Giáo trình Cơ học đại cương

 §¹i häc ®µ n½ng 
 Tr−êng ®¹i häc B¸ch KHOA 
 khoa s− ph¹m kü thuËt 
 -------¶ ·------- 
 bµi gi¶ng 
c¬ häc ®¹i c−¬ng - MÐcanique gÐnÐrale 
 (C¥ Häc vËt r¾n – dao ®éng vµ sãng c¬) 
dïng cho sinh viªn ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s− chÊt l−ỵng cao 
 (L¦U HµNH NéI Bé) 
 Biªn so¹n : 
 L£ CUNG - Khoa s− ph¹m kü thuËt 
 ®µ n¨ng 2006 
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 PHÁƯN I : 
 CÅ HOÜC VÁÛT RÀÕN 
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
Chỉång än táûp: 
 MÄÜT SÄÚ KHẠI NIÃÛM VAÌ ÂËNH LYÏ CÅ BAÍN 
 CUÍA ÂÄÜNG HOÜC VAÌ ÂÄÜNG LỈÛC HOÜC HÃÛ CHÁÚT 
§1. Håüp váûn täúc - Håüp gia täúc : 
Xẹt hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy e
 GGG G GG z2
chiãúu (R ). Goüi (;Oe,e,e) vaì (;Oe,e,e) laì hai hãû 
 1 11xy1z1 22xy2z2 ez1
toüa âäü Descartes láưn lỉåüt gàõn liãưn våïi (R1) vaì (R2). ()R2
 1) Chuyãøn âäüng tỉång âäúi cuía hai hãû quy chiãúu : O2
 a) Vẹctå quay : 
 G ()R1 ey2
Vectå quay Ω R2/R1 cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy ex2
chiãúu (R ) : O1
 G1 GGG
 Ω=R2/R1 Ωx2..eexy2 +Ω2 y2 +Ωz2.ez2 våïi : ey1
 G
 G ⎛⎞de
 y2 Suy ra : 
 Ω=xz22()te.⎜⎟ ex1
 ⎝⎠dt /1R
 G G
 ⎛⎞dex2 G
 ⎜⎟=ΩR2/Rx1 ×e 2
 ⎝⎠dt /1R
 G
 G G
 G ⎛⎞de ⎛⎞dey2 G
 z2 = Ω×e 
 Ω=yx22()te.⎜⎟ ⎜⎟ R2/Ry1 2
 ⎝⎠dt /1R ⎝⎠dt /1R
 G G
 G de de G G
 ⎛x2 ⎞ ⎛⎞z2 
 Ω=zy22()te.⎜⎟ ⎜⎟= Ω×R2/Rz1 e 2
 ⎝⎠dt ⎝⎠dt
 G /1R /1R
Vectå Ω R2/R1 âàûc trỉng cho chuyãøn âäüng quay cuía hãû (R2) âäúi våïi hãû (R1) vaì âỉåüc goüi laì vectå 
quay kẹo theo. 
b) TrỉåìnGg håüp (R2) chuyãøn âäüng tënh tiãún tỉång âäúi so våïi (R1) : 
Ta cọ : Ω=RR2/ 1 0 
 G G G
 ⎛⎞dex2 ⎛⎞dey2 ⎛⎞dez2
⇒ = 0 ; ⎜⎟= 0 ; ⎜⎟= 0 
 ⎜⎟dt dt
 ⎝⎠/1R ⎝⎠dt /1R ⎝⎠/1R
 z2
 z1
 ()R2
 O2
 ()R1
 y2
 O1 x2
 y1
 x1
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 GGG
 ⇒ Cạc vẹctå eexy22,,ez2vaì moüi vectå gàõn liãưn våïi hãû quy chiãúu (R2) âãưu laì khäng âäøi trong hãû 
quy chiãúu (R ). 
 1 JJJJJG
 G ⎛dOO ⎞
Váûn täúc vO() = ⎜12⎟âàûc trỉng cho chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía hãû (R2) so våïi hãû (R1). 
 2/R1 dt
 ⎝⎠/1R
b) Trỉåìng håüp hãû (R2) quay tỉång âäúi xung quanh mäüt trủc cäú âënh cuía hãû (R1): 
Giaí sỉí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh trủc cäú âënh (O1z1) 
cuía hãû quy chiãúu (R ) vaì giaí sỉí O = O , hai trủc (O z ) vaì (O z ) 
 1 1 2 1 1 2 2 z1= z2
truìng nhau. G
 ΩR/R1
Vectå quayG cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : 2
  G
 Ω=R2/R1 θ.ez1 
 JJJGJJJG JJJGJJJG O1 = O2
 y2
Trong âọ : θ ==(,OOxx12)(Oy1,Oy2) 
 θ
 b) Trỉåìng håüp täøng quạt : θ 
 y1
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, chuyãøn âäüng tỉång âäúi cuía hãû (R2) x1
 x2
cuía so våïi hãû (R ) cọ thãø xem laì håüp cuía hai chuyãøn âäüng : 
 1 JJJJJG
 G ⎛⎞dOO
 • Chuyãøn âäüng tënh tiãún våïi váûn täúc : 12 
 vO()2/R1= ⎜⎟
 ⎝⎠dt
 G /1R
 • Chuyãøn âäüng quay våïi vectå quay ΩR2/R1 cọ phỉång chiãưu thay âäøi theo thåìi gian. 
2) Âảo haìm cuía mäüt vectå trong hãû (R ) vaì trong hãû (R ): 
 G 1 2 G GG
Xẹt mäüt vẹctå Ut() phủ thuäüc vaìo thåìi gian t vaì âỉåüc mä taí trong cå såí (,eexy22,ez2) cuía hãû (R2) 
 G GGG
nhỉ sau : Ut()=+Ux22.exyU2.ey2+Uz2.ez2 
 G
 G ⎛⎞dU dU G dU GGdU
Âảo haìm cuía trong hãû (R ) : xz22y2 
 Ut() 2 ⎜⎟=+..eex22yz+.e2
 ⎝⎠dt dt dt dt
 G /2R G
 G ⎛⎞dU ⎛⎞dU G G
Âảo haìm cuía trong hãû (R ) : 
 Ut() 1 ⎜⎟= ⎜⎟+ΩRR2/ 1 ×U
 dt dt
 ⎝⎠/1RR⎝⎠/2
3) Håüp váûn täúc : 
Xẹt hãû quy chiãúu (R ) chuyãøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R ). Xẹt mäüt âiãøm M chuyãøn 
 2 JJJJ1 JG
 G G ⎛dO M ⎞
âäüng våïi váûn täúc trong hãû quy chiãúu (R ): 2 vaì chuyãøn âäüng våïi 
 vM()/R2 2 vM()/ R = ⎜⎟
 2 ⎝⎠dt
 JJJJJG / R 2
 ⎛⎞
 G G dO1M
váûn täúc vM() trong hãû quy chiãúu (R1) : vM()= 
 /R1 / R1 ⎜⎟
 ⎝⎠dt / R
 GGG 1
Âënh lyï håüp váûn täúc : vM() =+v()M vM() 
 /1R eR/2 JJJJJG
 G JJJJJG ⎛⎞
 GG G dO12O
Trong âọ : vM()=+v(O) Ω×OM ; vO()= 
 eR2/1 R2/R1 2 2/R1 ⎜⎟
 ⎝⎠dt / R
 G 1
 vMe () âỉåüc goüi laì váûn täúc theo cuía âiãøm M. 
 4
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 G
Váûn täúc theo vMe () cuía âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh laì váûn täúc trong hãû (R1) cuía âiãøm 
M* gàõn liãưn våïi hãû (R ) vaì tải thåìi âiãøm âang xẹt M* truìng våïi âiãøm M. M* goüi laì truìng âiãøm 
 2 G G
cuía M tải thåìi âiãøm nọi trãn : vMeR()= v(M*)/1 
4) Håüp gia täúc : 
Xẹt hãû quy chiãúu (R ) chuyãøn âäüng tỉång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R ). Xẹt mäüt âiãøm M chuyãøn 
 2 G 1
âäüng trong hãû quy chiãúu (R2) våïi gia täúc aM() vaì trong hãû quy chiãúu (R1) våïi gia täúc 
 G /R2
 aM(). 
 /R1 GGGG
 Âënh lyï håüp gia täúc : aM() =+a()M a()M +aM() 
 /1R eCG /R2
 GG ⎛⎞dΩ JJJJJG G G JJJJJG
Trong âọ : RR2/ 1
 aeR()M =+a(O21) ⎜⎟×OM2 +ΩR2/R1×(ΩR2/R1×OM2 ) 
 dt
 ⎝⎠/1R
 G
 ae (M) âỉåüc goüi laì gia täúc theo cuía âiãøm M. 
 G
Gia täúc theo ae (M) cuía âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh laì gia täúc trong hãû (R1) cuía truìng 
 G G
âiãøm M* cuía âiãøm M tải thåìi âiãøm nọi trãn : aMeR()= a(M*)/1 
 GGG
Vaì : aMCR()=Ω2 2/R1 ×v(M)/R2 
 G
 aC (M) âỉåüc goüi laì gia täúc Coriolis cuía âiãøm M. 
5) Cạc trỉåìng håüp chuyãøn âäüng âàûc biãût cuía (R2) âäúi våïi (R1): 
a) Hãû (R ) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R ) : 
 2 G 1 z1= z2
Ta cọ : Ω=RR2/ 1 0 
 GG
Do âọ : vM()=v(O) 
 GeRG2/1 H M = M* 
 aM()= a(O) G
 eR2/1 
 G Ω y2
 aMC ()= 0 R2/R1
b) Hãû (R2) quay quanh mäüt trủc cäú âënh cuía (R1) : O1 = O2 θ 
Giaí sỉí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh trủc cäú y1
 x1 θ
âënh (O1z1) cuía hãû quy chiãúu (R1) vaì giaí sỉí O1 = O2, 
hai trủc (O z ) vaì (O z ) truìng nhau. 
 1 1 2 2 x2
Vectå quay cuía hãû quy chiãúu (R ) âäúi våïi hãû quy 
 G 2
  G
chiãúu (R1) : Ω=R2/R1 θ.ez1 
Trong trỉåìng håüp naìy, ta cọ : 
 G
 vO() = 0 (do O cäú âënh trong R ) 
 2/R1 JJJJG 2 1
 GG
 vMez()=×θ.e1 HM 
 G
 aO() = 0 (do O cäú âënh trong R ) 
 2/R1 JJJJG JJJJG 2 1
 GG  2
 aMez()=×θθ.e1 HM−.HM 
Trong âọ : H laì hçnh chiãúu cuía M trãn trủc quay Oz = Oz . 
 G 1 2 G G JJJJG
 • Ghi chụ : Gia täúc aM() gäưm hai thaình pháưn : Thaình pháưn ae=×θ. HMvuäng gọc våïi 
 e JJJJG τ z1
 G 2
HM (gia täúc tiãúp tuyãún) vaì thaình pháưn an =−θ .HM hỉåïng tỉì M vãư H (gia täúc hỉåïng tám). 
 5
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
§2. Khäúê lỉåüng vaì khäúi tám cuía hãû cháút - Hãû quy chiãúu khäúi tám : 
 2) Khäúi lỉåüng cuía hãû : 
 • Xẹt mäüt hãû cháút (S) gäưm n cháút âiãøm M khäúi lỉåüng m . 
 i i (dV) 
Khäúi lỉåüng m cuía hãû (S) : M 
 mm= ∑ i
 i
 (V) 
 • Nãúu hãû (S) laì mäüt táûp håüp vä hản cạc cháút âiãøm phán bäú liãn tủc 
trong thãø têch V, khäúi lỉåüng m cuía hãû: mM= ∫∫∫ ρ().dV 
 V
Våïi : ρ(Μ) laì khäúi lỉåüng riãng cuía phán täú thãø têch dV cuía hãû bao quanh âiãøm M (khäúi lỉåüng cuía 
phán täú dV: dm = ρ()M .dV ). 
 • Hãû goüi laì âäưng nháút nãúu nhỉ khäúi lỉåüng riãng ρ = hàịng säú vaì khäng phủ thuäüc vaìo âiãøm M. 
2) Khäúi tám (Quạn tám) : 
Xẹt mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi trỉåìng ngoaìi bao quanh hãû) gäưm n cháút âiãøm Mi 
cọ khäúi lỉåüng mi. Goüi O laì mäüt âiãøm báút kyì. 
Khäúi tám G cuía hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi : 
 JJJK JJJJJG
 våïi : 
 mO.G= ∑mi.OMi mm= ∑ i 
 i JJJJJG i
Nãúu choün O åí G: O≡ G thç : 
 ∑mGi.0Mi=
 i
Ghi chụ : 
 • Giaí sỉí hãû (S) bao gäưm tỉì hai hãû (S1) vaì (S2) láưn lỉåüt cọ khäúi tám laì G1 vaì G2, cọ khäúi lỉåüng laì 
m vaì m , khäúi tám chung G cuía hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi : 
 1 2 JJJK JJJJG JJJJG
 ()mm12+=.OGm1.OGm1+2.OG2 
 • Khi mäüt hãû laì âäưng nháút vaì cọ mäüt pháưn tỉí âäúi xỉïng (màût âäúi xỉïng, trủc âäúi xỉïng..), khäúi tám 
G cuía hãû seỵ nàịm trãn pháưn tỉí âäúi xỉïng naìy. 
3) Hãû quy chiãúu khäúi tám: 
Chuyãøn âäüng cuía hãû cháút (S) âỉåüc nghiãn cỉïu trong hãû quy chiãúu (R). 
Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R), laì hãû quy chiãúu gàõn liãG ưn våïi khäúi 
tám G cuía hãû cháút (S) vaì chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc vG()/ R . 
Khi âọ, theo âënh lyï håüp váûn täúc vaì håüp gia täúc, ta cọ: 
 GGG z 
 vM()//RR=v(G)+vM()* 
 GG z
 våïi :vM()*= vM() (R*)
 GG/*RG
 G
 aM()//RR=+a(G) aM()* (R) 
 GG x 
 våïi : aM()*= aM() y
 /R* O
Chỉïng minh: y 
 x
Do hãû (RG*) chuyGãøn âäüng GGtënh tiãún trong hãû (GR), nãn: 
 vMeR()= v(G)/ ; aMeR()= a(G)/ ; aMC ()= 0 
 6
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 GGG
Thãú maì: vM()=+v()M vM() 
 GG//R eRG*
 ⇒ vM()//RR=v(G)+vM()* 
 GGGG
Vaì : aM()=+a()M a()M +aM() 
 GG//R eCG R*
 ⇒ aM()//RR=+a(G) aM()* 
§3. Âäüng lỉåüng vaì momen âäüng lỉåüng cuía mäüt hãû cháút: 
1) Âäüng lỉåüng : 
a) Âënh nghéa : G
Xẹt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm M cọ khäúi lỉåüng m , cọ váûn täúc v trong hãû quy chiãúu (R). 
 G i i i
Âäüng lỉåüng P cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : 
 G G
 Pm= ∑ i.vi
 i
Cuỵng cọ thãø viãút: JJJJJG
 G dOM d ⎛⎞JJJJJG d JJJG
 i 
 P ==∑∑mii⎜⎟m OM i=()mOG
 iidt dt ⎝⎠dt
 G G
 ⇒ Pm= .(vG) våïi : 
 mm= ∑ i
 i
b) Âäüng lỉåüng trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : 
Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), khäúi tám G laì âiãøm cäú âënh ⇒ Váûn täúc cuía khäúi tám G trong 
 G G
hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : vG()*= 0 ⇒ Âäüng lỉåüng P * cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi 
 G G
tám (R*) : Pm*.==v(G)*0 
2) Momen âäüng lỉåüng : 
a) Âënh nghéa : G
Xẹt mäüt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm M cọ khäúi lỉåüng m , cọ váûn täúc v trong hãû quy chiãúu (R). 
 G i i i
Momen âäüng lỉåüng L0 cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : 
 G JJJJJG G
 LO0 =∑ Mi×mivi 
 i
b) Âënh lyï Koenig vãư momenG âäüng lỉåüng : 
 • Momen âäüng lỉåüng L0 cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : 
 G JJJG G G
 LO=×Gmv()G+L*
 G 0 G 
våïi : LG * : Momen âäüng lỉåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy chiãúu (R*); G laì khäúi 
 G
tám cuía hãû; vG(): Váûn täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). 
 G
 • Suy ra, momen âäüng lỉåüng LG cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : 
 GGJJJG G G G
 LGGG=×Gmv()G+L* ⇒ LGG= L* 
3) Mämen âäüng lỉåüng khäúi tám: 
Momen âäüng lỉåüng cuía mäüt hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phủ thuäüc vaìo âiãøm 
tênh toạn. 
 7
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 G
Tháût váûy, goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, LA * laì momen âäüng lỉåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm A trong 
 G*
hãû quy chiãúu (R*), vi laì váûn täúc cuía âiãøm Mi trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), ta cọ: 
 G JJJJJG GGJJJG JJJJJG JJJG GJJJJJG G
 **** 
 LA* =×∑∑AMmi iiv=( AG+GMi)×mivi=AG×∑(mivi) +∑(GMmi×iiv)
 ii ii
 G G G G
Båíi vç: * Suy ra: L **= L 
 Pm*==∑( iiv) 0 AG
 i
4) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt truG ûc : 
Hçnh chiãúu cuía momen âäüng lỉåüng L0 cuía hãû cháút (S) âäúi våïi âiãøm O, trãn trủc ∆ âi qua O âỉåüc 
goüi la ì momen âäüng lỉåüng cuía hãû (S) âäúi våïi trủc ∆. 
 G G G
 LL∆= 0 .e∆ våïi : e∆ vẹctå âån vë cuía trủc ∆ 
§4. Täøng âäüng lỉûc vaì mämen âäüng lỉûc cuía mäüt hãû cháút : 
1) Täøng âäüng lỉûc: G
Xẹt hãû (S) gäưm n cháút âiãøm M cọ khäúi lỉåüng m , cọ gia täúc a trong hãû quy chiãúu (R). 
 G i i i
 • Täøng âäüng lỉûc S cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R): 
 G G
 S= ∑ miai
 i
 • Tỉång tỉû nhỉ âäüng lỉåüng, ta cọ: 
 G G
 våïi : 
 Sm= a(G) mm= ∑ i
 i
 G
 G dv d ⎛⎞G d GG
Chỉïng minh: i 
 S ==∑∑mii⎜⎟m vi=()mvG=ma()G
 iidt dt ⎝⎠dt
 G
 G G G dP
 • Giỉỵa täøng âäüng lỉûc S vaì âäüng lỉåüng P cọ hãû thỉïc: S = 
 dt
2) Momen âäüng lỉûc: G
 • Momen âäüng lỉûc DO cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R): 
 G JJJJJG G
 DO=∑OMi×miai
 i
 • Tỉång tỉû momen âäüng lỉåüng, cuỵng cọ âënh lyï Koenig vãư momen âäüng lỉûc: 
 GGJJJG G
 D =×OG ma()G +D * 
 G OG
 *
 DG : momen âäüng lỉûc cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*); G laì khäúi 
 G
tám cuía hãû, aG() laì gia täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). 
 G
 • Suy ra momen âäüng lỉûc DG cuía hãû cháút (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : 
 GGJJJG G G G
 DGG=×Gma()G+DG* ⇒ DGG= D* . 
 • Tỉång tỉû momen âäüng lỉåüng, momen âäüng lỉûc âäúi våïi hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phủ 
thuäüc vaìoGG âiãøm tênh toạn. Nãúu goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, ta cọ: 
 DD**= 
 AG G
 G G dL G G G
 • Giỉỵa D vaì L ta cọ hãû thỉïc: O =−DOv( )×mv(G) 
 O O dt O
 8
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 G
 dL G
Nãúu O laì mäüt âiãøm cäú âënh trong (R) hay O≡ G thç: O = D 
 dt O
Chỉïng minh:G 
 dL d ⎛⎞JJJJJG GGGGJJJJJG G
Ta cọ: O = OM ×m v =−×()v v()O m v +OM ×m a 
 dt dt ⎜⎟∑∑iii i ii∑iii
 ⎝⎠iiG i
 GG GG dL G G G
Thãú maì: vv×=0 vaì mv = mv(G), nãn : O =−Dv()O×mv(G) 
 ii ∑ ii dt 0
 i G
 dL G
Nãúu O cäú âënh trong R hay O≡ G, säú hảng thỉï hai cuía vãú phaíi bàịng 0, vaì: O = D 
 dt 0
§5. Âäüng nàng cuía mäüt hãû cháút : 
1) Âënh nghéa : G
Âäüng nàng cuía hãû (S) gäưm n cháút âiãøm Mi, cọ khäúi lỉåüng mi chuyãøn âäüng våïi váûn täúc vi trong hãû 
 1
quy chiãúu (R) : 2 
 EK= ∑ mvii
 i 2
2) Âënh lyï Koenig vãư âäüng nàng : 
Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : 
 1
 Em=v()G2 +E* våïi : 
 KKmm= ∑ i
 2 i
Våïi : EK * : Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*). 
Chỉïng minh: 
 11GG2 1G G 1G
Ta cọ: 2*2** 
 EK==∑∑mviiiim ()v()G +v ) =mv(G)+Ek+2v()G ∑mvii
 ii22 2 i2
 G G 1
Thãú maì: * , nãn: 2 
 Pm*0=∑ iiv=EmKK=+v()GE*
 i 2
§6. Mäüt säú âënh lyï cå baín cuía âäüng lỉûc hoüc hãû cháút : 
1) Âënh lyï vãư täøng âäüng lỉûc (hay âënh lyï vãư âäüng lỉåGüng) : 
 • Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), täøng âäüng lỉûc S cuía mäüt hãû cháút khẹp kên (S) bàịng täøng 
 G G G
 F ext cuía táút caí cạc ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû: SF= ext 
 G
 • Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo haìm theo thåìi gian cuía täøng âäüng lỉåüng P cuía mäüt hãû 
 G G
 ext dP G
cháút khẹp kên (S) bàịng täøng F cuía táút caí cạc ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû : = F ext 
 dt
 G
 dP G G G
Nhỉ váûy ta cọ: ==Sma()G=Fext 
 dt
2) Âënh lyï vãư momen âäüng lỉûc (hay âënh lyï vãư momenG âäüng lỉåüng): 
 • Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), momen âäüng lỉûc D cuía mäüt hãû cháút khẹp kên (S) âäúi våïi 
 GG OG
âiãøm O bàịng momen MF(ext ) âäúi våïi âiãøm O cuía täøng F ext cuía táút caí cạc ngoải lỉûc tạc dủng lãn 
 GO GG
 ext
hãû: DMOO= (F) 
 9
Baìi giaíng Cå hoüc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Âaì nàơng 
 G
 • Trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg), âảo haìm theo thåìi gian cuía momen âäüng lỉûåüng L cuía mäüt 
 G G O
hãû cháút (S) khẹp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trong (Rg) bàịng momen MF(ext ) âäúi våïi âiãøm O 
 G O
 G dL G GG
cuía täøng F ext cuía táút caí ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû: O ==DM(Fext ) (Våïi O laì âiãøm cäú 
 dt OO
âënh trong (Rg)). G
 G
 dLO GG
Tháût váûy, ta cọ: =−DO v(Om)×v(G) våïi O laì mäüt âiãøm báút kyì. Khi O laì âiãøm cäú âënh 
 dt G G
 G dL G dL G GG
trong Rg, ta cọ: v(O) = 0, do âọ: O = D . Tỉì âọ suy ra: O ==DM()Fext 
 dt O dt OO
Ghi chụ: 
• Trỉåìng håüp O khäng phaíi laì âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhỉng O truìng våïi ... rảng thại biãún dảng âỉåüc âàûc trỉng båíi ten xå 
 ε
biãún dảng ij thç bao giåì ta cuỵng cọ thãø xạc âënh âỉåüc tải âiãøm âọ cọ 3 
phỉång vuäng gọc våïi nhau chè cọ biãún dảng daìi kyï hiãûu 
 ε ε ε (ε > ε > ε )ε ε ε
 I , II , III I II III . Cạc giạ trë I , II , III laì biãún dảng daìi cỉûc 
trë goüi laì biãún dảng chênh. 
Coìn phỉång cạc biãún dảng chênh goüi phỉång chênh trãn cạc màût phàĩng 
vuäng gọc phỉång chênh khäng cọ biãún dảng trỉåüt. Biãún dảng chênh laì 
nghiãûm cuía phỉång trçnh sau: 
 3 2 3
 ε()α − ℑ ε()α + ℑ ε()α − ℑ = 0
 1 2 3 
 ℑ ℑ ℑ
 1, 2 , 3 : báút biãún cuía ten xå biãún dảng våïi. 
 ℑ = ε = ε + ε + ε
 1 ii 11 22 33 
 ε ε ε ε ε ε
 ℑ = 1 ()ε ε − ε ε = 11 21 + 22 32 + 33 13
 2 ij jj ij ij ε ε ε ε ε ε 
 2 12 22 23 33 31 11
 ε ε ε
 11 21 31
 ℑ = ε ε ε
 3 12 22 32 
 ε ε ε
 13 23 33
 −
 θ = dV dV0 = ε + ε + ε = ℑ θ
 11 22 33 , âäü biãún âäøi tè âäúi thãø tênh 
 dV0
 ε
Thay (α) vaìo phỉång trçnh: 
 ⎧()ε − ε()α n + ε n + ε n = 0
 ⎪ 11 1 21 2 31 3
 ⎨ε n + ()ε − ε()n + ε n = 0
 12 1 22 α 2 32 3 
 ⎪ε + ε + ()ε − ε =
 ⎩ 13n1 23n 2 33 ()α n3 0
 2 + 2 + 2 = ⇒
Våïi n1 n 2 n 3 1 n1, n 2n 3 cạc phỉång chênh. 
3.Ten xå cáưu vaì lãûch biãún dảng. 
 ⎡ε 0 0⎤
 ⎢ ⎥
 ' ' ε' = ε
 ε = ε + ε ij 0 0
 ij ij ij trong âọ ⎢ ⎥ goüi laì ten xå cáưu 
 ⎣⎢0 0 ε⎦⎥
 ε = 1 ()ε + ε + ε
Våïi 3 11 22 33 . 
 ε − ε ε ε
 ⎡ 11 21 31 ⎤
 ε" = ⎢ ε ε − ε ε ⎥
 ij ⎢ 12 22 32 ⎥ 
 ⎢ ε ε ε − ε⎥
 ⎣ 13 23 33 ⎦
 §4.PHỈÅNG TRÇNH TỈÅNG THÊCH BIÃÚN DẢNG. 
6 thaình pháưn cuía ten xå biãún dảng bẹï âỉåüc xạc âënh 3 thaình pháưn ui 
chụng phủ thuäüc vaìo nhau. 
Sỉû phủ thuäüc naìy baío âaím cho cạc biãún dảng tỉång thêch våïi nhau (vç 
MTLT sau khi biãún dảng váùn coìn LT). 
Âãø baío âaím tênh liãn tủc ta phaíi loải boí cạc thaình pháưn ui âỉåüc quan hãû 
giỉỵa cạc âảo haìm cuía cạc thaình pháưn ten xå. 
 Tỉì âáy ta nháûn âỉåüc 6 phỉång trçnh âäüc láûp 
 ω = 1 − = 1 −
 . ij,k (ui,kj uủ,ki ) (ui, jk ủ ) 
 2 2 j,i k
 1
 = ()u − u − u − u = ε − ε
 2 i,jk k,ij k,ij j,ik ik,j jk,i 
 ε ω
Cho ij tçm ui theo trãn ta cáưn tçm ij 
 (ε − ε )
Âiãưu kiãûn cáưn vaì âuí âãø ik,j jk,i dx i cọ vi phán toaìn pháưn. Maì 
 =
 Aidxi cọ vi phán toaìn pháưn, khi Ai,m A m,i nãn 
 ε + ε − ε − ε =
 ik,jm jm,ik jk,im im,jk 0 
 ∂ 2ε ∂ 2ε ∂ 2ε ∂ 2ε
 ij + km − jk − im = 0
hay: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 x k x m x i x j x i x m x j x k
 §5.TÄÚC ÂÄÜ BIÃÚN DẢNG, VÁÛN TÄÚC XOẠY. 
1.Ten xå täúc âäü biãún dảng. 
 ⎛ ∂ ∂u ⎞
 d ε = 1 d ⎜ ui + j ⎟
 ij ⎜ ∂ ∂ ⎟ 
 dt 2 dt ⎝ x j x i ⎠
 d ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ du ⎞ ∂v
 ⎜ i ⎟ = ⎜ i ⎟ = i
 ⎜ ∂ ⎟ ∂ ∂ 
 dt ⎝ x j ⎠ x j ⎝ dt ⎠ x j
 dε 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞
 D = ij = ⎜ i + j ⎟
Ta kyï hiãûu ij ⎜ ∂ ∂ ⎟ Ten xå täúc âäü biãún dảng 
 dt 2 ⎝ x j x i ⎠
2.Ten xå váûn täúc xoạy. 
 dω 1 ⎛ ∂v ∂v ⎞
 V = ij = ⎜ i − i ⎟
Coìn ij ⎜ ∂ ∂ ⎟ Ten xå váûn täúc xoạy. 
 dt 2 ⎝ x j x i ⎠
 Ω = Ω = Ω =
 1 V32 , 2 V13; 3 V21 
 r 1 r
 Ω = rotV
 2 
3.Váûn täúc lán cáûn tải 1 âiãøm P. 
 ⎛ ∂v ⎞
 V = V + ⎜ i ⎟ dX = V + ()D dx + (V )dX
 Qi Pi ⎜ ∂x ⎟ j Pi ij P j ij j 
 ⎝ j ⎠P
 r = r + r + r
Hay VQ VP Vbd VΩ 
 r = Ωr ∧ r
Váûn täúc xoạy: VΩ dx 
 CHỈÅNG III: TRẢNG THẠI ỈÏNG SUÁÚT. 
 §1. TRẢNG THẠI ỈÏNG SUÁÚT TẢI MÄÜT ÂIÃØM 
1.Lỉûc màût, lỉûc thãø têch. Näüi lỉûc. 
a.Lỉûc màût. 
 r r
 r ∆Q dQ ⎛ dQ ⎞
 f ()M = lim = ⎜ fi()M = i ⎟
 ∆S→0 ∆S dS ⎝ dS ⎠ 
b.Lỉûc thãø têch (khäúi) 
 ⎧ dm
 r r ⎪ρ()M = máût âäü khäúi lỉåüng 
 F()M = K()M ρ()M ⎨ dV
 ⎪ r() 
 ⎩ K M Lỉûc tạc dủng lãn mäüt âån vë khäúi lỉåüng 
 ()= ()ρ()
 Fi M K i M M 
c.Näüi lỉûc. 
 r
 r ∆f
 T =
 ntb ∆S laì ỉïng suáút trung bçnh 
 ∆r r
 r = f = df
 Tn lim laì vẹc tå ỉïng suáút tải M. 
 ∆S→0 ∆S dS
 = dfi
hay Tni , T =- T
 dS n -n 
 r = σr +τr σ τ
 Tn n : ỉïng suáút phạp; : ỉïng suáút tiãúp 
2.Ten xå ỉïng suáút. 
Xẹt phán täú láûp phỉång trong hãû 
toüa âäü Âãư cạc 
 r r r
 e1, e2 , e3 
 r r r
 T1,T2 ,T3 vaì 
 r = σ r + σ r + σ r
 T1 11e1 12e2 13e3 
 r
 r = σ r + σ r + σ r = σ r
 T2 21e1 22e2 23e3 hay Ti ijei 
 r = σ r + σ r + σ r
 T3 31e1 32e2 33e3 
 σ
 ij ten xå hảng 2 goüi laì ten xå ỉïng suáút. 
3.ỈÏng suáút tải 1 âiãøm M. 
Xẹt phán täú tải M: MABC 
 nr laì phạp tuyãún, nilaì cos chè phỉång våïi cạc màût phàĩng toüa âäü 
diãûn têch ABC: dS 
 =
 dSi nidS 
 − r r
Lỉûc màût gäưm: Ti & Tn 
 r r
Lỉûc khäúi: ρK & −ρW 
Xẹt cán bàịng cạc lỉûc lãn phán täú: 
 r − r + ρ()r − r =
 Tn dS Ti dSi K W dV 0 
 r − r + ρ()r − r =
 Tn dS Ti ni dS K W dV 0 
 r r r r dV
 ⇒ T − T n + ρ()K −W = 0
 n i i dS 
 ()→ → r = r
Khi ABC M dV 0 : Ta cọ: Tn Ti n i maì 
 r = σ r
 Ti ij e j 
 r = σ r = σ
Nãn Tn ij ni e j ; hay Tn j ijn i 
Ten xå ỉïng suáút tải âiãøm xạc âënh trảng thại ỉïng suáút tải âiãøm áúy. 
§2.PHỈÅNG TRÇNH CHUYÃØN ÂÄÜNG VAÌ CÁN BÀỊNG 
CUÍA MTLT. 
1.Phỉång trçnh chuyãøn âäüng. 
Theo nguyãn lyï D’alambe 
 r r r
 T dS + ()K −W ρdV = 0
 ∫∫ n ∫∫∫ 
 SV
 r ∧ r + r ∧ ()r − r ρ =
 ∫∫ x Tn dS ∫∫∫x K W dV 0 
 SV
 ∫∫T ds + ∫∫∫(K −W )ρdV = 0
hay nK K K (*) 
 V
 ε + ε (− )ρ =
 ∫∫ ijK x jTnK dS ∫∫∫ ijK x j K K WK dV 0 (**) 
 SVCọ 2 chè säú bàịng nhau
 ε = 0
Trong âọ ijK kyï hiãûu Spin = 1 hoạn vë chàơn
 = −1 hoạn vë leí
 ()= σ
Theo cäng thỉïc Gao xå: TnK iKni 
 ∂σ
 σ n dS = iK dV
 ∫∫ iK i ∫∫∫ ∂ 
 SVx i
 ⎡∂σ ⎤
 ⇒ ⎢ iK + ()K −W ρ⎥dV = 0
 (*) ∫∫∫ ∂ K K 
 V ⎣ xi ⎦
 ∂σ
 iK + (K −W )ρ = 0 →
vç V báút kyì ∂ K K phỉång trçnh chuyãøn âäüng nãúu 
 xi
 r = =
 W 0 WK 0 : 
 ∂σ
 iK + K ρ = 0
 ∂ K phỉång trçnh cán bàịng. 
 xi
2.Âënh luáût âäúi ỉïng cuía ỉïng suáút tiãúp. 
Tỉì (**), thay: 
 ⎛ ∂σ ∂x ⎞
 e x σ n dS = e ⎜x iK + j σ ⎟dV
 ∫∫ ijK j iK i ∫∫∫ ijK ⎜ j ∂ ∂ iK ⎟ 
 SV⎝ x i x i ⎠
 ⎛ ∂σ ⎞
 = e ⎜x iK + σ ⎟dV
 ∫∫∫ ijK ⎜ j ∂ jK ⎟ . 
 V ⎝ x i ⎠
Ta cọ: 
 ⎡∂σ ⎤
 e x ⎢ iK + ()K −W ρ⎥dV + e σ dV = 0
 ∫∫∫ ijK j ∂ K K ∫∫∫ ijK jK 
 V ⎣ xi ⎦ V
 ⇒ σ = ⇒ σ = σ σ = σ σ = σ
 eijK jK 0 12 21; 23 32 ; 31 13 
 σ = σ
Hay ij ji ten xå âäúi xỉïng. 
3.Quy luáût biãún âäúi ỉïng suáút khi thay âäøi hãû toüa âä.ü 
 → ' ' '
Tải M, Mx1, x 2 , x 3 Mx1, x 2 , x 3 
 = ()'
 a ij cos xi , x j 
 σ' = σ
 ij a ima jn mn 
 σ = σ =
 mn bmibnj ij bij a ji 
Trong hãû toüa âäü cong. 
 ⎛ ∂θi ⎞
 ⎜a i = ⎟
 j ∂θ'j
 'ij i j mn ⎜ ⎟
 σ = σ 'i
 a a ⎜ ∂θ ⎟ 
 m n ⎜bi = ⎟
 ⎝ j ∂θ j ⎠
 σmn = m nσ'ij
 bi b j 
 §3. ỈÏNG SUÁÚT CHÊNH VAÌ PHỈÅNG CHÊNH, CẠC BÁÚT 
 BIÃÚN CUÍA TEN XÅ ỈÏNH SUÁÚT. 
 r = σr
 Tn n 
 = σ = σ
 Tnj nj ij n j 
 σ = δ
 ỉïng suáút chênh; n j ijn i 
 σ − σδ = ⇒ (σ − δ σ) =
 ijn i ijn i 0 ij ij n i 0 
 ⎧()σ − σ n + σ n + σ n = 0
 ⎪ 11 1 21 2 31 3
 σ + ()σ − σ + σ =
 ⎨ 12n1 22 n2 32n3 0
hay ⎪σ + σ + (σ − σ)= (*) 
 ⎩ 13n1 23n2 33 n3 0
Âãø hãû phỉång trçnh cọ nghiãûm. 
 σ − σ σ σ
 11 21 31
 del σ − δ σ = σ σ − σ σ = 0
 ij ij 12 22 32 
 σ σ σ − σ
 13 23 33
 σ3 − σ2 + σ − =
 I1 I 2 I3 0 
 = σ = σ + σ + σ
 I1 ii 11 22 33 
 σ σ
 σ σ 22 32 σ σ
 I = 11 21 33 13
 2 σ σ + σ σ + σ σ ( I1,I2 ,I3 cạc báút 
 12 22 23 33 31 11
 biãún) 
 = σ
 I3 del ij 
 σ > σ > σ
 I II III ỉïng suáút chênh. 
 σ
Thay I ... vaìo (*) ⇒ n1, n 2 , n3 
Tải M cọ cạc phỉång chênh. 
 ⎡σ 0 0 ⎤ T = σ n
 ⎢ I ⎥ n1 I 1
 σ = 0 σ 0 T = σ n
 ij ⎢ II ⎥ ; n2 II 2 
 ⎢ σ ⎥ = σ
 ⎣ 0 0 III ⎦ Tn3 IIIn 3
 §4.ỈÏNG SUÁÚT TIÃÚP CỈÛC TRË. 
 τ2 = T .T − σ2
 n ni ni n 
 σ = T .n = T n + T n + T n
 n ni i n1 1 n2 2 n3 3 
 σ = σ 2 + σ 2 + σ 2
 n I n1 II n 2 IIIn3 
 τ2 = σ2 2 + σ2 2 + σ2 2 − ()σ 2 + σ 2 + σ 2 2
 n I n1 IIn 2 IIIn 3 I n1 II n 2 IIIn 3
 = ()σ2 − σ2 2 + ()σ2 − σ2 2 + σ2
 I III n1 1 III n 2 III 
 − []()σ − σ 2 + (σ − σ )2 + σ 2
 I III n1 II III n 2 III 
 ∂τ ∂τ
 n = 0 n = 0
 ∂ ; ∂ 
 n1 n2
 {σ − σ − 2[()σ − σ n 2 + (σ − σ )n2 ]}n = 0
 ⇒ I III I III 1 III III 2 1
 {σ − σ − []()σ − σ 2 + (σ − σ )2 } = 
 II III 2 I III n1 II III n 2 n 2 0
 ≠ =
Xẹt trỉåìng håüp 1: n1 0;n2 0 
 = ≠
Xẹt trỉåìng håüp 2: n1 0;n 2 0 
 1 1
 ⇒ n = ± ;n = 0;n = ±
Trỉìång håüp 1û 1 2 2 3 2 
 1 1
 ⇒ n = 0; n = ± ; n = ±
Trỉìång håüp 2 1 2 2 3 2 
 1 1
 n = ± ;n = ;n = 0
Tỉång tỉû 1 2 2 2 3 
 σ −σ
 τ = ± II III
 I 2
 σ −σ σ −σ
 ⇒ τ = ± I III ⇒ τ = τ = I III
 II max II
 2 2 
 σ −σ
 τ = ± I II
 III 2
§5. BIÃØU DIÃÙN TRẢNG THẠI ỈÏNG SUÁÚT BÀỊNG VOÌNG 
TROÌN M 0 
Cho 1 màût våïi cạc phỉång chênh tải M: våïi cạc cos chè phỉång 
 n1, n 2 , n3 
 = α = β = γ
 n1 cos ;n2 cos ;n3 cos 
Ta cọ cäng thỉïc tênh ỉïng suáút phạp vaì tiãúp trãn màût: 
 ⎧ σ = σ n 2 + σ n 2 + σ n 2
 ⎨ n I 1 II 2 III 3
 τ 2 = σ 2 2 + σ 2 2 + σ 2 2 − ()σ 2 + σ 2 + σ 2 2 våïi 
 ⎩ n I n1 2 n2 III n3 I n1 II n2 III n3
 2 + 2 + 2 =
 n1 n 2 n 3 1 
 ⎧ τ 2 + ()σ −σ (σ −σ )
 ⎪n 2 = n n II n III ≥ 0
 1 ()σ −σ (σ −σ )
 ⎪ I II I III
 ⎪ τ 2 + ()σ −σ (σ −σ )
 ⇒ ⎨n 2 = n n III n I ≥ 0
 2 ()σ −σ (σ −σ )
 ⎪ II III II I våïi 
 ⎪ τ 2 + ()σ −σ (σ −σ )
 n 2 = n n I n II ≥ 0
 ⎪ 3 ()σ −σ (σ −σ )
 ⎩ III I III II
 σ > σ > σ
 I II III 
 ⎧τ2 + ()σ − σ (σ − σ )≥ 0
 ⎪ n n II n III
 ⇒ ⎨τ2 + ()σ − σ (σ − σ )≤ 0
 n n III n I hay 
 ⎪ τ2 + ()σ − σ (σ − σ )≥
 ⎩ n n I n II 0
 ⎛ σ + σ ⎞2 ⎛ σ − σ ⎞2
 τ2 + ⎜σ − II III ⎟ ≥ ⎜ II III ⎟
 n ⎝ n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
 ⎛ σ + σ ⎞ ⎛ σ − σ ⎞2
 τ2 + σ − I III ≤ I III
 n ⎜ n ⎟ ⎜ ⎟
 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 
 ⎛ σ + σ ⎞2 ⎛ σ − σ ⎞2
 τ2 + ⎜σ − I II ⎟ ≥ ⎜ I II ⎟
 n ⎝ n 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
 ()σ τ
Choün màût phàĩng toüa âäü n , n 
(I)(II)(III) Voìng troìn Mo nå cho ta nháûn tháúy cạc giạ trë ỉïng suáút phạp 
 σ τ
 n vaì ỉïng suáút tiãúp n trãn mäüt màût phàĩng báút kyì thuäüc phảm vi cuía tam 
giạc cong ABC cuía ba voìng troìn M0 . 
Cạch xạc âënh ỉïng suáút trãn 1 màût phàĩng báút kyì khi biãút phỉång cuía màût. 
 σ σ σ α β β
Giaí sỉí I , II , III ta cọ 3 voìng troìn M0 . Våïi cạc gọc , , , ta seỵ xạc âënh 
 ∈ ∆ σ τ
âỉåüc 1 âiãøm K ABC maì n , n laì toüa âäü cuía K. Biãøu thë ỉïng suáút phạp 
vaì tiãúp cuía màût. 
Âäúi våïi phỉång chênh III våïi gọc γ , tỉì voìng troìn III: 2γ âiãøm G 
 tỉì voìng troìn I : 2α = CD 
Ta cọ âỉåìng cong troìn våïi tám O3 , bạn kênh O3D : ta cọ cung DE. 
Ta cọ âỉåìng cong troìn våïi tám O1 , bạn kênh O1G : ta cọ âỉåìng cong GH. 
 K laì giao âiãøm cuía 2 cung DE vaì GH. 
 CHỈÅNG IV: QUAN HÃÛ GIỈỴA ỈÏNG SUÁÚT 
 VAÌ BIÃÚN DẢNG CUÍA CẠC MÄI TRỈÅÌNG 
 THỈÅÌNG GÀÛP. 
 §1. CHÁÚT LOÍNG NHÅÏT. 
 σ = − δ +τ
1.Ten xå ỉïng suáút ij p0 ij ij 
-P0 ạp suáút. 
 τ
- ij : ten xå ỉïng suáút nhåït. 
Trong cháút lỉu, ỉïng suáút nhåït liãn hãû våïi nàng lỉåüng hao tạn âỉåüc thãø 
hiãûn qua ten xå täúc âäü biãún dảng D ij : 
 τ = ( )
 ij fij D pq : cháút loíng Xtäúc. 
Nãúu tuyãún tênh họa ta cọ dảng: 
 τ =
 ij Ki jpq Dpq goüi cháút loíng Niu tån ( K ijpq hãû säú nhåït) 
Nãúu cháút loíng âäưng cháút thç K laì hàịng säú. 
Nãúu cháút loíng khäng âäưng cháút thç K laì haìm cạc toüa âäü. 
 =
 Kijpq cọ 81 thaình pháưn. K ijpp 0 ()i ≠ j 
 ≠ λ µ
Chè täưn tải K iipp 0 . 9 thaình pháưn våïi hàịng säú âäüc láûp: 1 & 1 
 = = = µ + λ
 K1111 K 2222 K3333 2 1 1 
 = = = λ
 K1122 K1133 K 2233 1 
 =
 K iipp K ppii 
 λ µ λ
Trong âọ 1 & 1 goüi laì hãû säú nhåït: 1 liãn hãû våïi täúc âäü biãún dảng 
thãø têch. 
 µ
 1 liãn hãû våïi täúc âäü biãún dảng 
hçnh dạng. 
 ε = λ θδ + µ
Khi âọ ij 1 & ij 2 1Dij 
2.Phỉång trçnh xạc âënh cuía cháút loíng Niu tån: 
 σ = − δ + λ θδ + µ
 ij p ij 1 & ij 2 1Dij 
Khai triãøn: 
 σ = − + λ θ + µ σ = µ
 11 p 1 & 2 1D11; 12 2 1D12 
 σ = − + λ θ + µ σ = µ
 22 p 1 & 2 1D22 ; 23 2 1D23 
 σ = − + λ θ + µ σ = µ
 33 p 1 & 2 1D33; 13 2 1D13 
 θ = + + = r
Våïi & D11 D22 D33 divV 
 r
Âäúi våïi cháút lỉu khäng chëu nẹn ( divV = 0 ) 
 σ = − δ + µ
Phỉång trçnh cọ dảng: ij p ij 2 1Dij 
3.Hãû phỉång trçnh cå baín cuía cháút loíng Niu tån. 
Theo biãún Å le: 
 Dρ r
 + ρdivV = 0
+Phỉång trçnh liãn tủc: Dt (1) 
 ∂σ Dv
 ij + ρK = ρ i
+Phỉång trçnh chuyãøn âäüng: ∂ i (3) 
 x j Dt
 Du ∂C
 ρ = σ D − j + ρb
+Phỉång trçnh nàng lỉåüng: ij ij ∂ (1) 
 dt x j
 σ
 - ijDij : Haìm hao tạn. u: nàng lỉåüng riãng 
trong 
 -C j :lỉu lỉåüng nhiãût. 
 -.b :hãû säú bỉïc xả. 
 σ = − δ +λ δ θ + µ
+Phỉång trçnh xạc âënh: ij p ij 1 ij & 2 1Dij (6) 
 = (ρ )
+Phỉång trçnh trảng thại: P P ,T (1) 
+Âiãưu kiãûn truyãưn nhiãût cuía Furiã: 
 ∂T
 C = −K
 j ∂ (3) 
 x j
+Phỉång trçnh trảng thại Caläri: 
 = ()ρ
 u u ,T (1) 
 ρ σ
Gäưm 16 phỉång trçnh våïi 16 áøn säú: ,Vi ,C j ,u,T, ij , P 
Âáy laì hãû phỉång trçnh âảo haìm riãng tuyì tỉìng cạc baìi toạn củ thãø cáưn 
bäø sung âiãưu kiãûn biãn vaì âiãưu kiãûn ban âáưu. 
 σ
Lỉu yï: Thay Dij vaìo ij thç phỉång trçnh chuyãøn âäüng ta nháûn âỉåüc 
phỉång trçnh Nariã-Xtäc. 
 ∂ρ ∂ 2V ∂ 2V DV
 − + ()λ + µ j + µ i + ςK = ρ i
 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ i 
 xi xi x j x j x j Dt
Dảng vẹc tå: 
 r Dvr
 − gradρ + ()λ + µ grad divvr + µ ∆vr + ρK = ρ
 1 1 1 Dt 
 r
Âäúi våïi cháút lỉu khäng nẹn âỉåüc (khäng chëu nẹn) divv = 0 
 ∂ ∂ ∂
 ∆ ∆ = + +
 toạn tỉí Laplace ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 
 x1 x 2 x 3
 §2.CHÁÚT RÀÕN ÂAÌN HÄƯI. ÂËNH LUÁÛT HOOKE. 
1.Váût âaìn häưi tuyãún tênh. 
 -Phủc häưi vãư trảng thại ban âáưu khi thäi tạc dủng lỉûc. 
 -Liãn tủc. 
 -Âäưng cháút. 
 -Âàĩng hỉåïng. 
2.Âënh luáût Hooke. 
Cuỵng giäúng nhỉ cháút loíng Niutån quan hãû giỉỵa ỉïng suáút våïi biãún dảng 
bẹ ta cọ: 
 σ = ε
 ij Aijkl kl 
 4
 A ijkl : ten xå hảng 4 cọ: 3 = 81 thaình pháưn. 
 σ ε ≤ →
Do tênh âäúi xỉïng cuía ij & kl nãn coìn 36 21thaình pháưn. 
Âäúi våïi mäi trỉåìng âaìn häưi âàĩng hỉåïng. 
Âënh luáût Hooke: 
 σ = λδ ε + µε λ µ
 ij ij kk 2 ij , : hàịng säú Lam ã 
Giaíi ngỉåüc lải ta cọ quan hãû giỉỵa biãún dảng vaì ỉïng suáút: 
 ε = 1 δ σ + 1 σ
 ij 2µ()3λ + 2µ ij kk 2µ ij 
 σ = ε
Trong kẹo âån theo 1 phỉång: ta cọ 11 E 11 (E: mä âun âaìn häưi) 
 ε = ε = −νε
coìn 22 33 11 ( ν: hãû säú Pootxäng) 
Tỉì âáy ta cọ cạc quan hãû giỉỵa cạc hàịng säú: 
 Eν E
 λ = ;µ =
 ()1 + ν (1 − 2ν) 2()1 + ν 
 3λ + 2µ λ
 E = µ ;ν =
hay λ + µ 2()λ + µ 
Thãú vaìo âënh luáût Hooke: 
 E ⎛ ν ⎞
 σ = ⎜ε + δ ε ⎟
 ij ()1 + ν ⎝ ij 1 − 2ν ij kk ⎠ 
 + ν ν
 ε = 1 σ − δ σ
 ij E ij E ij kk 
3.Giaíi baìi toạn tènh cuía lyï thuyãút âaìn häưi âäưng cháút âàĩng hỉåïng. 
a)Theo chuyãøn vë phỉång trçnh Lamã. 
 ∂σ
 ij + ρK = 0
Phỉång trçnh cán bàịng: ∂ i 
 x j
 ⎛ ∂ ∂ ⎞
 ε = 1 ⎜ ui + ui ⎟
Cäng thỉïc Cäsi ij ⎜ ∂ ∂ ⎟ 
 2 ⎝ x j x i ⎠
-6 phỉång trçnh tỉång thêch biãún dảng. 
-Quan hãû giỉỵa ỉïng suáút vaì biãún dảng: 
 σ = λδ ε + µε
 ij ij kk 2 ij 
 Våïi âiãưu kiãûn trãn biãn cho chuyãøn vë trãn toaìn biãn 
 ()= ()(∈ )
 ui x Qi x ; x S 
 σ ε
ta cọ gäưm 15 phỉång trçnh våïi 15 áøn säú u i , ij , ij 
 σ →
Tỉì phỉång trçnh cán bàịng ta thay ij ui ta nháûn âỉåüc: 
 ∂ 2u ∂ 2u
 µ i + ()λ + µ j + ρK = 0
 ∂ ∂ ∂ ∂ i 
 x j x j x j xi
 µ∆r + ()µ + λ r + ρ r =
Hay dảng Vẹc tå: u grad divu K 0 
 r − ()µ r + ρ r =
hay: ()λ + 2µ grad divu rotrotu K 0 
phỉång trçnh Lamã. 
 r r r
(vç ∆u = grad divu − rotrotu ) 
b)Theo ỉïng suáút phỉång trçnh Bentrami-Misen. 
 ε σ
Thãú ij qua ij theo phỉång trçnh tỉång thêch biãún dảng. 
 ∂ 2 ⎛ ∂K ∂K ⎞ ν ∂K
 ∆σ + 1 S = 1 ⎜ i + j ⎟ − δ k 1
 ij +ν ∂ ∂ ρ ⎜ ∂ ∂ ⎟ −ν ij ∂ ρ 
 1 xi x j ⎝ x j xi ⎠ 1 xk
 λ
 ν = ;S = σ
Våïi 2()λ + µ kk 
 r 1 ∂ 2S
 K = cte ⇒ ∆σ + = 0
Nãúu ij + ν ∂ ∂ > phỉång trçnh Bentrami-
 1 x i x j
Misen . 
 σ ()()= ()()∈
Âiãưu kiãûn biãn theo ỉïng suáút ji x,t n j x f ni x,t , x S