Bài giảng Toán Lớp 10 - Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
1. Tổng của hai vectơ: 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
1. Tổng của hai vectơ: 
Định nghĩa: (Xem SGK) 
A 
B 
C 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
2. Quy tắc hình bình hành: 
A 
B 
C 
Nếu ABCD là hình bình hành thì 
D 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
A 
B 
C 
3. Tính chất của phép cộng các vectơ: 
E 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
A 
B 
C 
3. Tính chất của phép cộng các vectơ: 
D 
E 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
3. Tính chất của phép cộng các vectơ: 
Với ba vectơ tùy ý ta có 
( tính chất giao hoán) 
( tính chất kết hợp) 
( tính chất của vectơ - không) 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
4. Hiệu của hai vectơ: 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
4. Hiệu của hai vectơ: 
a) Vectơ đối: 
A 
B 
D 
C 
Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. 
đối nhau, ta viết: 
Ví dụ 1: 
A 
B 
C 
M 
N 
P 
Bài tập a: Chứng minh rằng 
Giải: 
Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng và ngược lại. 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
4. Hiệu của hai vectơ: 
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK) 
A 
B 
O 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có: 
(quy tắc ba điểm) 
(quy tắc trừ) 
Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh 
Giải: 
Lấy O tùy ý 
Cách 2: 
§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ 
5. Áp dụng: 
a) I là trung điểm của AB 
b) G là trọng tâm của Δ ABC 
Chứng minh: 
A 
B 
I 
a) I là trung điểm của AB 
A 
B 
I 
C 
D 
G 
b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm Δ ABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với G qua I. 
 Khi đó, GADC là hình bình hành và G là trung điểm AD. 
Ngược lai, nếu thì ta cũng dựng được hình như bên và suy ra G là trọng tâm Δ ABC. 
BÀI TẬP 
Bài 1/12: Cho đoạn AB và M nằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ các vectơ và 
Giải: 
A 
B 
M 
N 
Lấy N trên AB sao cho 
Vì MA>MB nên N nằm giữa AM. 
Ta có: 
A 
B 
M 
BÀI TẬP 
Bài 2/12: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: 
Giải: 
B 
C 
Cách 1: 
Cách 2: 
A 
D 
ABCD là hbh nên 
ABCD là hbh nên 
BÀI TẬP 
Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la luôn có: 
Giải: 
BÀI TẬP 
Bài 4/12: Cho Δ ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: 
Giải: 
A 
J 
B 
C 
R 
I 
Q 
P 
S 
mà ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên 
Ta có: 
BÀI TẬP 
Bài 5/12: Cho Δ ABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ 
Giải: 
A 
B 
C 
*) Ta có: 
nên 
Ta có: 
nên 
E 
**) Lấy E đối xứng với C qua B, I là trung điểm AE. 
a 
I 
Δ ABI là nửa tam giác đều cạnh a nên 
BÀI TẬP 
Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng: 
Giải: 
B 
C 
A 
D 
O 
a) Ta có: 
nên 
b) Ta có: 
nên 
c) Ta có: 
và 
nên 
d) Ta có: 
nên 
BÀI TẬP 
Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ nếu: 
Giải: 
cùng độ dài và ngược hướng. 
BÀI TẬP 
Giải: 
Bài 7/12: Cho hai vectơ khác vectơ . Khi nào có đẳng thức: 
A 
B 
C 
Dựng 
và 
a) Ta có: 
và 
Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C. 
A 
C 
B 
Suy ra cùng phương. 
A 
B 
O 
BÀI TẬP 
Giải: 
Bài 7/12: Cho hai vectơ khác vectơ . Khi nào có đẳng thức: 
Dựng 
và , lấy C để OACB là hbh 
b) Ta có: 
và 
Suy ra OABC là hình chữ nhật. 
C 
Suy ra giá của vuông góc với nhau. 
*) Nếu cùng phương thì đẳng thức trên không xảy ra.