Bài giảng Đại số Lớp 10 (Cơ bản) - Tiết 54: Cung và góc lượng giác

ĐẠI SỐ 10 CƠ BẢN 
TIẾT 54: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
1. Độ và rađian 
2. Số đo của một cung lượng giác 
3. Số đo của một góc lượng giác 
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
Đường tròn định hướng 
 Là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương,chiều ngược lại là chiều âm . 
I.KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
Quy ước : 
Chiều (+): ngược chiều kim đồng hồ 
Chiều (-): cùng chiều kim đồng hồ 
- Trên đường tròn địnhhướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều âm ( hoặc dương ) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B 
Vậy : Với hai điểm A, B trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy được kí hiệu là : AB 
Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác . Kí hiệu : (OC,OD) 
2. Góc lượng giác 
O 
D 
M 
C 
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A’(-1;0), B(0;1), B’(0;-1). 
Chọn A làm gốc thì đường tròn này đgl đường tròn lượng giác ( gốc A) 
3. Đường tròn lượng giác 
Trong mp tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1. 
a. Đơn vị rađian ( ra d ) : 
II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
Ta đã biết đơn vị độ được sử dụng để đo góc . Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung , đó là rađian 
( đọc là ra – đi – an ) 
M 
1 rad 
A 
O 
R 
R 
Trên đường tròn tuỳ ý, cung có 
độ dài Bằng bán kính được gọi 
là cung có số đo 1 rad 
II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
1. Độ và rađian 
b. Quan hệ giữa độ và rađian : 
Nửa đường tròn có độ dài là R 
Cung có độ dài R có số đo : 1 rad 
 rad 
Cung có độ dài R có số đo : 
Hay cung có độ dài bằng 
nửa đường tròn có số đo là rad 
 rad 
II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 
1. Độ và rađian 
b. Quan hệ giữa độ và rađian : 
 rad 
180 ° = rad 
Với 3,14 1 ° 0,01745 rad 
 1 rad 57°17’45” 
Chú ý : Khi viết số đo của một góc ( cung ) theo 
 đơn vị rađian ta thường không viết chữ rad . 
 VD: Cung được hiểu là Cung rad 
VD : Đổi 75 ° sang ra đian : 
* Công thức đổi a ° sang α rad v à ng ược l ại là : 
 Và 
Bài tập 1 : Hãy đổi Độ sang rađian 
30 ° b) 140° c) 80° d) 135° 
Bài tập 2 : Hãy đổi rađian sang Độ 
a) b) c) d) 
1. Độ và rađian 
b. Quan hệ giữa độ và rađian : 
* Bảng chuyển đổi thông dụng : ( Sgk – T 136) 
Ra®ian 
360 0 
270 0 
180 0 
150 0 
135 0 
120 0 
90 0 
60 0 
45 0 
30 0 
§é 
2 
Độ 
30 o 
20 ° 
140 o 
45 o 
80 o 
90 o 
135 o 
171 °53’ 
Rađian 
3 
Đáp án : 
1. Độ và rađian 
b. Quan hệ giữa độ và rađian : 
c. Độ dài của một cung tròn 
Cung có số đo α ra d c ủa đường tr òn b án k ính R c ó độ d ài : 
l = R. α 
VD : Xác định độ dài cung có số đo 2 rad trên đường tròn bán kính R = 3 (cm) 
ADCT: l = R. α = 3.2 = 6 (cm) 
* Chú ý : Khi số đo ở đơn vị Độ phải chuyển 
 Độ sang rađian 
1. Độ và rađian 
Cung có sđ 1 rad có độ dài là R 
Cung có sđ α ra d c ó độ d ài l à : 
R. α 
B 
A 
O 
x 
y 
A 
B 
O 
x 
y 
x 
y 
B 
A 
O 
C 
A 
O 
x 
y 
+ 
- 
M 
M 
+ 
M 
Ví du ̣: 
2. Sô ́ đo của một cung lượng giác 
+ 
a) 
b) 
c) 
d) 
2 
2. Số đo của một cung lượng giác 
* Số đo của một cung lượng giác AM (A M) là một số thực âm hay dương 
KH: Số đo của cung AM là sđ AM 
* Ghi nhớ : sđ AM = α + k2 (k Z) 
Hoặc sđ AM = a ° + k360 ° (k Z) 
* Chú ý : 
 sđ AA = k2 (k Z) 
 Không viết sđ AM = α + k360 ° hay sđ AM = a ° + k2 
 ( Vì không cùng đơn vị đo ) 
 Sô ́ đo của một cung lượng giác là một sô ́ thực , âm hay dương . 
AM 
 KH : Sô ́ đo của cung là sđ 
AM 
AM 
D 
A 
O 
x 
y 
+ 
AD 
Vậy sđ = 
D 
A 
O 
x 
y 
AD 
sđ 
= ? 
3 
 Ghi nhơ ́: 
 Ta viết : 
 Sô ́ đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu va ̀ điểm cuối sai khác nhau một bội của 
AM 
 sđ 
 Trong đo ́: là sô ́ đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A va ̀ điểm cuối là M 
Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta có: 
AM 
 sđ 
Khi k = 0 thi ̀ 
AA 
 sđ 
Người ta còn viết sô ́ đo bằng đô ̣: 
AM 
 sđ 
Chu ́ ý : không được viết 
AM 
 sđ 
AM 
 sđ 
B’ 
O 
x 
y 
A 
A’ 
B 
M 
4 
KH: sô ́ đo của góc lượng giác (OA,OC) là sđ(OA,OC ) 
y 
A 
O 
x 
D 
Sô ́ đo của góc lượng giác (OA,OC) là sô ́ đo của cung lượng giác tương ứng . 
AC 
3. Sô ́ đo của một góc lượng giác 
AD 
sđ 
Vậy sđ(OA,OD ) 
Ví du ̣: 
5 
HĐ : Tìm sô ́ đo của các góc lượng giác (OA,OE) va ̀ (OA,OP) được cho ở hình sau 
P 
B’ 
O 
x 
y 
A 
A’ 
B 
E 
- 
P 
B’ 
O 
x 
y 
A 
A’ 
B 
E 
Với E là điểm chính giữa của cung 
+ 
sđ (OA,OE)= 
sđ (OA,OP)= 
6 
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
Chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác . 
Điểm cuối M được xác định dựa vào hê ̣ thức : 
AM 
 sđ 
 Do đo ́ đê ̉ biểu diễn cung lượng giác có sô ́ đo trên đường tròn lượng giác ta cần xác định điểm cuối M. 
Ví du ̣ : Biểu diễn trên đường tròn lg các cung lg có sô ́ đo lần lượt là: 
7 
Vậy điểm cuối của cung đa ̃ cho là điểm chính giữa N của cung nho ̉ 
Giải : 
N 
B’ 
O 
x 
y 
A 
A’ 
B 
M 
P 
B’ 
O 
x 
y 
A 
A’ 
B 
Vậy điểm cuối của cung đa ̃ cho là điểm chính giữa M của cung nho ̉ 
Vậy điểm cuối của cung đa ̃ cho là điểm P 
với 
8 
VD: Tìm số đo của các cung lượng giác sau : 
sđ AM = 
sđ AN = 
A 
M 
N 
A 
3. Số đo của một góc lượng giác 
ĐN : Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng 
A 
C 
 
 
VD : sđ (OA, OC) = sđ AC = 
 = 
VD : Tìm điểm M trên đường tròn sao cho sđ AM = 
Giải : Lấy theo chiều âm một góc M  C 
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
 Là tìm điểm cuối M sao cho sđ AM = α 
 
 
 
 
B 
A 
A’ 
B’ 
Chú ý : Điểm A luôn là điểm đầu của tất cả các cung 
A 
 
VD : Biểu diễn cung có đo là : 
 
 
Giải : Vì 
M 
Nên điểm cuối của cung là M 
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
VD : Hãy biểu diễn các cung lượng giác có số đo sau : 
a) 120 ° b) c) d) 45° 
B 
A’ 
B’ 
A 
 
 
 
 
M 
N 
 
 P 
Q 
 M N P Q 
Đáp án : 
 M chia A’B thành 3 phần bằng nhau 
 N nằm giữa A’B’ 
 P trùng với B’ 
 Q nằm giữa AB 
Chó ý: 
Kh ông được viết a ° + k2 hay α + k360° 
Bảng chuyển đổi thông dụng ( sgk – T136) 
Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 
Số đo của một cung ( góc ) lượng giác 
Công thức liên hệ giữa Độ và Rađian : 
Củng cố : 
Công thức tính độ dài cung tròn :