Bài giảng Hình họa – Vẽ kỹ thuật

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA 
KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT 
-----0----- 
BÀI GIẢNG 
HÌNH HỌA 
GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ 
Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật 
ĐÀ NẴNG - 2005
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu 
MỞ ĐẦU 
A. MỤC ĐÍCH VÀ YÊU CẦU 
1) Mục đích 
Hình hoạ là một môn học thuộc lĩnh vực Hình học, nhằm: 
− Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt mà thông 
thường là mặt phẳng hai chiều 
− Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán trong không gian bằng cach giải chúng trên 
các hình biểu diễn phẳng đó 
− Cung cấp một số kiến thức hình học cơ bản để học tiếp môn Vẽ kĩ thuật và giải quyết một số 
vấn đề liên quan đến chuyên môn. 
2) Yêu cầu của hình biểu diễn 
Hình biểu diễn phải đơn giản, rõ ràng, chính xác. Các hình biểu diễn phải tương ứng với một 
hình nhất định trong không gian; người ta gọi tính chất này là tính phản chuyển hay tính tương 
đương hình học của hình biểu diễn 
3) Một số ký hiệu và quy ước 
Trong bài giảng này sẽ dùng những ký hiệu và qui ước sau: 
− Điểm Chữ in như: A, B, C,... 
− Đường thẳng Chữ thường như: a,b,c,... 
− Mặt phẳng Chữ Hy lạp hoặc chữ viết hoa như: α, β, γ, δ,...A, B, C, ... 
− Sự liên thuộc Ký hiệu ∈ như: điểm A∈a; đường thẳng a ∈ mp (α ), ...b∈mp(Q),... 
− Vuông góc ⊥ như: a ⊥ b 
− Giao ∩ như: A= d ∩ l 
− Kết quả = như: g= mpα ∩ mpβ 
− Song song // như: d // k 
− Trùng ≡ như: A ≡ B 
B. CÁC PHÉP CHIẾU 
I. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 
1) Cách xây dựng 
Trong không gian cho mặt phẳng P và một điểm S không thuộc mp(P ).(Hình 1) 
Người ta thực hiện phép chiếu một điểm A bất kỳ như sau: 
Vẽ đường thẳng SA, đường thẳng này cắt mặt phẳng P tại điểm A’ 
A’
A
S
P
Ta có các định nghĩa: 
− P : Mặt phẳng hình chiếu 
− S : Tâm chiếu 
Hçnh1− SA : Đường thẳng chiếu hoặc tia chiếu 
− A’ : Hình chiếu xuyên tâm của điểm A từ tâm 
chiêú S lên mặt phẳng hình chiếu P . 
Phép chiếu được xây dựng như trên được gọi là phép 
chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P. 
Một phép xuyên tâm được xác định khi biết tâm chiếu S và mặt phẳng hình chiếu P. 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 1
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu 
¾ Chú ý 
a) Hình là một tập hợp điểm. Vậy để chiếu một hình ta chiếu một số điểm thành phần của hình 
đủ xác định hình đó 
b) Nếu trong không gian Ơclic ta bổ sung thêm các yếu tố vô tận thì: 
_ Hai đường thẳng son g song xem như cắt nhau tại một điểm ở vô tận: 
a // b ⎭ a ∩ b = M∞
Như vậy để biểu diễn một điểm ở vô tận ta biểu diễn nó bằng một phương đường thẳng 
_ Hai mặt phẳng son g song xem như cắt nhau theo một đường thẳng ở vô tận 
mpα // mpβ ⎭ mpα ∩ mpβ = d∞ 
2) Tính chất 
1. Hình chiếu xuyên tâm của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng 
Khi chiếu đường thẳng a, các tia chiếu SA, SB hình thành một mặt phẳng (SAB) gọi là mặt 
phẳng chiếu. Do đó hình chiếu a’(≡A'B')= mp(SAB) ∩ mp(P) (hình 2) 
2. Hình chiếu xuyên tâm của những đường thẳng song song nói chung là những đường thẳng 
đồng qui 
Giả sử cho a // b nên các mp(S,a) và mp(S,b) sẽ giao với mp(P) cho các giao tuyến a’, b’ cắt 
nhau tại điểm M’ (M’ là hình chiếu xuyên tâm của điểm M∞ của đường thẳng a, b) (hình 3) 
PP 
S
M'
S
A B 
B' 
A' 
a
a'
a b
b'
a'
A B
B'A’
 Hình 2 Hình 3 
II. PHÉP CHIẾU SONG SONG 
1) Cách xây dựng 
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm khi tâm chiếu S ở xa vô 
tận 
Như vậy phép chiếu song song được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu P và phương chiếu s 
A’
P
A
t s
 Hçnh 4 
Người ta chiếu song song điểm A bằng cách qua A vẽ đường thẳng t song song với phương s, vẽ 
giao điểm A’ = t ∩ mp(P ) thì A’ là hình chiếu song song của điểm A từ phương chiếu s lên mặt 
phẳng hình chiếu P (hình 4). 
2) Tính chất 
Phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiêu xuyên tâm nên có những tính chất 
của phép chiếu xuyên tâm. Ngoài ra phép chiếu song song có những tính chất sau: 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 2
Baìi giaíng HÇNH HOAû Måí âáöu 
1. Hình chiếu song song của những đường thẳng không song song với phương chiếu là những 
đường thẳng song song. 
Giả sử cho a // b nên các mặt phẳng chiếu thuộc a, b song song nhau, do đó giao tuyến của chúng 
với mặt phẳng hình chiếu P là những đường thẳng song song: a’ // b’ (hình 5) 
 P P
ss
a'
b'
b
a
C'
B'A'
C
BA
 Hình 5 Hình 6 
2. Tỉ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng bằng tỉ số đơn của ba điểm phân biệt hình chiếu 
của chúng 
Cho ba điểm A, B ,C phân biệt thẳng hàng, chiếu thành ba điểm A’, B’, C’ cũng phân biệt thẳng 
hàng.(hình 6). Theo định lý Thalet, ta có: 
Ký hiệu tỉ số đơn của ba điểm A,B,C như sau: (ABC) = (A’B’C’) 
''
''
BC
AC
CB
CA =
III. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC 
1) Cách xây dựng 
Phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiêu 
song song khi phương chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình 
chiếu P : s ⊥P (hình 7) 
P
s 
 Hình 7 
2) Tính chất 
Phép chiếu vuông góc có những tính chất của phép chiếu song song; Ngoài ra còn có nhiều tính 
chất, chúng ta sẽ nghiên cứu ở các chương sau. 
IV. NHẬN XÉT 
Ta có thể dùng các phép chiếu trên để biểu diễn vật thể trong không gian lên một mặt phẳng. 
Tuy nhiên với mổi hình chiêu thì chưa xác định được một vật thể duy nhất trong không gian 
Vì vậy một hình chiếu chưa đảm bảo được tính phản chuyển của hình biểu diễn. 
¾ Trong các bài sau chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp các hình chiếu vuông góc mà các 
hình biểu diễn đảm bảo tính phản chuyển được gọi là đồ thức . 
======================== 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 3
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm 
Bài 1 ĐIỂM 
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐIỂM 
I.1 Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc 
a) Cách xây dựng 
Trong không gian cho hai mặt phẳng P1 và P2 vuông góc nhau, để dễ hình dung đặt P1 nằm 
ngang, P2 thẳng đứng. Ta nhận được hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc (hình 1.1) 
x 
A
x
(III) 
Cao<0, xa <0 
(II) 
Cao>0, xa <0 
(I)
Cao>0, xa >0 
AX
A2
A1A1
A2
AX
P1(IV) 
Cao0 
P2
 Hình 1.1 Hình 1.2 
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian. 
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên P1 và P 2 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 
_ Quay mp P1 quanh trục x một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước như (hình 1.1) đến trùng 
P2. Vì mp (A A1 A2) ⊥ P1 và P2 nên sẽ vuông góc với trục x tại điểm AX. Do đó sau khi 
quay đến vị trí mới ba điểm A1, AX, A2 thẳng hàng và vuông góc trục x (hình1.2) 
b) Các định nghĩa 
_ P1 Mặt phẳng hình chiếu bằng 
_ P2 Mặt phẳng hình chiếu đứng 
_ x = P1 ∩P2 Trục hình chiếu 
_ A1 Hình chiếu bằng của điểm A 
_ A2 Hình chiếu đứng của điểm A 
_ A1 A2 ( ⊥ x) Đường gióng 
_ A1 Ax Độ xa của điểm A, qui ước dương nếu A1 nằm phía dưới trục x 
_ A2 Ax Độ cao của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía trên trục x 
_ (A1, A2 ) Cặp điểm hình chiếu này gọi là đồ thức của điểm A.Thật vậy từ A1, A2 ta 
có thể dựng lại được điểm A theo thứ tự ngược lại với cách dựng đồ thức 
của nó 
™ Hệ thống P1 và P 2 chia không gian ra làm 4 góc phần tư: 
_ Góc phần tư 1 - Là phần không gian nằm trên P1 và trước P2 
_ Góc phần tư 2 - Là phần không gian nằm trên P1 và sau P2 
_ Góc phần tư 3 - Là phần không gian nằm dưới P1 và sau P2 
_ Góc phần tư 4 - Là phần không gian nằm dưới P1 và trước P2 
+ Mặt phẳng phân giác 1. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 1 và góc 
phần tư thứ 3. 
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác1 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình 
chiếu bằng đối xứng nhau qua trục hình chiếu x 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 4
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm 
+ Mặt phẳng phân giác 2. Là mặt phẳng phân giác của P1 và P2 đi qua góc phần tư thứ 2 và góc 
phần tư thứ 4. 
Những điểm thuộc mặt phẳng phân giác 2 có đồ thức là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình 
chiếu bằng trùng nhau 
(Hình 1.3) là hình không gian biểu diễn mặt phẳng phân giác 1, mặt phẳng phân giác 2 và các 
góc phần tư của hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu vuông góc P1 và P2 
Phân giác 2 Phân giác 1 
P2
P2 A A2
P1x
A1x 
P1
 Hình 1.3 Hình 1.4 
Nếu ta đặt trục hình chiếu x vuông góc với mặt phẳng của tờ giấy thì hệ thống hai mặt phẳng 
hình chiếu P1 , P2 và hai mặt phẳng phân giác 1, 2 được biểu diễn như (hình 1.4) 
Tóm lại 
Đồ thức của một điểm trong không gian là một cặp điểm hình chiếu đứng và hình chiếu bằng có 
thể phân biệt hoặc trùng nhau 
I.2 Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc 
a) Cách xây dựng 
Thêm vào mặt phẳng P3 vuông góc với P1 và P2 , thường P3 đặt phía bên phải người quan sát, ta 
nhận được hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu vuông góc như (hình 1.5) 
 Hình 1.5 Hình 1.6 
x 
A 
P2
y
z 
0 
Az
A1
P1 
x
z
y’ 
y
Ay
A1
45
Ay
A2 A3
Ay’
Az
A2
Ax
A3
P3
0Ax
Gọi y = P1 ∩ P3 ; z = P 2 ∩P3
Xét một điểm A bất kỳ trong không gian. 
_ Chiếu vuông góc điểm A lần lượt lên các mặt phẳng P1, P2 , P3 ta nhận được các hình chiếu 
A1 , A2, A3 . 
_ Quay các mp P1 , P3 lần lượt quanh các trục x, trục z một góc 900 theo chiều mũi tên qui ước 
như (hình 1.5). Trục y được tách ra làm hai phần, một phần trục y theo mp P1 đến trùng với trục 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 5
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm 
z, một phần trục y’ theo mp P3 đến trùng với trục x. Sau khi quay ta nhận được hình biểu diễn 
như (hình1.6) 
b) Các định nghĩa 
_ P3 Mặt phẳng hình chiếu cạnh 
_ A2 Az Độ xa cạnh của điểm A, qui ước dương nếu A2 nằm phía bên trái trục z 
_ A3 Hình chiếu cạnh của điểm A 
¾ Chú ý 
_ A2 Az = 0 Ay’ = 0 Ay = AxA1 
_ Vì hai hình chiếu biểu diễn đồ thức của một điểm nên ta dễ dàng vẽ được hình chiếu thứ ba 
của điểm đó 
™ Ví dụ 
Cho đồ thức của điểm B (B1, B2) (hình 1.7a). Hãy vẽ hình chiếu thứ ba của điểm B. 
 Hình 1.7a Hình 1.7b 
BZ
x 
y
B2
By’
BY
B3B2
B1
x
B1
y’
Hình chiếu cạnh B3 của điểm B được vẽ theo chiều mũi tên như (hình 1.7b) ,với 0By'= 0By 
II. Quan hệ giữa toạ độ Đềcác và đồ thức của một điểm trong không gian 
Nếu lấy ba mặt phẳng hình chiếu P1, P2, P3 làm ba mặt phẳng toạ độ Đềcác; ba trục hình chiếu x, 
y, z làm ba trục toạ độ Đềcác (hình 1.8) 
Với điểm A (xA , yA, zA) bất kỳ trong không gian, ta có: 
_ Hoành độ xA = 0Ax : Độ xa cạnh của điểm A 
_ Tung độ yA = AxA1 : Độ xa của điểm A 
_ Cao độ zA = A1 A : Độ cao của điểm A 
Như vậy 
Nếu cho toạ độ Đềcác của một điểm trong không 
gian thì ta dễ dàng vẽ được đồ thức cuả điểm đó. 
P 3
0 
z 
y
x A1
A’ 
Ax 
yA 
zA xA 
P 2
 Hình 1.8 P1 
™ Ví dụ 
Cho toạ độ Đềcác của các điểm A (2, 3, 4); B 
(4, -2, -5). Hãy vẽ đồ thức của chúng. 
-2
+4
y- z+ 
BZ 
BY 
y+ z- 
-5
Hình 1.9 
+2
+3
x- x
+ 
x+ 
y+ z- 
AY 
AX 
Az 
y- z+ 
+4
A1
A2 
B2 
B1 
BX 
Đồ thức của các điểm A, B được biểu diễn như 
(hình 1.9), chú ý chiều dương của các trục x, y, 
z . x
- 
 Trong đó: 
 OAx = +2; OAY = +3; OAZ = +4 
 OBx = +4; OBY = -2; OBZ = -5 
III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIÃI SẴN 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 6
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âiãøm 
™ Ví dụ 1 
Hãy vẽ đồ thức của các điểm sau: 
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 
_ Điểm C thuộc mặt phẳng Phân giác 1 
_ Điểm D thuộc mặt phẳng Phân giác 2 
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x 
 Giải 
_ Điểm A thuộc mặt phẳng P1 nên có A1≡ A; A2∈ x 
_ Điểm B thuộc mặt phẳng P2 nên có B2≡ B; B1∈ x 
_ Điểm C thuộc mặt phẳng phân giác 1 nên có C1và C2 đối xứng nhau qua trục x 
_ Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác 2 nên có D1≡ D2 
_ Điểm E thuộc trục hình chiếu x nên có E1≡ E2∈ x ; (Hình 1.10) 
 Hình 1.10 Hình 1.11 
F2 
A1 
o
y
y’
z
x HY ’
FY 
H3 
H2 
H1 
G2 G3 
GY ’
G1 
FY ’
FY 
GY 
F3 
F1 
E1≡E2 
D1≡D2 C1 
C2 
B1 
B2 
x
™ Ví dụ 2 
Cho đồ thức của các điểm F, G, H (hình 1.11). Hãy vẽ hình chiếu cạnh của chúng và cho biết 
chúng thuộc góc phần tư thứ mấy? 
Giải 
Hình chiếu cạnh của các điểm F, G, H được vẽ theo chièu mũi tên bắt đầu đi từ hình chiếu bằng 
F1, G1, H1 tiếp theo là mũi tên đi qua hình chiếu đứng F2, G2, H2. Ta sẽ xác định được các hình 
chiếu cạnh F3, G3, H3 ; (Hình 1.11) 
_ Điểm F có độ cao dương, độ xa âm nên điểm F thuộc góc phần tư thứ 2 
_ Điểm G có độ cao âm, độ xa âm nên điểm G thuộc góc phần tư thứ 3 
_ Điểm H có độ cao âm, độ xa dương nên điểm H thuộc góc phần tư thứ 4 
================ 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 7
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng 
Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG 
I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó. 
Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A1, A2) và B (B1, B2) thì : 
Hai điểm A1, B1 xác định hình chiếu bằng d1 của đường thẳng d 
Hai điểm A2, B2 xác định hình chiếu đứng d2 của đường thẳng d (hình 2.1) 
B2 
d1 
d2 
A2 
B1 A1 
x
d1 
d2 
x
 Hình 2.1 Hình 2.2 
Nếu d là đường thẳng thường (d1, d2 không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ 
thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) . 
¾ Chú ý 
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối 
xứng nhau qua trục hình chiếu x 
_ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng 
trùng nhau 
II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu 
1) Đường bằng (h) 
a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng 
Gọi h là đường bằng, ta có: h // P1 (hình 2.3a) 
h2 
h1 B1
A2 B2 
β
A1
A B 
A1 B1 
A2 
B2 
h1 
h2 
h
β 
x 
x
P2
P1
β 
 Hình 2.3a Hình 2.3b 
b) Tính chất: 
• Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h2 // x (hình 2.3b) 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 8
Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng 
• Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với 
mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h1 , x) = ∠ (h , P2) = β 
• Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó. 
 Giả sử A, B ∈ h ⇒ A1 B1 = AB (hình 2.3b) 
2) Đường mặt (f) 
a) Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng: 
Gọi f là đường mặt, ta có: f // P2 (hình 2.4a) 
C
D 
f2 
 f1 D1
C2
D2 
α
C1
f1
f2 
f
P1
P2
x x
D1 
C2 
D2 
C1
α 
α 
 Hình 2.4a Hình 2.4b 
b) Tính chất 
• Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f1 // x (hình 2.4b) 
• Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với 
mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f2 , x) = ∠(f , P1) = α 
• Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó. 
Giả sử C, D ∈ f ⇒ C2 D2 = CD (hình 2.4b) 
3) Đường cạnh (p) 
a) Định nghĩa: 
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P3 (hình 2.5a) 
z 
x
z
x 
P2
p2
p1
E2
F2 α 
E1
P1
α 
β 
F1
E3 
F3 
E1 
F1 
E2 
F2 
E3 
F3
β β
α
0 
y
0 y’
y
P3 
P3
p2 
 p1 
P P3
F
E
 Hình 2.5a Hình 2.5b 
b) Tính chất 
• Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x: 
p1 ≡ p2 ⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không 
gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm 
thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu  ... nh 12.3) 
Giải 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 73
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
¾ Vì trụ chiếu bằng nên ta biết được hình chiếu 
bằng của giao tuyến là cung tròn 
1121314151617181 thuộc đường tròn hình chiếu 
bằng của trụ 
¾ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các 
cung thuộc các mặt của đa diện: 
_ mp(ABC) ∩ trụ = cung tròn1D8, có hình chiếu 
đứng là đoạn thẳng ngang D282 
_ mp(SBC) ∩ trụ = Hai cung 12 và 78 của một 
elip, có hình chiếu đứng là hai cung1222 và 7282 
của một elip 
_ mp(SAB) ∩ trụ = cung elip 2345, có hình chiếu 
đứng là cung elip 22324252 
_ mp(SAC) ∩ trụ = cung elip 567, có hình chiếu 
22 
12 
42 
32 
D2 
52 
62 
82 
72 
B1 
C2 A2 B2 
A1 
S1 
11 21 
31 
D1≡41 
51 
61 
71 
81 
Hình 12.3
S2 
C1 
 đứng là cung elip 526272 
_ 42 là tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao 
tuyến với với đường sinh bao hình chiếu đứng 
của trụ và cũng là điểm ranh giới thấy khuất ở 
hình chiếu đứng của giao. 
_ Vậy hình chiếu đứng của giao tuyến là đường 
kín 1222324252627282D212 S2 
t1 
β1 
(C1
(C2
t2 
41 
31 
61 
62 
32 ≡3’’2 
42 ≡ 4’2 
3’1 
11 
21 
S1 
2’
5’1 
51 
4’1 
52 ≡5’2 
22≡ 12 
_ Xét thấy khuất như hình 12.3 với chú ý những 
điểm thuộc nửa trước trụ thì thấy ở hình chiếu 
đứng: 12223242 thấy, các cung còn lại khuất ở 
hình chiếu đứng 
™ Ví dụ 4 
Vẽ giao của mặt nón tròn xoay đỉnh S với mặt trụ chiếu đứng 
(Hình 12.4) 
Giải 
- Hai mặt nón và trụ giao nhau nhau theo đường cong ghềnh 
bậc bốn, có: 
- Hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn 1222 
32425262 thuộc đường tròn hình chiếu đứng của trụ 
- Để vẽ hình chiếu bằng của giao tuyến ta áp dụng bài toán 
điểm thuộc mặt nón, bằng cách gắn các điểm vào các 
đường tròn vĩ tuyến nằm ngang của nón (hoặc gắn vào 
đường sinh của nón) 
- 31, 3’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao 
tuyến với đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ, chúng 
cũng là các điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu bằng 
của giao. 
Hình 12.4 
- Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc bốn khép kín: 11 21 31 41 51 61 5’1 
4’1 3’1 2’111 đối xứng qua đường thẳng β1 (là hình chiếu suy biến của mặt phẳng đối xứng 
chung) 
- Xét thấy khuất như hình 12.4 với chú ý những điểm thuộc nửa trên của trụ thì thấy ở hình 
chiếu bằng: 3121112’13’1- thấy; còn lại khuất ở hình chiếu bằng 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 74
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
III. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT VỀ GIAO HAI MẶT BẬC HAI 
Giao của hai mặt bậc hai trong trường hợp tổng quát là đường cong ghềnh bậc bốn. Trong các 
trường hợp đặc biệt đường cong ghềnh bậc bốn đó có thể suy biến thành : 
_ Hai đường cong bậc hai 
_ Một đường cong bậc hai và hai đường thẳng (hay một đường thẳng kép) 
_ Một đường cong bậc ba và một đường thẳng 
_ Bốn đường thẳng ... 
 Sau đây sẽ xét một vài định lý đã chứng minh về giao hai mặt bậc hai trong trường hợp đặc biệt. 
¾ Định lý 1 
Nếu hai mặt bậc hai đã giao nhau theo một đường cong bậc hai thì chúng còn giao nhau theo 
một đường cong bậc hai nữa 
™ Ví dụ 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ bậc hai có chung đường chuẩn (C); (Hình 12.5) - mặt 
phẳng đối xứng chung song song P2 
Giải 
Hai mặt nón và trụ có chung nhau đường chuẩn (C), nên theo 
định lý 1 chúng còn giao nhau theo một đường cong bậc hai 
nữa. Vì mặt phẳng (β) đối xứng chung của hai mặt nón và trụ 
song songP2 nên mp (β) sẽ cắt hai mặt đó theo các đường sinh 
mà ở hình chiếu đứng là các đường sinh biên, các đường sinh 
này sẽ giao nhau tại các điểm thuộc giao tuyến; hơn nữa mp 
(β) song songP2 nên hình chiếu đứng của các đường cong bậc 
hai giao tuyến suy biến thành các đoạn thẳng đi qua các giao 
điểm của các đường sinh biên nói trên. Vì mặt trụ chỉ giới 
hạn tới đường chuẩn (C) nên đường cong bậc hai giao tuyến 
thứ hai chỉ là cung elip123; (Hình 12.5) 
 Hình 12.5 
β1 
(C2)
(C1)
21 
11 
31 
12 ≡32 
22 
S1 
S2 
¾ Định lý 2 
Nếu hai mặt bậc hai tiếp xúc nhau tại hai điểm và hai mặt phẳng tiếp xúc chung tại hai điểm đó 
không trùng nhau thì chúng giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó 
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ 2 
1) Hướng thiết diện Mônjơ 
Hướng thiết diện Mônjơ là hướng mặt phẳng cắt mặt bậc hai cho giao tuyến là elip có một hình 
chiếu là đường tròn 
™ Ví dụ 
Cho mặt nón bậc hai có mặt phẳng đối xứng song song P2 (Hình 12.6). Hãy vẽ hướng các mặt 
phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến lá elip có hình chiếu bằng là đường tròn 
Giải 
- Vẽ mặt trụ tròn xoay chiếu bằng có hình chiếu bằng là đường tròn tiếp xúc với hai đường 
sinh bao của nón tại hai điểm T1và T’1 
- Dễ thấy hai mặt nón và trụ tiếp xúc nhau tại hai điểm T,T’ nên theo định lý 2; hai mặt nón và 
trụ giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T, T’. 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 75
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
- Vì mặt phẳng β đối xứng chung của nón và trụ song song P2 nên hình chiếu đứng của hai 
đường cong bậc hai giao tuyến sẽ suy biến thành hai đoạn thẳng1222 và 3242 đi qua T2≡T’2; 
hình chiếu bằng của hai đường cong giao tuyến này 
- là đường tròn trùng với đường tròn hình chiếu bằng của trụ; (Hình 12.6) 
- Các mặt phẳng chiếu đứng 1222 và 3242 là các 
hướng mặt phẳng cắt nón cho giao tuyến là elip có 
hình chiếu bằng là đường tròn 
¾ Chuï yï 
T2≡T’2 
β1 
42 
32 
22 
12 
S2 
T’1 
T1 
Hình 12.6 
S1 
Người ta ứng dụng hướng thiết diện Monjơ để xác định 
đáy của mặt nón, mặt trụ có một hình chiếu là đường 
tròn; khi nón, trụ đó có mặt phẳng đối xứng song song 
một mặt phẳng hình chiếu 
2) Hướng thiết diện tròn 
Hướng thiết diện tròn là hướng mặt phẳng, cắt mặt bậc hai cho giao tuyến là đường tròn 
™ Ví dụ 
Cho mặt nón bậc hai có đường chuẩn là elip được xác định bằng cặp trục AB, CD; (Hình 12.7). 
Hãy vẽ hướng các mặt phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến là đường tròn 
Giải 
Vẽ mặt cầu tâm O thuộc trục nón và tiếp xúc với nón tại hai điểm T, T’ có hình chiếu đứng là 
đường tròn bao tiếp xúc với hai đường sinh bao hình chiếu đứng của nón tại hai điểm T2 và T’2. 
Theo định lý 2; hai mặt nón và cầu giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T,T’; 
hai đường cong bậc hai này thuộc cầu nên nó là hai đường tròn. Vì mặt phẳng β đối xứng chung 
của nón và cầu song song song P3 nên hình chiếu cạnh của hai đường tròn giao tuyến đó sẽ suy 
biến thành hai đoạn thẳng1323 và 3343 đi qua T3≡T’3; (Hình 12.7) 
Các mặt phẳng chiếu cạnh 1323và 3343 chính là các hướng mặt phẳng cắt nón cho giao tuyến 
là đường tròn 
 Hình 12.7 
y’
y
z
23 
43 13 
D3 
T3≡T’3 T’2 T2 
S3 
S2 
A2 
D1 
B1 
C1 
C2≡D2 B2 
O2 O3 
C3 
A3≡B3 
33 
S1 
A1 
x
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 76
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
¾ Định lý 3 
Nếu hai mặt bậc hai cùng nội tiếp hay ngoại tiếp với một mặt bậc hai khác thì chúng sẽ giao 
nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm của hai đường tiếp xúc 
™ Ví dụ 
Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt tròn xoay nón và trụ cùng ngoại tiếp 
cầu, có mặt phẳng đối xứng chung song song P2; (Hình 12.8) 
 Giải 
_ Gọi (v), (ω) là lần lượt là hai đường tròn tiếp xúc 
của mặt cầu với mặt nón và mặt trụ 
_ Vẽ T, T’ = (v) ∩ (ω). Vì mp (β) đối xứng chung của 
nón, trụ, cầu song song P2 nên (v2), (ω2) suy biến 
thành hai đoạn thẳng và T2≡T2’ = (v2) ∩ (ω2) 
_ Theo định lý 3 thì hai mặt nón, trụ giao nhau theo 
hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm T, T’ 
của hai đường tiếp xúc (v) và (ω) 
_ Vì mp (β) // P2 nên hai đường cong bậc hai giao 
tuyến có hình chiếu đứng suy biến thành hai đoạn 
thẳng 1222và 3242 đi qua T2≡T2’ 
_ 51, 5’1, 61, 6’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng 
của giao tuyến với hai đường sinh bao hình chiếu 
bằng của trụ và đồng thời cũng là các điểm ranh giới 
thấy khuất ở hình chiếu bằng của giao 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là hai Elip lần lượt 
nhận cặp 1121, 515’1 và 3141, 616’1 làm hai cặp trục, 
hai elip này đi qua T1 và T1’ 
_ Xét thấy khuất như (hình 12.8) 
Hình 12.8 
a2≡ b2 
a1 
b1 
β1 
62≡ 6’2 
61 51 
31 21 
32 
22 
12 
S2 
42 
(v2) 
(ω2) 
(C2) 
(C1) 
11 41 
S1 
T’1 
T’1 
5’1 6’1 
52≡ 5’2 
T2≡T’2 
III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN 
™ Ví dụ 1 
Hãy vẽ giao tuyến của trụ tròn xoay chiếu bằng với lăng trụ xiên (abc); (Hình 12.9) 
Giải 
_ Vì trụ ⊥ P1 nên ta biết được hình chiếu bằng của giao tuyến là cung tròn: 113151 thuộc đường 
tròn hình chiếu bằng suy biến của trụ 
_ Giao tuyến là đường gấp khúc kín gồm tập hợp các điểm gãy và các cung elip thuộc các cạnh 
và các mặt của đa diện, được xác định như sau: 
+ mp(a,b) ∩ trụ = Cung elip 12345, có hình chiếu đứng là cung elip 1222324252; trong đó 22 , 42 
là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh biên ở hình chiếu đứng của 
trụ, đồng thời cũng là hai điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu đứng của giao tuyến 
+ mp(a,c) ∩ trụ = hai cung elip 567 và 910 1, có hình chiếu đứng là hai cung 526272 và 9210212 
của một elip. Vì mp(a,c) khuất ở hình chiếu đứng nên hai cung 526272 và 9210212 khuất; trong 
đó: 102, 62 là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh bao hình chiếu 
đứng của trụ 
+ mp(b,c) ∩ trụ = Cung elip 789, có hình chiếu đứng là cung elip 728292 thấy ở hình chiếu 
đứng 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 77
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
_ Hình chiếu đứng của giao tuyến là đường kín 12223242526272829210212 gồm các cung elip nối 
liền nhau bỡi các điểm gãy . 
 Xét thấy khuất như (Hình 12.9) 
 Hình 12.9 Hình 12.10 
(C2)
(C1)
b1 a1 
S1 
S2 
52 
42≡ 4’2 
31 51 
41 
4’1 
21 
11 
1’1 
2’1 
32 
22 ≡2’2≡ b2 
12≡1’2≡ a2 
31≡ 81 
92 
11 
32 
52 42 
22 
12 
41≡ 61 
51 
71 
21≡101 
b1 
c1 
a1 
c2 
b2 
a2 
62 
72 
82 102 
c2 
(β1)
c1 
™ Ví dụ 2 
Hãy vẽ giao tuyến của nón tròn xoay với lăng trụ (abc) chiếu đứng ; (Hình 12.10) 
Giải 
_ Vì lăng trụ (abc) ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là đường gấp khúc: 
5212 2232 thuộc hình chiếu đứng suy biến của lăng trụ 
+ mp(a,b) ∩ nón = hai đoạn đường sinh 12 và1’2’ thấy ở hình chiếu đứng và hình chiếu bằng 
+ mp(b,c) ∩ nón = cung tròn 232’, có hình chiếu bằng là cung tròn 21312’1. Vì mp(b,c) 
khuất ở hình chiếu bằng nên cung tròn 21312’1 khuất 
+ mp(a,c) ∩ nón = cung elip 1454’1’, có hình chiếu bằng là cung elip 1141514’11’1 nhận S1 
làm một tiêu điểm 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường gấp khúc kín 1121312’11’14’1514111 
_ Vì mp β đối xứng chung của nón và lăng trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến 
đối xứng qua đường thẳng (β1) 
_ Xét thấy khuất như (hình 12.10) 
™ Ví dụ 3 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.11) 
Giải 
_ Mặt trụ và cầu giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 
_ Vì trụ ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 1222324252 thuộc 
đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ 
_ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường tròn vĩ tuyến nằm ngang của 
cầu; ta nhận được hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín 
11213141514’13’12’111. Trong đó: 21, 2’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với 
đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 78
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
_ Vì mp β đối xứng chung của cầu và trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối 
xứng qua đường thẳng (β1) 
_ Xét thấy khuất của hình như (hình 12.11) 
™ Ví dụ 4 
Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.12) 
Giải 
_ Mặt trụ và nón giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 
_ Vì trụ ⊥ P2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 12223242526272 
thuộc đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ 
(β1) 
(β1)
41
31
21
t1
2’1
3’1
4’1
51
O1
t2
52
42 ≡ 4’2 
O2
32 ≡3’2 
22 ≡ 2’2 
12
(C2)
(C1)
t2 
t1 
72 
62≡6’2 
52≡5’2 
42 
12 
22≡ 2’2 
32≡3’2 
S2 
S1 
5’1 
6’1 
71 
31 21 
61 
51 
41 
3’1 2’1 
11 
 Hình 12.11 Hình 12.12 
_ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường sinh của nón; ta nhận được hình 
chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín: 112’13’1415161716’15’141312111. 
Trong đó: 21, 21’, 61, 6’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh bao 
hình chiếu bằng của nón ; 51, 5’1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh 
bao hình chiếu bằng của trụ 
_ Vì mp β đối xứng chung của nón và trụ song song P2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối 
xứng qua đường thẳng (β1). 
_ Xét thấy khuất của giao như (hình 12.12) 
™ Ví dụ 5 
Hãy vẽ giao tuyến của nửa mặt xuyến có trục t ⊥ P2 với lăng trụ (abc) chiếu bằng; 
(Hình 12.13) 
Giải 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 79
Baìi giaíng HÇNH HOAû Giao tuyãún cuía hai màût 
_ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đoạn 81101 và đường gấp khúc 412171 thuộc tam giác hình 
chiếu bằng suy biến của lăng trụ (abc) 
_ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các điểm thuộc các đường tròn của xuyến nằm 
trong mặt phẳng vuông góc trục t. Kết quả nhận được hình chiếu đứng của giao tuyến là hai 
đường hở 12223242526272 và 8292102112 (hai đường hở vì ở đây chỉ xét nửa xuyến) 
_ Xét thấy khuất của hình như hình 12.13 với chú ý những điểm nằm nửa trước của xuyến được 
thấy trên hình chiếu đứng, cụ thể cung 324252và 92102112 thấy; các cung còn lại khuất trên 
hình chiếu đứng . 
a2 b2 c2 
91 
12 
22 
32 
42 
52 
62 
72 
92 102 
112 82 
11 81 
101 
111 
71 21≡ 61≡ a1 
31≡ 51 
41 
c1 
b1 
Hình 12.13 
================= 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 80
Baìi giaíng HÇNH HOAû Muûc luûc 
MỤC LỤC 
Mở đầu .............................................................................................2 
Bài 1 Điểm..................................................................................................5 
Bài 2 Đường thẳng .....................................................................................9 
Bài 3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ............................................17 
Bài 4 Mặt phẳng........................................................................................22 
Bài 5 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng ...............................................31 
Bài 6 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng ...........................35 
Bài 7 Các phép biến đổi hình chiếu .........................................................42 
Bài 8 Đường cong và mặt ........................................................................54 
Bài 9Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong ........................................................61 
Bài 10 Giao tuyến của mặt phẳng với một mặt .........................................66 
Bài 11 Giao điểm của đường thẳng với một mặt........................................75 
Bài 12 Giao tuyến của hai mặt....................................................................82 
Mục lục............................................................................................91 
================= 
GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 81