Bài giảng Xác suất thống kê - Đại cương về giải tích tổ hợp - Phan Trung Hiếu

9/2/2015
1
LOG
O
XÁC SUẤT
THỐNG KÊ
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.
Trang web môn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp.
Chương 1: Đại cương về Xác suất.
Chương 2: Biến ngẫu nhiên.
Chương 3: Một số phân phối xác suất quan
trọng.
Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng
tham số.
Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê.
9/2/2015
2
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng
dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê
ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.
[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,
Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.
Các tài liệu tham khảo khác.
8
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, 
FX 570ES, FX 570ES Plus.
LOG
O
Chương 0:
ĐẠI CƯƠNG VỀ
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
10
-Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không
có định nghĩa.
I. Tập hợp:
-Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau
cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này
trở thành phần tử của tập hợp.
Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong
giờ môn XSTK tại phòng A .
1.1. Khái niệm: 
11
▪ Tập hợp: A, B, C,,X, Y, Z,
1.2. Ký hiệu: 
▪ Phần tử: a, b, c,,x, y, z,
▪ x là một phần tử của tập hợp A: 
▪ x không là một phần tử của tập hợp A: 
x A 
x A 
▪ : số phần tử của tập hợp A.A
12
 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn
(đếm được, thấy được cụ thể)
1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: 
Ví dụ 1:
 A 2, 3, 4, 5
3 A 5 A 0 A 
Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và
bé hơn 6:
A 4
9/2/2015
3
13
Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn
1000:
 B 0,1, 2, , 997, 998, 999
Chú ý: Phương pháp liệt kê
- Không quan tâm thứ tự liệt kê.
- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không
lặp lại.
500 B B 1000
14
Trưng tính: 
- Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử
trong tập hợp.
- Hay dùng khi số phần tử là vô hạn.
Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn:
 A x x và 2x 
10 A 101 A 4 A 
15
Ví dụ 2:
B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại
phòng A..}
 Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín,
không tự cắt.
A
2
3
4
5
73 A
7 A
Ví dụ 1:
 2,3,4,5A 
16
Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai
môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5
bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký
chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai
môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể
thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể
thao.
2CL BB3 2
7 bạn đăng ký
3 bạn không đăng ký
17
1.4. Tập hợp con: 
A B B A
A là tập con của B, ký hiệu:
A chứa trong B B chứa A
A
B
A B x A x B  
I. Tập hợp:
18
Ví dụ:
{1, 2, 3, 5, 7}A 
{1, 2, 8}C 
{1, 5}B 
C A
B A

9/2/2015
4
19
1.5. Tập hợp rỗng: 
-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.
Ví dụ 1:
A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng
A. mà có số tuổi lớn hơn 80} A 
Ví dụ 2: B x x và 2 1x B 
Quy ước: là tập con của mọi tập hợp.
Chú ý: là tập tất cả các tập con của X.( )X
( )X { }.A A X 
( ) 2 ,nX n: số phần tử của X.
20
1.6. Tập hợp bằng nhau: 
A B
A B
B A
 
 
II. Các phép toán tập hợp:
21
2.1. Phép giao: 
 |A B x x A x B  và
A B
A B
A
B A B  
(A và B rời nhau)
22
2.2. Phép hợp: 
 |A B x x A x B  hay
A B
A B
II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ: 
{1, 2, 3, 4}A 
{3, 4, 5, 6, 7}B 
{2, 8, 9}C 
A B {3, 4}
A C 
B C 
A B 
A C 
B C 
{2}

{1,2,3,4,5,6,7}
{1,2,3,4,8,9}
{2,3,4,5,6,7,8,9}
23
2.3. Phép lấy hiệu: 
 |\A B x x A x B và
A B
\A B
24
9/2/2015
5
II. Các phép toán tập hợp:
Ví dụ: 
{1, 2, 3, 4}A 
{3, 4, 5, 6, 7}B 
{6, 7, 8, 9}C 
\A B {1, 2}
\A C 
\C A 
\A A 
\B  
A
C

\C B {8, 9}
B
25
2.4. Phép lấy bù: 
 |A x X x A 
A
A
X
Nhận xét: A A 
A A X
26
II. Các phép toán tập hợp:
27
Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên 
dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn 
hơn 10. Hỏi ?A 
X 
Giải
A 
 |A x X x A 1, 2, 3, 4,...,10
{1, 2, 3, 4, 5,....}
{11, 12, 13, 14, 15,....}
III. Các tính chất:
3.1. Phân phối: 
 A B C A B A C    
 A B C A B A C    
3.2. De Morgan: 
A B A B 
A B A B 
3.3: 
X
A A
B
B A B A B B A B A   
IV. Quy tắc đếm:
29
4.1. Quy tắc cộng: 
Công việc 
Phương án
(Trường hợp)
1 cách
2 cách
 
k cách
1 2 ... kn n n cách
thực hiện
1 n
2 n
 kn
30
Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có
mấy cách chọn 1 quần để mặc?
Giải
TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây:
Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. 
4 cách.
3 cách.
Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8
quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa
khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
10 + 8 + 6 = 24 cách. 
9/2/2015
6
31
4.2. Quy tắc nhân: 
Công việc 
Bước
1 cách
2 cách
 
k cách
1 2 ... kn n n cách
thực hiện
1 n
2 n
 kn
32
Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ
mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để
mặc?
Giải
Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:
Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:
Vậy có: 4 3 12 
4 cách.
3 cách.
cách.
33
Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh
chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà
trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người
dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và
1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách
lập một đoàn như trên?
12 18 216 cách.
34
Tóm lại:
-Khi thực hiện một công việc có nhiều phương
án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong
công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng.
-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua
nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng
quy tắc nhân.
35
5.1. Hoán vị:
!n
n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác
nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n
vật khác nhau. cách.
Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào
a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi:
b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi:
c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số:
3! 6 cách
2! 2 cách
3! 6 cách
V. Giải tích tổ hợp:
36
5.2. Tổ hợp ( ):knC
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật.
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
cách.
Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao 
nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp.
3
40 C 9880 cách.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ 
bài 52 lá? 3
52 C 22100 cách.
(0 ; , )k n k n 
9/2/2015
7
37
5.3. Chỉnh hợp ( ):
Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật 
rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau
knXếp có lặp lại, có hoàn lại cách.
Xếp không lặp lại, không hoàn lại
!
( )!
k
n
n
A
n k
cách.
(0 ; , )k n k n 
Nhận xét: . !k kn nA C k 
k
nA
38
Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao
nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp
trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào
nếu:
a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc
nhiều chức danh?
b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức
danh?
340 64000 cách.
3
40 59280 A cách.
39
Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2
người, một người lau bảng, một người quét lớp
cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người?
2
5 20 A cách.
3
5A cách.
Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy
cách:
a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường?
b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên
tường?
3
5C cách.
VI. Một vài ví dụ tổng hợp:
40
Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1
chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp:
a) Năm người vào ghế?
b) Sao cho C ngồi chính giữa?
c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế?
Giải
5! cách.a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 
1 cách.b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: 
B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách.
Vậy có: 4! cách.
2!cách.c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: 
B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3!cách.
Vậy có: 2! 3! cách.
41
Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác
nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh
văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên
một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau.
Giải
Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách.
Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách.
Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách.
Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách.
Vậy có: 4! 2! 6! 3! cách.
42
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người,
nhóm 3 có 3 người?
Giải
B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1:
B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2:
B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3:
4
10C cách.
3
6C cách.
3
3C cách.
Vậy có: 410.C
3
6 .C
3
3C cách.
9/2/2015
8
43
Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh.
Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra
cùng màu?
Giải
TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ: 24C cách.
Vậy có: cách.
TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: 23C cách.
2
4C 
2
3C
44
Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6
người trong đó:
a) có 3 nam và 3 nữ.
b) có đúng 2 nữ.
c) có ít nhất 2 nữ.
d) có nhiều nhất 2 nữ.
e) có không quá 1 nữ.
Giải
a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: 
Vậy có: 3 37 4.C C
3
7C cách.
B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: 3
4C cách.
cách.
b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: 
Vậy có: 2 44 7.C C
2
4C cách.
B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: 4
7C cách.
cách.
45
c) có ít nhất 2 nữ ( 2 
TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: 
Vậy có: 2 4 3 3 4 24 7 4 7 4 7. . .C C C C C C 
TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: 
cách.
2 4
4 7.C C cách.
3 3
4 7.C C cách.
TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: 4 24 7.C C cách.
d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2 
TH1: chọn 6 nam: 
Vậy có: 6 1 5 2 47 4 7 4 7. .C C C C C 
TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: 
cách.
6
7C cách.
1 5
4 7.C C cách.
TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: 2 44 7.C C cách.
e) có không quá 1 nữ ( 1 
TH1: chọn 6 nam: 
Vậy có: 6 1 57 4 7.C C C 
TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: 
cách.
6
7C cách.
1 5
4 7.C C cách.
nữ)
nữ)
nữ)
46
Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng.
Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3
màu?
Giải
Lấy 4 bi trong 15 bi: 415C cách.
TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: 14 .C cách.
1
5.C 26C
TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: 14 .C cách.
2
5 .C
1
6C
TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: 2
4 .C cách.
1
5 .C
1
6C
 Có: 1 1 2 1 2 1 2 1 14 5 6 4 5 6 4 5 6. . . . . .C C C C C C C C C cách để số bi
lấy ra có đủ cả 3 màu.
Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu:
Vậy có: 
4
15C 14.C 15 .C 26C 14.C 25 .C 16C 24 .C 15.C 16C
 cách thỏa yêu cầu.645
47
Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc
ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là
nam. Hỏi có mấy cách?
Giải
B1: Chọn 2 nam từ 3 nam rồi xếp vào 2 chỗ đầu 
tiên:
B2: Chọn 3 chỗ từ 4 chỗ còn lại rồi xếp 3 người 
còn lại vào 3 chỗ đó:
2
3A cách.
3
4A cách.
Vậy có: 23 .A
3
4A cách.
48
Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có
20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán
sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên
học tập, 1 ủy viên đời sống nếu:
a) Chọn bất kỳ.
b) Lớp trưởng là nữ.
c) Có đúng 1 nam.
d) Toàn là nữ.
e) Có ít nhất 1 nam.
4
30A cách.
3
2910.A cách.
3
1020. .4!C cách.
4
10A cách.
4 4
30 10A A cách.
9/2/2015
1
LOG
O
Chương 1:
ĐẠI CƯƠNG VỀ
XÁC SUẤT
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
Hiện tượng tất định:
I. Hiện tượng ngẫu nhiên: 
Hiện tượng ngẫu nhiên:
là những hiện tượng
mà khi thực hiện
trong cùng một điều
kiện như nhau sẽ
cho kết quả như
nhau.
là những hiện tượng mà
dù được thực hiện trong
cùng một điều kiện như
nhau vẫn có thể cho
nhiều kết quả khác
nhau.
biết trước kết quả
sẽ xảy ra
không biết trước được
kết quả sẽ xảy ra
3
-Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát
của lý thuyết xác suất.
-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu
nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”.
1.1. Phép thử (T ): 
sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không
thể dự đoán trước được.
thí nghiệm, phép đo, sự quan
Ví dụ: T: tung một con súc sắc
T: mua 1 tờ vé số
T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy
4
kết quả có thể xảy ra của phép thử.
1.2. Không gian mẫu ( ): 
  
 Tập hợp tất cả các
Ví dụ 1: 
T: tung một con súc sắc▪
{1, 2,3, 4,5,6} | | 6.  
T: tung một đồng xu▪
  { , }S N | | 2.  
T: tung hai đồng xu ▪
  { , , , }SS SN NS NN | | 4.  
Ví dụ 2: 
T: tung 2 con súc sắc▪ | |  6 6 36. 
5
Ví dụ 3: 
▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi
| |  210 45. C
Ví dụ 4: 
▪ Một kho có 50 sản phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.
| |  150 50. C
T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm
6
1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. 
Thường được ký hiệu là A, B, C,
Ví dụ 1: 
T: tung một con súc sắc  
A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm”
 A {2, 4,6} | | 3. A
Khi nào biến cố 
A xảy ra?
Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của
biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.
{1, 2,3,4,5,6}.
9/2/2015
2
7
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ.
T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi | |  210 45. C
A: “Lấy được 2 bi đỏ” 
| | A 24 6. C
B: “Lấy được 2 bi khác màu” 
Số cách lấy được 2 bi đỏ
| | B 1 16 4 24. C C
Chú ý:
 : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).
 : biến cố không thể (không bao giờ xảy
ra).
A 
 A
8
Ví dụ 3: 
T: tung một con súc sắc
A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm 
không vượt quá 6”
B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”
 A {1, 2,3, 4,5,6} . 
 B .
  {1,2,3, 4,5,6}.
9
2.1. Quan hệ kéo theo: 
A B
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
: biến cố A kéo theo biến cố B
A B
A
B 
II. Phép toán trên các biến cố: 
10
Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong 
một ngày.
“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”1 :D
“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày”2 :D
“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày”3 :D
B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một 
ngày”
“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”0 :D
. Trong các biến cố trên, biến cố 
nào kéo theo biến cố B? 
( 0, 3)iD i 
0D B 1D B 2D B 3D B
11
2.2. Quan hệ tương đương: 
 A B
 
 
A B
B A
: biến cố A tương đương với biến cố B
 A B
 A xảy ra thì suy ra B xảy ra
và ngược lại.
12
2.3. Tổng của các biến cố: 
 A B A B
A + B xảy ra có ít nhất 1 trong hai biến cố 
A, B xảy ra
 hoặc A, 
hoặc B, 
hoặc cả A và B đều xảy ra.
A B

9/2/2015
3
13
Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy 
ngẫu nhiên ra 3 bi. 
T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”.
Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”.
A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” A T Đ.
Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK.
A: “Sinh viên A đậu”.
B: “Sinh viên B đậu”.
C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” . C A B
14
2.4. Tích của các biến cố: 
.  A B A B
A.B xảy  ...  “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”.
A: “Cả 2 sản phẩm đều là sản phẩm xấu”
1 2. A A A
75
1 2( ) ( ) P A P AA 1( ). P A 2 1( | )P A A
 20
5  19
4 1
19
2
5
2
20
C
CChú ý:
 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật 
và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật.

( . ) ( ) 1 ( ).
( ) ( . ) 1 ( . ).
P AB P A B P A B
P A B P AB P AB
76
Ví dụ 5: Một hộp có 10 bi trong đó có 2 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi
cho đến khi lấy được 2 bi đỏ thì dừng. Tính xác
suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 3.
Giải
A: “Việc lấy bi dừng ở lần thứ 3”
 2 11 3 2 3. .A Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ
Đi : “Lấy được bi đỏ ở lần thứ i”. ( 1,2,3)i 
77
2 11 3 2 3( ) ( . . )P A P Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ 
2 11 3 2 3( . ) ( . )P Ñ Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ 
2 21 1 3 1
1 1 12 3 2
( ). ( | ). ( | )
( ). ( | ). ( | )
P Ñ P Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ
P Ñ P Ñ Ñ P Ñ Ñ Ñ
2 8 1 8 2 1 2
. . . . .
10 9 8 10 9 8 45
78
7.3. Công thức xác suất đầy đủ:
Nếu {A1, A2,, An} là nhóm đầy đủ thì
1 1 2 2( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( ) n nP H P H A P A P H A P A P H A P A

1A 2A nA...
H
Công thức xác suất đầy đủ cho ta cách tính xác
suất của một biến cố qua một nhóm đầy đủ.
9/2/2015
14
VI. Các công thức tính xác suất:
79
7.4. Công thức Bayes:
Nếu {A1, A2,, An} là nhóm đầy đủ các biến cố 
thì
1 1 2 2
( | ). ( )( | )
( )
( | ). ( )
( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )
k k
k
k k
n n
P H A P A
P A H
P H
P H A P A
P H A P A P H A P A P H A P A
Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của
các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế
nào khi một biến cố đã xảy ra.
80
Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng
sản xuất ra một loại sản phẩm. Sản phẩm của
phân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhà
máy. Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%.
Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50%. Tỷ lệ
phế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là
5%, 4% và 10%. Lấy 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?
b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm. Tính xác suất để
nó do phân xưởng II sản xuất?
81
Giải

H5% 4% 10%
I
(40%)
II
(10%)
III
(50%)
T: lấy 1 sản phẩm của nhà máy.
(phế phẩm)
82
A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I” 
B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II”
C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”
H: “Lấy được phế phẩm”
P(A) =0,4
P(B) =0,1
P(C) =0,5
P(H|A) = 0,05
P(H|B) = 0,04
P(H|C) = 0,1
a)
Vì {A, B, C} là nhóm đầy đủ nên ta có
( ) P H ( | ). ( )P H A P A ( | ). ( ) P H B P B ( | ). ( ) P H C P C
 0,05 . 0,4 + 0,04 . 0,1 + 0,1 . 0,5 
0,074. 
83
( | ) P
0,04 . 0,1
0,074
b) HB
( | )P H B . ( )P B
( )P H
2 0,0541.
37
84
Ví dụ 2: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 8 bi đỏ, 3 bi
vàng. Hộp 2 có 10 bi đỏ, 4 bi vàng.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 1 bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên
ra 2 bi. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi
đỏ.
9/2/2015
15
85
Hi : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). 
A: “Lấy được bi đỏ”.
P(H1) =
P(A|H1) = P(A|H2) =
Giải
P(H2) = 
1 .
2
a)
Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có
1 1 2 2( ) ( | ). ( ) ( | ). ( ) P A P A H P H P A H P H
1
8
1
11
8 .
11
C
C
1
10
1
14
10 .
14
C
C
1 .
2
8 1 10 1
11 2 14 2
111 0, 7208.
154
  
86
Hi : “Lấy được hộp i” (i = 1, 2). 
B: “2 bi lấy ra có 1 bi đỏ”.
P(H1) =
P(B|H1) = P(B|H2) =
Giải
P(H2) = 1 .2
b)
Vì {H1, H2} là nhóm đầy đủ nên ta có
1 1 2 2( ) ( | ). ( ) ( | ). ( ) P B P B H P H P B H P H
1 1
8 3
2
11
. 24 .
55
C C
C
1 .
2
1 1
10 4
2
14
. 40 .
91
C C
C
24 1 40 1
55 2 91 2
2192 0, 4379.
5005
  
76 
Trong các bài tập từ chương 1 trở về sau, các kết quả gần đúng cần quy tròn 
đến 4 chữ số thập phân. 
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 
Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển 
I. PHƯƠNG PHÁP: 
II. BÀI TẬP: 
Đọc, hiểu: 
-Sách bài tập: 1.1/trang6; 1.31/tr27; 1.4/tr8; 1.5/tr9; 1.8/tr11; 1.10/tr13; 1.9/tr12; 
1.18/tr18; 1.6/tr11. 
-Sách lý thuyết: 3/tr26; 4/tr27. 
Cần làm: 
Bài 1: bài 1.2/tr7 (Câu b và c-sách bài tập). 
Bài 2: bài 1.3/tr8 (sách bài tập). 
Bài 3: bài 1.76/tr51 (sách bài tập). 
Bài 4: bài 1.82/tr53 (sách bài tập). 
Bài 5: Một lô hàng gồm 3 phế phẩm và 7 chính phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản 
phẩm từ lô hàng. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra: 
a) Có 2 phế phẩm. 
b) Có từ 1 đến 2 chính phẩm. 
c) Đều là chính phẩm. 
d) Có ít nhất 1 phế phẩm. 
ĐS: a) 0,3; b) 0,3333; c) 0,1667; d) 0,8333. 
Bài 6: Một công ty tuyển 3 nhân viên cho 3 vị trí: Trưởng phòng điều hành, 
Trưởng phòng tài chính, Trưởng phòng kinh doanh. Biết có 30 người dự tuyển, 
trong đó có 10 nữ. Tính xác suất để trong 3 người được tuyển có Trưởng phòng tài 
chính là nữ. ĐS: 0,3333. 
77 
Bài 7: Có 5 khách vào thuê phòng nghỉ ở một khách sạn. Biết khách sạn đó có 10 
tầng và việc chọn tầng của mỗi người là ngẫu nhiên. Tính xác suất: 
a) Không có người nào thuê tầng 2. 
b) Có 2 người thuê ở tầng 2. 
c) Có 2 người thuê ở tầng 2 và 2 người thuê ở tầng 3. 
ĐS: a) 0,5905; b) 0,0729; c) 0,0024. 
Làm thêm: 
Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xếp thành hàng ngang. Tìm 
xác suất sao cho: 
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. 
b) 3 nam ngồi cạnh nhau. 
ĐS: a) 0,1; b) 0,2. 
Bài 2: Có 2 lô hàng. Lô I có 10 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô II có 15 chính 
phẩm và 3 phế phẩm. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để 
a) nhận được 2 chính phẩm. 
b) nhận được 2 sản phẩm cùng chất lượng. 
c) nếu lấy từ mỗi lô ra 2 sản phẩm thì nên lấy từ lô nào để được 2 chính phẩm với 
xác suất cao hơn? 
ĐS: a) 0,6944; b) 0,7222; c) lô II. 
Bài 3: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. 
Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất 1 bi đỏ. ĐS: 0,58. 
Bài 4: bài 1.7/tr11 (sách bài tập). 
Bài 5: bài 1.11/tr14 (sách bài tập). 
Dạng 2: Tính xác suất bằng công thức cộng, công thức nhân, 
xác suất có điều kiện 
I. PHƯƠNG PHÁP: 
78 
79 
II. BÀI TẬP: 
Đọc, hiểu: 
-Sách bài tập: 1.27/tr24; 1.26/tr24; 1.25/tr23; 1.32/tr28; 1.39/tr32; 1.40/tr32; 
1.30/tr27; 1.28/tr25; 1.41/tr33; 1.42/tr33; 1.43/tr34; 1.44/tr35; 1.33/tr28; 1.83/tr53. 
-Sách lý thuyết: VD7/trang20; 1/tr26; 14/tr28; VD2/tr16; 2/tr26; VD4/tr18; 
VD5/tr18; VD8/tr21; VD9/tr21. 
Cần làm: 
Bài 1: bài 1.34/tr29 (sách bài tập). 
Bài 2: Có 3 người độc lập cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác 
suất bắn trúng bia của người thứ nhất là 0,7; người thứ hai là 0,8; người thứ ba là 
0,5. Tìm xác suất để 
a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng bia. 
b) Có người không bắn trúng bia. 
c) Có 1 người bắn trúng bia. 
d) Có không quá 1 viên đạn bắn trúng bia. 
ĐS: a) 0,07; b) 0,72; c) 0,22; d) 0,25. 
Bài 3: Tỉ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp 
là 12%, mắc cả hai bệnh này là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng. Tính xác 
suất để người đó 
a) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp. 
b) không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp. 
c) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp. 
d) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp. 
e) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp. 
ĐS: a) 0,14; b) 0,86; c) 0,93; d) 0,02; e) 0,05. 
Bài 4: bài 1.20/tr19 (sách bài tập). 
Bài 5: bài 22/tr29 (sách lý thuyết). 
Bài 6: Một người có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị hỏng. Người đó lần lượt thử 
từng bóng đèn (không hoàn lại) cho đến khi chọn được bóng tốt thì dừng. Tính xác 
suất để người đó thử đến lần thứ 2. ĐS: 0,3333. 
Bài 7: Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất thi đậu của sinh viên A là 0,8; của 
sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,9. Tìm xác suất để: 
a) Có 2 sinh viên thi đậu. ĐS: 0,398. 
b) Nếu có 2 sinh viên thi đậu. Tìm xác suất để sinh viên A thi rớt. ĐS: 0,3166. 
Bài 8: Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 chìa hình thức giống nhau nhưng 
trong đó chỉ có 3 chìa mở được kho, anh ta mở ngẫu nhiên từng chìa một cho tới 
khi mở được kho. Tìm xác suất để: 
a) anh ta mở tới lần thứ 3 thì mở được kho. ĐS: 0,175. 
b) anh ta mở được khóa mà không quá 3 lần mở. ĐS: 0,7083. 
80 
Làm thêm: 
Bài 1: Cho A và B là hai biến cố sao cho 1P(A) ,
3
 1P(B)
2
 và 3P(A B) .
4
 
Tính P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) , P(A B) . 
ĐS: 1/12; 1/4; 11/12; 1/4; 5/12. 
Bài 2: Cho A và B là hai biến cố sao cho P(A) 0,4, P(B) 0,3 và 
P(A B) 0,1. Tính P(AB AB) . ĐS: 0,5. 
Bài 3: Một người có 1 hộp bi gồm 3 bi đỏ và 4 bi đen. Giả sử bị rơi mất 1 bi màu 
đỏ, hãy tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra 2 bi thì người đó có được 2 bi đỏ. 
ĐS: 0,0667. 
Bài 4: bài 1.78/tr52 (sách bài tập). 
Bài 5: Một túi có 12 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ. Thực hiện 3 lần lấy không hoàn 
lại, mỗi lần 4 bi. Tính xác suất để trong mỗi lần lấy có 1 bi đỏ. 
ĐS: 0,2909. 
Dạng 3: Tính xác suất bằng công thức đầy đủ, công thức Bayes 
I. PHƯƠNG PHÁP: 
81 
II. BÀI TẬP: 
Đọc, hiểu: 
-Sách bài tập: 1.56/trang40; 1.57/tr41; 1.67/tr45; 1.62 c&d/tr42; 1.64/tr44; 
1.65/tr44; 1.71/tr48; 1.72/tr48; 1.73/tr49. 
-Sách lý thuyết: VD11/tr24; VD13/tr25; VD12/tr24. 
Cần làm: 
Bài 1: bài 1.60/tr42 (sách bài tập). 
Bài 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có hai phân xưởng 1 và 2. Phân xưởng 1 
sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 2. Tỷ lệ bóng đèn hỏng của phân xưởng 1 là 10%, 
phân xưởng 2 là 20%. Một người mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy. 
a) Tính xác suất để người đó mua được bóng đèn hỏng. 
b) Giả sử người đó mua được bóng đèn không bị hỏng, tính xác suất để bóng đèn 
này do phân xưởng 2 sản xuất. 
ĐS: a) 0,12; b) 0,1818. 
Bài 3: bài 1.61/tr42 (sách bài tập). 
82 
Bài 4: Có 3 hộp thuốc. Hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu. Hộp II có 4 ống tốt và 1 
ống xấu. Hộp III có 3 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ngẫu nhiên 2 ống 
thuốc. 
a) Tìm xác suất để được 1 ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu. 
b) Tìm xác suất để được 2 ống thuốc tốt. 
c) Giả sử khi rút ra 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt. Tìm xác suất để các ống 
đó ở hộp II. 
ĐS: a) 0,2921; b) 0,6921; c) 0,2889. 
Bài 5: Có 5 hộp bi, trong đó có 3 hộp loại I và 2 hộp loại II. Hộp loại I có 10 viên 
bi, trong đó có 6 bi trắng. Hộp loại II có 10 viên bi, trong đó có 4 bi trắng. Chọn 
ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. 
a) Tính xác suất để lấy được 2 bi trắng. 
b) Tính xác suất để chọn được hộp bi II, biết rằng 2 bi lấy ra là 2 bi trắng. 
ĐS: a) 0,2533; b) 0,2105. 
Bài 6: bài 1.63/tr44 (sách bài tập). 
Bài 7: bài 1.86/tr54 (sách bài tập). 
Bài 8: Một trung tâm chuẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm định T. Xác suất để 
một người đến trung tâm mà có bệnh là 0,8. Xác suất để người khám có bệnh khi 
phép kiểm định dương tính là 0,9 và xác suất để người khám không có bệnh khi 
phép kiểm định âm tính là 0,5. Tính các xác suất: 
a) Phép kiểm định là dương tính. 
b) Phép kiểm định cho kết quả đúng. 
ĐS: a) 0,75; b) 0,8. 
Làm thêm: 
Bài 1: bài 32/tr32 (sách lý thuyết). 
Bài 2: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công 
nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. 
Gặp ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để gặp người công 
nhân tốt nghiệp phổ thông trung học. 
ĐS: 0,1667. 
Bài 3: Có bốn nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người, nhóm thứ II có 7 
người, nhóm thứ III có 4 người và nhóm thứ IV có 2 người. Xác suất bắn trúng 
đích của mỗi người trong nhóm thứ I, nhóm II, nhóm III và nhóm IV theo thứ tự là 
0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác 
định xem xạ thủ này có khả năng ở trong nhóm nào nhất? 
ĐS: nhóm II. 
Bài 4: bài 1.59/tr42 (sách bài tập). 
Bài 6: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). 
Bài 7: Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỷ lệ công 
nhân nữ tốt nghiệp phổ thông trung học là 15%, còn tỷ lệ này đối với nam là 20%. 
83 
Gặp ngẫu nhiên 2 công nhân của phân xưởng. Tìm xác suất để có ít nhất một người 
tốt nghiệp phổ thông trung học trong số 2 người gặp. ĐS: 0,3079. 
Bài 8: Có 3 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. 
Hộp 3 có 8 bi xanh và 2 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu 
nhiên ra 1 bi. 
a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. 
b) Tính xác suất để chọn được hộp bi 1, biết rằng bi lấy ra là bi đỏ. 
ĐS: a) 0,7; b) 0,4444. 
Bài 9: Có 20 kiện hàng, trong đó có 8 kiện loại I, 7 kiện loại II và 5 kiện loại III, 
mỗi kiện có 10 sản phẩm. Số phế phẩm có trong mỗi kiện loại I, II và III lần lượt là 
1, 3 và 5. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện, rồi từ kiện đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. 
a) Tính xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm. 
b) Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm, tính xác suất kiện lấy ra là loại II. 
ĐS: a) 0,27; b) 0,3889. 
Bài 10: Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 
5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, 
rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy 
ra lần 2 là sản phẩm xấu. ĐS: 0,3968. 
Bài 11: Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Hộp 2 có 5 bi trắng và 5 bi đỏ. 
Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi từ hộp 
2. 
a) Tìm xác suất lấy ra được bi đỏ. 
Giả sử lấy được bi đỏ. Tìm xác suất: 
b) Bi đỏ đó là của hộp 1. 
c) Hai bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 đều là đỏ. 
ĐS: a) 0,4833; b) 0,1379; c) 0,1609. 
Bài 12: Có 2 hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 3 bi xanh. Hộp II chứa 6 bi trắng và 
4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp I bỏ vào hộp II và sau đó lại lấy ngẫu nhiên 
từ hộp II ra 1 bi. Tìm xác suất viên bi lấy ra là viên bi xanh. ĐS: 0,4286. 
Bài 13: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lô II có 5 chính 
phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô I lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm và từ lô II lấy ngẫu 
nhiên ra 1 sản phẩm. Sau đó, chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 3 sản phẩm đó. Tìm 
xác suất chọn được phế phẩm. ĐS: 0,4333. 
Bài 14: Có 2 lô hàng: Lô I có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B; Lô II có 3 
sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm 
đem bán. Các sản phẩm còn lại ở 2 lô được dồn chung lại thành lô III. Từ lô III lấy 
ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất đó là sản phẩm loại A. ĐS: 0,45. 
Bài 15: Có 3 lô hàng giống nhau, mỗi lô có 10 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm 
loại B. Lấy 1 sản phẩm ở lô I bỏ sang lô II, rồi lấy 1 sản phẩm ở lô II bỏ sang lô 
III, sau đó lấy 1 sản phẩm ở lô III bỏ ra ngoài. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau 
cùng là sản phẩm loại A. ĐS: 0,4545. 
84 
Bài 16: Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô II có 5 chính 
phẩm và 5 phế phẩm. Từ lô thứ nhất bỏ sang lô thứ hai 1 sản phẩm, sau đó từ lô 
thứ hai bỏ sang lô thứ nhất 1 sản phẩm, sau đó từ lô thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm. 
Tìm xác suất để lấy được chính phẩm. ĐS: 0,6818. 
Bài 17: Có 3 xạ thủ độc lập cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên đạn. 
Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là 0,9; 0,7; 
0,8. Nếu có 1 viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,4; Nếu có 2 
viên đạn bắn trúng thì mục tiêu bị tiêu diệt với xác suất 0,7; Nếu có 3 viên đạn bắn 
trúng thì mục tiêu chắc chắn bị tiêu diệt. 
a) Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt. 
b) Biết rằng mục tiêu bị tiêu diệt. Tìm xác suất mục tiêu trúng 1 viên đạn. 
ĐS: a) 0,8194; b) 0,0449. 
Bài 18: bài 1.90/tr55 (sách bài tập). 
Bài 19: bài 39/tr33 (sách lý thuyết).