Ảnh hưởng của mô hình ma sát đến mô phỏng hệ thống lái trợ lực thủy lực

36 Nguyễn Văn Lại, Trần Xuân Bộ, Trần Khánh Dương 
ẢNH HƯỞNG CỦA MÔ HÌNH MA SÁT ĐẾN MÔ PHỎNG 
HỆ THỐNG LÁI TRỢ LỰC THỦY LỰC 
EFFECT OF FRICTION MODELS ON SIMULATION OF HYDRAULIC STEERING SYSTEM 
Nguyễn Văn Lại, Trần Xuân Bộ, Trần Khánh Dương 
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; nguyenvanlai@humg.edu.vn 
Tóm tắt - Bài báo nghiên cứu ảnh hưởng của ba mô hình ma sát: 
mô hình ma sát trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre và mô 
hình ma sát LuGre sửa đổi đến mô phỏng động lực học hệ thống 
lái trợ lực thủy lực. Mô hình toán học của hệ thống được xây dựng 
dựa trên hệ thống thủy lực sử dụng một xy lanh và một van phân 
phối. Các đặc tính về góc quay bánh xe, độ dịch chuyển, vận tốc, 
áp suất, và lực trợ lái tạo ra bởi xy lanh thủy lực được phân tích 
dưới các điều kiện góc lái khác nhau và dưới ảnh hưởng của các 
mô hình ma sát. Kết quả chỉ ra rằng các mô hình ma sát đều có 
thể mô phỏng đúng quy luật lái của hệ thống lái xe. Tuy nhiên, mô 
hình ma sát LuGre sửa đổi cho kết quả mô phỏng tốt nhất, trong 
khi đó mô hình ma sát trạng thái ổn định gây ra nhiều tín hiệu nhiễu 
trong các đặc tính đạt được. 
Abstract - This paper focuses on effects of the three friction models: 
steady-state friction model, LuGre model, and new modified LuGre 
model on simulation of dynamic characteristics of a hydraulic steering 
system. Mathematical model of the system is developed based on a 
hydraulic system consisting of a hydraulic cylinder and a directional 
control valve. Characteristics of wheel angles, displacement and 
velocity of the cylinder piston, pressures in the two-cylinder chambers, 
and steering assisted force created by the cylinder are analyzed under 
different conditions of steering angle and under the effects of the friction 
models. Results show that steering law is correctly simulated by using 
all the three friction models. However, the new modified LuGre model 
gives the best simulation results while the steady-state friction model 
causes much oscillation in the characteristics of velocity, pressures, 
and steering assisted force. 
Từ khóa - hệ thống lái trợ lực thủy lực; mô hình ma sát LuGre; mô hình 
ma sát LuGre sửa đổi; mô hình ma sát ở trạng thái ổn định; mô phỏng. 
Key words - hydraulic steering system; LuGre model; new 
modified LuGre model; steady-state friction model; simulation. 
1. Giới thiệu 
Hệ thống lái trợ lực thủy lực được sử dụng trong nhiều 
phương tiện chuyển động khác nhau như: ô tô, các xe máy 
công trình, tàu, thuyền, vì tỷ lệ giữa lực (công suất)/khối 
lượng hệ thống trợ lực rất lớn, độ bền cao 1 - 2. Tuy nhiên, 
đặc tính động lực học của hệ thống rất phức tạp do đặc tính 
phi tuyến cao của hệ thống thủy lực. Một trong các đặc tính 
phi tuyến của hệ thống thủy lực là ma sát trong xy lanh thủy 
lực. Ma sát có thể gây ra các sai số điều khiển, giới hạn các 
chu kỳ làm việc và ảnh hưởng đến đặc tính của hệ thống. 
Để mô phỏng đúng đặc tính của hệ thống lái trợ lực thủy 
lực thì một mô hình ma sát đầy đủ cần được xây dựng. 
Các mô hình ma sát ở trạng thái ổn định đã được sử 
dụng rộng rãi trong các hệ thống cơ khí bao gồm cả hệ 
thống thủy lực 3 - 4. Những mô hình ma sát này rất hữu 
ích khi phân tích động lực học các hệ thống thủy lực làm 
việc ở các điều kiện ổn định, nhưng không phù hợp khi hệ 
thống hoạt động trong điều kiện động. 
Một số mô hình ma sát động đã được đề xuất [4 - 9], trong 
đó mô hình ma sát LuGre [7], được áp dụng rộng rãi nhất để 
mô phỏng các đặc tính ma sát trong các hệ thống cơ khí. Tuy 
nhiên Tran và các đồng tác giả 10 đã chỉ ra rằng mô hình ma 
sát LuGre không thể mô phỏng đủ được các đặc tính ma sát 
trong xy lanh thủy lực và khí nén. Họ phát triển mô hình ma 
sát mới bằng việc sửa đổi động học của ma sát nhớt trong mô 
hình LuGre. Mô hình ma sát mới này được gọi là mô hình ma 
sát LuGre sửa đổi và nó có thể mô phỏng tất cả các đặc tính 
ma sát của xy lanh thủy lực và xy lanh khí nén 11. 
Mặc dù, mô hình ma sát LuGre sửa đổi đã được kiểm 
chứng là mô phỏng tốt các đặc tính ma sát trong xy lanh 
thủy lực nhưng tính hữu dụng của các mô hình này trong 
việc mô phỏng chuyển động của một hệ thống lái thủy lực 
vẫn chưa được nghiên cứu. 
Trong bài báo này, ảnh hưởng mô hình LuGre sửa đổi 
đến mô phỏng hệ thống lái trợ lực thủy lực được nghiên 
cứu trong sự so sánh với mô hình ma sát ở trạng thái ổn 
định (mô hình ma sát TT ổn định) và mô hình LuGre. 
2. Mô hình hệ thống lái trợ lực thủy lực 
2.1. Mô hình hệ thống 
Trong nghiên cứu này, sơ đồ kết cấu của một hệ thống lái 
trợ lực thủy lực được trình bày trên Hình 1. Hệ thống bao gồm: 
Bánh xe 1, hình thang lái 2, thanh phản hồi góc bánh xe 4, van 
thủy lực 4, hộp lái 5, bánh lái 6, xy lanh thủy lực 7, áp suất nguồn 
ps từ bơm thủy lực, góc quay của bánh xe dẫn hướng  và . 
Hình 1. Sơ đồ hệ thống lái trợ lực thủy lực 
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(130).2018 37 
Khi có tác động điều khiển lái, bánh lái 6 quay góc , 
hộp lái 5 có tỷ số truyền i, biến đổi “tín hiệu lái” thành 
dịch chuyển x1 của con trượt van thủy lực 4. Con trượt van 
thủy lực 4 được nối với thanh phản hồi góc bánh xe 3. Tín 
hiệu phản hồi từ bánh xe tác động vào tay đòn R3 của thanh 
phản hồi và làm con trượt van thủy lực dịch chuyển quãng 
đường x2. Vì có tín hiệu phản hồi x2 nên độ mở của van 
thủy lực là  = x1 – x2. Với độ mở , dầu từ bơm thủy lực 
(có áp suất ps) được cấp đến một khoang của xy lanh thủy 
lực 7 với lưu lượng Q1 và dầu từ khoang còn lại của xy lanh 
chảy qua van về bể chứa với lưu lượng Q2. Khi quay bánh 
lái ngược lại (góc quay - ) thì dầu cấp đến một khoang của 
xylanh 7 là Q2 và hồi về bể là Q1. 
Do đặc điểm làm việc, các hệ thống thủy lực trợ lực lái 
thường sử dụng van thủy lực có độ chờm âm, tức là tại vị 
trí trung gian của van thủy lực các cửa P, T, A, B được nối 
thông với nhau 13. Do đó, lưu lượng Q1 và Q2 qua cửa 
van khi độ dịch chuyển con trượt ε ≤ u (u – độ chờm của 
van) được mô tả như sau: 
( )
( ) 
−+−−
−++=
22
2
22
2
1
11
ss
d
ss
d
p
p
p
uwc
p
pp
uwcQ






 (1) 
( )
( ) 
−+−−
−++=
2
22
22
2
22
2
p
pp
uwc
p
p
p
uwcQ
ss
d
ss
d






 (2) 
Lưu lượng Q1 và Q2 qua cửa van khi độ dịch chuyển 
con trượt ε ≥ u: 
( ) 
−++= 11
22
2
p
pp
uwcQ ssd



 (3) 
( ) 
−++=
22
2
22
ss
d
p
p
p
uwcQ



 (4) 
Trong đó, w là chiều rộng khe hở cửa lưu thông của 
van; cd là hệ số lưu lượng của van; là khối lượng riêng 
của dầu thủy lực. 
Sự thay đổi áp suất p1 trong khoang thứ nhất và p2 trong 
khoang thứ hai của xy lanh thủy lực theo thời gian được 
viết dưới dạng biểu thức sau: 
2
2
22
1
1
11
p
V
QyA
p
V
yAQ
h
h




=−
=−
 (5) 
Trong đó, y là vị trí của piston trong xy lanh lực; h là 
mô-đun đàn hồi của dầu thủy lực; A1, A2 tương ứng là diện 
tích hữu ích của piston (Hình 1); V1, V2 là thể tích chất lỏng 
trong hai khoang xy lanh và được xác định theo công thức: 
( )yLAVV
yAVV
−+=
+=
2202
1101 (6) 
Trong đó, L là hành trình của piston; V10, V20 tương ứng 
là thể tích chết của hai khoang xy lanh. 
Chuyển động của piston trong xy lanh thủy lực được mô 
tả bằng phương trình áp dụng Định luật II Newton như sau: 
cdr FFApApym −−−= 2211 (7) 
Trong đó, m là khối lượng của đòn ngang và piston; Fcd 
là lực cản của mặt đường, Fcd phụ thuộc vào mô-men cản 
và kết cấu cơ khí của hệ thống lái; Fr là lực ma sát trong xy 
lanh thủy lực, được xác định từ một trong các mô hình ma 
sát trong mục 2.2 dưới đây. 
Khi bánh lái quay góc α, con trượt của van thủy lực dịch 
chuyển với độ dịch chuyển  và hai bánh xe dẫn hướng 
quay góc  và . ,  và  được xác định như sau 12: 
  cosy
R
R
i
R
2
31 −= (8)
 )rad(R
y
2
  (9) 
( )
( )
( )
( ) ( ) 222
222





+−+++
+−−+
−
+−
+
+=
sin.lmcosl
sin.msin.lsin.ml
arcsin
sin.lm
cos.l
arctg
 (10) 
Trong đó,  là góc của hình thang lái (Hình 1); 
m là khoảng cách giữa hai cánh tay đòn phản hồi; l là thông 
số chọn theo kinh nghiệm thiết kế; phụ thuộc quy luật 
đánh lái. 
2.2. Các mô hình ma sát 
Trong phần này trình bày vắn tắt các mô hình ma sát ở 
trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre và mô hình ma 
sát LuGre sửa đổi. 
2.2.1. Mô hình ma sát ở trạng thái ổn định 
Mô hình ma sát ở trạng thái ổn định 3 - 4 bao gồm 
thành phần ma sát Coulomb, ma sát nhớt, ma sát tĩnh và 
được mô tả trong Hình 2. Mô hình ma sát này đã được sử 
dụng trong mô phỏng và điều khiển hệ thống cơ khí. Mô 
hình toán học của lực ma sát ở trạng thái ổn định được cho 
bởi phương trình sau: 
( ) ( )/ 2
n
sv v
r c s cF F F F e v
−
= + − + (11) 
Trong đó, Fc là lực ma sát Coulomb; Fs là lực ma sát 
tĩnh; vs là vận tốc Stribeck; n là số mũ ảnh hưởng bởi độ 
dốc của đặc tính Stribeck; 2 là hệ số ma sát nhớt và v là 
vận tốc tương đối giữa hai mặt tiếp xúc. 
Hình 2. Đặc tính ma sát ở trạng thái ổn định 3] 
2.2.2. Mô hình ma sát LuGre 
Canudas de Wit và các đồng tác giả 6 đã kết hợp mô 
38 Nguyễn Văn Lại, Trần Xuân Bộ, Trần Khánh Dương 
hình Dahl 4 với các đặc tính ma sát ở trạng thái ổn định, 
bao gồm cả đặc tính Stribeck để đạt được mô hình tích hợp 
được gọi là LuGre. Mô hình LuGre dựa trên mô hình sợi 
nhám trên các mặt tiếp xúc như Hình 3. 
Hình 3. Mô hình sợi nhám trên hai mặt tiếp xúc 6] 
Khi lực tiếp tuyến tác dụng đủ lớn, các sợi nhám sẽ biến 
dạng như lò xo và làm tăng lực ma sát. Độ biến dạng danh 
nghĩa của các sợi nhám được biểu thị qua z và mô hình ma 
sát được mô tả như sau: 
( )
0
s
zdz
v v
dt g v

= − (12) 
0 1 2r
dz
F z v
dt
  = + + (13) 
Trong đó, 0 là độ cứng của sợi nhám, 1 là hệ số ma 
sát nhớt của các sợi nhám và gs(v) là hàm Stribeck và được 
tính như sau: 
( ) ( )/( )
n
sv v
s c s cg v F F F e
−
= + − (14) 
Ở trạng thái ổn định, lực ma sát được mô tả như phương 
trình (11). 
Trong mô hình LuGre có 6 thông số Fc, Fs, vs, 0, 1 và 
2. Các thông số Fc, Fs, vs và 2 có thể được xác định từ đo 
ma sát ở trạng thái ổn định và các thông số 0 và 1 có thể 
được xác định từ biến trạng thái biến dạng z 9. 
2.3. Mô hình LuGre sửa đổi 
Tran và các tác giả 9 đã đề xuất mở rộng mô hình 
LuGre bằng cách kết hợp với thông số độ dày không thứ 
nguyên màng chất lỏng bôi trơn h vào hàm Stribeck. Mô 
hình LuGre được mô tả như sau: 
( )
0
,s
zdz
v v
dt g v h

= − (15) 
( ) ( ) ( )/, 1
n
sv v
s c s cg v h F h F F e
−
= + − − (16) 
0 1 2 ( )r
dz dv
F z v T
dt dt
  = + + + (17) 
Động lực học màng chất lỏng bôi trơn h được mô tả: 
( )
1
ss
h
dh
h h
dt 
= − (18) 
( )
( )
( )0
0,
0,
0
hp ss
h hn ss
h
v h h
v h h
v

 

= 
= 
 (19) 
( )
( )
2
3
2
3
f b
ss
f b b
K v v v
h
K v v v
= 
 (20) 
( )
2
31 /f c s bK F F v
−
= − (21) 
Trong đó, hss là độ dày không thứ nguyên màng chất 
lỏng bôi trơn ở trạng thái ổn định; Kf là hằng số tỷ lệ đối 
với độ dày màng chất lỏng bôi trơn; vb là vận tốc mà với 
vận tốc này độ dày màng chất lỏng bôi trơn thay đổi; hp, 
hn và h0 tương ứng là hằng số thời gian trong các giai đoạn 
tăng vận tốc, giảm vận tốc và dừng hoạt động; T là hằng số 
thời gian của động lực học ma sát chất lỏng. Trong phương 
trình (18), h < hss tương ứng với giai đoạn tăng vận tốc, h 
> hss tương ứng giai đoạn giảm vận tốc. Các thông số 0, 
1, , hp, hn, h0 và T có thể được xác định bằng thực 
nghiệm từ các đặc tính động. 
Trong trạng thái ổn định, lực ma sát được mô tả bởi 
( ) ( )/ 21
n
sv v
rss c ss s cF F h F F e v
−
= + − − + (22) 
3. Các kết quả mô phỏng và thảo luận 
Kết quả mô phỏng là đặc tính dịch chuyển, vận tốc của 
thanh ngang hình thang lái, góc quay bánh xe, áp suất trong 
các khoang của xy lanh thủy lực và lực trợ lái với các quy 
luật đánh lái khác nhau là được xét đến. 
Mô phỏng được thực hiện bằng phần mềm 
Matlab/Simulink với các thông số của loại ô tô tải có trọng 
lượng 5 tấn, các thông số của hệ thống thủy lực trợ lực và 
các thông số của mô hình ma sát như trong các Bảng 1 và 
Bảng 2, tín hiệu đầu vào là góc quay bánh lái . 
Bảng 1. Thông số của ô tô tải 
Thông số Giá trị Thông số Giá trị 
Mt (kg) 5000 A1 (m2) 8,04.10-4 
rbx (m) 0,4 A2 (m2) 5,499.10-4 
a (m) 0,06 L (m) 0,2 
 (°) 10° cd 0,6 
R2 (m) 0,162 (kg/m3) 860 
R3 (m) 0,182 h (MPa) 1400 
i 20 m (kg) 3 
ps (Pa) 5.106 Fcd (N) 600 
Các thông số khác của xe: 
Hệ số phẩn bố tải trọng: 0,4/0,6 
Hệ số cản lăn của bánh xe và đường: 0,02 
Hiệu suất thuận của cơ cấu lái: 0,65 
Hiệu suất nghịch của cơ cấu lái: 0,5 
Bảng 2. Thông số của mô hình ma sát 
Thông số 
Trị số 
v > 0 v < 0 
Fs (N) 850 -350 
Fc (N) 180 -105 
vs (m/s) 0,0125 0,015 
vb (m/s) 0,05 -0,05 
2 (N.s/m) 320 350 
n 0,6 0,9 
T (s) 0,33 0,07 
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(130).2018 39 
0 (N/m) 5.106 
1 (N.s/m) 0,1 
hp (s) 0,25 
hn (s) 1,5 
h0 (s) 40 
Hình 4 mô tả đặc tính góc lái. Quá trình quay bánh lái như 
sau: bánh lái được quay tăng dần từ 0 đến 90° trong thời gian 
0,15s và sau đó giữ góc lái này 1,1s đến 1,25s. Sau đó quay bánh 
lái ngược lại từ 90° về 0 trong thời gian 0,15s và giữ góc lái 1,1s. 
Khi góc lái tăng từ 0 đến 90°, thanh ngang của hình thang 
lái dịch chuyển sang phải quãng đường từ 0 đến 0,03 m như 
trên Hình 5. Khi góc lái đạt 90°, độ dịch chuyển thanh ngang 
tiếp tục tăng và đạt giá trị 0,05 m từ thời điểm 0,5s đến 1,2s. 
Kết quả này có thể giải thích như sau: khi góc lái tăng dần 
thì độ dịch chuyển con trượt x1 của van thủy lực tăng, làm 
cho piston của xy lanh dịch chuyển sang phải, và khi thanh 
ngang của hình thang lái dịch chuyển sang phải làm quay tay 
đòn phản hồi x2 nối với con trượt van thủy lực và làm giảm 
độ mở  của van. Khi góc lái đạt 90° và giữ không đổi thì sau 
trễ 0,4s độ mở của van bằng 0 làm cho thanh ngang dừng lại 
ở vị trí 0,05 m. Hình 6 là đặc tính độ dịch chuyển (độ mở) 
con trượt của van thủy lực. Quay bánh lái từ 90° về 0 trong 
thời gian 0,15s và giữ góc lái 1,1s thì quá trình dịch chuyển 
thanh ngang diễn ra ngược lại. 
Hình 4. Đặc tính góc lái 
Hình 5. Đặc tính độ dịch chuyển thanh ngang 
Hình 6. Đặc tính độ dịch chuyển con trượt của van 
Hình 5 chỉ ra kết quả mô phỏng về đặc tính dịch chuyển 
thanh ngang của hình thanh lái với cả 03 mô hình ma sát ở 
trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre và mô hình 
LuGre sửa đổi. Có thể nhận thấy cả 3 mô hình cho kết quả 
độ dịch chuyển cũng như con trượt giống nhau và mô hình 
toán học của hệ thống sử dụng ba mô hình ma sát trong 
mục 2.2 có thể mô phỏng được quy luật lái. 
Tuy nhiên, sự khác nhau giữa 3 mô hình được thể hiện 
trong các kết quả đặc tính vận tốc dịch chuyển thanh ngang 
(Hình 7), đặc tính áp suất trong hai khoang của xy lanh 
(Hình 8) và đặc tính lực thủy lực trợ lái (Hình 9). 
Hình 7. Đặc tính vận tốc dịch chuyển thanh ngang 
Khi góc bánh lái ổn định (từ 0,1s đến 1,2s và từ 1,3s 
đến 2,5s), kết quả mô phỏng với 3 mô hình ma sát cho thấy 
vận tốc thanh ngang của hình thang lái đi vào ổn định và 
giữ giá trị bằng 0 (Hình 7). Tuy nhiên, kết quả mô phỏng 
với mô hình ma sát ở trạng thái ổn định, vận tốc dịch 
chuyển của thanh ngang ổn định chậm hơn. Kết quả mô 
phỏng với mô hình ma sát LuGre sửa đổi, vận tốc dịch 
chuyển thanh ngang sớm nhất và ổn định nhất. 
Hình 8. Đặc tính áp suất trong các khoang thứ hai của xy lanh thủy 
lực: a) Khoang không có cần piston; b) Khoang có cần piston 
Tương tự, khi góc bánh lái ổn định, tải tác động lên bánh 
xe không đổi, áp suất trong hai khoang xy lanh cũng đạt đến 
giá trị ổn định, tức là lực trợ lái từ xy lanh thủy lực tác động 
lên thanh dịch chuyển ngang cũng đạt đến giá trị ổn định. 
Kết quả mô phỏng đặc tính áp suất trong hai khoang của xy 
lanh được trình bày trên Hình 8a và 8b với mô hình ma sát ở 
trạng thái ổn định, mô hình ma sát LuGre và mô hình ma sát 
LuGre sửa đổi. Kết quả mô phỏng với mô hình ma sát LuGre 
sửa đổi, áp suất sớm đạt giá trị ổn định và duy trì giá trị này 
ứng với thời gian giữ góc bánh lái không đổi. 
Hình 9. Đặc tính lực thủy lực trợ lái 
40 Nguyễn Văn Lại, Trần Xuân Bộ, Trần Khánh Dương 
Hình 9 là đặc tính lực thủy lực trợ lái. Kết quả cho thấy, 
với mô hình ma sát ở trạng thái ổn định và mô hình LuGre, 
sau khi quay bánh lái khoảng 0,05s thì lực trợ lái ổn định. Đến 
thời điểm 0,2s thì lực trợ lái dao động với biên độ từ -250 N 
đến 1300 N với mô hình ma sát ở trạng thái ổn định. Với mô 
hình LuGre thì lực trợ lái dao động trong khoảng thời gian từ 
0,3s đến 0,4s với biên độ từ 600 N đến 680 N, sau đó ổn định 
ở mức 600 N và dao động ở thời điểm 1,5s đến 1,6s với biên 
độ từ 500 đến 680 N. Với mô hình ma sát LuGre sửa đổi, lực 
trợ lái ổn định ngay sau khi quay bánh lái khoảng 0,01s và giữ 
giá trị ổn định 600 N cân bằng với lực cản Fcd. 
4. Kết luận 
Bài báo này nghiên ảnh hưởng của mô hình ma sát ở 
trạng thái ổn định, mô hình LuGre, và mô hình LuGre sửa 
đổi đến mô phỏng hệ thống lái trợ lực thủy lực. Kết quả 
chỉ ra rằng mô hình ma sát ở trạng thái ổn định cho kết 
quả mô phỏng không tốt đặc tính hệ thống lái. Hai mô 
hình ma sát LuGre và LuGre sửa đổi có kết quả mô phỏng 
tốt đặc tính hệ thống lái, đặc biệt kết quả mô phỏng với 
mô hình LuGre sửa đổi cho kết quả tốt nhất. Hướng phát 
triển của nghiên cứu là so sánh kết quả mô phỏng đặc tính 
hệ thống lái, đặc biệt với mô hình ma sát LuGre sửa đổi 
với kết quả thực nghiệm. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Tom Wong, “Hydraulic Power Steering System Design and 
Optimization Simulation”, SAE Technical Paper Series, 2001-01-
0479, 2001. 
[2] M. R. Nimbarte, L. P. Raut., “Efficiency Analysis of Hydraulic 
Power Steering System”, International Journal of Engineering 
Research and Applications (IJERA), Vol. 3, Issue 3, May-Jun 2013, 
pp. 1230-1235. 
[3] Armstrong H. B, Control of Machines with Friction, Boston, MA: 
Springer, 1991. 
[4] Armstrong H. B, Dupont P and Canudas DWC, “A Survey of Models, 
Analysis Tools and Compensation Methods for The Control of 
Machines with Friction”, Automatica, 30(7), 1994, pp. 1083-1138. 
[5] V. Van Geffen, A Study of Friction Models and Friction 
Compensation, Technische Universiteit Eindhoven - Department 
Mechanical Engineering - Dynamics and Control Technology Group 
– Eindhoven, 2009. 
[6] Xuan Bo Tran, Hideki Yanada, “Dynamic Friction Behaviors of 
Pneumatic Cylinders”, Intelligent Control and Automation, Vol. 
4, No. 2, 2013, pp. 180-190. 
[7] C. Canudas de Wit, H. Olsson, K. J. Astrom, P. Lischinsky, “A New 
Model for Control of Systems with Friction”, IEEE Transactions on 
Automatic Control, Vol. 40, No. 3. 1995, pp. 419-425. 
[8] Tran X B, Hafizah N and Yanada H, “Modeling of Dynamic Friction 
Behaviors of Hydraulic Cylinders”, Mechatronics, 22(1), 2012, pp. 65-75. 
[9] K. J. Astrom and C. Canudas de Wit, “Revisiting the LuGre Friction 
Model”, IEEE Control Systems Magazine, 28 (6), 2008, pp.101-114. 
[10] Hideki Yanada A, Yuta Sekikawa, “Modeling of Dynamic 
Behaviors of Friction”, Elsevier Ltd. Mechatronics, Vol. 18, Issue 7, 
2008, pp. 330-339. 
[11] X B Tran, W. H. Khaing, H Endo and H. Yanada, “Effect of Friction 
Model on Simulation of Hydraulic Actuator”, IMechE, Vol. 228, 
Issue 9, 2014, pp. 175-180. 
[12] Phạm Minh Thái, Hướng dẫn làm đồ án môn học: Thiết kế hệ thống lái 
của ô tô – máy kéo bánh xe, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 1991. 
[13] Bùi Hải Triều, Giáo trình truyền động thủy lực và khí nén, Trường 
Đại học Nông nghiệp Hà Nội, 2006. 
 (BBT nhận bài: 04/6/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 15/8/2018)