốc đơn vị; d) Hàm parabol; 
e) Hàm mũ; f) Hàm sin 
9 
• Hàm xung đơn vị (hàm dirac) (H.1.6a) 
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống. 
= 
=
0 
0 0
)(
tkhi
tkhi
t thoả 1)( = 
+ 
 −
dtt 
Theo định nghĩa: 
  1 ).().().()(
0
0
0
0
00
++
==== −−
+ 
− dtetdtetdtett stst  (1.7) 
  1 )( = tL 
• Hàm nấc đơn vị (H1.6b) 
Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị. 
=
0 0
0 1
)(
tkhi
tkhi
tu 
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace ta có: 
  
ss
e
s
e
s
e
dtedtetutu
st
stst 1 ).()(
0
000
 = 
−−=−===
 −
+ 
−+ 
−
+ 
−
 L (1.8) 
 
s
 u(t) 1= ... tần số ta có thể dùng biểu đồ Bode biên độ vẽ bằng các đường tiệm cận thay cho biểu 
đồ Bode biên độ vẽ chính xác.Để vẽ biểu đồ Nyquist ta có nhận xét sau: 
1 1Q( )( ) tg tg (T ) (3.46)
P( )
− −   = = −  
 
2
22
2
22
2
2
12
1
1
1
)(
2
1
)( 
+
−
+ 
+
+
=+ 
−




T
T
T
QP
2
22
2
22
22
1)1(2
1
+
−
+ 
+
−
=




T
T
T
T
32 
Điều này chứng tỏ biểu đồ Nyquist của khâu quán tính bậc nhất nằm trên đường tròn 
tâm (
1
2
, 0), bán kính 
1
2
Do pha của G(jω) luôn âm khi ω thay đổi từ 0 đến +∞ nên biểu đồ Nyquist là nửa dưới 
của đường tròn 
 Hình 2.11 Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc nhất 
 a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist 
2.4.5 Khâu vi phân bậc nhất 
Hàm truyền: 1)( += TssG (2.22) 
Đặc tính thời gian: )1).(()().()( +== TssRsGsRsC 
4
1
)1(4
4
)1(4
21
222
22
222
4422
=
+
+
+
+−
=




T
T
T
TT
33 
Hàm quá độ: 1)(
11 (t)tT
s
Ts
h(t) +=



 +
= − L (2.23) 
Hàm trọng lượng: (t)tTthg(t)  +== )()(  (2.24) 
Hàm quá độ của khâu vi phân bậc nhất là tổ hợp tuyến tính của hàm xung đơn vị và hàm 
nấc đơn vị (hình 2.12). Ta thấy rằng khâu vi phân lý tưởng và vi phân bậc nhất có đặc 
điểm chung là giá trị hàm quá độ vô cùng lớn tại t = 0. Hàm trọng lượng là đạo hàm của 
hàm quá độ, chỉ có thể mô tả bằng biểu thức toán học ,không biểu diễn bằng đồ thị được. 
 Hình 2.12. Hàm quá độ của khâu vi phân bậc nhất 
Đặc tính tần số: 
 G(jω) =Tjω +1 (2.25) 
Phần thực: 
 P(jω) =1 (2.26) 
 Phần ảo: 
 Q(ω) =Tω (2.27) 
Biên độ: 2222 )(1)()()(  TQPM +=+= 
 221lg20)(lg20)(  TML +== (2.28) 
34 
Pha: 
 )(
)(
)(
)( 11 


 Ttg
P
Q
tg −− = 
= (2.29) 
So sánh biểu thức (2.28) và (2.29) với (2.20) và (2.21) ta rút ra được kết luận: biểu đồ 
Bode của khâu vi phân bậc nhất và khâu quán tính bậc nhất đối xứng nhau qua trục hoành 
(hình 2.13a). 
Do G(jω) có phần thực P(ω) luôn luôn bằng 1, phần ảo Q(ω) có giá trị dương tăng dần từ 0 
đến +∞ khi thay đổi từ 0 đến +∞ nên biểu đồ Nyquist của khâu vi phân bậc nhất là nửa 
đường thẳng qua điểm có hoành độ bằng 1 và song song với trục tung như hình 2.13b. 
 Hình 2.13. Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất 
 a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist 
2.4.6 Khâu dao động bậc hai 
 Hàm truyền : 
12
1
)(
22 ++
=
TssT
sG

 (2.30) 
 Đặc tính thời gian: 
35 
 )
1
 ( 
2
)(
)().()(
22
2
Tss
sR
sGsRsC n
nn
n =
++
== 


 víi (2.31) 
Hàm trọng lượng: 



++
= −
22
2
1 
2 nn
n
ss
g(t)


L 
 ( )  1sin
1
2
2
t
e
g(t) n
t
n
n


 
−
−
= 
−
 (2.32) 
 Hàm quá độ: 



++
 = −
22
2
1 
2
1
nn
n
sss
h(t)


L 
 ( )  1sin
1
1 2
2


 
+−
−
−= 
−
t
e
h(t) n
t
n
n
 (2.33) 
trong đó θ là góc lệch pha. Biểu thức cho thấy đặc tính thời gian của khâu dao động bậc 
hai có dạng dao động suy giảm, hàm trọng lượng là dao động suy giảm về 0, hàm quá 
độ là dao động suy giảm đến giá trị xác lập là 1 (hình 2.14). 
- Nếu ξ=0 thì h(t) = 1 - sin(
n
t - 90
o
), đáp ứng của hệ là dao động không suy giảm 
với tần số ωn, do đó ωn gọi là tần số dao động tự nhiên của khâu dao động bậc hai. 
- Nếu 0 <ξ<1: 
Đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm dần, ξ càng lớn dao động suy giảm càng 
nhanh, do đó ξ gọi là hệ số tắt (hay hệ số suy giảm). 
 Hình 2.14. Đặc tính thời gian của khâu dao động bậc hai 
 a) Hàm trọng lượng; b) Hàm quá độ 
36 
Đặc tính tần số: 
12
1
)(
22 ++−
=


TjT
jG (2.34) 
Biên độ: 
222222 4)1(
1
)()(


TT
jGM
+−
== (2.35) 
222222 4)1(lg20 
)(lg20)(


TT
ML
+−−=
= 
 (2.36) 
Pha: 
−
−= 
= −−
22
11
1
2
)(
)(
)(




 
T
T
tg
P
Q
tg (2.37) 
Biểu thức cho thấy biểu đồ Bode biên độ của khâu dao động bậc hai là một đường cong. 
Tương tự như đã làm đối với khâu quán tính bậc nhất, ta có thể vẽ gần đúng biểu đồ 
Bode biên độ bằng các đường tiệm cận như sau: 
- Nếu:  < 1/T T < 1 
Thì : L() = -20lg = 0 
 do đó, ta có thể vẽ gần đúng bằng đường thẳng nằm trên trục hoành (độ dốc bằng 0). 
- Nếu  >1/T T > 1: L() = -20lg √(−𝜔2𝑇2)2 = -40lgT 
do đó ta vẽ gần đúng bằng đường thẳng có độ dốc –40dB/dec. 
Ta thấy rằng tại tần số 1/T độ dốc của các đường tiệm cận thay đổi nên tần số 1/T gọi là 
tần số gãy của khâu dao động bậc hai. 
Biểu đồ Bode về pha của khâu dao động bậc hai là một đường cong, để ý biểu thức (2.37) 
ta thấy biểu đồ Bode về pha có điểm đặc biệt sau đây: 
  → 0: () → 0 
 ω = 1/T: () → - 90
o
  → : () → - 180
o
Hình 2.15a minh họa biểu đồ Bode của khâu dao động bậc hai. Các đường cong ở biểu 
37 
đồ Bode biên độ chính là đường L(ω) vẽ chính xác. Biểu đồ Bode biên độ chính xác có 
đỉnh cộng hưởng 
𝑀𝑝 = 1/(2𝜉√1 − 𝜉2) 
tại tần số 𝜔𝑝 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2 
do đó dễ thấy rằng nếu ξ càng nhỏ thì đỉnh cộng hưởng càng cao. Khi ξ=0 thì tần số 
cộng hưởng tiến đến tần số dao động tự nhiên. 
 𝜔𝑝 → 𝜔𝑛 = 1/𝑇. 
Biểu đồ Nyquist của khâu dao động bậc hai có dạng đường cong như minh họa ở hình 
2.15b. Khi ω =0 thì G(jω) có biên độ bằng 1, pha bằng 0; khi 𝜔 → ∞ thì G(jω) có 
biên độ bằng 0, pha bằng –1800. Giao điểm của đường cong Nyquist với trục tung có 
∠𝐺(𝑗𝜔) = −900 
do đó tương ứng với tần số ω =1/T , thay ω =1/T vào biểu thức ta suy ra biên độ tại giao 
điểm với trục tung là 1/2ξ. 
 Hình 2.15 Đặc tính tần số của khâu dao động bậc hai 
 a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist 
38 
Câu hỏi ôn tập chương 2 
1. Ý nghĩa của việc phân tích động học của các khâu cơ bản. 
2. Đặc tính thời gian và tần số của khâu quán tính bậc 1. 
3. Đặc tính thời gian và tần số của khâu dao động bậc 2. 
39 
CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 
 ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC 
3.1 Khái niệm chung 
3.1.1 Định nghĩa 
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp 
ứng của hệ cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO). 
Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng 
thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống. 
Hệ phi tuyến có thể ổn định trong phạm vị hẹp khi độ lệch ban đầu là nhỏ và 
không ổn định trong phạm vị rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn. 
Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị 
tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá 
trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng. 
Phân biệt ba trạng thái cân bằng: Biên giới ổn định, ổn định và không ổn định. 
Trên hình 3.1 nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó một 
vận tốc ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (Hình 3.1a), 
hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 3.1b và d), hoặc sẽ không trở về trạng thái 
ban đầu (Hình 3.1c). Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, 
trường hợp sau là ổn định và trường hợp thứ ba là không ổn định. Cũng ở vị trí b và d 
trên hình 3.1, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu là lớn thì cũng sẽ không trở về trạng thái 
cân bằng ban đầu được - Hai trạng thái b và d của quả cầu chỉ ổn định trong phạm vị hẹp 
mà không ổn định trong phạm vi rộng. 
Hình 3.1 Minh họa trạng thái ổn định 
40 
Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến 
tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân 
tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng. 
3.1.2 Ổn định của hệ tuyến tính 
Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng một phương trình vi phân dạng tổng quát: 
𝑎0
𝑑𝑛𝑐(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎1
𝑑𝑛−1𝑐(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑐(𝑡) = 𝑏0
𝑑𝑚𝑟(𝑡)
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏1
𝑑𝑚−1𝑟(𝑡)
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑟(𝑡) 
 (3.1) 
Phương trình ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tín hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của 
hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng: 
 𝐺(𝑠) = 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑏0𝑠
𝑚+𝑏1𝑠
𝑚−1+⋯+𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛+𝑎1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎𝑛
=
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
 (3.2) 
Nghiệm của (3.1) gồm hai thành phần: 
 c(t) = c0(t) + cqđ(t) (3.3) 
trong đó: 
co(t) - là nghiệm riêng của (3.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập. 
cqđ(t) - là nghiệm tổng quát của (3.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ. 
Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống: 
 𝑐𝑞đ = ∑ 𝜆𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑒
𝑝𝑖𝑡 (3.4) 
trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính: 
 A(s) = a0s
n + a1s
n-1
 ++ an =0 (3.5) 
pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực 
của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm 
cực pi (Pole), i = 1, 2,..., n . 
41 
Zero là nghiệm của phương trình B(s) = 0. Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m 
(m< n) nên hệ thống có m nghiệm zero – zj với j = 1, 2,..., m 
Hệ thống ổn định nếu: 
 lim
𝑡→∞
𝑐𝑞đ(𝑡) = 0 (3.6) 
Hệ thống không ổn định nếu: 
 lim
𝑡→∞
𝑐𝑞đ(𝑡) = ∞ (3.7) 
Trong phương trình (3.4) hệ số λi là hằng số phụ thuộc vào thông số của hệ và trạng thái 
ban đầu. 
Nghiệm cực pi được viết dưới dạng: (3.8) iii jp  = 
Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số. 
1- Phần thực của nghiệm cực dương αi > 0 
2- Phần thực của nghiệm cực bằng không αi = 0 
3- Phần thực của nghiệm cực âm αi < 0 
Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm 
zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay 
phương trình đặc trưng của hệ thống. 
+
=
 →
i
ii
t
tp
i
t
tMe
e
i
i

 

)cos(2
 0
lim
Nếu 
i
 < 0 Hệ ổn định 
Nếu pi là nghiệm phức 
Nếu pi là nghiệm thực (hệ ở biên giới ổn định) 
Hệ không ổn định 
42 
 Hình 3.2 Phân bố cực trên mặt phẳng s 
Kết luận: 
1- Hệ thống ổn định nếu tất cả nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm: 
Re{pi} < 0, αi < 0 các nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức: 
 A(s) = a0s
n + a1s
n-1
 ++ an =0 (3.9) 
2- Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm phương trình đặc tính (3.9) có 
phần thực dương (một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm 
trái). 
3- Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm có phần thực bằng không 
còn lại là các nghiệm có phần thực âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp 
nằm trên trục ảo). Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S. 
Đáp ứng quá độ có thể dao động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương 
trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực. 
Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương trình đặc tính (3.9) theo một 
cách nào đó. Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định: 
1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz 
2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov - Nyquist - Bode 
3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỹ đạo nghiệm số. 
43 
3.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 
3.2.1 Điều kiện cần 
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải 
khác 0 và cùng dấu. 
Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: 
 s3+3s2 - 2s +1=0 không ổng định 
 s4 + 2s2 +5s +3 = 0 không ổn định 
 s4 +4s2 +5s2 +2s +1 = 0 chưa kết luận được 
3.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng 
 a0s
n + a1s
n-1
 ++ an =0 
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng 
Routh theo qui tắc: 
- Bảng Routh có n+1 hàng. 
- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn. 
- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ. 
- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i = 3) được tính theo công thức: 
 1,11,2 . +−+− −= jiijiij ccc với 
1,1
1,2
−
−
=
i
i
i
c
c
s
n
 c11
= a
0
 c
12
= a
2
 c
13
= a
4
 c
14
= a
6
- 
s
n-1
 c21
=a
1
 c
22
= a
3
 c
23
= a
5
 c
24
= a
7
- 
21
11
3
c
c
= 
s
n-2
 c31
=c
12
- 
3
c
22
 c
32
=c
13
- 
3
c
23
 c
33
=c
14
- 
3
c
24
 c
34
=c
15
- 
3
c
25
- 
31
21
4
c
c
= 
s
n-3
 c41
=c
22
- 
4
c
32
 c
42
=c
23
- 
4
c
33
 c
43
=c
24
- 
4
c
34
 c
44
=c
25
- 
4
c
35
 - - - - - 
1,1
1,2
−
−
=
n
n
n
c
c
 s0 c
n1
=c
n-2,2
- 
n
c
n-1,2
- 
44 
Phát biểu tiêu chuẩn Routh: 
Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt 
phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu 
của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. 
Ví dụ 3.1 : Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 
 s4+ 4s3+5s2 +2s+1=0 
Giải: 
Bảng Routh: 
 S4 1 5 1 
 S3 4 2 0 
𝛼3 =
1
4
S2 5 −
1
4
. 2 =
9
2
1 
𝛼3 =
8
9
 S
1 
2 −
8
9
. 1 =
10
9
0 
𝛼3 =
81
20
 S
0 1 
Vì tất cả các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương 
trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định. 
Ví dụ 3.2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau: 
 Hình 3.3: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 3.2 
45 
Giải. Phương trình đặc trưng của hệ thống là 
 1+G(s).H(s) =0 
1 +
50
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠2 + 𝑠 + 5)
.
1
𝑠 + 2
= 0 
⇔ 5𝑠2 + 6𝑠4 + 16𝑠3 + 31𝑠2 + 30𝑠 + 50 = 0 
Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có hai 
nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định. 
Ví dụ 3.3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau 
 Hình 3.4: Sơ đồ khối hệ thống tự động 
Xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định. 
Giải. Phương trình đặc tính 
 1+G(s) = 0 
1 +
𝐾
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
.
1
𝑠 + 2
= 0 
⇔ 𝑠4 + 3𝑠3 + 3𝑠2 + 2𝑠 + 𝐾 = 0 
46 
Bảng Routh: 
 S4 1 3 K 
 S3 3 2 0 
𝛼3 =
1
3
 S
2 
3 −
1
3
. 2 =
7
3
 K 
𝛼3 =
9
7
 S
1 
2 −
9
7
. 𝐾 0 
 S0 K 
Điều kiện để hệ thống ổn định: 
 2 =
9
7
𝐾 > 0 và K > 0 
Suy ra: 
 0 < 𝐾 <
14
9
3.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 
 a0s
n + a1s
n-1
 ++ an =0 
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma 
trận Hurwitz theo qui tắc: 
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n. 
- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an . 
- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên 
phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu 
ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 
47 
Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz. 
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo 
của ma trận Hurwitz đều dương, 
Ví dụ 3.6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là 
 s3 + 4s2 +3s +2 = 0 
Hỏi hệ thống có ổn định không? 
Giải. Ma trận Hurwitz 
Các định thức: 
Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ 
thống ổn định. 
48 
Câu hỏi ôn tập chương 3 
1. Thế nào là một hệ thống ổn định? 
2. Các tiêu chuẩn ổn định? Vì sao phải dùng nhiều tiêu chuẩn ổn định? 
3. Ý nghĩa của việc phân tích ổn định trong thiết kế hệ thống tự động?