Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Vector và trường

EM-Ch1 1 
Chương 1: 
Vector và Trường 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 2 
Nội dung chương 1: 
1.1 Đại số vector. 
1.2 Các hệ tọa độ. 
1.3 Yếu tố vi phân và các tích phân. 
1.4 Các toán tử cơ bản. 
1.5 Khái niệm trường điện từ. 
1.6 Các định luật cơ bản của trường điện từ. 
1.7 Dòng điện dịch - Hệ phương trình Maxwell. 
1.8 Điều kiện biên của trường điện từ. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 3 
1.1 Đại số vector 
 Vector: Đại lượng vật lý, đặc trưng bởi cả độ lớn và hướng 
trong không gian. 
 Vô hướng: Đại lượng vật lý, đặc trưng chỉ bởi độ lớn. 
a) Vector (A) và Vô hướng (A): 
 Ví dụ: Vận tốc,lực  
 Ví dụ: Khối lượng, điện tích  
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 4 
b) Vector đơn vị: 
 độ lớn là 1, hướng theo chiều tăng các trục tọa độ, ký hiệu a và 
các chỉ số : 
1 1 2 2 3 3
A
2 2 2
1 2 3
A a A a A aA
a
A A A A
E = Ex + Ey + Ez = Ex(x,y,z,t)ax + Ey(x,y,z,t)ay + Ez(x,y,z,t)az 
 Một vector bất kỳ có thể biểu diễn theo các vector đơn vị như sau: 
1 2 3a ;a ;a
 Vector đơn vị dọc theo một vector: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 5 
c) Tích vô hướng: 
 Là một vô hướng: 
1 1 2 2 3 3. A.B.cosθABA B AB A B A B
2. AA A
1
AB
(A .B)
θ cos
(A.B)
 Rất thuận tiên khi tìm góc giữa 2 vector: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 6 
d) Tích có hướng: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
A B A A A B A
B B B
0A A
 Là một vector, vuông góc với cả hai vector A và B 
 Rất tiện lợi để tìm vector đơn vị vuông góc với mặt phẳng chứa 
2 vector: 
n
A B
A B
a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 7 
e) Tích hỗn hợp có hướng: 
 Là vector : A (B C)
 Tổng quát : A (B C) B (C A) C (A B)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 8 
f) Tích hỗn hợp vô hướng: 
 là vô hướng : 
A.(B C) B.(C A) C.(A B)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
B B B
C C C
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 9 
 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ 
Cho 3 vector: 
1 2 3A 3a 2a a
1 2 3B a a a
1 2 3C a 2a 3a
1 2 3(3 1 4)a (2 1 8)a (1 1 12)a
2 35a 12a
A B 4C 25 144 13
 A B 4C ?a) Tính: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 10 
 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt) 
1 2 3(3 2 1)a (2 2 2)a (1 2 3)a
1 2 34a 2a 4a
1 2 3
1
2a a 2a
3
 A 2B C ?b) Tính: 
1 2 3
1 2 3
4a 2a 4a
4a 2a 4a
Vector đơn vị 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 11 
 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt) 
Cho 3 vector: 
1 2 3A 3a 2a a
1 2 3B a a a
1 2 3C a 2a 3a
(3*1) (2*2) (1*3) 10
1 2 3
1 2 3
a a a
1 1 1 5a 4a a
1 2 3
 A.C c) Tính: 
 B C d) Xác định: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 12 
 Ví dụ 1.1.1: Đại số vectơ (tt) 
3 2 1
1 1 1 3(3 2) 2( 1 3) 1(2 1) 8
1 2 3
Cho 3 vector: 
1 2 3A 3a 2a a
1 2 3B a a a
1 2 3C a 2a 3a
 A.(B C) ?e) Tính: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 13 
 Ví dụ 1.1.2: Đại số vectơ 
Cho 2 vector: 
x y zA 3a 2a a x y zB a 3a 2a
 C 2A 3Ba) Tính: 
b) Xác định vector đơn vị aC và góc hợp bởi nó với trục Oz ? 
a) Ta có: 
b) Vector đơn vị : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 14 
1.2: Các hệ tọa độ 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 15 
1.2.1 Hệ tọa độ Đề các: 
a) Các vector đơn vị: 
x
y
x
y
z
O
az z
az
ay
ay
ax
ax
P(x,y,z) 
 P(x,* y, z) 
x y z a , a a* , 
* Luật bàn tay phải : 
xa ya
za xaya
za
x y zA A a A a A ax y z
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 16 
b) Vector vị trí: 
P(x, y, z) 
x 
y 
z 
O 
r
x y zr .a .a .ax y z
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 17 
c) Vector từ P1(x1,y1,z1) đến P2(x2,y2,z2): 
12 2 1 x 2 1 y 2 1 zr ( )a ( )a ( )ax x y y z z
P2(x2, y2, z2) 
x 
y 
z 
O 
12r
P1(x1, y1, z1) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 18 
 Ví dụ 1.2.1: 
x y z(0 0)a (0 15)a ( 20 0)a 25
Cho: A(12, 0, 0), B(0, 15, 0), C(0, 0, –20). 
a) Khoảng cách từ B đến C ? 
b) Thành phần vector từ A đến C dọc theo từ B đến C ? 
 Vector từ A đến C: AC x zr 12a 20a
 Vector đơn vị từ B đến C: 
y z y z
BC
15a 20a 3a 4a
a
25 5
AC BC BC y z(r .a )a 9.6a 12.8a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 19 
1.2.2 Hệ tọa độ trụ: 
 P(r,* , z) 
r z a , a , a*
* Luật bàn tay phải : 
ra a
za raa
za
r zA A a A a A ar z
ra
a
a z
r 
P(r, ,z) z 
z 
y 
x 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 20 
1.2.3 Hệ tọa độ cầu: 
 P(r,* , ) 
r a , a , a* 
* Luật bàn tay phải : 
ra a
a
raa
a
rA A a A a A ar θ
a
a
ra
r 
P(r, , ) 
z 
y 
x 
Chú ý: 
 Hệ trụ: 
rca
 Hệ cầu: 
rsa
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 21 
1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ: 
Đề các Trụ 
( , , )x y z
2 2r x y
1 ytg
x
z z
( , , )r z
cosx r
z z
siny r
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 22 
1.2.4 Chuyển đổi giữa các hệ tọa độ: 
Đề các Cầu 
( , , )r
sin cosx r
cosz r
sin siny r
( , , )x y z
2 2 2r x y z
2 2
1 x ytg
z
1 ytg
x
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 23 
Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? 
x 2 cos 5 6 – 3
y 2 sin 5 6 1
3 1 2
z 3
x
z
3
2 y
5 /6
Chú ý: x = r cos x = r sin cos 
 y = r sin y = r sin sin 
 z = z z = r cos 
(a) Cho P(2, 5 /6, 3) trong hệ tọa độ trụ. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 24 
Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? 
x 4 cos 4 3 – 2
y 4 sin 4 3 – 2 3
4 12 4
z – 1
(b) Cho P(4, 4 /3, -1) trong hệ tọa độ trụ. 
1 4
x
y
4 /3
z
Chú ý: x = r cos x = r sin cos 
 y = r sin y = r sin sin 
 z = z z = r cos 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 25 
Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? 
2
4 sin cos 3
3 6
2
4 sin sin 3 9 3 4 4
3 6
4 cos – 2
3
x
y
z
(c) Cho P(4, 2 /3, /6) trong hệ tọa độ cầu. 
2 /3
x
y
z
/6
4
Chú ý: x = r cos x = r sin cos 
 y = r sin y = r sin sin 
 z = z z = r cos 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 26 
Ví dụ 1.2.2: Xác định x, y, z ? 
x 8 sin
4
cos
3
1
y 8 sin
4
sin
3
3
z 8 cos
4
2
1 3 4 8
/4
/3
z
y
x
8
(d) Cho trong hệ tọa độ cầu. P 8, 4, 3
Chú ý: x = r cos x = r sin cos 
 y = r sin y = r sin sin 
 z = z z = r cos 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 27 
1.2.5 Chuyển đổi vector giữa các hệ tọa độ: 
r x
y
z z
A cos sin 0 A
A sin cos 0 A
A 0 0 1 A
Đề các Trụ 
x r
y
z z
A cos sin 0 A
A sin cos 0 A
A 0 0 1 A
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 28 
1.2.5 Chuyển đổi vector giữa các hệ tọa độ: 
r x
y
z
A sin cos sin sin cos A
A cos cos cos sin sin A
A sin cos 0 A
Đề các Cầu 
x r
y
z
A sin cos cos cos sin A
A sin sin cos sin cos A
A cos sin 0 A
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 29 
 Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector 
Cho: rA a at 2, 6, 2 ?
B a at 1, 3,0 ?
C a at 3, 4,3 / 2 ?
Đề các 
1 3
y z y z2 2
A sin( / 6)a cos( / 6)a a a
x
y
z
A sin( / 6)cos( / 2) cos cos sin 1
A sin ( / 6)sin ( / 2) cos sin cos 0
A cos ( / 6) sin 0 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 30 
 Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector 
Cho: rA a at 2, 6, 2 ?
B a at 1, 3,0 ?
C a at 3, 4,3 / 2 ?
Đề các 
1 3
x z x z2 2
B cos( /3)a sin( /3)a a a
x
y
z
A sin cos cos( / 3)cos0 sin 0
A sin sin cos ( / 3)sin 0 cos 1
A cos sin ( / 3) 0 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 31 
 Ví dụ 1.2.3: Chuyển đổi vector 
Cho: rA a at 2, 6, 2 ?
B a at 1, 3,0 ?
C a at 3, 4,3 / 2 ?
Đề các 
zx xC sin(3 / 2)a a
x
y
z
A sin cos cos cos sin(3 / 2) 0
A sin sin cos sin cos(3 / 2) 0
A cos sin 0 1
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 32 
1.3: Yếu tố vi phân và các tích 
phân : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 33 
a) Công thức chung: 
1 2 31 1 2 2 3 3d l h du a h du a h du a
1 2 3 1 2 31 2 3
1 2 32 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
d S d S d S d S dS a dS a dS a
 a a ah h du du h h du du h h du du
1 2 3 1 2 3dV h h h du du du
Hệ số tọa độ h1 h2 h3 
(Larmor) 
Đề các : 1 1 1 
Trụ : 1 r 1 
Cầu: 1 r rsin 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 34 
b) Yếu tố vi phân ở hệ tọa độ Đề các : 
x y zd l dx i dy i dz i
x y zd S dydz i dxdz i dxdy i
dV dxdydz
Thöôøng 
duøng 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 35 
 Vi phân thể tích: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 36 
c) Yếu tố vi phân ở hệ tọa độ trụ : 
r zd l dr a rd a dz a
r zd S rd dz a drdz a rdrd a
dV rdrd dz CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 37 
 Vi phân thể tích: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 38 
d) Yếu tố vi phân ở hệ tọa độ cầu : 
2 sindV r drd d
r sind l dr a rd a r d a
2
rsin sind S r d d a r drd a rdrd a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 39 
 Vi phân thể tích: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 40 
e) Tích phân đường, mặt và khối : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 41 
i. Tích phân đường: 
ABU E.dl
B
A
=Tích phân đường của E từ A đến B. 
E.dl
C
=Tích phân đường của E dọc theo đường kín C. 
 Ý nghĩa của tích phân này phụ thuộc tính chất của trường 
vectơ E. Ví dụ nếu E là trường lực thì tích phân cho ta công của 
lực. 
= còn gọi là lưu số của trường E trên đường C. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 42 
 Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường 
(1, 0, 0)
z
x
y
(1, 2, 3)
(1, 2, 0)
(0, 0, 0)
(1,2,3)
(0,0,0)
Fdl
Với đường C: từ (0, 0, 0) đến (1, 0, 0), từ (1, 0, 0) đến (1, 2, 0) và 
từ (1, 2, 0) đến (1, 2, 3). 
Cho: tìm 
x y xF ( )a ( )a ( )ayz zx xy
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 43 
 Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường (tt) 
 Từ (0, 0, 0) đến (1, 0, 0): 
(1, 0, 0)
z
x
y
(1, 2, 3)
(1, 2, 0)
(0, 0, 0)
0, 0 0, 0z y dz dy
(1,0,0)
(0,0,0)
F 0 Fdl 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 44 
 Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường (tt) 
(1, 0, 0)
z
x
y
(1, 2, 3)
(1, 2, 0)
(0, 0, 0)
(1,2,0)
(1,0,0)
F.dl 0 Fdl 0
 Từ (1, 0, 0) đến (1, 2, 0), 
1, 0 0, 0x z dx dz
F axy
x y z ydl ( )a ( )a ( )a ( )adx dy dz dy
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 45 
 Ví dụ 1.3.1: Tính tích phân đường (tt) 
(1, 0, 0)
z
x
y
(1, 2, 3)
(1, 2, 0)
(0, 0, 0)
(1,2,3) 3
(1,2,0) 0
F.dl 2 Fdl 2 6dz dz
 Từ (1, 2, 0) đến (1, 2, 3), 
1, 2 0, 0x y dx dy
F 2a z
x y z zdl ( )a ( )a ( )a ( )adx dy dz dz
(1,2,3)
(0,0,0)
Fdl 0 0 6 6
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 46 
ii. Tích phân mặt: 
 Dùng để tính thông lượng của một trường vector gửi qua mặt . 
Normal
Bjanj
j
S
Sj
ndS adS
= BdS
S
= Tích phân mặt của B trên S. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 47 
 Ví dụ 1.3.2 : Tính tích phân mặt 
AdS
S
Cho: , 
x yA ( )a ( )ax x
z
y
x
2
2
2
Tìm: 
x yx 2 A (2)a (2)a
xdS adydz
2 2
0 0
AdS 2 8
S
y z
dydz
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 48 
iii. Tích phân khối : 
 Định nghĩa bởi: N
i i
V N
i 1V 0
f lim f v
i
dV
N
i i
V N
i 1V 0
F lim F v
i
dV
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 49 
 Ví dụ 1.3.3: Tính tích phân khối 
Mật độ electron bên trong khối cầu bán kính 2 m cho bởi qui luật: 
3
e
1000
n cos (electron/m )
r 4
Tìm điện tích của toàn bộ khối cầu biết điện tích của electron là – 
1,6.10–19 C. 
 Gọi N = số electron chứa trong khối cầu, ta có : 
 Điện tích khối cầu: Q =N*e = CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 50 
1.4 Các toán tử cơ bản 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 51 
a) Gradient của trường vô hướng: 
 Toán tử grad: 
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1 or U U U
h u h u h u
gradU U a a a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 52 
 Ví dụ 1.4.1: Tính toán toán tử grad 
2323),,( zyyxzyxCho hàm vô hướng: 
Tìm grad( ) , hay , tại điểm P(1, -2, -1) ? 
2 3 2
2 2 2 3
( )(3 )
6 . (3 3 ) 2 .
x y z
x y z
grad a a a x y y z
x y z
xy a x y z a y z a
 Theo công thức: 
12. 9. 16.x y zgrad a a a Tại P(1,-2,-1): 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 53 
 Các tính chất của toán tử grad: 
P 
Q 
dℓ 
gradV 
V=const 
i. Biên độ của gradV bằng tốc độ tăng cực đại 
của hàm V trong không gian (dV/dℓmax). 
ii. Hướng của gradV là hướng tăng cực đại 
của hàm V trong không gian. 
iii. GradV tại điểm P sẽ vuông góc với mặt V 
= const tại P. Và vectơ đơn vị pháp tuyến 
của mặt V = const tại P xác định theo: 
Vector đơn vị pháp tuyến tại P = (gradVP) / |gradVP| 
gradV.a
dV
d
iv. Độ tăng của hàm V theo hướng aℓ là hình chiếu của gradV 
xuống hướng đó. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 54 
 Ví dụ 1.4.2: Ứng dụng toán tử grad 
n
gradV
a
gradV
 Theo công thức: 
Tìm vectơ đơn vị vuống góc với 
mặt phẳng: 5x + 2y + 4z = 20 
 Tính toán tử: 
x y z
n x y z
2 2 2
5a 2a 4a 1
a 5a 2a 4a
3 55 2 4
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 55 
b) Divergence của trường vector : 
2 3 1
1 2 3 1
( )1
div A or A [ ...]
h h A
h h h u
Định nghĩa: Là thông lượng của trường thoát khỏi một đơn vị 
thể tích. 
0
Fds
divA or A lim
V
S
V
Công thức tính: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 56 
 Ví dụ 1.4.3: Tính toán toán tử div 
Cho vector: 
Tìm divA, hay , tại điểm P(1, -1, 1) ? 
2 3 2 2. 2 . .x y zA x z a y z a xy z a
A
 Theo công thức: 
2 3 2 2( ( ) ( 2 ) ( ))divA x z y z xy z
x y z
22262 xyzyxz
 Tại P(1,-1,1): 3divA
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 57 
 Định lý Divergence : 
(dS hướng ra bên ngoài mặt S ) 
V S
div AdV Ad S
 Vế phải của định lý là thông lượng của trường A gửi qua mặt 
kín S. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 58 
 Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div 
 AdS 0
y zA ( 3)a (2 )ay z
xdS adydz
0
AdS 0
x
Trên mặt x = 0: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 59 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
 AdS 3dydz
x y zA 3a ( 3)a (2 )ay z
xdS adydz
2 3
1 0 0
AdS 3 18
x
dydz
Trên mặt x = 1: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 60 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
 AdS 3dxdz
x y zA 3 a 3a (2 )ax z
ydS adxdz
1 3
0 0 0
AdS 3 9
y
dxdz
 Trên mặt y = 0: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 61 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
 AdS dxdz
x y zA 3 a a (2 )ax z
ydS adxdz
1 3
2 0 0
AdS 3
y
dxdz
 Trên mặt y = 2: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 62 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
 AdS 2dxdy
x y zA 3 a ( 3)a 2ax y
zdS adxdy
1 2
0 0 0
AdS 2 4
z
dxdy
 Trên mặt z = 0: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 63 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
 AdS dxdy
x y zA 3 a ( 3)a ax y
zdS adxdy
1 2
3 0 0
AdS 2
z
dxdy
 Trên mặt z = 3: 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 64 
Ví dụ 1.4.4: Kiểm chứng định lý div (tt) 
Kiểm chứng tính đúng đắn của định lý Divergence bằng cách 
xét: 
x y zA (3 )a ( 3)a (2 )ax y z
Và S là mặt hộp giới hạn bởi : x = 0; x = 1; y = 0; y = 2; z = 0; z = 3 
 Vậy: AdS 0 18 9 3 4 2 18
S
 Ta tính: divA 3
1 2 3
0 0 0
AdS (divA) 3 18
S V
dv dxdydz
Định lý Divergence được kiểm chứng. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 65 
 Tổng kết: 
 Nếu divE > 0 : thông lượng của E hướng ra bên ngoài S. 
 Nếu divE < 0 : thông lượng của E hướng vào bên trong S. 
 Nếu divE = 0 : thông lượng của E vào và ra mặt kín S là như 
nhau. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 66 
c) Curl (rot) của trường vector : 
1 2 3
1 2 31 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
A or A or A
u u u
h h h
curl rot
h h h
h A h A h A
a a a
Định nghĩa: Là lưu số cực đại của trường trên một đơn vị diện 
tích. 
n
0
max
Fd
rot A or A l ... CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 86 
i. Vector mật độ dòng khối : 
+ chiều trùng chiều dòng. 
+ độ lớn: J = dI/dS 
I J.dS
S
 Dòng điện chạy qua diện tích S : 
 Đặc điểm của vectơ mật độ dòng 
khối: 
: Độ dẫn điện [ / ][1/ ]S m m
J E Định luật Ohm: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 87 
ii. Vector mật độ dòng mặt : 
+ chiều trùng chiều dòng. 
+ độ lớn: Js = dI/dℓ 
s
L
I J dl Dòng điện chạy qua đường L : 
Đặc điểm của vectơ mật độ dòng 
mặt : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 88 
1.6 
Các định luật cơ bản của 
trường điện từ 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 89 
1.6.1 Luật bảo toàn điện tích : 
Dòng điện thoát ra bên ngoài mặt kín S bằng tốc độ giảm 
của điện tích chứa bên trong mặt S. 
( )
dq
i t
dt
a) Phát biểu và dạng tích phân: 
J S
S
dq
i d
dt
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 90 
b) Phương trình liên tục: 
J , V
V V
div dV dV V
t
J S
S
dq dt i d
V
V
dq dt dV
t
J S div J
V
S
d dV
J Vdiv t
(Phương trình liên tục = Dạng vi 
phân của luật bảo toàn điện tích) 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 91 
1.6.2 Luật Gauss về điện: 
DdS V
S V
q dV
Thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt 
kín S bằng tổng điện tích chứa trong miền V giới hạn bởi mặt S 
đó. 
a) Phát biểu và dạng tích phân: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 92 
b) Dạng vi phân: 
divD D V
Dạng vi phân của luật 
Gauss về điện. 
DdS V
S V
q dVTừ: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 93 
 Ví dụ 1.6.1: Áp dụng luật Gauss 
Tìm thông lượng của vector cảm ứng điện thoát ra bên ngoài mặt 
S giới hạn bởi: x = 1, y = 1 và z = 1, biết mật độ điện tích khối 
bên trong : 2 2 2
0, , 3V x y z x y z
1 1 1
2 2 2
0
1 1 1
1 1 1
2 2 2
0
0 0 0
0
0
3
8 3
1 1 1
8 3
3 3 3
16
V
S V
x y z
x y z
d dv
x y z dx dy dz
x y z dx dy dz
D S
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 94 
1.6.3 Định luật Gauss về từ: 
BdS 0
S
Thông lượng của vector cảm từ điện thoát ra bên ngoài mặt kín 
S luôn bằng 0. 
a) Phát biểu và dạng tích phân: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 95 
b) Dạng vi phân : 
divB D 0
Dạng vi phân của luật 
Gauss về từ. 
BdS 0
S
Từ: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 96 
1.6.4 Định luật Ampere : 
a) Phát biểu và dạng tích phân : 
 Lưu số của vector cường độ trường từ H dọc theo đường kín 
(C) bất kỳ bằng tổng dòng chạy qua mặt S giới hạn bởi đường kín 
(C) đó. 
 (Dạng tích phân ) encH I
C
d l
Ienc = Ik = I1 + I2 - I3 
(C) I1 
I
3 
I
2 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 97 
b) Dạng vi phân : 
 (Dạng vi phân) rot H J
encI J.dS
S
 Do : encHdl = I JdS
C
S
encHdl I
C
Từ: 
H l H S
C S
d rot dTheo định lý Stokes: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 98 
1.6.5 Định luật Faraday: 
emf Edl = BdS
C
S
d
dt
a) Phát biểu và dạng tích phân: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 99 
b) Dạng vi phân : 
B
... E S S,
S S
rot d d S
t
(C) 
dS 
B(t) 
S 
Dạng vi phân B
rotE E
t
E B S
C S
d
d l d
dt
Từ: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 100 
 Thí nghiệm Faraday: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 101 
 Ứng dụng của luật Faraday: 
Máy phát DC Máy phát AC 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 102 
Ví dụ 1.6.2: D2.5 in Rao’s book 
0B =B (sin .a cos .a )x yt t
z
1
1
x
y
C
Cho: , xác định emf ? 
0BdS sin
S
B tTa có: 
0 0Edl = ( sin ) cos
C
d
emf B t B t
dt
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 103 
emf < 0
emf > 0
B0
0
–B0
emf
0
2 3
2 3
inc. 
dec. 
– B0 
t 
t 
B0 
 Kiểm chứng luật Lenz: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 104 
Ví dụ 1.6.3: Áp dụng luật Faraday 
Cuộn dây N vòng tròn bán kính a, nằm trong mặt phẳng xOy, 
tâm tại O, nối với điện trở R, đặt trong trường từ B = Bo(2ay + 
6az)sinωt, ω là tần số góc, như hình vẽ bên dưới. Tìm: 
a) Từ thông móc vòng 
qua một vòng dây ? 
b) Sức điện động cảm 
ứng emf biết N = 10 , 
B0 = 0.2T, a =10cm, ω 
= 103 rad/s ? 
c) Cực tính của emf tại t 
= 0 ? 
d) Dòng điện I trong 
mạch biết R = 1 kΩ ? 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 105 
Ví dụ 1.6.3: Giải 
a) Từ thông móc vòng qua một vòng dây : 
2
0 0
S
 B 2 6 sin . 6 B sin ωtm
S
t dS a
y z z
B.dS a a a
Khi N=10, a = 0.1 m, ω=103 rad/s and B0 = 0.2 T: emf = -377cos10
3t V 
2 2
0 0b) emf 6 Na B sinωt 6 Nωa B cosωt
md dN
dt dt
c) Tại t = 0, emf = -377cos103t = - 377 volts : điểm 2 có thế cao 
hơn điểm 1. 
d) Dòng I trong mạch là : 3 3
3
emf 377
cos10 0.38cos10 Amps
10
I t t
R
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 106 
1.7 Dòng điện dịch - 
 Hệ phương trình Maxwell: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 107 
a) Dòng điện dịch: 
 Từ luật Ampere: rot H J
 Luật Ampere chỉ đúng với dòng điện DC !!! 
div(rot H) div J V
t
0V
t
Do div(rot H) 0 (vector analysis)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 108 
a) Dòng điện dịch : (tiếp theo) 
 Từ phương trình liên tục: 
D
div(J) 0 div(J ) 0
t t
V
 Vector mật độ dòng dẫn : 2
cJ J [A/m ]
total
D
J J
t
 Vector mật độ dòng dịch: 2
d
D
J [A/m ]
tCuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 109 
 Luật Ampere-Maxwell: 
(Dạng tích phân) 
D
H J S
tC
S
d l d
(Dạng vi phân) 
D D
rot H J E
t t
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 110 
 Ví dụ 1.7.1: Dòng điện dịch 
Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường từ: 
0 yH H sin a (A/m)t z
(Với β = const). Xác định: (a) Vector mật độ dòng dịch ? (b) 
Vector cường độ trường điện ? 
Giải 
x y z
d x y z
H sin( )
0
2
(A/m )0 x
a a a
D
J rot H
0 0
 H cos( )a
t z
t
t z
a) Do = 0 nên: 
2
(A/m )d 0 xJ H cos( )at zCuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 111 
 Ví dụ 1.7.1: Dòng điện dịch 
Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường từ: 
0 yH H sin a (A/m)t z
(Với β = const). Xác định: (a) Vector mật độ dòng dịch ? (b) 
Vector cường độ trường điện ? 
Giải 
0βH 2
(C/m )xω
D
D sin( )adt t z
t
b) Từ câu (a) ta có: 
0
0
βH
(V/m)xωε
E sin( )at z
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 112 
b) Hệ phương trình Maxwell: 
Luật bảo toàn điện tích: 
Dạng tích phân Dạng vi phân 
Edl = BdS
C
S
d
dt
(2) 
B
rotE
t
DdS
S
q (3) VdivD ρ
BdS 0
S
(4) divB 0
J S
S
dq
d
dt
(5) J Vdiv t
(1) 
D
H J S
tC
S
d l d Drot H J
t
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 113 
 Ví dụ 1.7.2: Hệ phương trình Maxwell 
9
x y z
x y z0
5cos(10 βz)
9
x
a a a
H
rot E
0 0
 5βsin(10 βz)a
t
t
t
Giải 
Môi trường chân không ( = 0, = 0, = 0) tồn tại trường điện: 
Dùng hệ phương trình Maxwell xác định β và vector cường độ 
trường từ ? 
9
yE(z,t) 5cos(10 ).a (V/m)t z
 Từ pt(2) của hệ pt Maxwell: 0
B H
rotE
t t
9
x9
0
5β
H cos(10 βz)a
μ .10
t
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 114 
 Ví dụ 1.7.2: Hệ phương trình Maxwell 
 Từ pt(1) của hệ pt Maxwell: 0
D E
rotH ε
t t
9
x
5
H cos(10 )a (A/m)
120
t z
9
0
x y z
x y z
5β 9
μ .10
a a a
rot H
cos(10 βz) 0 0t
2
9
y9
0
5β
sin(10 )a
μ .10
t z
2
9
0 9
0
5β
5.ε .10
μ .10
3
10
9 9
0 0 yε 5ε 10 sin(10 βz)a
E
t
t
Và: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 115 
1.8 Điều kiện biên của trường điện từ : 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 116 
a) Khái niệm: 
na : 2 1
 Lưu ý là trong các bài toán điều kiện biên, vector đơn vị pháp 
tuyến của biên luôn chọn theo qui tắc: hướng từ môi trường 2 
sang môi trường 1. 
 ĐKB = là các phương trình toán, mô tả sự ràng buộc của các 
đại lượng đặc trưng của trường điện từ trên biên của hai môi 
trường . 
Môi 
trường 1 
Môi 
trường 2 
( 1; 1; 1) 
( 2; 2; 2) 
an 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 117 
b) ĐKB cho thành phần pháp tuyến: 
s
1 2n s
1 2n
ρ
1 2n
a (D D ) ρ
a (B B ) 0
a (J J )
t
s
1n 2n s
1n 2n
ρ
1n 2n
D D ρ
B B 0
J J
t
( 1; 1; 1) 
an 
( 2; 2; 2) 
D2 
D1 
D2n 
D1n 
s
1n 2n s n
1n 2n
ρ
1n 2n n
(D D ) ρ .a
(B B ) 0
(J J ) .a
t
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 118 
c) ĐKB cho thành phần tiếp tuyến : 
1 2n
1 2n
a (H H ) J
a (E E ) 0
S
1 2
1 2
H H J
E E 0
t t S
t t
( 1; 1; 1) 
an 
( 2; 2; 2) 
E2 
E1 
E2t 
E1t 
1t 2t S n
1t 2t
(H H ) J a
(E E ) 0
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 119 
d) Các trường hợp đặc biệt: 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 120 
 TH1: Cả 2 môi trường điện môi 
nn
t
t
EEDD
D
D
EE
2211n2n1
2
1
2
1
t2t1




Trường điện 
nn
t
t
HHBB
B
B
HH
2211n2n1
2
1
2
1
t2t1




Trường từ 
0, 0s SJ
Nếu cả 2 môi trường là điện môi lý tưởng thì không tồn tại dòng 
mặt cũng như điện tích bề mặt trên biên 2 môi trường. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 121 
TH 2: Một môi trường là dẫn lý tưởng 
Môi trường 1 Môi trường 2 
0E t1
n 1a sH J
n 1 Sa ρD
0B n1
0E t2
0B n2
0H t2
0D n2
1 
2 
na
1H t
Js
1t SH J
 2 Dẫn lý tưởng 
 (
2
 ) 
1 Điện môi (
1
 = 0) 
na
S
1n
1
ρ
E
1E n
1 
2 
+ + + + + + + + + + 
S
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 122 
TH3: Cả 2 là môi trường dẫn 
1 
 2 
na
( 1; 1) 
( 2; 2) 
1 
2 
+ + + + + + + + + + Sρ
1nJ
2nJ
1J
2J
2tJ
1tJ
1t 2t
1t 2t
1 2
1n 2n 1 1n 2 2n
J J
E E
J J E E
Điều kiện đối với trường tĩnh: 
Và trên biên : 
1 1n 2 2n SE E ρ
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 123 
e) Qui trình bài toán điều kiện biên: 
1 1n 1tE E E
Giả sử biết trường điện trên biên về phía môi trường 1 (E1), xác 
định trường điện trên biên về phía môi trường 2 (E2). 
1. Xác định vector đơn vị pháp tuyến an. 
2. Xác định các thành phần pháp tuyến & tiếp tuyến của E1. 
3. Áp dụng ĐKB tìm E2. 
1n 1 n nE (E .a ).a 1t 1 1nE E E
2 2n 2tE E E
Áp dụng ĐKB thành phần pháp tuyến xác định E2n. 
Áp dụng ĐKB thành phần tiếp tuyến xác định E2t. 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 124 
 Ví dụ 1.8.1: Bài toán ĐKB 
Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm 
miền z 0 là 
điện môi lý tưởng có 1r = 40. Biết trường điện trên biên về phía 
môi trường chân không là : 
Tìm trường điện trên biên về phía môi trường điện môi ? 
2 x y zE 13a 40a 50a (V/m)
Giải 
 Xác định an: 
Do vector đơn vị pháp tuyến 
của biên hướng từ môi trường 2 
sang môi trường 1 nên ta có : 
n z a a
Môi trường 1 
Môi trường 2 
z = 0 
biên 
n a
z 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 125 
 Ví dụ 1.8.1: Bài toán ĐKB (tt) 
Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm 
miền z 0 là 
điện môi lý tưởng có 1r = 40. Biết trường điện trên biên về phía 
môi trường chân không là : 
Tìm trường điện trên biên về phía môi trường điện môi ? 
2 x y zE 13a 40a 50a (V/m)
Giải 
 Các thành phần của E2 : 
2n 2 n n zE (E .a ).a 50a
2t 2 2n x yE E E 13a 40a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 126 
 Ví dụ 1.8.1: Bài toán ĐKB (tt) 
Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm 
miền z 0 là 
điện môi lý tưởng có 1r = 40. Biết trường điện trên biên về phía 
môi trường chân không là : 
Tìm trường điện trên biên về phía môi trường điện môi ? 
2 x y zE 13a 40a 50a (V/m)
Giải 
 Xác định các thành phần của E1 dùng phương trình ĐKB: 
2n1n 2 2n z
1n z
1 1 1
D ρ aD E 1.50a
E 1.25a
40
S n
1t 2t x yE E 13a 40a
(V/m)1 x y zE 13a 40a 1.25aCuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 127 
 Ví dụ 1.8.2: Bài toán ĐKB 
 Xác định an: 
n z a a
Môi trường 1 
Môi trường 2 
z = 0 
biên 
n a
z 
Mặt phẳng z = 0 là biên của hai môi trường: môi trường 2 chiếm 
miền z 0 có µ1r = 4. 
Biết mật độ dòng mặt trên biên là : 
Tìm trường từ trên biên về phía môi trường 2 ? 
2
1 x zB 5a 8a (mWb/m )
Giải 
và trường từ trên biên về phía môi trường 1 : 
S 0 yJ (1/ )a (mA/m)
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 128 
 Ví dụ 1.8.2: Bài toán ĐKB (tt) 
 Các thành phần của B1 : 
3
1n zB 8.10 a
3
1t xB 5.10 a
 Xác định các thành phần của B2 dùng phương trình ĐKB: 
1t
1
B
2t 2 2t 2 1t S n 2 2 S nμ
B μ H μ [H J ×a ] μ μ J ×a
3
2n 1n zB B 8.10 a
2
(mWb/m )2 x zB 1,5a 8a
3 3 3
2t x y z xB 7,5.10 a 6a ×a .10 1,5.10 a
(A/m)2 2 2 x zH B / 200a 1061aCuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 129 
 Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ 
Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm 
miền r < 0,1m là từ môi có 2r = 5 và trường từ: 0,2
2 r
B a (T)
Giải 
 Xác định an: 
Do vector đơn vị pháp tuyến 
của biên hướng từ môi trường 2 
sang môi trường 1 nên ta có : 
n r a a
Môi trường 1 chiếm miền r > 0,1m là chân không. Tìm trường từ 
trên biên về phía môi trường chân không ? 
biên 
n a
z 
Môi trường 2 
Môi trường 1 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 130 
 Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ (tt) 
Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm 
miền r < 0,1m là từ môi có 2r = 5 và trường từ: 0,2
2 r
B a (T)
Giải 
Môi trường 1 chiếm miền r > 0,1m là chân không. Tìm trường từ 
trên biên về phía môi trường chân không ? 
 Các thành phần của B2 : trường từ ngay biên: 
biên 
n a
z 
Môi trường 2 
Môi trường 1 
2B (0.2/ 0.1)a 2a (T)
2n 2 n nB (B .a ).a 0
2t 2 2nB B B 2a
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 131 
 Ví dụ 1.8.3: Bài toán ĐKB hệ trụ (tt) 
Mặt trụ r = 0,1m là biên của hai môi trường. Môi trường 2 chiếm 
miền r < 0,1m là từ môi có 2r = 5 và trường từ: 0,2
2 r
B a (T)
Giải 
Môi trường 1 chiếm miền r > 0,1m là chân không. Tìm trường từ 
trên biên về phía môi trường chân không ? 
biên 
n a
z 
Môi trường 2 
Môi trường 1 
 Các thành phần của B1 dùng ĐKB : 
1
2
1t 1 1t 1 2t S n
μ
2tμ
B H H J a
 B 0.4a
1n 2nB B 0
1B 0.4a (T)CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 132 
 Ví dụ 1.8.4: Chương trình MATLAB 
Xây dựng chương trình MATLAB cho phép nhập vào độ thẩm 
từ của 2 môi trường, vector đơn vị pháp tuyến và trường từ ở 
một môi trường, tính trường từ ở môi trường còn lại ? 
% M-File: MLP0350 
% Given H1 at boundary between a pair of 
% materials with no surface current at boundary, 
% calculate H2. 
Clc; clear 
% enter variables 
disp('enter vectors quantities in brackets,') 
disp('for example: [1 2 3]') 
ur1=input('relative permeability in material 1: '); 
ur2=input('relative permeability in material 2: '); 
a12=input('unit vector from mtrl 1 to mtrl 2: '); 
F=input('material where field is known (1 or 2): '); 
Ha=input('known magnetic field intensity vector: '); 
if F==1 
 ura=ur1; urb=ur2; a=a12; 
else 
 ura=ur2; urb=ur1; a=-a12; 
end 
% perform calculations 
Hna=dot(Ha,a)*a; 
Hta=Ha-Hna; Htb=Hta; Bna=ura*Hna; 
%ignores uo since it will factor out 
Bnb=Bna; Hnb=Bnb/urb; 
display('The magnetic field in the other 
medium is: '); 
Hb=Htb+Hnb 
Now run the program: 
enter vectors quantities in brackets, 
for example: [1 2 3] 
relative permeability in material 1: 6000 
relative permeability in material 2: 3000 
unit vector from mtrl 1 to mtrl 2: [0 0 1] 
material where field is known (1 or 2): 1 
known magnetic field intensity vector: [6 2 3] 
ans = 
The magnetic field in the other medium is: 
Hb = 6 2 6 
CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 133 
 Ví dụ 1.8.5: Bài toán ĐKB 
Cho vector cường độ trường từ phân bố trong hệ tọa độ trụ như 
sau : 
a) Xác định vector mật độ dòng khối trong các miền ? 
b) Xác định vector mật độ dòng mặt trên mặt r = a ? 
3
2
ka
3r
kr
3
a khi r a
H
a khi r a
Giải 
(Với k = const & r = 
bán kính hướng trục) 
a) Theo luật Ampere: 
r z
r z z
rH (r)
a ra a
1 1
[ ]a
0 0
rH
r r r
J rotH
0 khi r a
J
a khi r azkr CuuDuongThanCong.com
EM-Ch1 134 
 Ví dụ 1.8.5: Bài toán ĐKB (tt) 
S 1 2J n H H 0
b) Chọn mội trường 1 là r > a, 
trường từ trên biên: 
3 2ka ka
1 3a 3
H a a
Chọn mội trường 2 là r < a, 
trường từ trên biên : 
2ka
2 3
H a
Và vector đơn vị pháp tuyến biên (hướng 2 1): rn a
Vector dòng mặt theo phương trình ĐKB: 
CuuDuongThanCong.com