Bài giảng Toán Lớp 10 - Bài 2: Tổng và hiệu của 2 vectơ - Nguyễn Thị Vân

Hai người cùng kéo một con thuyền 
1 
F 1 
F 2 
F 
Hai người cùng kéo một con thuyền 
với hai lực F 1 và F 2 
Hai lực F 1 và F 2 
Tạo nên hợp lực F 
là tổng của F 1 và F 2 
Làm thuyền chuyển đ ộng 
2 
Sở giáo dục và đào tạo Hải Phòng  Trường THPT Trần Hưng Đạo    * *    
Bài 2:Tổng và hiệu của hai véc tơ 
Người thực hiện : Nguyễn Thị Vân 
3 
1.Tổng của hai véc tơ 
Đ ịnh nghĩa : 
Cho hai véc tơ a 
và b 
a 
b 
Lấy một đ iểm A bất kỳ 
A 
Vẽ AB 
= a 
và BC 
= b 
C 
. Véc tơ AC 
đư ợc gọi là tổng của hai véc 
tơ a và b 
Ta ký hiệu tổng của hai véc a và b 
là a + b 
Vậy AC 
= a + b 
 a + b 
 B 
Chú ý: 
AB + BC = AC 
Với mọi bộ ba đ iểm A,B,C 
F 1 
F 2 
F 
Hai người cùng kéo một con thuyền 
với hai lực F 1 và F 2 
Hai lực F 1 và F 2 
Tạo nên hợp lực F 
là tổng của F 1 và F 2 
Làm thuyền chuyển đ ộng 
5 
2.Quy tắc hình bình hành . 
Nếu ABCD là hình bình hành th ì 
AB 
+AD 
= AC 
A 
B 
C 
D 
6 
3.Tính chất của phép cộng các véc tơ 
Với ba véc tơ a , b, c tuỳ ý ta có 
a + b = b + a ( tính chất giao hoán ) 
a + b + c = a +(b + c ) ( Tính chất kết hợp ) 
a + 0 = a + 0 = a ( tính chất của véc tơ - không ) 
c 
A 
B 
a 
C 
b 
a 
+ 
b 
E 
b 
a 
b 
+ 
a 
D 
c 
+ 
(a 
+ 
b) 
1 
Kiểm tra các tính chất của phép cộng bằng hình vẽ 
7 
Câu hỏi trắc nghiệm 
Chọn phương án đ úng trong các bài tập sau 
1.Ch o I là trung đ iểm của đoạn thẳng AB , ta có ( a)IA + IB = 0 ; ( b)IA + IB = 0 ; ( c)A I = BI ; (d) IA = - IB 
Tr ả lời:Phương án (a) đ úng 
8 
2.Cho hình bình hành ABCD .Ta có :(a) AB + AC = DB + DC; (b) AB = DB + BC;( c)AB + CB = CD + DA ; (d) AC + BD = 0 
Phương án (b) đ úng 
Câu hỏi trắc nghiệm 
3.Cho năm đ iểm A,B,C,D,E . Tổng AB + BC + CD + DE bằng :(a) 0; ( b)EA ;( c)AE ; (d) – BE. 
Phương án (c) đ úng 
Câu hỏi trắc nghiệm 
Câu hỏi trắc nghiệm 
4.Cho hai véc tơ a và b sao cho a + b = 0 dựng OA = a, OB = b.Ta đư ợc :(a) OA = OB; (b) O là trung đ iểm của đoạn AB;( c)B là trung đ iểm của đoạn OA;(d) A là trung đ iểm của đoạn OB. 
Phương án (b) đ úng 
11 
Câu hỏi trắc nghiệm 
5.Cho hai véc tơ a và b đ ối nhau . Dựng OA = a, AB = b.Ta đư ợc :(a) O  B; (b) A  B;(c) O  A;( d)OA = OB. 
Phương án (a) đ úng 
12 
Câu hỏi trắc nghiệm 
6.Cho tam giác đ ều ABC, O là tâm đư ờng tròn ngoại tiếp tam giác.Ta có :(a) OA +OB = OC ( b)OA + OC = OB(c) OA = OB + OC (d ) OA + OB = CO 
Tr ả lời : Phương án (d) đ úng 
Câu hỏi trắc nghiệm 
7.Cho hình bình hành ABCD, O là giao đ iểm hai đư ờng chéo.Ta có :(a) OA +OB =CO + DO; ( b)OA + OB + OC + OD = AD(c) OA + OB +OC = OD ; (d ) OA +BO = CO + DO 
Tr ả lời : Phương án (a) đ úng 
14 
Câu hỏi trắc nghiệm 
8 .Cho tam giác ABC, trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy đ iểm Ev à F sao cho AE = EF = FC ;BE căt AM tại N,Thế th ì (a) NA +NB + NC = 0; ( b)NA + NM = 0(c) NB + NE = 0 ; (d ) NE + NF = EF 
Tr ả lời : Phương án (b) đ úng 
15 
Câu hỏi trắc nghiệm 
9.Cho hình bình hành ABCD, O là đ iểm bất kỳ trên đư ờng chéo AC.Ta có :(a) OA +OC = OB + OD; ( b)OA + OB + OC + OD = 0(c) OA + OB = OC+ OD ; (d ) OA +OD = 0 
Tr ả lời : Phương án (a) đ úng 
16 
4.Hiệu của hai véc tơ 
O 
A 
B 
OA 
và 
OB 
*) Cùng độ dài 
*) Ngược hướng 
=> 
Ta nói 
OA 
và 
OB 
là hai véc tơ đ ối nhau 
Đ n:Cho véc tơ a 
a 
Véc tơ cùng độ dài và ngược hướng với 
a 
đư ợc 
gọi là véc tơ đ ối của véc tơ 
a 
kí hiệu là - 
a 
- a 
2 
17 
4.Hiệu của hai véc tơ 
Đ n:Cho véc tơ a 
Véc tơ cùng độ dài và ngược hướng với 
a 
đư ợc 
gọi là véc tơ đ ối của véc tơ 
a 
kí hiệu là - 
a 
 Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD, tâm O Hãy chỉ ra véc tơ đ ối của 
mỗi véc tơ 
AB, 
OA, 
AD, 
BO, 
0 
A 
B 
C 
D 
O 
AB 
có véc tơ đ ối là véc tơ 
BA 
OA 
có véc tơ đ ối là véc tơ 
OC 
AD 
có véc tơ đ ối là véc tơ 
CB 
BO 
có véc tơ đ ối là véc tơ 
DO 
Chú ý Véc tơ đ ối của véc tơ 0 
là véc tơ 0 
a) véc tơ đ ối 
18 
4.Hiệu của hai véc tơ 
Đ n:Cho véc tơ a 
Véc tơ cùng độ dài và ngược hướng với 
a 
đư ợc 
gọi là véc tơ đ ối của véc tơ 
a 
kí hiệu là - 
a 
Ví dụ:2 
Cho tam giác ABC với các trung đ iểm của AB,AC,BC lần 
lượt là F,E,D 
A 
B 
C 
F 
E 
D 
EF 
= - DC 
BD 
= - EF 
EA 
= - EC 
a) Véc tơ đ ối 
19 
4.Hiệu của hai véc tơ 
Đ n:Cho véc tơ a 
Véc tơ cùng độ dài và ngược hướng với 
a 
đư ợc 
gọi là véc tơ đ ối của véc tơ 
a 
kí hiệu là - 
a 
3 
Cho 
AB + BC = 0 
Hãy chứng tỏ BC là véc tơ đ ối của véc tơ 
AB 
A 
B 
AB + BC = AC 
AB + BC = 0 
=> 
AC = 0 
C trùng A 
=> 
BC = BA 
Mà BA 
là véc tơ đ ối của véc tơ AB 
=> 
 BC 
là véc tơ đ ối của véc tơ AB 
=> Có thể viết 
AB + BC = AB 
+ ( - AB) = 
AB - AB 
= 0 
a) Véc tơ đ ối 
20 
4.Hiệu của hai véc tơ 
Đn1:Cho véc tơ a 
Véc tơ cùng độ dài và ngược hướng với 
a 
đư ợc 
gọi là véc tơ đ ối của véc tơ 
a 
kí hiệu là - 
a 
a) Véc tơ đ ối 
b) Đ ịnh nghĩa hiệu của hai véc tơ 
a 
và 
b 
a 
+ 
(- b) 
Cho hai véc tơ 
Ta gọi hiệu hai véc tơ 
a 
và 
b 
là véc tơ 
, kí hiệu 
a 
- 
b 
a 
- 
b 
Vậy 
= 
a 
+ 
(- b) 
Ghi nhớ : AB = OB - OA 
4 
Hãy giải thích vì sao hiệu của hai véc tơ OB và OA là véc tơ AB 
OB - OA 
= 
OB + AO 
= 
AO + OB 
= 
AB 
21 
Tóm tắt 
1)Phép toán tìm hiệu hai véc tơ gọi là phép trừ véc tơ. 
2)Với ba đ iểm tuỳ ý A,B,C ta có : 
AB + BC = AC 
AB - AC = CB 
( quy tắc 3 đ iểm ) 
( quy tắc trừ ) 
22 
a)Điểm I là trung đ iểm của đoạn thẳng AB  IA + IB = 0 
b)Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC  GA + GB + GC = 0 
á p dụng 
A 
B 
C 
 I 
 N 
 G 
 D 
 Chứng minh 
*)ID = IG 
 IB = IC 
BGCD là hình bình hành 
*) 
GB + GC = GD 
*)ID = IG 
 IA = 2GI => GA = GD 
=> 
GB + GA = - GD 
=>đ pcm 
23 
Câu hỏi và bài tập 
1.Cho đoạn thẳng AB và đ iểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB 
Vẽ các véc tơ: 
MA + MB 
 và 
MA – MB. 
24 
Câu hỏi và bài tập 
2.Cho hình bình hành ABCD và một đ iểm M tuỳ ý.Chứng minh rằng : 
MA + MB = MC + MD 
25 
Câu hỏi và bài tập 
3.Chứng minh rằng đ ối vơi tứ giác ABCD bất kì ta luôn có : 
a) 
AB + BC + CD + DA = 0 
b) 
AB – AD = CB - CD 
26 
Câu hỏi và bài tập 
4.Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành 
ABIJ, BCPQ, CARS.Chứng minh rằng 
RI + IQ + PS = 0 
27 
Câu hỏi và bài tập 
5.Cho tam giac đ ều ABC cạnh a.Tính độ dài của các véc tơ 
AB + B C 
và 
AB – B C 
28 
Câu hỏi và bài tập 
6.Cho hình bình hành ABCD có tâm O.Chứng minh rằng : 
a) 
CO – OB = BA 
b) 
AB – BC = DB 
c) 
DA – DB = OD- OC 
d) 
DA - DB + DC = 0 
29 
Câu hỏi và bài tập 
7.Cho 
a 
b 
và 
là hai véc tơ khác véc tơ 
0 
Khi nào có đẳng thức : 
a) 
 a + b = a + b 
b) 
 a + b = a - b 
30 
Câu hỏi và bài tập 
8.Cho 
 a + b = 0 
So sánh độ dài,phương,hướng của hai véc tơ 
a 
và 
b 
31 
Câu hỏi và bài tập 
9.Chứng minh rằng : 
AB = CD 
 Trung đ iểm của hai đoạn thẳng AD 
và BC trùng nhau . 
32 
Câu hỏi và bài tập 
10.Cho ba lực 
F 1 = MA 
, 
F 2 = MB 
và 
F 3 = MC 
Cùng tác đ ộng 
Vào một vật tại đ iểm M và vật đ ứng yên.Cho biết cường độ của 
F 1 
F 2 
và 
đ ều là 100 N 
và AMB = 60 0 
Tìm cường độ và hướng của lực 
F 3 
33 
Câu hỏi trắc nghiệm 
1.Cho ba đ iểm A,B,C .Ta có :(a) AB +AC = BC; ( b)AB - AC = BC(c) AB – BC = CB ; (d ) A C – BC = AB 
Tr ả lời : Phương án (d) đ úng 
34 
Câu hỏi trắc nghiệm 
2.Cho bốn đ iểm A,B,C,D .Ta cóđẳng thức sau :(a) AB – CD = AC - BD; ( b)AB + CD = AC + BD(c) AB = CD + DA + BA; (d ) AB +AC = DB + DC 
Tr ả lời : Phương án (a) đ úng 
35 
Câu hỏi trắc nghiệm 
2. Nếu tam giác ABC có CA + CB = CA – CB Th ì tam giác ABC là (a) Tam giác vuông tại A; (b) Tam giác vuông tại B;(c) Tam giác vuông tại C; (d ) Tam giác cân tại C 
Tr ả lời : Phương án (c) đ úng 
36 
MA + MB 
MA - MB 
MA + MB = MC + MD 
AB – AD = CB - CD 
RI + IQ + PS = 0 
AB + BC + CD + DA = 0 
AB + B C 
AB – B C 
CO – OA = BA 
AB – BC = DB 
DA – DB = OD- OC 
DA - DB + DC = 0 
 a + b = a + b 
 a + b = a - b 
 a + b = 0 
a 
b 
AB = CD 
F 1 = MA 
F 3 = MC 
F 1 
a 0 
 a + b = 0 
37