Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 9: Các bài toán tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 
Khoa Công nghệ Cơ khí 
CHƯƠNG 09: 
CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TRONG 
THIẾT KẾ CƠ KHÍ 
Thời lượng: 6 tiết 
2 
Thiết kế về hình dạng 
1x
2x
Thiết kế hình chữ nhật trong 2 trường 
hợp sau: 
a) Chu vi của nó bằng C và diện tích 
của nó lớn nhất có thể 
b) Diện tích của nó bằng S và chu vi 
của nó nhỏ nhất có thể 
Gọi x1, x2 là độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, ta có các công thức: 
Chu vi hình chữ nhật: 1 22P x x 
Diện tích hình chữ nhật: 1 2A x x 
Mô hình toán 1: Mô hình toán 2: 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
, max
, 2 0
, 0
f x x x x
g x x x x C
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
, 2 min
, 0
, 0
f x x x x
g x x x x A
x x
3 
Ví dụ như một người nông dân có 1 diện tích đất trồng trọt rất lớn. 
Tuy nhiên ông ta chỉ có lượng lưới thép dài 200 m dùng để làm hàng 
rào. Như vậy ông ta sẽ cần giải bài toán để tìm kích thước thửa đất 
trồng trọt sao cho chu vi của nó bằng 200 m, và diện tích bên trong 
của nó lớn nhất có thể để năng suất canh tác của ông ta được lớn 
nhất 
Mảnh cần rào lại để trồng trọt 
4 
Mảnh cần rào lại để trồng trọt 
Cũng tương tự như trường hợp 1, nhưng lúc này người nông dân 
cần một diện tích trồng trọt là 1 hécta trên tổng diện tích 20 hécta 
mà ông ta có. Lúc này ông cũng cần biết nên chọn kích thước thửa 
đất như thế nào, để nguyên vật liệu làm hàng rào của ông ta là ít 
nhất có thể. 
5 
Quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán, 
nó sẽ bao gồm 2 loại: 
- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số 
- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm 
mục tiêu và các hàm ràng buộc 
Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính 
toán các hàm mục tiêu và ràng buộc 
Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng 
buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ 
thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm. Các 
ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời 
giải. SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN. 
6 
Quy trình 2 lập mô hình toán tối ưu hóa 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm 
mục tiêu và các hàm ràng buộc 
Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính 
toán các hàm mục tiêu và ràng buộc 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán, 
nó sẽ bao gồm 2 loại: 
- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số 
- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển 
Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng 
buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ 
thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm. Các 
ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời 
giải. SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN. 
7 
Chú ý, từ quy trình 1 ta đẩy bước 1 xuống về sau bước 5 thì 
sẽ thu được quy trình 2. 
- Quy trình 1 ứng dụng cho những mô hình toán không 
quá phức tạp, ngay từ đề bài ta đã có thể liệt kê được 
toàn bộ các tham biến thiết kế 
- Quy trình 2 ứng dụng cho những mô hình toán phức tạp, 
mà ở đó phát biểu của bài toán là chưa đủ để biết được 
hết tất cả các tham biến thiết kế. Chỉ sau khi xây dựng 
được hết tất cả các hệ thức, công thức tính toán thì các 
tham biến mới lộ diện cũng như ý nghĩa của chúng được 
làm rõ. Khi đó ta mới có thể liệt kê được toàn bộ danh 
sách của chúng. 
Sự khác biệt của quy trình 1 và 2 
8 
Các bài toán thiết kế dầm (Beam) 
Hãy thiết kế kích thước mặt cắt ngang của một cái dầm công-xon bằng 
thép dài L=2m chịu tải P=20 kN ở một đầu như hình vẽ để sao cho nó 
đủ bền khi chịu uốn và cắt, độ võng tối đa của đầu chịu lực là 1 cm, 
đồng thời ít tốt vật liệu nhất có thể. Cho biết bề rộng 60mm ≤ w ≤ 
300mm, bề dày 10mm ≤ t ≤ 40mm. Tỉ lệ w/t không vượt quá 8. 
Cho E=21e4 N/mm2, G=8e4 N/mm2, [σu]=165 N/mm
2, [τc]=90 N/mm
2 
9 Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
L=2e3 mm – chiều dài dầm 
P=2e4 N – tải trọng tác dụng vào đầu dầm 
E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm 
G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm 
[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải 
[σu]=165 N/mm
2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm 
[τc]=90 N/mm
2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm 
- Các tham biến điều khiển: 
w [mm] – bề rộng mặt cắt 
t [mm] – độ dày thành ống mặt cắt 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu 
nhất. Do dầm đồng chất, chiều dài L đã biết nên khối lượng nhỏ 
nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất. 
10 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 3 ràng buộc: 
- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không 
được vượt quá giới hạn cho phép [σu] 
- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không 
được vượt quá giới hạn cho phép [τc] 
- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua 
giới hạn cho phép [f] 
Xác định các kiến thức cần thiết 
SỨC BỀN VẬT LIỆU 
- Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực Mx lớn nhất và Qy lớn nhất 
- Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và 
mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 
- Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax 
- Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax 
- Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax 
11 Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
5.1. Vẽ các biểu đồ Qy và Mx để tìm mặt cắt có các nội lực lớn nhất 
20 kN
yQ
xM
max
max
20 kN
=2e4 N
40 kN.m
4e7 N.mm
y
x
Q
M
z
z
z
A là mặt cắt có nội 
lực Qy và Mx lớn 
nhất với: 
12 5.2. Tính mômen tĩnh của nửa mặt cắt và mômen quán tính chính 
trung tâm của cả mặt cắt đối với trục x 
x
1 1
1 12 2
2 2
33
1
2
3 443
21 1
2
2 2 2 2 2 2 8
2 2 2
12 12 12
dac
rong
Cdac
rong C
x
A y
A y
x
w w tw w w w
S w t w t t
w t w t w w tw w
I
    
 
Các điểm có ứng 
suất pháp lớn nhất 
trong mặt cắt A 
Các điểm có ứng 
suất tiếp lớn nhất 
trong mặt cắt A 
a
b
13 5.3. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm a trong mặt cắt A 
max
max max 4 44 4
24e74e7
22 2
12
x
a
x
M ww
y
I w w t w w t
    
5.4. Tính ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm b trong mặt cắt A 
33
1
max 2
max 4* 4
33
44
2
2e4
8
2
2
12
23e4
2 2
y x
b
x
w w t
Q S
b I w w t
t
w w t
t w w t
 

 
 
14 5.5. Tính chuyển vị của mặt cắt B: Nên dùng phương pháp tích 
phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại 
max 2e4yQ 
max 4e7xM 
2
1
3 2
1 2
2e4 4e7
2e4 4e7
2
e4 4e7
3 2
xx
x x
x
EI v z M z z
z
EI v z EI z z c
z z
EI v z c z c

Điều kiện biên: Tại A (z=0) là ngàm nên 
góc xoay và độ võng bằng 0, do đó: 
1
2
0
0
c
c
Vậy hàm độ võng và góc xoay của 
dầm là: 
2
3
2
e4
4e3
e4
2e3
3
x
x
z z z
EI
z
v z z
EI

Ta dễ thấy do z thuộc [0..2e3] mm, nên 
hàm góc xoay θ(z)<0 tức là hàm đô võng 
luôn nghịch biến, do đó tại mặt cắt B có 
z=2e3 mm thì hàm độ võng đạt cực tiểu 
giá trị âm, tức là cực đại giá trị dương, 
hay tại B thì độ võng dầm đạt cực đại. 
15 Vậy độ võng của mặt cắt B của dầm là: 
max 4 44 4
e4 16e9 64e9
32 21 2
21e4
12
v
w w t w w t
Phát biểu mô hình toán: 
22
1 2 1 1 2
1
44
1 1 2
33
1 1 2
44
2 1 1 2
44
1 1 2
1
2
1
2
, 2 min
24e7
165
2
23e4
90
2 2
64e9
10
21 2
8
60 300;
10 40
f x x x x x
x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x
x
x
x
  
5.6. Tính diện tích của mặt cắt (thay vì tính khối lượng của dầm) 
22 2A w w t 
Gọi w=x1, t=x2, ta có: 
Đây là bài toán tối ưu hóa phi 
tuyến với ràng buộc bất đẳng 
thức: 2 tham biến và 8 ràng 
buộc bất đẳng thức. 
16 Ứng suất đơn và trượt thuần túy 
- Điểm b 
 max
3
2
y
b
Q
bh
   
- Điểm a 
 max 2
6 x
a
M
bh
   
3
12
x
A b h
bh
I
 
 2 24
8
x c
b h y
S y A 
  
17 Ứng suất đơn và trượt thuần túy 
- Điểm b 
 
2 2 2
2 2
2
3 4 4
4
x ytd
b c c
M h Q
bh
   
 
Nếu mặt cắt đang xét có cả Mx 
- Điểm a 
 max 2
24 x
a
M
bh
   
3
*
*
2
*
2
;
36
2
;
3 3
2 3
;
9
2 3
;
3
2 3
;
18
3 2 3
;
81
x
c
x
bh
I
h h
y
h y
y
b h y
b
h
b h y
A
h
b h y h y
S
h
- Điểm b 
 
3 y
b
Q
bh
  
Nếu mặt cắt đang 
xét ko có Mx 
18 Ứng suất đơn và trượt thuần túy 
 4 4
;
4
x
R r
I
1
2 2
1 1
3
2 2 2
11
;
2 ;
2
;
3x
r y R
b R y
S R y
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
0 ;
2 ;
2
;
3x
y r
b R y r y
S R y r y
- Điểm a (y1 = R) 
 
4 4
4
0
x
a
a
M R
R r
 

- Điểm b 
 
2 2
max 4 4
4
3
y
b
Q R Rr r
R r
  
- Điểm d (y1 = r) 
 
4 4
2 2
2 2
4
4
3
4
x
d
y
d
td
d d d
M r
R r
Q
R r


   
19 
3 3
;
12
x
BH bh
I
1
1
2 2
1
1
;
2 2
;
4
;
8x
h H
y
b B
B H y
S
- Điểm a (y1 = H/2) 
 3 3
6 x
a
M H
BH bh
 

 2 2 2
0 ;
2
;
4
;
8x
hy
b B b
BH bh B b y
S
- Điểm b 
 
2 2
max 3 3
3
2
y
b
Q BH bh
BH bh B b
  
- Điểm e 
 
3 3
2 2
3 3
2 2
6
3
2
4
x
d
y
d
td
d d d
M h
BH bh
Q H h B
B bBH bh


   
 
 
20 
33
1
3 3 3
1 1
12 12
1
12
x x
x x
b t hbh
I I
I I bh bh th
 2 2 2 21 1 4
8x
b h h t h y
S
- Điểm b 
 
2 2 2
1 1
max 3 3 3
1 1
3
2
y
b
Q bh bh th
t bh bh th
  
- Điểm a 
 max 3 3 3
1 1
6 x
a
M h
bh bh th
   
- Điểm d 
1
3 3 3
1 1
2 2
1
3 3 3
1 1
2 2
6
3
2
4
x
d
y
d
td
d d d
M h
bh bh th
Q b h h
t bh bh th


  
 
21 
1 2
2 2 2
1 1
2
1 1
2
1 1 1
1
1 1
;
;
2
2
;
2
h c c
th bh bh
c
th bh bh
b h h th h h
c
th bh bh
33
1
1
2
1 2 1 1
3 3
x
x x
b t hbh
I
I I c b h h th
 1 1 21 1 1 2
2 2x
h h h c y
S y b h h c t h c y y 
 - Điểm a (y = - c2) 
 max 2
0
keo x
a
x
a
M
c
I
  

  
- Điểm b (y = 0) 
 
2
1 1 2
1 1
max 33
21
2 1 1
2 2
3 3
y
b
h h h c
b h h c t Q
b t hbh
c b h h th t
  
  
  
22 
Các tình huống 
yQ
xM
1st
xM 
1st
xM ―
1st
yQ 
2nd
xM 
2nd
yQ 
A B
D E
E
z
z
2nd
xM 
1st
yQ 
2nd
yQ 
3 kN mq 
23 
Các tình huống 
yQ
xM
1st
xM 
1st
xM ―
1st
yQ 
2nd
xM 
2nd
yQ 
A B
D E
E
z
z
2nd
xM 
1st
yQ 
2nd
yQ 
3 kN mq 
24 
Các loại tải trọng Hàm mômen uốn 
 x xM M z 
0
0xM M z a 
1
xM P z a 
20
2
x
w
M z a 
3
6
x
m
M z a 
Hàm mômen uốn của 1 số trường hợp 
25 
Các bài toán thiết kế dầm (Beam) 
w1 = 2 kN/m 
P1 = 5 kN 
M1 = 5 kN.m 
h
b
t
t
1
2
3
x h
x b
x t
Hãy lập mô hình toán thiết kế tối ưu khối lượng dầm, trong khi thỏa mãn được điều 
kiện bền ứng suất pháp lớn nhất, điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất; điều kiện 
bền ứng suất phẳng theo thuyết bền 3. Đồng thời chuyển vị lớn nhất trong dầm 
không vượt quá 1 cm. Đối với các mặt cắt thành mỏng thì tỉ lệ các kích thước lớn 
trên kích thước thành mỏng không được vượt quá 8 để đảm bảo sự ổn định thành 
mỏng. Cho biết: 
- Các kích thước lớn nằm trong khoảng [60;300] mm, các kích thước thành mỏng 
nằm trong khoảng [10;40] mm 
- Ứng suất pháp cho phép [σ]=165 N/mm2 
- Ứng suất tiếp cho phép [τ]=90 N/mm2 
- Môđun đàn hồi E=21E4 N/mm2 
26 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
P1=5e3 N – lực tập trung 
w1=2 N/mm – lực phân bố đều 
M1=5e6 N.mm – mômen ngẫu lực 
E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm 
G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm 
[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải 
[σu]=165 N/mm
2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm 
[τc]=90 N/mm
2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm 
- Các tham biến điều khiển: 
h [mm] – chiều cao mặt cắt 
b [mm] – bề rộng mặt cắt 
t [mm] – bề dày thành mỏng mặt cắt 
Các tham biến đều đã rõ ràng 
27 Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu 
nhất. Do dầm đồng chất, chiều dài dầm đã biết nên khối lượng 
nhỏ nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất. 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 3 ràng buộc: 
- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không 
được vượt quá giới hạn cho phép [σu] 
- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không 
được vượt quá giới hạn cho phép [τc] 
- Ứng suất phẳng (có cả pháp và tiếp) trong dầm không vượt 
quá giới hạn cho phép [σu] 
- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua 
giới hạn cho phép [f] 
- Tỉ lệ kích thước lớn trên kích thước mảnh không vượt quá 8 
để đảm bảo tính ổn định thành mỏng 
28 Xác định các kiến thức cần thiết 
SỨC BỀN VẬT LIỆU 
- Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực Mx lớn nhất và Qy lớn nhất 
- Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và 
mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 
- Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax 
- Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax 
- Xem lại trạng thái ứng suất phẳng theo thuyết bền 3 
- Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax 
Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
5.1. Vẽ các biểu đồ Qy và Mx để tìm mặt cắt có các nội lực lớn nhất 
z
m
z
m
z
m
yQ
xM
B là mặt cắt có nội lực Qy và Mx lớn nhất với: 
max
max
6.75 kN=6.75e3 N
15 kN.m 15e6 N.mm
y
x
Q
M
29 5.2. Các đặc trưng hình học của mặt cắt: trọng tâm, trục quán tính 
chính trung tâm, mômen quán tĩnh, mômen tĩnh, diện tích mặt cắt 
h
b
t
t
2
2
2
0.52 2
2 2
c
A t b h
t h
b t h h t
bh h bt
y
t b h b h
    
cy
3 33
2 2 3 2 2 4
2
2
3 3 3
8 12 8 4
12 2
c cc
x
x
b t h y b h t yt y
I
t b t bh bh t bht h
I
b h
 
a
c
maxa  
maxc  
 22
2
c c
x c c
y
S t y t y    
Điểm có ứng suất 
tiếp lớn nhất trong 
mặt cắt B 
Điểm có ứng 
suất pháp lớn 
nhất trong mặt 
cắt B 
30 5.3. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm a trong mặt cắt B 
max 2
max max 2 2 3 2 2 4
1.8e8 0.5
8 12 8 4
x
a
x
M bh h bt
y
I t b t bh bh t bht h
 
  
5.4. Tính ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm b trong mặt cắt B 
2
2max
max 2 2 3 2 2 4
40500 0.5
2 8 12 8 4
c
y x
b c
x
bh h btQ S
b I t b h b t bh bh t bht h
 
 
 
5.5. Tính chuyển vị lớn nhất của dầm: Nên dùng phương pháp tích 
phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại 
5.25AY 11.75BY 
31 
1 0 1 22
33
2 1 2
1
44
3 2 3
1 2
2 2
5.25e3 2e3 5e6 6e3 11.75e3 6e3 6e3
2 2
6e35.25e3 11.75e3
2e3 5e6 6e3 6e3
3 2 2 3
6e31 5.25e3 5e6 11.75e3
2e3 6e3 6e3
3 4 6 2 6 12
xx
x x
x
EI v z M z z z z z z
zz
EI v z EI z z z z c
zz
EI v z z z z c z c

Điều kiện biên: Tại A (z=2e3) và B (z=6e3) là các gối nên độ võng bằng 0, do đó: 
4
1 2
1
4
3
2
1 2
2e31
38e92e3 0
3 4
3
6e31 5.25e3 24e126e3 2e3 6e3 0
3 4 6
c c
c
cc c
  
  
Hàm độ võng của dầm là: 
 
 
44
3 2 3
4
4
3
4
3 2
6e31 1 5.25e3 5e6 11.75e3 38e9
2e3 6e3 6e3 24e12
3 4 6 2 6 12 3
1 38e9
24e12; 0..2e3
3 4 3
1 5.25e3 38e9
2e3 24e12; 2e3..6e3
3 ... uyến với ràng buộc bất đẳng thức: 3 
tham biến và 11 ràng buộc bất đẳng thức. 
35 
Các bài toán thiết kế giàn thanh 
Cho giàn cấu tạo từ 2 thanh thép nhẹ có tiết diện ống mỏng như hình vẽ. Tại 
điểm nối bản lề chịu lực tác dụng W theo phương 0⁰≤θ≤90⁰. Kích thước của 
giàn có thể được lựa chọn khi thay đổi chiều cao h và bề rộng s. Kích thước 
mặt cắt của 2 thanh dạng ống cũng có thể được lựa chọn. Hãy thiết kế kết 
cấu sao cho nó tổng khối lượng của hệ là nhỏ nhất mà vẫn thỏa mãn điều 
kiện bền (ứng suất pháp cho phép của thanh là [σ]). Chuyển vị theo phương 
ngang và thẳng đứng không được vượt quá giới hạn cho phép lần lượt là [fu] 
và [fv]. 
1zN 2zN
36 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
W=2e4 N – tải trọng tác dụng vào điểm khớp nối 
θ – góc đặt tải trọng W 
E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm thanh 
[fu]=5 mm – chuyển vị ngang tối đa của điểm khớp nối 
[fv]=7 mm – chuyển vị dọc tối đa của điểm khớp nối 
[σ]=165 N/mm2–ứng suất chịu kéo–nén cho phép của thanh 
- Các tham biến điều khiển: 
h [mm] – chiều cao giàn 
s [mm] – chiều rộng giàn 
do1 [mm] – đường kính ngoài của ống thanh 1 
di1 [mm] – đường kính trong của ống thanh 1 
do2 [mm] – đường kính ngoài của ống thanh 2 
di2 [mm] – đường kính trong của ống thanh 2 
37 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Khối lượng của hệ tức là tổng khối lượng của 2 thanh phải nhỏ 
nhất. Do 2 thanh cùng được làm từ thép nên tức là tổng thể tích 
của 2 thanh nhỏ nhất. 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 4 ràng buộc: 
- Ứng suất pháp chịu kéo-nén trong thanh 1 không vượt quá giá 
trị cho phép [σ] 
- Ứng suất pháp chịu kéo-nén trong thanh 2 không vượt quá giá 
trị cho phép [σ] 
- Chuyển vị theo phương ngang của điểm khớp bản lề không 
vượt quá [fu] 
- Chuyển vị theo phương ngang của điểm khớp bản lề không 
vượt quá [fv] 
38 Xác định các kiến thức cần thiết 
CƠ LÝ THUYẾT và SỨC BỀN VẬT LIỆU 
- Xem lại 2 phương trình cân bằng của chất điểm (điểm khớp bản lề) để tìm 
nội lực của 2 thanh 
- Xem lại kiến thức sức bền vật liệu chương kéo nén để biết tính ứng suất 
pháp và chuyển vị của điểm điểm bản lề 
- Xem lại phương pháp nhân biểu đồ Vereshagin để tính chuyển vị được 
nhanh 
Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
5.1. Xác định tổng thể tích của 2 thanh để tính hàm mục tiêu: 
Đặt t1, t2 là bề dày thành ống của hai thanh 1 và 2 tương ứng, ta có thể biểu 
diễn đường kính trong thông qua đường kính ngoài và bề dày: 
2 2
1 1 1 1 11 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4
4
o i oi o
i o o i o
d d t d td d t
d d t d d t d t
39 
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
2
2
1 2 1 1 1 2 2 2
2 2 2
2
2
cos ;sin ;
24 4
; ;
4 4
;
4
4
4 2
o i o i
o o
o o
h h s s
l ls h s h
d d d d
A t d t A t d t
s
V l A l A h t d t t d t
s s h
l h
   
   
5.2. Xác định nội lực của 2 thanh: Hệ PT cân bằng tĩnh học 
1 2
1 2
0 sin sin cos 0
0 cos cos sin 0
kx z z
ky z z
F N N W
F N N W
 
 


Nội lực của 2 thanh là: 
2 2
1
2 2
2
1 4 sin 2cos
;
2 2
1 4 sin 2cos
;
2 2
z
z
s h
N W
h s
s h
N W
h s
 
 
1zN
2zN
5.3. Xác định ứng suất pháp 2 thanh: 
2 2
1
1
1 1 1 1
2 2
2
2
2 2 2 2
4 sin 2cos
4
4 sin 2cos
4
z
z
o
z
z
o
N s h
W
A t d t h s
N s h
W
A t d t h s
 

 

40 
1u
 1
1
u
zN 1
2
u
zN
  
  
  
1 1
1 2
1 1
1 2
2 2 2 2
1 1
2 1
0 sin sin 1 0
0 cos cos 0
4 4
;
2 2
u u
kx z z
u u
ky z z
u u
z z
F N N
F N N
s h s h
N N
s s


  
1 1
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
3
2 2 2
2
2 2
1 4 sin 2cos 4 1 4 sin 2cos 4
2 2 2 2 2 24
4
4 sin 2 cos
32
u u
z z z z
o o
N N l N N l
u
EA EA
s h s h s h s h
W W
h s s h s ss h
E t d t t d t
W s h s h
hs E
   
 
  
 2 2 2 1 1 1
sin 2 cos
o o
s h
t d t t d t
   
5.4. Xác định chuyển vị ngang của điểm bản lề: 
41 5.5. Xác định chuyển vị thẳng đứng của điểm bản lề: 
1v
 1
1
u
zN 1
2
u
zN
  
  
  
1 1
1 2
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
0 sin sin 0
0 cos cos 1 0
4
2
u u
kx z z
u u
ky z z
u u
z z
F N N
F N N
s h
N N
h


  
1 1
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
3
2 2 2
2
2 2
1 4 sin 2cos 4 1 4 sin 2cos 4
2 2 2 2 2 24
4
4 sin 2 cos
32
v v
z z z z
o o
N N l N N l
v
EA EA
s h s h s h s h
W W
h s h h s hs h
E t d t t d t
W s h s h
h sE
   
 
  
 2 2 2 1 1 1
sin 2 cos
o o
s h
t d t t d t
   
42 Phát biểu mô hình toán: 
 
 
2
2 2
1 2 6 1 4 3 4 6 5 6
2 2
2 1
4 3 4 1 2
2 2
2 1
6 5 6 1 2
3
22 2
2 1
2 1 2 1
2
1 2 6 5 6
, , , min
4
4 sin 2cos
2e4 165
4
4 sin 2cos
2e4 165
4
2e4 4 sin 2 cos sin 2 cos
32 21e4
x
f x x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
 

 

  
   
 
 
4 3 4
3
22 2
2 1
2 1 2 1
2
1 2 6 5 6 4 3 4
1
2
3 5
4 6
5
2e4 4 sin 2 cos sin 2 cos
7
32 21e4
1000 2000;
1500 2500;
60 , 300;
10 , 40;
u
v
f
x x x
x x x x x x
f
x x x x x x x x
x
x
x x
x x

   
   
Đặt: 
l=x1 
s=x2 
do1=x3 
t1=x4 
do2=x5 
t2=x6 
θ=π/4 
Đây là bài 
toán tối ưu 
hóa phi tuyến 
với ràng buộc 
bất đẳng 
thức: 6 tham 
20 ràng buộc 
bất đẳng 
thức. 
43 
Bài toán thiết kế lò xo 
Số 
vít 
Bốn lò xo giống nhau được dùng để đỡ một máy phay 
trọng lượng 5000 lb. Hãy phát biểu bài toán đi tìm 
đường kính dây thép (d), đường kính cuộn dây lò xo (D), 
số vít của mỗi lò xo sao cho khối lượng nhỏ nhất, đồng 
thời biến dạng tối đa khi chịu tải là 0.1 in., ứng suất tiếp 
lớn nhất xuất hiện không vượt quá 1e4 psi trong lò xo. 
Đồng thời tần số dao động tự nhiên của lò xo tối thiểu là 
100 Hz. Cho biết công thức tính độ cứng (k), ứng suất 
trượt của lò xo (τ), tần số dao động tự nhiên của lò xo 
(fn) như sau: 
4
3
3
2
8
8
1
2
4
s
n
d G
k
D N
FD
K
d
k g
f
m
d
m DN


ρ=0.3 lb/in3 – khối lượng riêng của vật 
liệu lò xo 
G=12e6 psi – mô đun đàn hồi trượt 
của vật liệu lò xo 
Ks=1.05 – hệ số điều chỉnh ứng suất 
cắt 
F=5000/4=1250 lb – tải trọng tác dụng 
lên mỗi lò xo 
g=386.0886 in/s2 – gia tốc trọng 
trường 
44 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
ρ=0.3 lb/in3 – khối lượng riêng của vật liệu lò xo 
G=12e6 psi – môđun đàn hồi trượt của vật liệu lò xo 
Ks=1.05 – hệ số điều chỉnh ứng suất cắt 
F=1250 lb – tải trọng tác dụng lên mỗi lò xo 
- Các tham biến điều khiển: 
d [in] – đường kính dây thép 
D [mm] – đường kính cuộn lò xo 
N [-] – số vít của mỗi lò xo 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Khối lượng của lò xo cần nhỏ nhất có thể 
45 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 4 ràng buộc: 
- Biến dạng tối đa của lò xo khi chịu tải không vượt quá 0.1 in 
- Ứng suất tiếp lớn nhất xuất hiện không vượt quá 1e4 psi 
- Tần số dao động tự nhiên của lò xo tối thiểu là 100 Hz 
Xác định các kiến thức cần thiết 
Kiến thức về sức bền vật liệu, dao động cơ học 
Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
Các công thức, hệ thức đã có sẵn 
5.1. Biến dạng của lò xo: 
3
4
8F FD N
k d G
 
5.2. Tần số dao động tự nhiên của lò xo: 
 4 21 1
23 2 4 2
22 3 2 3
1 2 3
1
2
2 3
12e6 7761.8e61 1 1 1
388.0886
0.32 2 8 2
4
14.022
n
n
x xk g
f
m x x x x
x x x
x
f
x x

   
46 Phát biểu mô hình toán: 
Đặt: 
d=x1 
D=x2 
N=x3 
2
2
1 2 3 1 2 3
3
2 3
4
1
2
3
1
1
2
2 3
1 2 3
0.3
, , min
4
8 1250
0.1 0
12e6
8 1250
1.05 1e4 0
100 14.022 0
, , 0
f x x x x x x
x x
x
x
x
x
x x
x x x
  
 
 
Đây là bài toán tối 
ưu hóa phi tuyến 
với ràng buộc bất 
đẳng thức: 3 tham 
biến và 6 ràng 
buộc bất đẳng 
thức. 
47 
r
l
Bài toán thiết kế cơ cấu tay quay con trượt 
Cho cơ cấu tay quay con trượt quay với tốc độ không đổi ω=100 
rad/s. Hãy thiết kế cơ cấu để sao cho tại vị trí θ=30⁰ thì: 
a) vận tốc con trượt đạt giá trị lớn nhất 
b) Gia tốc con trượt đạt giá trị lớn nhất 
Với các điều kiện: 
- Groshof để tay quay có thể quay được kín vòng: l≥2.5r 
- Các điều kiện về kích thước không gian cơ cấu: 0.5≤r≤10; 2.5≤l≤25; 
10≤x≤20 (đơn vị chiều dài) 
48 Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
θ=30⁰ – Vị trí góc cần khảo sát của tay quay 
ω=100 rad/s – gia tốc góc không đổi của tay quay 
- Các tham biến điều khiển: 
r – chiều dài tay quay 
l – chiều dài thanh truyền 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
a) vận tốc con trượt tại vị trí cần xét đạt cực đại 
b) gia tốc con trượt tại vị trí cần xét đạt cực đại 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 2 nhóm ràng buộc: 
- Chiều dài của thanh truyền phải không nhỏ hơn 2.5 lần chiều 
dài của tay quay để tay quay có thể quay hết đủ 1 vòng trong 
1 hành trình theo điều kiện Groshof 
- Tọa độ x nằm trong khoảng [10;20] 
49 Xác định các kiến thức cần thiết 
Kiến thức về cơ lý thuyết động lực học 
Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
5.1. Xác định tọa độ x của con trượt: 
2 2 2cos sinx r l r  
5.2. Xác định vận tốc của con trượt: 
2 2 2
cos
sin 1
sin
dx r
v r
dt l r

 

  
5.3. Xác định gia tốc của con trượt: 
2 2 4 2 2
2
32 2 2 2 2 2 20
cos cos 2cos
sin 1
sin sin
r r l rdv r
a r
dt l r l r
 
  
  
   
50 Phát biểu mô hình toán: 
Đặt: 
r=x1 
l=x2 
1
1 2 1
2 2 2
2 1
2 2 4 2 2
1 1 2 1
2
1 2 3
2
2 2 2
2 1
2 2 2
1 2 1
2 2 2
1 2 1
2 1
1
cos
6, sin 1 100 max
6
sin
6
cos cos
6 3
, 100 max
sin
6
cos sin 10 0
6 6
cos sin 20 0
6 6
1.5 0
0.5 10;
x
a f x x x
x x
x x x x
b f x x
x x
x x x
x x x
x x
x
  
  
 22.5 25x
Đây là bài 
toán tối ưu 
hóa phi 
tuyến với 
ràng buộc 
bất đẳng 
thức: 2 
tham biến 
và 7 ràng 
buộc bất 
đẳng thức. 
51 
Bài toán thiết kế cơ cấu vít me 
Phát biểu bài toán thiết kế tối ưu khối lượng vít me khi chịu lực tải F mà vẫn 
đảm bảo các điều kiện ràng buộc: 
- Vít me phải tự khóa được 
- Ứng suất cắt khi xoắn trong vít me không vượt quá giới hạn trượt của vật 
liệu vít me 
- Ứng suất cắt trong các ren của vít và đai ốc không vượt quá giới hạn 
trượt của vật liệu vít me và đai ốc tương ứng 
- Ứng suất dập không được vượt quá giới hạn chịu dập của các ren 
- Giới hạn ổn định của vít me không được nhỏ hơn tải F đặt vào 
52 
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài 
Khối lượng của vít me cần cực tiểu hóa 
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán 
Có 6 ràng buộc: 
- Vít me phải tự khóa được 
- Ứng suất cắt khi xoắn trong vít me không vượt quá giới hạn 
trượt của vật liệu vít me 
- Ứng suất cắt trong các ren của vít không vượt quá giới hạn 
trượt của vật liệu vít me 
- Ứng suất cắt trong các ren của đai ốc không vượt quá giới hạn 
trượt của vật liệu đai ốc 
- Ứng suất dập không được vượt quá giới hạn chịu dập của các 
ren 
- Giới hạn ổn định của vít me không được nhỏ hơn tải F đặt vào 
53 Xác định các kiến thức cần thiết 
CHI TIẾT MÁY 
 Xem lại toàn bộ bài về cơ cấu vít me 
Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính 
4.1. Các hệ thức liên quan đến điều kiện tự khóa của vít me: 
2
p
p
d

µ=0.18 – hệ số ma sát giữa vít me và đai ốc 
p – bước ren 
d – đường kính ngoài của vít me 
4.2. Các hệ thức liên quan đến ứng suất cắt khi xoắn trong vít me : 
 3
16
0.577 ; tan
2
2
; tan ; tan
2 cos
2
m
y
m
dT
T F
p
d
p p
d d
p
d
 

 

σy=220 MPa – giới hạn 
đàn hồi kéo của vật liệu 
vít me 
F=80 kN – tải trọng 
β=0.252944 – góc ren 
dm – đường kính trung 
bình của vít me 
α – góc xoắn của ren 
φ – góc ma sát 
54 
2 2 cos
2 cos 2 2 2
d p pF p
T d
d p p
  
  
4.3. Các hệ thức liên quan đến ứng suất cắt trong các ren của vít: 
0.577 ;
; ;
2
2
y
c
c
F
n d t
h p
n t
p
p
d d

  
σy=220 MPa – giới hạn đàn hồi kéo của vật liệu vít me 
n – số ren ăn khớp 
h – chiều cao của đai ốc 
t – độ dày của ren 
dc – đường kính lõi thân vít me 
2
0.577
2 2 2
y
F F
h p p p
d h d
p

   
55 4.4. Các hệ thức liên quan đến ứng suất cắt trong các ren của đai ốc: 
2
0.5 0.5yn yn
F F
n d t hd
 
  
σyn=150 MPa – giới hạn đàn hồi kéo của vật liệu đai ốc 
4.5. Các hệ thức liên quan đến ứng suất dập không được vượt quá 
giới hạn chịu dập của các ren: 
 2 2
16
4
4
b b
c
F F
h d p
n d d
 
  
4.6. Các hệ thức liên quan đến giới hạn ổn định của vít me: 
2
2
22
1
4
;
4 4 2
0.25 0.25
2
y
c y
c
c
c
l
A F
C E k
d p
A d
p
k d d


Ac – diện tích mặt cắt ngang của lõi thân 
vít me 
C=0.25 – hệ số chặn cuối 
E=206e5 MPa – mô đun đàn hồi vít me 
k – bán kính hồi chuyển 
σb=300 MPa – giới hạn chịu 
dập của ren 
2 2 2
4 2
y ylp
d F
C E
  
56 
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế: 
- Các hằng số: 
(Ở các slides trên) 
- Các tham biến điều khiển: 
p=x1 – bước ren 
d=x2– đường kính ngoài của vít me 
h=x3 – chiều cao của đai ốc 
l=x4 – chiều dài vít me 
4.7. Các hệ thức liên quan đến khối lượng của vít me: 
2
4 2
p
m d l h
 
 
 
 
 
 
5;6;7;8;9
5 22;24;26;28
6 30;32;34;36
7 38;40;42;44
8 46;48;50;52
9 55;60
p
p d
p d
p d
p d
p d
57 Phát biểu mô hình toán: 
2
1
1 2 3 4 2 3 4
1
1
2
2 1 1
2
1
2 1 1 1
1
3 2
2 3
3 2 1
2
1
2
, , , min
4 2
0
2
8 2 2 cos
0.577 0
cos 2 2
2
2
0.577 0
2
2
0.5 0
16
0
4
4 2
y
y
yn
b
y
x
f x x x x x x x
x
x
x
F x x x
x
x x x x
F
x
x x
F
x x
F
x x x
x
x

  

  



 
 
 
 
 
 
 
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
3
4
2 2
4
5;6;7;8;9
5 22;24;26;28
6 30;32;34;36
7 38;40;42;44
8 46;48;50;52
9 55;60
10 100
350 500
y
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
F
C E

 
58 
Ổn định của thanh trụ chịu nén 
Cho thanh dạng ống trụ được chôn 
dưới đất (liên két ngàm) chịu nén 1 
lực P. Cần tìm khối lượng tối thiểu 
để thanh vẫn thỏa mãn điều kiện bền 
và ổn định. 
Cho biết: 
- Khối lượng riêng của vật liệu 
đồng chất làm nên ống: ρ 
- Chiều dài ống: l 
- Mô đun đàn hồi vật liệu: E 
- Ứng suất pháp cho phép: [σ] 
- Lực nén ống: P 
- Hệ số ổn định k, phụ thuộc vào mô 
đun đàn hồi và ứng chuất chảy của 
vật liệu 
Hãy lập mô hình toán tối ưu hóa, 
cho biết bán kính trung bình R của 
ống (ở giữa bán kính trong và 
ngoài), bề dày thành ống t. 
59 
Ổn định của thanh trụ chịu nén 
3
2A Rt
I R t
- tiết diện ống 
- Mômen quán tính của 
 mặt cắt ống 
1. Khối lượng ống: 2m A l lRt  
2. Ứng suất pháp trong mặt cắt ống 
σz không được vượt quá ứng suất 
cho phép [σ] 
 
2
z
P P
A Rt
 
3. Lực P không được lớn hơn 
giá trị tới hạn Pcr 
2 3 3
2 24 4
cr
EI ER t
P P
l l
4. Độ ổn định thành mỏng 
R
k
t
60 
Ổn định của thanh trụ chịu nén 
 Các liên hệ theo bản chất Các liên hệ theo mô hình toán 
Tiêu chuẩn Khối lượng 2 minm lRt 1 2 32 minf x x x x 
Ràng buộc phiếm 
hàm 
1. Độ bền:  
2
P
Rt

2. Độ ổn định nén: 
3 3
24
ER t
P
l
3. Độ ổn định thành mỏng: 
R
k
t
  1
2 3
0
2
P
g
x x

 x 
3 3
2 3
2 2
1
0
4
Ex x
g P
x
 x
 23
3
0
x
g k
x
 x 
Tham biến điều 
khiên 
min max
min max
min max
l l l
R R R
t t t
1 1 1
2 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
Hằng số 
P= 
E= 
  ...