Yếu tố ma trận cho Exciton hai chiều trong điện trường

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY
Vol. 16, No. 6 (2019): 72-80
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
72 
YẾU TỐ MA TRẬN CHO EXCITON HAI CHIỀU 
TRONG ĐIỆN TRƯỜNG 
Phạm Thị Mỹ Hảo, Nguyễn Thị Thùy Trang, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm* 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 
* Tác giả liên hệ: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – Email: tramhdn@hcmue.edu.vn 
Ngày nhận bài: 06-11-2018; ngày nhận bài sửa: 17-11-2018; ngày duyệt đăng: 16-5-2019 
TÓM TẮT 
Phương pháp toán tử FK được sử dụng để giải phương trình Schrödinger cho exciton hai 
chiều trong điện trường đều. Phép biến đổi Levi-Civita được sử dụng để chọn bộ hàm sóng cơ sở 
cho bài toán dưới dạng dao động tử điều hòa. Kết quả thu được các yếu tố ma trận của 
Hamiltonian, là cơ sở để xác định nghiệm số chính xác cho bài toán. 
Từ khóa: exciton, hai chiều, phép biến đổi Levi-Civita, phương pháp toán tử FK, yếu tố ma trận. 
1. Mở đầu 
Kể từ sau thành công của graphene, một loạt các vật liệu hai chiều (2D), ví dụ 
transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonal boron-nitride (h-BN) đã được phát 
hiện. Dù graphene đã mang lại những tính chất độc đáo nhưng vì có năng lượng vùng cấm 
bằng không đã làm hạn chế những ứng dụng của chúng. Nên sau đó, sự khám phá ra đơn 
lớp TMDs với năng lượng vùng cấm trực tiếp nằm khoảng trong vùng gần hồng ngoại đến 
khả kiến, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm. Do đó, nghiên cứu về TMDs ngày càng 
tăng và chiếm tỉ lệ khá cao trong số lượng công bố nghiên cứu về vật liệu 2D. TMDs đơn 
lớp bao gồm một đơn lớp của nguyên tử kim loại chuyển tiếp được kẹp giữa hai lớp 
nguyên tử chalcogen trong cấu trúc lăng trụ tam giác. Hiện nay, các nghiên cứu về đơn lớp 
TMDs thuộc nhóm VI đang được chú ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, và WSe2. Đây là chất 
bán dẫn với những tính chất quang học và điện tử đặc biệt, hứa hẹn có nhiều ứng dụng 
trong lĩnh vực quang điện tử ví dụ như tế bào quang điện, diode phát quang Các nghiên 
cứu cũng chỉ ra rằng dịch chuyển quang học chủ yếu trong TMDs là hình thành exciton 
(Choi et al., 2017). 
Exciton là một chuẩn hạt được tạo thành khi có tương tác Coulomb giữa điện tử 
mang điện tích âm và lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro. Trong 
TMDs, exciton được tạo thành khi một photon được hấp thụ, kích thích điện tử từ vùng 
hóa trị lên vùng dẫn và để lại một lỗ trống mang điện tích dương. Sau đó, điện tử và lỗ 
trống kết hợp với nhau bằng tương tác Coulomb tạo thành chuẩn hạt exciton đồng thời phát 
ra một photon. Exciton có ý nghĩa đặc biệt với 2D TMDs. Khi số chiều của hệ vật lí giảm 
đi, tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống được tăng cường (Xiao, Zhao, Wang, & 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
73 
Zhang, 2017), kéo theo việc hình thành exciton và các hiệu ứng liên quan chiếm ưu thế. 
Các hiệu ứng này là cơ sở để chế tạo một số thiết bị ở kích thước nano ví dụ như: laser 
exciton, nguồn photon đơn(Wu, Cheng, & Wang, 2017). 
Phổ năng lượng của exciton là thông tin để tìm hiểu trực tiếp về tính chất vật lí trong 
chất bán dẫn. Nó cũng là nền tảng để nhận biết hiệu ứng của exciton trong thí nghiệm phổ 
quang học. Vì thế, việc nghiên cứu phổ năng lượng rất có ý nghĩa. Tuy nhiên, dù tương tác 
giữa điện tử và lỗ trống tăng đáng kể khi số chiều của hệ giảm đi (Huang, Liang, & Yang, 
2013), năng lượng của exciton ở trạng thái kích thích cao vẫn khó đo trong thực nghiệm 
(Miller, Kleinman, Tsang, & Gossard, 1981). Vì thế người ta thường tìm cách đặt trường 
ngoài bao gồm điện trường hoặc từ trường vào để dễ dàng quan sát các vạch phổ. Ngoài ra, 
điện trường song song có cường độ lớn khi đặt vào các vật liệu khác nhau là một phương 
pháp hiệu quả để điều chỉnh tính chất quang học của chúng. Ví dụ khi khảo sát phổ quang 
phát quang của đơn lớp và hai lớp WS2 trong trường hợp đặt điện trường song song, kết 
quả cho thấy là khi tăng cường độ điện trường đối với đơn lớp WS2 thì dẫn đến dập tắt 
quang phát quang (PL quenching) trong khi đối với hai lớp WS2 thì làm tăng phát xạ quang 
phát quang (He et al., 2015); khám phá này có thể giúp ích rất nhiều trong việc phát triển 
hiệu quả hơn các các thiết bị quang điện tử dựa trên cơ sở vật liệu 2D TMDs. Trong một số 
nghiên cứu, điện trường ngoài có cường độ lớn được sử dụng để điều chỉnh năng lượng 
vùng cấm của hai lớp graphene, hai lớp TMDs (Ramasubramaniam, Naveh, & Towe, 
2011). Thêm vào đó, điện trường đóng vai trò quan trọng trong các quá trình ion hóa trong 
TMDs. Trong những vật liệu có năng lượng liên kết exciton lớn như TMDs, việc ion hóa 
bằng nhiệt không hiệu quả nên thay vào đó người ta thường sử dụng điện trường mạnh 
(Pedersen, Latini, Thygesen, Mera, & Nikolić, 2016). Ngoài ra, thì việc đặt điện trường 
ngoài vào giúp ta có thể quan sát hiệu ứng vật lí quen thuộc như hiệu ứng Stark (Scharf et 
al., 2016). Từ đó, ta có thế nói bài toán exciton hai chiều trong điện trường với các cường 
độ khác nhau đóng vai trò quan trọng đối với cả lí thuyết và thực nghiệm. 
Phương pháp toán tử FK (viết tắt là FK - OM) được đưa ra bởi nhóm nghiên cứu của 
giáo sư Komarov ở Đại học Belarus (Feranchuk & Komarov, 1982). Phương pháp này đã 
ứng dụng thành công cho các bài toán hệ nguyên tử hai chiều trong từ trường đều 
(Feranchuk, Ivanov, Le, & Ulyanenkov, 2015). Việc tiếp tục áp dụng FK – OM cho bài 
toán hệ nguyên tử hai chiều trong điện trường là một hướng phát triển mới và có ý nghĩa. 
Trong công trình này, chúng tôi bước đầu áp dụng FK – OM cho bài toán exciton trong 
điện trường để tính toán yếu tố ma trận của Hamiltonian, đây là cơ sở để xác định nghiệm 
chính xác bằng số cho bài toán. 
2. Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều 
Ở trong phần này, đầu tiên chúng tôi sẽ xây dựng phương trình Schrödinger dạng 
không thứ nguyên cho exciton hai chiều đặt trong điện trường đều trong không gian ( , )x y . 
Tiếp theo, phương trình này sẽ được chuyển về dạng phương trình dao động tử phi điều 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
74 
hòa trong không ( , )u v bằng cách sử dụng phép biến đổi Levi-Civita. Cuối cùng, chúng tôi 
viết lại phương trình thu được trong biểu diễn theo các toán tử sinh hủy để thuận lợi cho 
các tính toán đại số. 
2.1. Mối liên hệ với phương trình dao động tử phi điều hòa 
 Phương trình Schrödinger không thứ nguyên cho exciton hai chiều trong điện trường 
đều có cường độ điện trường 1 2, , 0   
 có dạng như sau: 
 ˆ , , ,H x y E x y  (1) 
2 2
1 22 2 2 2
1 1 , , ,
2
x y x y E x y
x y x y
   
  
   
 (2) 
Ở đây, đơn vị của năng lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng 
4 *
*
2 2 2
0
,
16
eR 
 

 đơn vị 
độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng 
2
0
2 *
4a
e
 


. Cường độ điện trường không thứ nguyên 
1 2,  lần lượt được xác định bằng biểu thức: 1 21 2* *,
ea ea
R R
 
  . 
Ta sẽ giải phương trình (2) bằng phương pháp toán tử FK dựa trên ý tưởng lí thuyết 
nhiễu loạn với thành phần chính là dao động tử điều hòa. Các nghiên cứu trước (Feranchuk 
& Komarov, 1982) đã chỉ ra mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử trong không gian ,x y 
với bài toán dao động tử phi điều hòa trong không gian ,u v thông qua phép biến đổi 
Levi-Civita: 
2 2 ,
2 ,
x u v
y uv
 (3) 
với 2 24dxdy x y dudv , 2 2 2 2r x y u v . 
Ta sẽ sử dụng phép biến đổi này để viết lại phương trình Schrödinger cho bài toán: 
 , 0H u v  , (4) 
trong đó 
 ˆH r H E  
có dạng Hamiltonian của dao động tử phi điều hòa trong không gian hai chiều ,u v : 
2 2
4 4 2 2 2 2
1 22 2
1 2 1
8
H u v uv u v E u v
u v
 
  
   
 (5) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
75 
2.2. Phương pháp đại số 
Phương pháp đại số sẽ được sử dung để giải phương trình Schrödinger (4)-(5) thông 
qua các toán tử sinh, hủy Dirac được định nghĩa lần lượt sau đây: 
 1 1, ,
2 2
1 1, ,
2 2
u u u u
u u
v v v v
v v
    
    
 
 (6) 
Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán  , 1, , 1u u v v
  . 
Khi sử dụng phương pháp toán tử FK người ta thường quan tâm đến tính đối xứng 
của bài toán. Trong các bài toán exciton hai chiều, exciton hai chiều trong từ trường vuông 
góc thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz bảo toàn, nghĩa là toán tử 
Hamilton và toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz ( ˆzL ) giao hoán 
với nhau. Vì thế ta sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các hàm riêng của toán tử ˆzL . Cách 
đơn giản nhất để thực hiện điều này là định nghĩa toán tử sinh hủy mới là tổ hợp tuyến tính 
của toán tử sinh hủy cũ sao cho ˆzL có dạng trung hòa. Mặc dù đối với bài toán này, do ảnh 
hưởng của điện trường nên đại lượng này không bảo toàn, nhưng để thống nhất với các 
công trình trước (Nguyen & Hoang, 2018), ta vẫn sẽ sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là các 
hàm riêng của toán tử ˆzL để tính toán. 
Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa ˆzL như sau: 
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 ,
2 2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 .
2 2
ˆ
ˆ
ˆ
u iv u iv
u iv u i v
u iv u iv
b u i v u i v
a
a
b
 

 

 

 

 
 (7) 
Các toán tử này cũng thỏa mãn hệ thức giao hoán:  , 1, , 1.a a b b
  
Ở đây, ta đưa vào các toán tử (6) một tham số tự do, đóng vai trò điều chỉnh tốc độ 
hội tụ. Tham số này sẽ không ảnh hưởng đến kết quả bài toán vì nó không có mặt trong 
toán tử Hamilton toàn phần mà chỉ xuất hiện trong thành phần chính và thành phần nhiễu 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
76 
loạn, nó đóng vai trò điều chỉnh sự chênh lệch độ lớn giữa hai thành phần này nhằm thỏa 
mãn điều kiện nhiễu loạn, do đó cũng làm tăng tốc độ hội tụ của bài toán. 
Toán tử Hamilton (5) được biểu diễn dưới dạng toán tử sinh hủy (7) như sau: 
RH H ER    , (8) 
với 
2 2 2 21
2
2 2 2 22
2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
8 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 1,
2
RH N M M N M M a a b b ab a b
i N M M a a b b ab a b





 (9) 
 1ˆ ˆ ˆ ˆ .R N M M

 (10) 
trong đó các toán tử mới ˆ ˆ ˆ, ,M M N được định nghĩa lại như sau: 
 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , 1 .M ab M a b N a a b b (11) 
Khi đó ta thu được toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo dưới dạng toán tử 
trung hòa: 
 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ .2zL a a b b
 (12) 
3. Bộ hàm sóng cơ sở 
Bộ hàm sóng được chọn là nghiệm riêng của toán tử trung hòa như sau: 
 211 2
1 2
1 ˆˆ, 0 ,
! !
nn
n n a b
n n
 (13) 
với 1 2,n n là các số nguyên không âm và trạng thái chân không được định nghĩa từ các 
phương trình sau: 
 ˆˆ 0 0, 0 0, 0( ) 0( ) 0.a b      (14) 
Ta sẽ xác định nghiệm của phương trình (8)-(9) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các 
hàm sóng cơ sở (13) như sau: 
1 2
1 2
, 1 2
0 0
, ,n n jk
j k
j n k n
n n C j k
  . (15) 
4. Các yếu tố ma trận của Hamiltonian 
Ta giải phương trình (4) với hàm sóng khai triển (15), khi đó phương trình được viết lại: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
77 
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0
, , , ,R jk n n jk
j k j k
j n k n j n k n
H n n C j k E R n n C j k
   (16) 
Nhân trái hai vế (16) với ,j k , ta có: 
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 0 0 0
, , , , , ,R jk n n jk
j k j k
j n k n j n k n
j k H n n C j k E j k R n n C j k
   
hay 
1 1 2 1
2 2
1 2 1 2
' ' ' '
' '' '0 0 0 0
R R
n j jk jj n n n j jk jj
kk kkn k n kj k j k
j n k n j n k n
H C H E R C R
  , (17) 
trong đó ' '
' '
,Rjj jj
kk kk
H R là các yếu tố ma trận được định nghĩa như sau : 
*
' , ,
'
*
' , ,
'
, , ,
, , .
R R R
jj j k j k
kk
jj j k j k
kk
H j k H j k H dV
R j k R j k R dV
 
 
 
 
 (18) 
Khi đã xác định được các yếu tố ma trận (18), phương trình (17) có thể được giải 
bằng cách áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn hoặc cũng có thể giải trực tiếp như hệ phương 
trình tuyến tính. 
5. Kết quả 
Chúng tôi tiến hành các tính toán đại số để tìm biểu thức cụ thể của các yếu tố ma 
trận (18), làm cơ sở cho việc xác định nghiệm số chính xác của bài toán. Kết quả thu được 
biểu thức của các yếu tố ma trận khác không như sau: 
4.1. Yếu tố ma trận của R 
1 1
2 2
1 1
2 2
, 1 2
,
, 1 1 2
, 1
1 1 ,
1 1 1 .
n n
n n
n n
n n
R n n
R n n

 
 (19) 
4.2. Yếu tố ma trận của H 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
78 
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
, 1 2
,
, 1 1 2
, 1
, 1 1 2 1 2 1 22
, 1
, 2 1 2 1 2 1 12
,
, 1 2 1 2 2 22
, 2
, 3 1
, 1
1 1,
8
1 1 ,
8
13 1 1 ,
2
1 3 3 1 2 ,
2
1 3 3 1 2 ,
2
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
R
n n
n n
H n n
H n n
H i n n n n
H i n n n n
H i n n n n
H


 

 

 


1 1
2 2
1
2 22
1
2
, 1 1 2 12
, 3 2
3 !1 1 ,
2 !
3 !1 1 .
2 !
R
n n
n n
n
i n
n
n
H i n
n


 
 
 (20) 
Các yếu tố ma trận trên khác không khác có thể xác định dựa vào tính chất của toán 
tử hermit: 
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
*
, , , ,
, , , ,
, ( ) .R R
n n n n n n n n
n n n n n n n n
R R H H
Các yếu tố ma trận H trong công thức (20) có chứa cả phần thực lẫn phần ảo. Điều 
này dự đoán năng lượng của exciton cũng có dạng phức / 2E i  , phù hợp với bản 
chất vật lí của hệ nguyên tử trong điện trường ngoài, trong đó thành phần ảo đặc trưng cho 
xác suất ion hóa xuyên ngầm  của nguyên tử (Pedersen et al., 2016), là một đại lượng có 
ý nghĩa trong việc xác định các tính chất vật lí của hệ. 
6. Kết quả: 
Như vậy trong công trình này, chúng tôi đã xây dựng được phương trình Schrödinger 
cho exciton hai chiều trong điện trường và áp dụng phương pháp toán tử FK để giải bài 
toán. Kết quả là thu được các yếu tố ma trận của Hamiltonian, là cơ sở để xác định nghiệm 
số chính xác cho exciton hai chiều trong điện trường. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Sư phạm Thành phố 
Hồ Chí Minh trong đề tài cơ sở mã số CS2016.19.13. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phạm Thị Mỹ Hảo và tgk 
79 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Choi, W., Choudhary, N., Han, G. H., Park, J., Akinwande, D., & Lee, Y. H. (2017). Recent 
development of two-dimensional transition metal dichalcogenides and their applications. 
Materials Today, 20(3), 116-130. https://doi.org/10.1016/j.mattod.2016.10.002 
Feranchuk, I. D., & Komarov, L. I. (1982). The operator method of the approximate solution of the 
Schrödinger equation. Physics Letters A, 88(5), 211-214. https://doi.org/10.1016/0375-
9601(82)90229-8 
Feranchuk, I. D., Ivanov, A., Le, V.-H., & Ulyanenkov, A. (2015). Nonperturbative description of 
quantum systems (Vol. 894; I. Feranchuk, A. Ivanov, V.-H. Le, & A. Ulyanenkov, Eds.). 
https://doi.org/10.1007/978-3-319-13006-4 
He, Z., Sheng, Y., Rong, Y., Lee, G. Do, Li, J., & Warner, J. H. (2015). Layer-dependent 
modulation of tungsten disulfide photoluminescence by lateral electric fields. ACS Nano, 
9(3), 2740–2748. https://doi.org/10.1021/nn506594a 
Huang, S., Liang, Y., & Yang, L. (2013). Exciton spectra in two-dimensional graphene derivatives. 
Physical Review B - Condensed Matter and Materials Physics, 88(7), 075441-075446. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.88.075441 
Miller, R. C., Kleinman, D. A., Tsang, W. T., & Gossard, A. C. (1981). Observation of the excited 
level of excitons in GaAs quantum wells. Physical Review B, 24(2), 1134-1136. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.24.1134 
Nguyễn, Phương Duy Anh, Hoàng, Đỗ Ngọc Trầm (2018). Yếu tố ma trận cho nguyên tử heli hai 
chiều. Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM, 15(9), 22-34 
Pedersen, T. G., Latini, S., Thygesen, K. S., Mera, H., & Nikolić, B. K. (2016). Exciton ionization 
in multilayer transition-metal dichalcogenides. New Journal of Physics, 18(7), 073043-11. 
https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/7/073043 
Ramasubramaniam, A., Naveh, D., & Towe, E. (2011). Tunable band gaps in bilayer transition-
metal dichalcogenides. Physical Review B, 84(20), 205325-10. 
Scharf, B., Frank, T., Gmitra, M., Fabian, J., Žutić, I., & Perebeinos, V. (2016). Excitonic Stark 
effect in MoS2 monolayers. Physical Review B, 94(24), 245434-8. 
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.94.245434 
Wu, S., Cheng, L., & Wang, Q. (2017). Excitonic effects and related properties in semiconductor 
nanostructures: Roles of size and dimensionality. Materials Research Express, 4(8), 08517–
13. https://doi.org/10.1088/2053-1591/aa81da 
Xiao, J., Zhao, M., Wang, Y., & Zhang, X. (2017). Excitons in atomically thin 2D semiconductors 
and their applications. Nanophotonics, 6(6), 1309–1328. https://doi.org/10.1515/nanoph-
2016-0160 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 72-80 
80 
 MATRIX ELEMENTS FOR TWO-DIMENSIONAL EXCITON 
IN AN ELECTRIC FIELD 
Pham Thi My Hao, Nguyen Thi Thuy Trang, Hoang Do Ngoc Tram* 
Ho Chi Minh City University of Education 
* Corresponding author: Hoang Do Ngoc Tram – Email: tramhdn@hcmue.edu.vn 
Received: 06/11/2019; Revised: 17/11/2019; Accepted: 16/5/2019 
ABSTRACT 
The FK operator method is applied to solve the Schrödinger equation for a two-dimensional 
exciton in a uniform electric field. The Levi-Civita transformation is used to construct the basic set 
of wave functions under the form of harmonic oscillator ones. That the matrix elements of 
Hamiltonian are obtained allows retrieving the exact numerical solution of the problem. 
Keywords: exciton, two-dimensional, Levi-Civita transformation, FK operator method, 
matrix element.