Bài giảng Trường điện từ - Chương 4: Trường điện từ biến thiên

EM-Ch4 1 
Ch 4: 
Trường điện từ biến thiên 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 2 
Nội dung chương 4: 
4.1 Trường điện từ biến thiên và các hàm thế . 
4.2 Trường điện từ biến thiên điều hòa . 
4.3 Sóng điện từ phẳng đơn sắc (upw). 
4.4 Định lý Poynting. 
4.5 Tính phân cực của sóng phẳng. 
4.6 Sóng phẳng trong môi trường vật liệu. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 3 
4.1: Trường điện từ biến thiên và 
các hàm thế 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 4 
a) Giới thiệu trường điện từ biến thiên 
 Điện tích tạo ra trường điện và dòng điện tạo ra trường từ. 
 Đối với trường điện tĩnh và trường từ tĩnh, các đại lượng đặc 
trưng không thay đổi theo thời gian. 
 Ở trường điện từ tĩnh, trường E và D độc lập với trường B và 
H . 
 Khi nguồn điện tích và dòng điện biến thiên theo t, thì ta có: 
 Trường điện từ không chỉ biến thiên theo t . 
 Trường điện và trường từ còn chuyển hóa lẫn nhau. 
 Sự chuyển hóa lẫn nhau của trường điện và trường từ tạo nên 
sóng điện từ lan truyền trong không khí hay môi trường vật liệu . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 5 
 Mô hình trường điện từ biến thiên : 
S
1t 2t S
1t 2t
1n 2n S
1n 2n
ρ
1n 2n
H H J
E E 0
D D ρ
B B 0
J J
t
Phương trình ĐKB 
B
rotE
t
VdivD ρ
divB 0
J Vdiv t
D
rot H J
t
Hệ Ptrình Maxwell 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
0B μH μ (H M)
Phương trình liên hệ 
0D E E P J E
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 6 
b) Các hàm thế của TĐT biến thiên: 
1. Thế từ vector: 
divB 0 (4)
div(rot A) 0 (vector algebra)
B rot A
2. Thế điện vô hướng: B A(2) : rot E rott t
AE grad
t
3. Điều kiện phụ Lorentz : đa trị đơn trị 
div A 0
t
Arot(E ) 0
t
rot( ) 0 (vector algebra)grad
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 7 
c) Ptrình D’Alembert cho thế vector: 
Dùng điều kiện Lorentz : div A 0
t
2
2
A
A J
t
Phương trình D’Alembert cho thế từ vector: 
Drot H J
t (1) : 
Erot B J
t
Arot(rot A) J ( grad )
t t
2
2
A
t t
grad(div A) A J grad( )
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 8 
d) Ptrình D’Alembert cho thế vô hướng: 
A
divD .div( grad ) . (divA)V
t t
 (3) : 
2
2
2
V t
Dùng điều kiện Lorentz : div A 0
t
2
2
V
t
Phương trình D’Alembert cho thế điện vô hướng : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 9 
 Tổng kết: 
1
v
με
Trường điện từ biến thiên lan truyền với vận tốc: 
Hình thành sóng điện từ Áp dụng trong viễn thông 
2
2 2
1
v
V
t
2
2 2
1 A
A J
v t
i. Thế điện (t) thế từ A(t) thỏa phương trình truyền sóng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 10 
ii. Nghiệm phương trình truyền sóng: 
V
J ( r v)
A( )
4 r
t dV
t
V
( r v)1
( )
4 r
V t dVt
(t) and A(t) : gọi là thế chậm. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 11 
4.2 Trường điện từ biến thiên điều 
hòa 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 12 
a) Giới thiệu: 
 Là trường điện từ biến thiên điều hòa theo thời gian. 
mx x x
my y y
mz z z
E(x,y,z,t) E ( , , ) cos[ ( , , )]
 E ( , , ) cos[ ( , , )]
 E ( , , ) cos[ ( , , )]
x y z t x y z
x y z t x y z
x y z t x y z
a
a
a
 Trường điện từ điều hòa : thực tiễn và tiện ích. 
Với các trường hợp khác, dùng phân tích Fourier. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 13 
b) Vector biên độ phức: 
 Định nghĩa: là hàm phức 
 Quan hệ giữa giá trị tức thời và vector biên độ phức : 
jωtE(z) E(z,t) Re{E(z) e }
mxE E ( )cos[ ( )]x xz t z aMiền tgian: 
j (z)
mx mxE E ( ).e E ( ) ( ).x xz z za aKgian phức: 
 Tính chất: 
E(z,t)
jω E(z) 
t CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 14 
 VD 4.2.1: Vector biên độ phức 
9
xE(z,t) 20cos(2 .10 3 30 ).a (V/m)
ot z
 Ví dụ 1: Cho trường điện: 
E(z)
oj3z j30
x20.e e a (V/m)
x
y
100cos( 0,21 )a
20cos( 0,21 30 )a (V/m)o
t z
t z
 Ví dụ 2: Cho vectơ biên độ phức trường điện : 
j0,21z
x yE(z) 100 20 30 e
oa a
E(z,t)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 15 
c) Hệ phương trình Maxwell dạng phức: 
Erot H J
t
VdivE ρ /
divH 0
Hrot E
t rot E jωμ H
VdivE ρ /
div H 0
rot H ( )Ej
 Ở môi trường , , = const , hệ phương trình Maxwell: 
 Và các phương trình liên hệ : 
J E ; D εE ; B μH 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 16 
 VD 4.2.2: Dùng hệ pt Maxwell phức 
Môi trường = 0, = 0, = 0 tồn tại trường điện: 
Tìm β và ? 
8
yE(z,t) 20sin(10 t βz)a (V/m)
H(z,t)
o Cách 1: Giải trực tiếp trong miền t (xem lại 1.7) . 
o Cách 2: Dùng phức: E(z,t) jβz
yE 20.e a (V/m)
x y z
jβz
x
jβz
a a a
rotE / x / y / z j20β.e a
0 20.e 0
jβz
x
0 0
1 20β
H rotE .e a
jωμ ωμCuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 17 
 VD 4.2.2: Dùng hệ pt Maxwell phức 
x y z 2
jβz
y
0jβz
0
a a a
j20β
rotH / x / y / z .e a
20β.e
0 0
jβz
0 0 yrotH jωε E jωε 20.e aChú ý là : 
8 8
0 0β ω 10 /3.10 1/3
1 jz/3
x2
H .e a
1 8
x2
H(z,t) .cos(10 t /3)a (A/m)z
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 18 
4.3 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 
 (upw): 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 19 
a) Khái niệm sóng phẳng đơn sắc : 
ii. E và H nằm trên mặt phẳng 
vuông góc với phương lan 
truyền của sóng phẳng. 
iii. Do không có thành phần theo 
phương truyền sóng, sóng 
phẳng đơn sắc thuộc loại sóng 
điện từ ngang (TEM wave). 
iv. Các đại lượng đặc trưng có cùng biên độ và hướng trên mặt 
phẳng chứa nó. 
Đơn sắc 
i. Upw: là mô hình đơn giản 
nhất của TĐT điều hòa. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 20 
b) Phương trình của sóng phẳng : 
 Giả sử môi trường khảo sát là tuyến tính, đồng nhất, đẳng 
hướng và không nguồn ( v = 0 ) . 
Sóng phẳng truyền theo phương +z. Trường điện và từ là điều 
hòa và không phụ thuộc vào biến x, y. 
x x xE E a E(z)cos[ t ( )]aE z
y y yH H a H(z)cos[ t ( )]aH z
Vector phức: 
x xE E(z) ( )a E.aE z
y yH H(z) ( )a H.aH zCuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 21 
b) Phương trình của sóng phẳng : 
rot E jωμ H
rot H ( jωε)E
E jωμ( jωε)E 0
xAnd E E(z).a
2
2
E
jωμ( jωε)E 0
z
γ jωμ( jωε) α jβ
(hệ số truyền [m–1] ) 
γz γz
1 2E M e M e
γz γz1 2M MH e e
η η
jωμ
η | η |
jωε
(trở sóng [ ]) CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 22 
c) Các đặc trưng của sóng phẳng : 
i. upw = sóng tới + sóng phản xạ 
γz γz
1 2E M e M e
γz γz1 2M MH e e
η η
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 23 
ii. Vector phức của sóng tới : 
 Khi không có phản xạ : 
γz γz
x 1 x 0E E.a M e .a E e
γz γz1
y y 0
M
H H.a e .a H e
η
M1 = m1 1 = biên độ/pha của trường điện tại z = 0. 
0 0E , H = Vector phức tại z = 0. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 24 
iii. Hệ số truyền : 
γ jωμ( jωε) α jβ
γz αz
0 1 1 xE E e [m e ( βz)]a
2
0 0ω μ εβ phase const 1 1 (rad/m)
2 ωεc
2
0 0ω μ εα attenuation const 1 1 (Np/m)
2 ωεc
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 25 
 Mô tả sự thay đổi biên độ trường điện : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 26 
iv. Trở sóng : 
E jωμ jωμ
η | η | ( )
γ jωεH
 Là tỉ số biên độ phức trường điện / biên độ phức trường từ . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 27 
v. Quan hệ giữa trường điện và trường từ: 
S
1
H a E
η
SE η H a
sa = Vector đơn vị truyền sóng 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 28 
 VD 4.3.1: Quan hệ trường điện/từ 
1m αz
1 y|η|
H(z,t) e cos( βz )at
αz
1 1 xE(z,t) m e cos( βz )at
 Trong miền thời gian: 
-αz
1m e
1 y|η|
H ( βz )a
αz
1 1 xCho E [m e ( βz)]a
S z a a ; η | η |Và: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 29 
vi. Mặt đồngpha : 
z const Mặt đồng pha vuông góc trục Oz 
a
s 
 Vận tốc mặt đồng pha cho bởi: 
pv
β
1 = ( βz )t
Pha của sóng phẳng 
1( βz ) ; t = constt constMặt đồng pha: 
 Trong chân không và không 
khí: 
8
pv c 3.10 (m/s)CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 30 
vii. Bước sóng: 
1 1( t z )
2 1( t z )
1 1 2 1( ) ( ) 2t z t z Khoảng cách giữa 2 điểm: 
2 1
2
λ ( )
β
z z
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 31 
viii. Hệ số tổn hao: 
d tgθ the loss tangent
 < 10-1 : điện môi tổn hao . 
 > 101 : dẫn tốt . 
 10-1 101 : trung gian . 
tg = 
σ
ωε
jωμ ωμ μ 1
η | η |
jωε ωε jσ ε 1 j
tgθ tg(2τ)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 32 
ix. Độ thẩm điện phức : 
~
0 r 0ε (ε )j j
~
γ j
~
μ
η
~
 jω jĐặt: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 33 
 Độ thẩm điện phức của vài vật liệu: 
”= /
0 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 34 
x. Độ xuyên sâu: 
1
 Là khoảng cách : biên độ giảm e–1 = 0.368 . 
 Tại khoảng cách 5 : trường bị triệt tiêu hoàn toàn. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 35 
VD 4.3.2: Tính các đặc trưng của upw 
Môi trường đất khô có = 10–5 S/m, = 5 0, = 0. Tính toán 
các đại lượng α, β, vp, và tại tần số f = 100 kHz ? 
Giải: 
a) Hệ số tổn hao: 
5
5 9
10
0.36
2 *10 *5*(1/36 )*10
tg
b) Hệ số tắt dần: 
5
0 8
1
2 *10 1*5 0.0047
3*10
20.0047 1 0.36 1 0.000833 (Np/m)
2 CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 36 
VD 4.3.2: Tính các đặc trưng của upw (tt) 
Môi trường đất khô có = 10–5 S/m, = 5 0, = 0. Tính toán 
các đại lượng α, β, vp, và tại tần số f = 100 kHz ? 
20.0047 1 0.36 1 0.00477 (rad/m)
2
c) Hệ số pha: 
e) Trở sóng: 
5 72 *10 *4 *10
163 9.9 
0.000833 0.00477
oj
j
d) Bước sóng và vận tốc pha: 
5
82 2 2 *101317 ; 1.317*10 (m/s)
0.00477 0.00477
pm v
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 37 
4.4 Định lý Poynting: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 38 
a) Vector Poynting tức thời: 
S
S
P E H Sd
 Công suất gởi quamặt S : 
E H SS
S
P d
 Công suất gởi vào bên 
trong mặt kín S : 
2P E H (W m ) Định nghĩa: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 39 
b) Định lý Poynting : 
D B... E J (E H )S t tV V
P dV dV
1
S 2
... P E J (ED HB)d
dtV V
dV dV
E H SS
S
P d
dW
S J dt
P P (Định lý Poynting) 
JP Công suất tiêu tán dạng nhiệt trong V. 
1
e m2
W (ED HB) W W
V
dV NLTĐT tích lũy trong V CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 40 
 Ứng dụng: Lò vi ba 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 41 
c) Đối với TĐT biến thiên điều hòa: 
1
P E H
2
 Vector Poynting phức: 
P Re P Vector Poynting trung bình: 
s sP P .a
 Mật độ dòng công suất điện từ trung bình: 
2
s m
1 1
P E Re
2 η
2
s m
1
P H Re η
2CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 42 
d) Công suất tiêu tán trung bình: 
2
J m
1
p E
2
 Mật độ công suất tiêu tán trung bình: 
2
J m
1
P E [W]
2 V
dV Công suất tiêu tán trung bình: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 43 
VD 4.4.1: Xác định công suất 
Trường điện của sóng phẳng có biên độ 250V/m và tần số 1GHz 
truyền trong môi trường tổn hao có r = 2,5 và tg = 0,001. Tìm 
độ dẫn điện và mật độ công suất tiêu tán trung bình ? 
9
9 4100,001(2 10 ) 2,5 1,39 10 ( / )
36
S m
 Mật độ công suất tiêu tán trung bình: 
21 1
2 2
J mP JE E
4 2 31 (1,39 10 ) 250 4,34 ( / )
2
JP W m
tan
o r
 Từ hệ số tổn hao: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 44 
VD 4.4.2: Vector Poynting của upw 
a) Xác định các thông số: và ? 
b) Tìm vector biên độ phức và giá trị tức thời của thành phần 
trường từ ? 
c) Xác định vector Poynting tức thời và trung bình ? 
Giải 
Sóng đtpđs, tần số 10MHz, truyền trong không khí theo phương 
+z, có vector biên độ phức thành phần trường điện: 
oj20 jβz
x yE 100a 20.e a e (V/m)
7
8
p
2π.f 2π.10 π
β
v 3.10 15
a) Môi trường không khí vp = c, hệ số pha: 
0
0
jωμ
η 120 377 ( )
jωε
 Môi trường chân không và không khí ( = 0, = 0, µ = µ0): 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 45 
VD 4.4.2: Vector Poynting của upw (tt) 
o o1 1j20 jβz j20 jβz
z x y x y377 377
H a 100a 20.e a e 20.e a 100a e
b) Sóng truyền theo phương +z, có : s za a
20 π 100 π7 7
x y377 15 377 15
H cos(2π.10 t z 20 )a cos(2π.10 t z)a (A/m)o
c) Giá trị tức thời của trường điện: 
π π7 7
x y15 15
E 100cos(2π.10 t z)a 20cos(2π.10 t z 20 )a (V/m)o
2 2100 π 20 π2 7 2 7 2
z377 15 377 15
P E H cos (2π.10 t z) cos (2π.10 t z 20 ) a (W/m )o
2 21 100 20 2
z z2 377 377
 a 13,8a (W/m )
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 46 
VD 4.4.3: Công suất trung bình của upw 
a) Xác định vectơ phức trường điện và từ ? 
b) Xác định vector Poynting trung bình ? 
c) Tính công suất trung bình gởi qua diện tích 100 cm2 trên mặt 
phẳng 2x + y = 5 ? 
Giải 
Sóng đtpđs, truyền trong môi trường ( = 0, r = const, µr = 1) 
theo phương +x, có vector cường độ trường điện: 
7
zE 4sin(2 .10 0,8 )a (V/m)t x
a) Vectơ phức trường điện và từ: Sóng truyền theo s xa a
Hệ số truyền: = α + jβ = 0 + j0,8 (1/m) 
Trở sóng: 
7 7
0jωμ / γ j2 .10 .4 .10 / j0,8 98,7 Ω
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 47 
VD 4.4.3: Công suất t.bình của upw (tt) 
j0,8x
zE 4e aVectơ phức trường điện: 
1 j0,8x j0,8x
y98,7
H [a 4 a ] 0,04053 a (A/m)x ze e
Vectơ phức trường từ: 
1 1 j0,8x j0,8x 2
z y x2 2
 Re E H Re 4e a 0,04053e a 0,08106a (W/m )
b) Vectơ Poynting trung bình: 
x y
n x
2a a
P P dS P a dS (0,08106a ) dS
5S S S
c) Công suất trung bình gởi qua mặt S: 
42 2P (0,08106) S (0,08106) .100.10 725 μW
5 5CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 48 
4.5 Tính phân cực của sóng phẳng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 49 
a) Khái niệm: 
Tính phân cực mô tả quỹ tích điểm ngọn của vector cường độ 
trường điện khi t thay đổi. 
x A AE A cos .cos sin .sint t
y B BE B cos .cos sin .sint t
A B
 Đặt: 
22
y x y 2x
2 2
E E EE
2.cos sin
A B AB
 Giả sử vector cường độ trường điện : 
x yA BE( 0, ) Acos( ) a Bcos( ) az t t t
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 50 
b) Phân cực tuyến tính (LIN) : 
 Khi = 0 , : 
y x
B
E E
A
yx
EE
0
A B
Điểm ngọn của trường điện vẽ nên đường thẳng. 
Hai thành phần cùng hay ngược pha. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 51 
 Chú ý : 
xA E( 0, ) Acos( ) az t t
Phân cực tuyến tính theo phương x . 
yB E( 0, ) Bcos( ) az t t
Phân cực tuyến tính theo phương y. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 52 
c) Phân cực tròn (CP) : 
 Khi A = B and = /2 : 
22
yx
2 2
EE
1
A A
Điểm ngọn của trường điện vẽ nên đường tròn . 
2
2
 : Phân cực tròn phải (RCP) . 
Và: 
 : Phân cực tròn trái (LCP) . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 53 
d) Phân cực ellipse (EP): 
 If A B and = /2 : 
22
yx
2 2
EE
1
A B
Điểm ngọn của trường điện vẽ nên ellipse. 
2
2
:Phân cực ellipse phải (REP). 
Và: 
 : Phân cực ellipse trái (LEP). 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 54 
 Lưu ý: 
 Nếu A B và tùy ý, ta có thể chuyển về trường hợp trên để có 
phân cực ellipse. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 55 
 Tổng kết các loại phân cực: 
x A y BE A ; E Bza :
y A z BE A ; E Bxa :
z A x BE A ; E Bya :
Nếu upw lan truyền theo chiều: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 56 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
(HD: Thay t = 0 , T/4 ; T/2  và vẽ E(0,t) trên mặt phẳng xOy ) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 57 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng (tt) 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
a) Tuyến tính 
4 
3 
t = 0 
t = T/8 
t = T/4 
t = 3T/8 
- 4 
- 3 
t = T/2 
x 
y 
E-direction 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 58 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng (tt) 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
b) Tuyến tính 
t = T/4 3 
t = 0 
- 4 
4 
- 3 
t = T/2 
x 
y 
E-direction 
t = T/8 
t = 3T/8 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 59 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng (tt) 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
c) Tròn trái 
t = 0 
t = T/4 
t = T/8 
t = T/2 
3 
x 
y 
E-direction 
3 
z 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 60 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng (tt) 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
d) Tròn phải 
t = 0 
t = T/4 
t = T/8 
t = T/2 
3 
x 
y 
E-direction 
3 
z 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 61 
VD 4.5.1: Phân cực của sóng phẳng (tt) 
Sóng điện từ bức xạ từ anten có biểu thức trường điện: 
x0 x y0 yE(z,t) | E |cos( βz)a | E |cos( βz δ)at t
Xác định tính phân cực và vẽ dạng quĩ tích E(0, t) cho : 
a) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 0
o . 
b) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = 180
o. 
c) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = 90
o. 
d) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 3V/m; = – 90
o. 
e) |Ex0| = 3V/m; |Ey0| = 4V/m; = – 45
o. 
e) Ellipse phải 
-3 x 
y 
E-direction 
3 
z 
t = 0 
t = T/2 
t = T/4 
t = 3T/8 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 62 
4.6 Sóng phẳng trong môi trường vật liệu: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 63 
a) Điện môi lý tưởng (lossless): 
Khi 0 j j j
p
1
v pv2λ
f
0 : Không tắt dần biên độ. 
, 
j
j
: Trở sóng là số thực. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 64 
 Lưu ý: 
Có tính chất tương tự khi trong chân không và không khí, chỉ 
khác là : 0 và 0 . 
0 0
1
cVận tốc pha của sóng trong chân không 
r r
c
μ ε
vp trong điện môi lý tưởng 
0
0
μ
ε
120 377 trong chân không 
r r
r r
μ μμ
ε ε ε
120 377 trong điện môi lý tưởng 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 65 
 VD 4.6.1: UPW trong điện môi lý tưởng 
Sóng phẳng đơn sắc, truyền theo phương +z , trong điện môi lý 
tưởng ( = 0 , r = 9) , có cường độ trường từ tại z = 0 : 
8
y [A/m]0H | 0.1cos(2 .10 ) aH( 0) .zz t
a) Tính toán các thông số đặc trưng ? 
b) Tìm trường điện của sóng phẳng ? 
Giải 
a) Ta có: 
8
[rad/m]r r 0 0 8
1
β ω μ ε μ ε 2 .10 .3. 2
3.10
r
r
μ
120 40 ( )
ε
b) Vectơ trường từ: H = 0,1.e-j2 z.a
y E = 4 .e
-j2 z
.a
x 
8
x [V/m]4 cos(2 .10 ) aE( , ) . 2z t t z
2
λ 1
β
m ; 
8
r r
v 10 m/s
μ ε
c
; 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 66 
 VD 4.6.2: UPW trong điện môi lý tưởng 
a) Ta có: 
8
x [V/m]E 10sin(3 .10 ) at z
Cho trường điện của sóng 
phẳng trong đmôi = 0 : 
a) Tìm các đại lượng đặc trưng: ; và vp ? 
b) Tìm vectơ cường độ trường từ của sóng phẳng ? 
Giải 
[rad/m] [m]
2
2 8 [m/s]pv 3.10
b) Ta có : 
S za a ; 
jβz
xE 10 ae
Do: = 0, 
0jωμ / jβ 377
jβz
z xH (10 / 377) (a a )e
8
y [A/m]H (10 / 377) (3 .10 ) asin t zCuuDuo gThanCong.com
EM-Ch4 67 
b) Điện môi thực (lossy): 
Tương tự điện môi lý tưởng chỉ khác là hệ số tắt dần khác 0. 
j j γ
2
j
1
2
j
1j j
1 : ( 10 )Khi ≠ 0 nhưng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 68 
c) Môi trường dẫn tốt – Hiệu ứng bề mặt: 
Khi : ( 10)
j j 1
2
j
2
1
2
j
j
j
45 ( )
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 69 
 Hiệu ứng bề mặt : 
 Xét dây dẫn bán kính là a, chiều dài ℓ và mang dòng điện I . 
i. Dòng điện DC : 
 Vector mật độ dòng phân bố đều . 
r 
J 
a 0 
I 
a2 
a 
I 
 Điện trở DC: 
DCR ( )
S
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 70 
ii. Dòng AC tần số cao: 
a 
I
m
cos( t) 
r 
J 
a 0 
I
m 
a2 
 Dòng điện tập trung trên hình vành 
khăn, độ dày . 
Skin Effect 
 Điện trở bề mặt xác định : 
S good conductor
πfμ1
R Re{η }
σδ σ
 Điện trở AC: 
S
AC
R
R ( )
2πa
 Với dây dẫn là bản phẳng, rộng w và dài ℓ: 
S
AC
R
R ( )
wCuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 71 
VD 4.6.3: UPW ở môi trường dẫn tốt 
Sóng đtpđs truyền trong môi trường ( = 10 (S/m), = 9 0 , = 
0) có vectơ cđộ trường từ: 8
yz 0H | 0.75 cos(2 .10 ) [A/m]. at
a) CMR môi trường là dẫn tốt ở tần số khảo sát ? 
b) Tìm vector cường độ trường điện ? 
Giải 
8 9
10
200 1
1
10 2 10 9
36
o r
d
a) Tính hệ số tổn hao: 
8 7/ 2 2 .10 .4 .10 .10/ 2 20 Ta có: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 72 
VD 4.6.3: UPW ở môi trường dẫn tốt (tt) 
b) Xác định vector cường độ trường điện: 
8 7
o o2 .10 .4 .1045 45 2 2 45
10
o
8
x
20 z
20 z / 4E 6.67. cos(2 .10 ) [V/m]. ae t Vậy: 
E = (0,75.e- z.e-j z.ay) × az = 6,67 45
o.e- z.e-j z.ax 
Sóng đtpđs truyền trong môi trường ( = 10 (S/m), = 9 0 , = 
0) có vectơ cđộ trường từ: 8
yz 0H | 0.75 cos(2 .10 ) [A/m]. at
a) CMR môi trường là dẫn tốt ở tần số khảo sát ? 
b) Tìm vector cường độ trường điện ? 
Giải 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 73 
VD 4.6.4: UPW ở môi trường dẫn tốt 
Sóng đtpđs truyền trong môi trường nước biển ( = 4 (S/m), = 
72 0 , = 0) có trường điện tại z = 0: 7
x0 ( .10 ) [V/m]E 100cos . at
a) CMR môi trường là dẫn tốt ở tần số khảo sát ? 
b) Xác định α, β, vp, , và ? 
c) Tìm khoảng cách để biên độ trường điện còn 1% giá trị của 
nó tại z = 0 ? 
d) Xác định vector cường độ trường điện và từ tại z = 0,8m? 
Giải 
a) Tính hệ số tổn hao: 
7 9
4
200 1
1
10 10 72
36
o r
d Môi trường 
dẫn tốt 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 74 
VD 4.6.4: UPW ở môi trường dẫn tốt (tt) 
b) Tính các hệ số α, β, vp, , và : 
8984104105 76 . (Np/m) Có 
ωμ
πfμ
2
8,89 (rad/m) 
7
610 3,53 10
8,89
(m/s) pv
2
0,707
8,89
(m) 
2
1
f
j 4
j
e
1
0,112
8,89
(m) 
1
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 75 
VD 4.6.4: UPW ở môi trường dẫn tốt (tt) 
c) Tính khoảng cách để biên độ còn 1% : 
Có: 1
1
- z
z
1
1
0,01
100
ln100
1 4.605
ln100 0,518
8,89
e
e
z
z m
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 76 
VD 4.6.4: UPW ở môi trường dẫn tốt (tt) 
d) Xác định trường điện & trường từ tại z = 0,8m: 
Từ 
0E 100a x E (100a )
z j z
x e e
Tại z = 0.8m : 0,8 0,8 7.11E 100 a 0,082 aj jx xe e e
(V/m) 
7E 0,8; 0,082cos 10 7,11 a xt t
(A/m) 
7H 0,8; 0,026cos 10 7,9 a yt t
7,11 7,91H [a 0,082 a ] 0,026 a
/ 4
j j
z x ye eVà: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 77 
d) Môi trường dẫn lý tưởng: 
Khi 
 Sóng điện từ không tồn tại bên trong môi trường dẫn lý 
tưởng. 
Ta dùng mô hình này khi môi trường các độ dẫn điện vô cùng lớn. 
, 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 78 
VD 4.6.5: UPW ở môi trường bất kỳ 
Sóng đtpđs tần số 3MHz truyền trong môi trường ( = 1,5.10–4 
(S/m), = 3,2 0 , = 0). Xác định d, α, β và ? 
Giải 
a) Hệ số tổn hao: 
4
6 12
1.5*10
0.28
2 *3*10 *3.2*8.842*10
d tg
b) Hệ số tắt dần và hệ số pha: do d < 10 nên ta tính α, β theo: 
6
0 8
1
2 *3*10 1*3.2 0.1124
3*10
20.1124 1 0.28 1 0.0156 (Np/m)
2
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 79 
VD 4.6.5: UPW ở môi trường bất kỳ (tt) 
Giải 
c) Hệ số pha: 
20.1124 1 0.28 1 0.1135 (rad/m)
2
d) Trở sóng: 
6 72 *3*10 * 4 *10
206.75 7.826 
0.0156 0.1135
oj
j
Sóng đtpđs tần số 3MHz truyền trong môi trường ( = 1,5.10–4 
(S/m), = 3,2 0 , = 0). Xác định d, α, β và ? 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 80 
VD 4.6.6: UPW ở môi trường bất kỳ 
9
8
2 (2,45.10 ) -1
0 3.10
γ jω μ ε 40 14 334 80,35 56 j329,3 (m )
j
j
a) Tìm các đại lượng đặc trưng : ; ; ; vp và ? 
b) Tìm vectơ phức trường điện và trường từ tại z bất kỳ ? 
c) Tìm E0 biết công suất tiêu tán trong hình hộp (cạnh 10cm) là 
300 W ? 
d) Tìm mật độ dòng công suất điện từ trung bình tại z = 0 ? 
Giải 
Sóng đtpđs, tần số 2,45 GHz, truyền theo phương +z trong môi 
trường ( = 0; ẽ = 0(40-j14) ). Trường điện hướng theo phương 
+x và có biên độ E0 tại z = 0. 
a) Ta coù: 
2
β
λ 19 (mm)
2 f 7
p β
v 4,67.10 (m/s)
0μ 120
ε 40 14
58 9,6 57,1 9,66 ( )o
j
j
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 81 
VD 4.6.6: UPW ở môi trường bất kỳ (tt) 
b) Vectơ phức trường điện tại z = 0 : 0 x0E E a
γz -αz -jβz
0 x0E E .e E e e a
S za a Có và , ta có: 
01 -αz -jβz -j9,60
ysη
E
H a E e e e a
58
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 82 
VD 4.6.6: UPW ở môi trường bất kỳ (tt) 
c) Công suất tiêu tán trung bình trong hình hộp : 
10
2 2 2 2 -2 z
m 0 0
0
1 1 1
P E E . E .S e
2 2 2
cm
z
V V
dV e dV dz
2 0,2
0
1
P E .S.(1 )
4
e 0 0,2.56
4αP
E
S(1 e )
 Từ ẽ , ta có: = 14 0 =14.2 .2,45.10
9.8,842.10-12 = 1,9 S/m. 
0 -2 0,2.56
4.56.300
E 1,88 (kV/m)
1,9.10 (1 e )
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch4 83 
VD 4.6.6: UPW ở môi trường bất kỳ (tt) 
d) Mật độ dòng công suất điện từ trung bình tại z = 0 : 
2
2 2
s 0
1 1 1 (1880)
P E Re cos( 9,6 ) 30042,3 (W/m )
2 2 58
o
CuuDuongThanCong.com