Bài giảng Trường điện từ - Chương 2: Trường điện tĩnh

EM-Ch2 1 
Chương 2: 
Trường điện tĩnh 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 2 
Nội dung chương 2: 
2.1 Luật Coulomb và nguyên lý xếp chồng. 
2.2 Thế điện vô hướng. 
2.3 Áp dụng luật Gauss cho trường điện tĩnh. 
2.4 Phương trình Poisson Laplace . 
2.5 Vật liệu trong trường điện tĩnh. 
2.6 Năng lượng trường điện (We ). 
2.7 Tụ điện và tính điện dung cuả tụ điện. 
2.8 Phương pháp ảnh điện . 
2.9 Dòng điện không đổi . CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 3 
 Giới thiệu trường điện tĩnh: 
 Tạo ra bởi các vật mang điện đứng yên và không thay đổi theo 
thời gian. 
 Mô hình: 
r 0D εE ε E Và : 
v
rot E 0
divD ρ
Phương trình: 
1t 2t
1n 2n S
E E 0
D D ρ
Điều kiện biên: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 4 
2.1: Luật Coulomb và 
 nguyên lý xếp chồng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 5 
a) Trường điện do một điện tích điểm: 
2
do 
4
R
Q
Q
R 
 E a
2
2
4
 do 
4
R
R
Qq
R
Q
q q Q
R
 
 
eF a
a E
(Luật Coulomb) 
aR
q
R
Q
Trường điện có tính hướng tâm và không đổi trên mặt cầu , tâm tại 
vị trí điện tích điểm. 
E
Q
aR
R
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 6 
b) Trường điện do hệ điện tích điểm : 
Qn
Q3
Q2
Q1 R1
R2
R3
Rn
aRn
aR3
aR2
aR1
n
2
1
E a
4 
  j Rj
j
j
Q
R
Xác định theo luật xếp chồng : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 7 
c) Trường điện do điện tích phân bố: 
P
dl
dS
dv
2 3L,S,V L,S,V
dq dq
4 R 4 R  
 RE a R
L
S
V
d
dS
dV
dqVi phân điện tích : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 8 
 Tìm trường điện dùng tích phân vector: 
( )
b
a
E t dt - Kết quả là một vector, và ta xác định các thành phần của nó. 
( )
b
a
E t dt 
Dùng cách nào để tính tích phân như trên ? 
Tích phân chứa hàm vector: 
a b
t
( )E t
( )E t
y
x
Ta viết: , với các hàmvô hướng chỉ 
phụ thuộc vào t, không phụ thuộc các vector đơn vị . 
1 2
( ) ( ) ( )E t E t x E t y 
1 2
( ), ( )E t E t
,x y
1 2
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
E t dt x E t dt y E t dt 
Sau đó chuyển tích phân về : 
Các hàm dưới dấu tích phân lúc này là vô hướng CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 9 
 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng 
 Chọn hệ tọa độ trụ, vi phân điện tích dq = sdSz = s(rdrd). 
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán 
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s, 
trong môi trường  = 0. Xác định vector 
cường độ trường điện tại điểm P trên phần 
dương trục Oz ? 
Giải 
 Vi phân trường điện tại P do dq: s
3
0
(rdrd )
4 R
 
 
 dE R
Vector khoảng cách: 
r zra za R =
2 2r z R =
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 10 
 VD 2.1.1: Luật Coulomb & xếp chồng (tt) 
Đĩa vành khăn, bán kính trong là a, bán 
kính ngoài là b, tích điện mặt với mật độ s, 
trong môi trường  = 0. Xác định vector 
cường độ trường điện tại điểm P trên phần 
dương trục Oz ? 
Giải 
 Trường điện tại P theo xếp chồng: 
 2S r z32 20
πρ r drd a rzdrd a
4πε
r z
  
b 2
a 0
E
 Do: 
2
r
0
a 0d
 S 2 2 2 2
0
ρ z 1 1
z2ε a b
a
z z 
 E
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 11 
2.2 Thế điện vô hướng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 12 
a) Tính chất thế của trường điện tĩnh: 
AaBbA S
F E S 0d l q rot d
 Trong trường điện tĩnh, công trên 
đường cong kín luôn bằng 0. 
 Công thực hiện độc lập với đường đi. 
AaB AbB
F Fd l d l
Trường điện tĩnh có tính chất thế. 
Trường điện tĩnh có thể đặc trưng bởi thế điện vô hướng. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 13 
b) Thế điện vô hướng: 
( ) 0rot grad 
E 0rot
i. Chiều là chiều giảm thế. E
 : Thế điện vô hướng (V) 
E grad 
 Nhận xét : 
ii. liên tục trong không gian. 
 Ký hiệu là : hay V,đơn vị volt(V). 
 Định nghĩa: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 14 
Quan hệ giữa trường điện E và : 
 Có: 1 2 3
1 2 3
d du du du
u u u
  
  
1 11 1
1 1
1
( ...)( ...)
 

a h du a
h u
Qui ước: + hệ hữu hạn = 0 
 + hệ kỹ thuật đất = 0 
E d l C 
. .grad d l E d l 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 15 
 Hiệu thế điện giữa A và B : 
 Là công của lực điện tĩnh khi dịch 
chuyển 1 đvị điện tích dương từ A đến B. 
B
AB A B
A
U Ed l 
 Nếu chọn B là gốc thế, thế điện tại điểm A xác định theo: 
( 0)
A
A
Ed l
Công thức khác để tính 
thế điện từ trường điện. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 16 
 Thế điện do một điện tích điểm : 
 Gốc thế chọn ở ∞ ( ∞ = 0) : 
q
4 r
 
Equipotential lines 
E 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 17 
 Thế điện có tính xếp chồng: 
 Hệ điện tích điểm: 
n
k
k 1 k
q
4 r
  
 
r1 
r2 
rn 
q1 
q2 
qn 
 hệ điện tích phân bố: 
4 4V
dq dV
r r
  
r 
V 
 dV 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 18 
 Tìm thế điện: tích phân vô hướng 
 Thế điện cũng có tính xếp chồng. Như vậy ta có thể tính thế 
điện tại 1 điểm dùng công thức xếp chồng. 
 Thế điện là đại lượng vô hướng: tích phân trên là tích phân vô 
hướng. 
 Dễ xác định. 
 Suy ra trường điện bằng công thức tổng quát: E grad 
( Thế tọa độ tương ứng nếu ta cần tìm trường điện tại một điểm nào đó) 
 Lưu ý: Sự khiếm khuyết của tạo độ trong biểu thức của khi 
vật mang điện là bất đối xứng sẽ kéo theo sự thiếu sót thành 
phần trong biểu thức vectơ cường độ trường điện ! CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 19 
 VD 2.2.1: Xếp chồng thế điện 
Dây dẫn hình tròn bán kính a, tích điện với 
mật độ dài ℓ (C/m). Tìm thế điện tại P(0, 0, 
z) ? Suy ra cường độ trường điện ? 
Giải 
 Chọn hệ tọa độ trụ, vi phân dq = ℓdℓ = ℓ(rd) = ℓ(ad). 
 Vi phân thế điện tại P do dq: 
2 2
(ad )
4 a z
 
 
d
 Thế điện tại P do vòng dây: 
2
2 2 2 20
(ad ) a
4 2a z a z
  
  
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 20 
 VD 2.2.1: Xếp chồng thế điện (tt) 
Dây dẫn hình tròn bán kính a, tích điện với 
mật độ dài ℓ (C/m). Tìm thế điện tại P(0, 0, 
z) ? Suy ra vector cường độ trường điện ? 
Giải 
 Vector cường độ trường điện tại P do 
vòng dây: 
zE agrad
z
 

z
3
2 2
a
E a
2
z
a z

CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 21 
 VD 2.2.2: Xếp chồng thế điện 
2 1
2
1 2
q( )q q
4 4 4 r
R R
R R
   
2 2
cos cos
4 4
qd qd
r r
 
  
3
E (2cos sin )
4
 
 
 r
qd
a a
r
 Tìm thế điện và trường điện tạo 
ra từ dipole điện ? 
2 1 cosR R d  Có: 
E
 CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 22 
2.3 Áp dụng luật Gauss cho 
 trường điện tĩnh 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 23 
a) Các dạng đối xứng & cảm ứng điện: 
Đối xứng cầu Đối xứng trụ Đối xứng phẳng 
,D d S D const
D d S
Sxq : 
Sđ : 
,D d S D const
D d S

Sxq : 
Sđ : 
D d S
S : 
D const 
*.D S q 
*. xqDS q 
*. dD S q CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 24 
b) Qui trình bài toán dùng luật Gauss: 
1. Nêu ra tính đối xứng của bài toán và dạng của vectơ đặc 
trưng trường điện. 
2. Chọn mặt Gauss (theo tính đối xứng) đi qua điểm cần tính 
trường điện và công thức tính độ lớn trường điện. 
3. Xác định điện tích chứa trong mặt Gauss (là q*) . 
4. Dùng công thức từ luật Gauss để tính độ lớn của vectơ 
trường điện; viết lại dạng vectơ. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 25 
 VD 2.3.1: Áp dụng luật Gauss 
3
0
2
0
1
3

a
r
r
E a
0
0
2 3
E

r
ra
Quả cầu, bkính a, V = 0 = const, Tìm cường độ trường điện 
trong & ngoài quả cầu ? 
 Miền ngoài (r > a) : 
2 * 34
0 1 1 0 3
4 E r q a
 Miền trong (r < a) : 
2 * 34
0 2 2 0 3
4 E r q r
( ).
 rE E r a Bài toán đối xứng cầu: 
2 *
0.E.4 r q Mặt Gauss là mặt cầu; và: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 26 
 VD 2.3.2: Áp dụng luật Gauss 
0E.2 .L .L  r
Trục dài vô hạn, mang điện mật độ dài ℓ = 
, tìm cường độ trường điện tại điểm cách 
trục khoảng cách r ? 
0
E E( ).
2

 
 r rr a a
r
( ).
 rE E r a Bài toán đối xứng trụ: 
*
0.E.2 rL q Mặt Gauss là mặt trụ và : 
2
Aln r C ln
2 r

 
 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 27 
 Mở rộng cho 2 trục tích điện: 
ln ln ln
2 2 2
r
r r C C
r
  
   
 Thế điện tại điểm P xác 
định theo công thức trên và 
tính xếpchồng: 
P y 
x 
 - 
r+ 
r- 
ln
2
r
r

 
 (Chọn gốc thế ở mặt trung trực ) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 28 
 VD 2.3.3: Áp dụng luật Gauss 
Tìm cảm ứng điện bên ngoài mặt 
tích điện rộng vô hạn với mật độ mặt 
 s =  = const ? 
 Giá trị: D.A + D.A = q* = A . 
1
D .n
2

 Tổng quát: n :
Vectơ pháp tuyến, 
hướng vào miền khảo 
sát. 
D = /2 . 
D D.n Bài toán đối xứng phẳng: 
*
dD. S q  Mặt Gauss là mặt hộp và: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 29 
 VD 2.3.4: Áp dụng luật Gauss 
V
ar khi 0 R
ρ
0 khi R
r
r
Môi trường  = 0 tồn tại phân bố điện 
tích đối xứng cầu với mật độ khối : 
a) Xác định cường độ trường điện các miền (r R)? 
b) Xác định thế điện các miền (Chọn gốc thế ở ∞ ) ? Cho biết giá 
trị thế điện tại r = 0 ? 
 Miền trong (r < R) : Điện tích chứa trong mặt Gauss là : 
2
* 2
1
0 0 0
( )( sin )
r
V
V
q dV ar r drd d
    
*
1
2
00
q a 2
1r 4εε 4πr
E r 
a) Tính trường điện: bài toán đối xứng cầu (E = Erar). Mặt 
Gauss là mặt cầu bán kính r, tâm tại O. 
4r*
1 4
4q a CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 30 
 VD 2.3.4: Áp dụng luật Gauss (tt) 
V
ar khi 0 R
ρ
0 khi R
r
r
Môi trường  = 0 tồn tại phân bố điện 
tích đối xứng cầu với mật độ khối : 
a) Xác định cường độ trường điện các miền (r R)? 
b) Xác định thế điện các miền (Chọn gốc thế ở ∞ ) ? Cho biết giá 
trị thế điện tại r = 0 ? 
 Miền ngoài (r > R) : Điện tích chứa trong mặt Gauss là : 
* 4
2
2 2
00
q aR 1
2r 4εε 4πr r
E 4R*
2 4
4q a 
R 2
* 2
2
0 0 0
( )( sin )V
V
q dV ar r drd d
    
(lưu ý cận tích phân) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 31 
 VD 2.3.4: Áp dụng luật Gauss (tt) 
V
ar khi 0 R
ρ
0 khi R
r
r
Môi trường  = 0 tồn tại phân bố điện 
tích đối xứng cầu với mật độ khối : 
a) Xác định cường độ trường điện các miền (r R)? 
b) Xác định thế điện các miền (Chọn gốc thế ở ∞ ) ? Cho biết giá 
trị thế điện tại r = 0 ? 
b) Tính thế điện ta dùng công thức : 
rE dr C 
 Miền ngoài (r > R) : 
4
0
aR
2 4ε r
4 4
2
0 0
aR 1 aR
2 2 24ε 4ε rr
dr C C 
Từ điều kiện gốc thế: 2C 0r 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 32 
 VD 2.3.4: Áp dụng luật Gauss (tt) 
V
ar khi 0 R
ρ
0 khi R
r
r
Môi trường  = 0 tồn tại phân bố điện 
tích đối xứng cầu với mật độ khối : 
a) Xác định cường độ trường điện các miền (r R)? 
b) Xác định thế điện các miền (Chọn gốc thế ở ∞ ) ? Cho biết giá 
trị thế điện tại r = 0 ? 
 Miền trong (r < R) : 
3
0 0
a ar2
1 1 14ε 12ε
r dr C C 
Từ điều kiện liên tục: 1 2( ) ( )r R r R 
3 3
0 0
aR aR
112ε 4ε
C 
3
0
aR
1 3ε
C 
3 3
0 0
ar aR
1 12ε 3ε
3
0
aR
r 0 3ε
 CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 33 
2.4 Phương trình Poisson Laplace : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 34 
 Giới thiệu: 
 Khi giải bài toán trường điện tĩnh, nếu biết phân bố điện tích, 
ta có thể xác định trường điện và thế điện dùng luật Coulomb 
hay luật Gauss . 
 Trong một số bài toán thực tiễn, 
phân bố điện tích là chưa biết, 
nhưng giá trị thế điện tại một số 
điểm là đã biết, ta cũng có thể xác 
định được các vector đặc trưng của 
trường điện. 
 Và tiếp theo đó, phân bố điện tích trong hệ sẽ được suy ra nhờ 
các phương trình điều kiện biên. 
Phương trình Poisson – Laplace sẽ hỗ trợ quá trình trên. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 35 
2.4.1 Phương trình Poisson-Laplace : 

 V (Phương trình 
Poisson) 
Vdiv D ρ
  Từ: 
 Nếu không có phân bố 
điện tích ( V = 0): chân 
không, không khí, điện môi 
lý tưởng  . 
0 (Phương trình Laplace) 
div[ grad( )] V
div[ grad( )] 0 
Vdiv( grad ) ρ 
khi  = const khi  = (x,y,z) 
 Nếu không có phân bố 
điện tích ( V = 0): chân 
không, không khí, điện môi 
lý tưởng  . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 36 
 Qui trình giải dùng Pt Poisson-Laplace: 
i. Giải pt Laplace (nếu V = 0) hay pt Poisson (nếu V 0) dùng: 
Tích phân trực tiếp nếu = hàm 1 biến. 
Tách biến nếu = hàm nhiều biến. 
ii. Dùng các phương trình ĐKB để có 1 nghiệm duy nhất. 
iii. Từ : suy ra E grad( ) & D εE. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 37 
 Các TH đặc biệt khi giải pt Laplace: 
0 (Phương trình Laplace) 
 Đề các: 0
x x
   
   
A Bx 
 Trụ: 
1
0r
r r r
   
   
Aln Br 
 Cầu: 
2
2
1
sin θ 0
sin θ
r
r r r
   
   
A
B
r
Nếu chỉ phụ thuộc biến thứ 1 trong các hệ tọa độ: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 38 
VD 2.4.1: Dùng pt Laplace & ĐKB 
Tìm thế điện giữa 2 bản cực tụ phẳng,hiệu 
thế U = 1,5 V ? Giải 
2
2
0 0
d
dx
 Ax B  Do: 
U
Ux
d
(0) U
( ) 0d
 Có: 
 Giả sử chỉ phụ thuộc vào x : = (x). 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 39 
2.4.2 Tích phân trực tiếp trường D: 
b) Dựa vào phương trình: hay Vdiv D ρ
 divD 0
a) Phần lớn các vật mang điện trong kỹ thuật đều có tính đối 
xứng. Khi đó thế điện chỉ phụ thuộc vào một biến tọa độ. Kéo 
theo các vectơ D và E cũng chỉ có một thành phần. 
Biểu thức của D (và các hằng số tích phân). 
D
E
ε
 c) Vectơ c. độ trường điện: 
d) Áp dụng : suy ra các hằng số tích phân. ab
a b
U Edl
(Dùng điều kiện biên của thế điện: suy ra trường điện) CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 40 
VD 2.4.2: Tích phân trực tiếp D 
Tìm thế điện giữa 2 bản cực tụ phẳng, hiệu 
thế U = 1,5 V ? 
Giải 
 Từ: divD = 0 x
D
0
x


Dx = A = const 
x
x x
D A
E a a
ε ε
 Từ: 
d
0
A A
U d
ε ε
dx 
U
A
d

 x
U
E a
d
 Theo đnghĩa: 
d
' ' d
x
x
U U U
| U
d d d
dx x x 
 Do = (x) nên : D = Dx.ax . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 41 
VD 2.4.3: Môi trường không đồng nhất 
Tụ phẳng, khoảng cách giữa 2 bản cực 
là d, hiệu thế U. Điện môi lý tưởng có: 
 = 40d/(x+ d) , tìm thế điện và trường 
điện trong điện môi ? 
( ) , (0) 0 ,d U A B 
E grad( ) 
[ ] 0
x x
   
 
 Giả sử: = (x) 
A
x



2
0
[
4 2
]
A x
xd B
d

Cách 1: 
a
E

xxD
0 0
0
( )
4
x
x x
d d
D
U E dx x d dx D
d
0
x
x
( ) Ex dx 
 Do : D a
 xxD
D 0 xdiv D const
Cách 2: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 42 
2.4.3 Điều kiện biên đối với thế điện : 
 Điều kiện biên đối với Dn : 
1 2
1 2
  
 
 
S
n n
 Điều kiện biên đối với Et : 1 2 0
 
 
 
 Điều kiện liên tục của : 
1 2 
n τE ( ) a a

  
 
grad
n
 Các điều kiện biên cơ bản của trên biên 2 môi trường: 
 Dùng khi môi trường cần tính thế điện không đồng nhất. Ta 
cần thêm các điều kiện biên . 
n
t
E
E
n

 
 
 
  
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 43 
VD 2.4.4: ĐKB đối với thế điện 
1 1 1 2 2 2;A x B A x B 
 Do môi trường đồng nhất , tuyến tính : 
Tìm thế điện trong hai điện môi: 
 
0 
d 
0 
0,8d 
x 
U
0 
1 
2 
2 0(0) U 
1( ) 0d 
 Điều kiện biên: 
1 2(0,8 ) (0,8 )d d (Điều kiện liên tục của thế điện) 
1 2
1 2
0,8 0,8
0
  S
d d
d d
dx dx
(đkiện biên tp pháp tuyến) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 44 
VD 2.4.4: ĐKB đối với thế điện (tt) 
 
0 
d 
0 
0,8d 
x 
U
0 
1 
2 2 0B U 
1 1 2 2(0,8 ) (0,8 )A d B A d B 
1 1 0Ad B 
0 1 2 0A A  
 Giải hệ: 
1 2 0(0,2 ) (0,8 )A d A d U 
1 2 0rA A 
0
2
5
(4 )r
U
A
d
0
1
5
(4 )
r
r
U
A
d


2 0B U 
1 0
5
(4 )
r
r
B U


CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 45 
VD 2.4.4: ĐKB đối với thế điện (tt) 
 
0 
d 
0 
0,8d 
x 
U
0 
1 
2 
 Tìm thế điện & cường độ trường điện: 
0 0
1
5 5
(4 ) (4 )
r r
r r
U U
x
d
 
 
0
1 1
5
E
(4 )


r
x
r
U
grad a
d
0
2 0
5
(4 )r
U
x U
d

0
2 2
5
E
(4 )

x
r
U
grad a
d
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 46 
VD 2.4.4: ĐKB đối với thế điện (tt) 
 Tìm mật độ điện tích mặt t ... 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 88 
c) Tính C dùng năng lượng trường điện: 
2
2
e
V V V
1 1 1 D
W E.D .E . (J)
2 2 2
dV dV dV
 
Có thể tính We thông qua C hoặc ngược lại. 
 1 
 2 
Q1 
Q2 
2
e
1
W CU
2
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 89 
VD 2.7.3: Tính C dùng We 
 Đặt tụ đưới hiệu thế điện U ( a = U; b = 0), 
dùng phương trình Laplace xác định thế điện và 
cường độ trường điện trong mỗi lớp điện môi: 
 Giải 
Tính C của tụ cầu gồm 2 lớp điện môi lý tưởng ? 
1 2
abU 1 aU
(b a) (b a)r
1 2 r2
abU 1
E E a
(b a) r
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 90 
VD 2.7.3: Tính C dùng We (tt) 
 Năng lượng trường điện của hệ: 
 Giải 
Tính C của tụ cầu gồm 2 lớp điện môi lý tưởng ? 
1 2
2 2
e 1 1 2 2
V V
2 2 2
2
1 2
2 2 20 0 0
1
W ε E dV ε E dV
2
ε εa b U
 sin sin
2(b a) r r
b b
a a
drd d drd d
     
2
e 1 2
abU
W 2 ε ε
2(b a)
e
1 22
2W 2 ab
C ε ε
U (b a)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 91 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất 
Tụ phẳng, điện môi lý tưởng 
không đồng nhất hằng số điện môi 
r = ax + b (a,b =const), nối vào 
nguồn DC hiệu thế U. 
a) Giả sử điện tích mặt trên cốt tụ tại x = 0 là S và trên cốt tụ tại 
x = d là – S. Tính vector cảm ứng điện và cường độ trường 
điện trong điện môi ? 
b) Theo câu a), xác định hiệu thế điện U (theo S) và điện dung 
của tụ ? 
c) Theo câu a), xác định mật độ điện tích phân cực khối trong 
điện môi (theo S) ? 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
– S 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 92 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
 Giải 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
a) Theo xếp chồng: 
1 1
S x S x S x2 2
D ρ a ( ρ )( a ) ρ a 
S
0
ρD 1
xε ε ax b
E a
b) Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
 S S S
0 0 0
d d dρ ρ ρdx ad
ε ax b ε a ε a b00 0
U Edx ln(ax b) ln 1
 Điện tích trên cốt tụ: Q(x = 0) = A. S. 
 Điện dung của tụ: S 0
S
0
ρ A Aε aQ(x 0)
ρ ad adU
ln 1 ln 1
ε a b b
C
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 93 
VD 2.7.4: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
 Giải 
diện tích A 
x 
U 
r = ax + b 
+ 
d 
0 
Mật độ điện tích mặt S 
c) Vector phân cực điện : 
0P ( )E  
S
0
ρ 1 ax b 1
0 x S xε ax b ax b
P ε (ax b 1) a ρ a
 S 2ρ aax b 1PV S x ax b (ax b)ρ divP ρ
 
 
 Điện tích phân cực khối : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 94 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất 
a) Do tính đối xứng của bài toán, cảm ứng điện có dạng: 
Tụ trụ, bán kính trong a = 1cm, bán 
kính ngoài b = 2,5cm, điện môi lý 
tưởng không đồng nhất hằng số điện 
môi r = (0,1 + r)/r, nối vào nguồn DC 
hiệu thế U. Xác định: 
a) Cường độ trường điện và cảm ứng điện trong điện môi ? 
b) Điện tích trên cốt tụ trong và điện dung của tụ (bằng số) trên 
đơn vị dài ? 
U 
 
+ 
a 
b 
r rD D a (hệ trụ) Và: divD 0 
1
rr r
(rD ) 0


A
r r
D (Với A = const) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 95 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
U 
 
+ 
a 
b 
0
r0,1 b
0,1 a
ε U 1
D a
rln
Vậy: 
0
D A 1
rε ε 0,1 r
E a
 Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
0 0 0
b bA dr A A 0,1 b
ε 0,1 r ε ε 0,1 a
U ln(0,1 r) ln
aa
 0,1 b0 0,1 aA ε U / ln
r0,1 b
0,1 a
U 1
E a
0,1 rln
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 96 
VD 2.7.5: Tính C tụ không đồng nhất (tt) 
b) Điện tích trên cốt tụ trong trên 1m: 
0
r a 0,1 b
0,1 a
ε U 1
Q DdS .2
rlnS
r 
U 
 
+ 
a 
b 
1m 
 Điện dung trên đơn vị dài: 
12
r a 0
0 0,1 b 0,125
0,1 a 0,11
Q 2 ε 2 .8,842.10
C 434,6 pF
U ln ln
0
r a 0,1 b
0,1 a
2 ε U
Q
ln
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 97 
2.8 Phương pháp ảnh điện 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 98 
a) Nguyên tắc: 
 Sự có mặt của điện tích cảm ứng và liên kết: sẽ làm thay 
đổi phân bố trường điện ban đầu. 
 Việc xác định các loại điện tích này tương đối phức tạp, và 
dùng luật Gauss để tính trường điện vô cùng khó khăn vì 
chúng thường phân bố không đều. 
 PP ảnh điện là PP tốt nhất để xác định trường điện mà 
không cần quan tâm đến việc xác định qui luật các loại điện 
tích phân bố này. 
 Khi đặt vật mang điện gần các môi trường điện môi hay 
vật dẫn: theo tính chất của trường điện tĩnh sẽ có sự xuất 
hiện điện tích cảm ứng và điện tích liên kết. 
 PP ảnh điện ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết đường dây 
và lý thuyết anten. CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 99 
b) Qui trình phương pháp ảnh điện: 
b2) Đưa điện tích ảnh (q’) vào môi trường 2 để duy trì điều kiện 
biên của bài toán. 
 Định lý duy nhất nghiệm: nghiệm không thay đổi trong 2 mô 
hình vì điều kiện biên và phân bố điện tích không đổi ở môi 
trường cần tính trường điện. 
b1) Thay môi trường 2 bằng 1 để đồng nhất hóa môi trường. 
1 
q 
(x) P 
q’ 
1 
2 
q 
S 
(x) P 
Xét bài toán: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 100 
c) Các trường hợp cơ bản của phương 
pháp ảnh điện: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 101 
TH1: Phân cách phẳng đmôi – vdẫn: 
Điện tích q hay trục mang điện  trước mặt dẫn 
rộng vô hạn nối đất. 
 Bài toán: 
 
q () 
d 
-q (-) 
 
d 
Điện tích -q hay trục mang điện - đối xứng qua 
bề mặt vật dẫn. 
 Ảnh điện: 
(trường điện không đổi) 
 
q () 
d 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 102 
TH2: Phân cách phẳng đmôi - đmôi 
1 2
1 21
q q
 
 
 Điện tích q hay trục : 
1 
2 
z 
d 
q() 
1 
1 
z 
d 
q() 
d 
q1(1) 
(x) P 
2 
2 
z 
d 
q2(2) 
(x) P 
P ở môi trường 1 
P ở môi trường 2 
2
1 2
2
2q q

  
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 103 
TH3: Phân cách cầu đmôi – vật dẫn 
 Bỏ quả cầu dẫn, và thêm vào 
điện tích q’ thỏa: 
 Điện tích q đặt trước quả cầu 
dẫn (bkính a) nối đất. 
q 
D 
a 
O 
q a 
O 
b 
q’ 
2a
b
D
' aq
D
q 
 Nếu quả cầu không nối đất -> thêm điện tích ảnh q1 = -q’ tại 
tâm O thỏa điều kiện biên thế điện trên bề mặt quả cầu. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 104 
TH4: Phân cách trụ đmôi – vật dẫn 
2a
b
D
'  
 Trục mang điện  đặt trước trụ 
dẫn (bkính a) nối đất. 
 D 
a 
O 
 Bỏ trụ dẫn, và thêm vào trục 
mang điện ’ thỏa: 
 D 
a 
O 
’ 
b 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 105 
VD 2.8.1: Dùng phương pháp ảnh điện 
Dây dẫn dài vô hạn, mang điện với 
mật độ dài ℓ = , cách mặt dẫn 
phẳng nối đất một khoảng là h, tìm 
mật độ điện tích mặt S tại điểm 
P(x,h) ? 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor Giải 
 Bài toán ảnh điện: 
x 
y 
0 
h 
 
0 
x 
P(x,y) 
2h -  
y 
r- 
r+  Thế điện ở miền y < h dùng công thức: 
0
λ
ln ln
2
r r 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 106 
VD 2.8.1 : Dùng PP ảnh điện (tt) 
x 
y 
0 
h 
 
0 
x 
P(x,y) 
2h -  
y 
r- 
r+ 
 Trường điện ở miền y < h dùng công thức: 
x yr ( )a ( 2 )ax y h
 Do: 
x yr ( )a ( )ax y
2 2 2 2
0
λ
ln ( 2 ) ln
2
x y h x y 
 
x yE grad a a
x y
 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 107 
VD 2.8.1 : Dùng PP ảnh điện (tt) 
 Điện tích mặt tại P : 
2 2 2 2
λ 2
2 ( 2 )
y h
y h y
x y h x y 
S y 0 0 0
( )
a [0 ]y h y y h
y h
E E
y
    


x 
y 
0 
h 
 
0 x P(x,h) 
2h -  
yn a 
2 2( )
S
h
x y

CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 108 
VD 2.8.2: PP ảnh điện tìm C 
 Điện dung đơn vị của hệ 2 dây 
dẫn đã xác định ở VD 2.7.2 là : 
Dây dẫn dài vô hạn, bán kính a, 
mang điện với mật độ dài ℓ = , 
cách mặt dẫn phẳng nối đất một 
khoảng là h (h >> a), tìm điện dung 
C0 trên đơn vị dài đường dây ? 
Giải 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor 
2a 
 Bài toán ảnh điện: 
x 
y 
0 
h 
 
0 
2h -  
2a 
0 0
0C ( λ) 2 2
ln ln
h a h
a a
  
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 109 
VD 2.8.2: PP ảnh điện tìm C (tt) 
Dây dẫn dài vô hạn, bán kính a, 
mang điện với mật độ dài ℓ = , 
cách mặt dẫn phẳng nối đất một 
khoảng là h (h >> a), tìm điện dung 
C0 trên đơn vị dài đường dây ? 
Giải 
x 
y 
0 
h 
 
0 x P 
conductor 
2a 
 Ta suy ra điện dung C0 : 
0 0C 2C ( λ) 
0
0
2
C
2
ln
h
a
 
x 
y 
0 
h 
 
0 
2h -  
2a 
C0 
C0 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 110 
2.9 Dòng điện không đổi : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 111 
a) Trường điện tĩnh ở môi trường dẫn: 
 Môi trường dẫn:  ≠ 0. 
 Các đại lượng đặc trưng của trường điện tĩnh trong môi 
trường dẫn: E, D, and J . 
2J σE [A/m ] 0 
2J σE [A/m ] 
2D E [C/m ] 
E grad [V/m] 
 Phân loại môi trường: dựa vào độ dẫn điện  [S/m]. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 112 
 Phương trình mô tả & ĐKB: 
Vρ
t
divJ ;


 Từ hệ phương trình Mawell: S
ρ
1n 2n t
J J


divJ 0; Trường điện tĩnh: 
1n 2nJ J 0 
D εE; J σE Và : 
Như vậy: 
v
rot E 0
div D ρ
divJ 0
1t 2t
1n 2n S
1n 2n
E E 0
D D ρ
J J 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 113 
b) ĐKB đối với vector mật độ dòng J : 
n 1 2a (J J ) 0 1n 2nJ J 0 1n 2n(J J ) 0 
(1; 1) n 
(2; 2) 
J2 
J1 
J2n 
J1n 
Dùng để xác định thành phần pháp tuyến của 
trường điện trong môi trường dẫn. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 114 
 VD 2.9.1: ĐKB đối với vector J 
z 
1 = 2(S/m) 1J
2 = 4(S/m) 
2J
2 J 
Mặt z = 0 là biên 2 môi trường dẫn. 
Tìm biết 2
1 x z J [5a 10a ] A/m 
 Vector đơn vị ptuyến: 
zn a 
 Các thành phần của J1 : 1n 1n zJ (J .n)n 10a 
1t 1n 1n xJ J J 5a 
 Các thành phần của J2 : 2n 1n zJ J 10a 
2 1t
2t 2 2t 2 1t x
1
J
J E E 10a

 

2
2 2n 2t x zJ J J 10a 10a [A/m ] CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 115 
c) Tính trường điện ở môi trường dẫn: 
c1) Xác định thế điện trong môi trường dẫn: 
divJ 0 div[ (grad )] 0 
Khi  = const : 
Cách giải 
0 
Khi  ≠ const : div[ (grad )] 0 
 E
J E 
D E 
 Qui trình: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 116 
 VD 2.9.2: Trường điện ở mt dẫn 
E & J
 Thế điện = (z) là nghiệm 
ptrình Laplace. 
U
z  ĐKB : (ℓ) = U & (0) = 0. 
A Bz 
 Hệ Đề các, đặt hiệu thế U và ta 
nhận thấy : = (z). 
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là A, 
đặt cách nhau ℓ, điện môi thực có 
độ dẫn điện  = const, nối vào 
hiệu thế U = const. Tìm phân bố 
thế điện trong điện môi ? Suy ra 
vector ? 
Giải 
E & J
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 117 
 VD 2.9.3: Trường điện ở mt dẫn 
U
d
Ux 
 Nghiệm phương trình Laplace: 
U
xd
E a 
pVdiv D ; div PV 
  Và áp dụng: 
0U
xd
D (5 3x)a

U
xd
J a

0U
xd
P (4 3x)a

Tụ phẳng điện môi thực  = (5-3x)0 ,  = 
10-10 S/cm đặt dưới hiệu thế U = 1 KV , 
khoảng cách giữa 2 cốt tụ là 1 cm. Xác 
định mật độ dòng trong điện môi, vectơ 
cảm ứng điện và phân cực điện, suy ra 
mật độ khối tự do và liên kết ? 
Giải 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 118 
c2) Tích phân trực tiếp trường J : 
Biểu thức của J (và các hằng số tích phân). 
iii. Áp dụng : suy ra các hằng số tích phân . 
ab
a b
U Edl
i. Dựa vào phương trình divJ = 0 và tính đốixứng: 
J
E

 ii. Vectơ c.độ trường điện: 
(Nếu  phụ thuộc tọa độ 
thì thế ngay ở bước này) 
J E
Edl C 
D E 
 Qui trình: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 119 
 Sự tương tự giữa D và J : 
Môi trường dẫn Môi trường V = 0 
rot E 0 ; E grad( ) 
 rot E 0 ; E grad( ) 
div D 0
 div J 0
E, , , J E,...   E, , , D εE,...  
1t 2t 1n 2nE E 0; D D 0 1t 2t 1n 2nE E 0; J J 0 
 Chỉ cần thay vị trí của D bằng J trong phương pháp trước. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 120 
 VD 2.9.4: Sự tương tự giữa D và J 
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là S, đặt 
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = const,  = const, nối vào hiệu 
thế U = const. Tìm vector mật độ dòng 
trong tụ ? Suy ra dòng qua tụ ? 
Giải 
 Triển khai div trong hệ Cartesian : 
 Jx = A = const.  
U S
I
d

 Dòng điện qua tụ: 
 Do J = Jx.ax và div(J) = 0 . 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 121 
 VD 2.9.5: Sự tương tự giữa  và  
Tụ phẳng, diện tích cốt tụ là A, đặt 
cách nhau d, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = const,  = const. Tìm điện trở 
của tụ điện phẳng ? 
Giải 
S
C
d

 Kết quả bài toán TĐ tĩnh: 
ε ; C G  Sự tương tự : 
S
G
d

  Điện dẫn của tụ: 
1 d
R
S
G
 Điện trở của tụ: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 122 
d) Định luật Joule: 
 Vector mật độ dòng Công suất tiêu tán dạng nhiệt. 
2 2 3p J.E σE J /σ [W/m ]  Mật độ công suất tiêu tán: 
2P p. σE . [W] V VdV dV
 Công suất tiêu tán trong thể tích V : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 123 
e) Điện trở và tính giá trị điện trở : 
Uab 
+ R 
G 
I
abU R ( )
I
 Giá trị điện trở: 
1
G conductance[S or ]
R
 Giá trị điện dẫn: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 124 
 Tính giá trị điện trở : 
i. Chọn hệ tọa độ. 
ii. Giả sử Uab = hiệu thế điện đặt lên môi trường dẫn . 
iii. Xác định vector mật độ dòng trong môi trường dẫn . 
 I J.dS
S
iv. Xác định dòng qua môi trường dẫn: 
(dS hướng theo 
chiều giảm thế) 
v. Tính: ab
U
R ( )
I
 
 Có thể tính qua công suất: 
2
ab
2
U P
 R ( )
P I
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 125 
 VD 2.9.6: Tính giá trị điện trở của cáp 
Tìm điện trở trên đơn vị dài của cáp 
đồng trục, cách điện là điện môi thực 
có ,  = const. 
Giải 
 Đặt lõi và vỏ cáp dưới hiệu thế U. 
0
ln(b/a)
R
2π
 Điện trở đơn vị của cáp: 
r r
U 1
E a a
ln(b/a)r r
 

 Thế điện = (r) là nghiệm ptrình Laplace: Aln Br 
U
[ ln ln b]
ln(b/a)
r 
r
U 1
J a
ln(b/a) r
 
U 1
I .2
ln(b/a)
r
r

 (do L = 1m) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 126 
 VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng 
x
U.
J a
d
 
x
U
E a
d
U
d
Ux 
a) Nghiệm ptrình Laplace: 
Tụ phẳng, điện môi thực, tìm : 
a) Vectơ trong điện môi thực ? 
b) Điện trở cách điện của tụ Rcđ ? 
c) Công suất tổn hao nhiệt trong điện môi? 
J , E
Giaûi 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 127 
VD 2.9.7: Tính điện trở của tụ phẳng (tt) 
x
S
U S
J S J .S
d
 
 db) Có: Irò 
2
J
V V
P J E E
 dV dVc) Công suất tổn hao nhiệt: 
Nhận xét: 
2
J
cd
U
P
R
2 2
J 2 V
U U S
P
d d
 
 dV
cd
ro
U d
R
I S
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 128 
 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn 
J J a & div J 0
  Do tính đối xứng: 
1
(J ) 0
r


 
  
J const 
J
E a



Tìm điện trở giữa hai điểm 1-2 , biết ¼ vành 
khuyên vật dẫn có  = 3,3.107 (S/m) ; a = 5 
(cm) ; b = 10 (cm) ; bề dày h = 2 (mm) ; dòng 
điện I = 200 (A). Tìm mật độ dòng (và Jmax) , 
Rab và công suất tổn hao ? 
Giaûi 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 129 
 VD 2.9.8: Tính điện trở thanh dẫn (tt) 
2 / 2
12
1 0
J J .r
U E
2
  

 
 d l rdCó: 
122 UJ
.r


b h
12 12
S a 0
2 U 2 U h b
I J . . ln
r a

 
dr
dr dz dz
I
J
r.h.ln(b/a)
 (max)
I
J
a.h.ln(b/a)
 
 Mặt khác: 
12 12R U / I
2 h ln(b/a)

2
J 12P R I 
 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 130 
 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện 
Tụ điện trụ, điện môi thực có độ dẫn 
điện  = k0/r
2 (k0 = const),  = const, 
nối vào nguồn DC có U = const. 
a) Xác định vector cường độ trường điện trong điện môi ? 
b) Điện trở cách điện trên đơn vị chiều dài cáp ? 
Giải 
r
1
(rJ ) 0
r 
 
  
A
r r
J r r r
0
J Ar
E a a
k
r rJ J a a) Do tính đối xứng: (hệ trụ) 
divJ 0  Theo ptrình trường điện tĩnh miền có dòng: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch2 131 
 VD 2.9.9: Tính điện trở cách điện (tt) 
0
2 2
2k U
b a
A
0 0
b
Ar A 2 2
k 2ka
U (b a )dr  Theo định nghĩa hiệu thế điện: 
2 2
2Ur
rb a
E a
 0
2 2
2k U 1
rrb a
J a
0 0
2 2 2 2
2 1 2k U 2k U1
rb a b a0 0
I JdS ( ) 2
m
S
rd dz
 
b) Dòng rò qua tiết diện cách điện trên đơn vị chiều dài cáp : 
2 2
0
U b a
I 4πk
R
CuuDuongThanCong.com