Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 63 
VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN 
),())(( txFuufu
x
u txtt 

  
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET THUẦN NHẤT 
Nguyễn Văn Ý* 
1. Mở đầu 
Trong bài này, chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình 
sóng phi tuyến 
( ( )) ( , ), 0 1, 0 ,tt x tu u f u u F x t x t Tx
 


 (1.1) 
 (0, ) (1, ) 0,u t u t (1.2) 
0 1( ,0) ( ), ( ,0) ( ),tu x u x u x u x   (1.3) 
trong đó 0,  là hai hằng số cho trước và 0 1, , ,f F u u  là các hàm cho trước 
thỏa các giả thiết nào đó mà ta sẽ đặt sau. 
Phương trình (1.1) viết lại dưới dạng 
( , ) ( , ), 0 1, 0 ,tt tu x t u F x t x t Tx
 


 (1.4) 
trong đó, 
( , ) ( ).xx t u f u  (1.5) 
Trường hợp ( , ) ( , )x xtx t u u   đã có rất nhiều công trình nghiên cứu. 
Khởi đầu với trường hợp ( ) ,x xtu u   0, 
2( ),C  (0) 0, 
0,  bài toán (1.2) – (1.4) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel 
[10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt 
phi tuyến, ( , )u x t là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện công 
trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán này, chẳng 
hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews 
[2], Clements [4]. 
*ThS, Trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 64 
Về mặt hình thức phương trình (1.1) có dạng 
 ( , , , , ),tt xx x tu u g x t u u u (1.6) 
trong đó ( , , , , ) ( , ) ( ) ,x t x tg x t u u u F x t f u u u  tuy nhiên về mặt ý nghĩa thì có 
những điểm khác biệt riêng. 
Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất 
nghiệm của phương trình 
 31 22 ,xx tt tu u u u u b  với 0 bé. (1.7) 
Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong các 
trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của 
nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục. 
Bài này gồm 2 phần. Trong phần 1, với các điều kiện 0, 0,  
1 2
0 0 ,u H H  
1
1 0 ,u H  2, (0, ; ),
FF L L
x
  

 (0, ) (1, ) 0, 0,F t F t t  và 
2 ( )f C  thỏa (0) 0,f chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm 
yếu u của bài toán (1.1) – (1.3). Trong phần 2, với các giả thiết thích hợp chúng 
tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm ( ) u u  theo tham số bé . 
2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 
Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng. Ta kí hiệu: 
( ),p pL L  ,2( ) ( ),m m mH H W   , , ( ),m p m pW W  
 (0,1), (0, ), 0.TQ T T  
Ta dùng kí hiệu ,  để chỉ tích vô hướng trong 2L hay cặp tích đối ngẫu 
của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm. 
Kí hiệu || || để chỉ chuẩn trong 2L và kí hiệu || ||X dùng để chỉ chuẩn trong một 
không gian Banach .X Gọi X là không gian đối ngẫu của .X Ta kí hiệu 
(0, ; )pL T X , 1 p là không gian Banach các hàm đo được : (0, ) ,u T X sao 
cho 
1
(0, ; )
0
( ) ,p
pT
p
L T X Xu u t dt
 nếu 1 ,p 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 65 
và 
(0, ; )
0
sup ( )
L T X X
t T
u ess u t 
 nếu .p 
Ta kí hiệu ( ),u t ( ) ( ),tu t u t  ( ) ( ),ttu t u t  ( ) ( ),xu t u t  ( ) ( )xxu t u t để lần 
lượt chỉ ( , ),u x t ( , ),u x t
t


2 2
2 2( , ), ( , ), ( , ).
u u ux t x t x t
t x x
  
  
Bây giờ ta đặt 
1
0
( , ) ( ) ( )x xa u v u x v x dx . (2.1) 
Khi đó trên 10H hai chuẩn 1Hv và 10( , )x Hv a v v v  là tương đương. 
Chúng ta có các bổ đề sau: 
Bổ đề 2.1. Phép nhúng 1H 0( )C  là compact và 
 0 1 1( ) 2 , .C Hv v v H  (2.2) 
Bổ đề 2.2. Phép nhúng 10H  0( )C  là compact và 10 ,v H ta có 
0
1 1
( )
,
1 .
2
xC
xH H
v v
v v v

 (2.3) 
Bổ đề 2.3. Dạng song tuyến tính ( , )a   được định nghĩa trong (2.1) là liên 
tục trên 1 10 0H H và cưỡng bức trên 10H . 
Việc chứng minh các bổ đề 2.1 và 2.2 không có gì khó khăn, ta có thể bỏ 
qua. 
Ta thành lập các giả thiết sau đây: 
 0, 0,  1( )H 
 1 2 10 0 1 0, ,u H H u H    2( )H 
 2, 0, ;FF L Lx
  

 thỏa (0, ) (1, ) 0, 0F t F t t  , 3( )H 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 66 
 2 ( )f C  và (0) 0.f 4( )H 
Bài toán (1.1) – (1.3) được viết lại 

0 1
( , , , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (1, ) 0,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ),
xu u u f x t u u x t T
u t u t
u x u x u x u x
 
 
  
 (2.4) 
trong đó 
 ( , , , ) ( , ) ( ) .x xf x t u u F x t f u u  (2.5) 
Với 0, 0,M T ta đặt: 
 ( )( , ) sup ( ) : 2 ( 1, 2),ii iK K M f f u u M i (2.6) 
 
1 2 1 2
0 0
1 2 1 2
0 0
(0, ; ) (0, ; ) ( )
2
1
( , ) { (0, ; ) : (0, ; ), ( ),
, , },
( , ) ( , ) : (0, ; ) .
T
T
L T H H L T H L Q
W M T v L T H H v L T H v L Q
v v v M
W M T v W M T v L T L

  
 
 

 (2.7) 
Ta liên kết bài toán (2.4) với một dãy qui nạp tuyến tính xác định như sau: 
Trước hết chọn số hạng đầu 0 1( , ).u W M T Giả sử rằng 
 1 1( , ).mu W M T (2.8) 
Ta tìm 1( , )mu W M T thỏa bài toán biến phân tuyến tính 
 10( ), ( ( ), ) ( ), ( ), ,m m m mu t v a u t v u t v F t v v H         (2.9) 
 0 1(0) , (0) , m mu u u u    (2.10) 
trong đó 
  1 1 1 1( ) ( , , ( ), ( )) ( , ) ( ( )) ( ).m m m m mF t f x t u t u t F x t f u t u t   (2.11) 
Sự tồn tại của mu được cho bởi định lí sau 
Định lí 2.4. Giả sử 1 4( ) ( )H H là đúng. Khi đó, tồn tại các hằng số dương 
,M T và một dãy qui nạp tuyến tính 1{ } ( , )mu W M T xác định bởi (2.9) – (2.11). 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 67 
Chứng minh. Việc chứng minh định lí bao gồm nhiều bước. 
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin (xem trong Lions [8]) 
Xét một cơ sở { }jw của 10,H 2 sin( ), 1, 2,...jw j x j được lập từ các hàm 
riêng của toán tử Laplace 
2
2 :x


 2 1 20, , , 1, 2,..., j j j j jw w j w H H j   (2.12) 
Đặt 
 ( ) ( )
1
( ) ( ) ,
k
k k
m mj j
j
u t c t w
  (2.13) 
trong đó ( ) ( )kmjc t thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: 
 ( ) ( ) ( )( ), ( ( ), ) ( ), ( ), , 1 ,k k km j m j m j m ju t w a u t w u t w F t w j k        (2.14) 
 ( ) ( )0 1(0) , (0) ,
k k
m k m ku u u u    (2.15) 
trong đó 
 ( )0 0
1
k
k
k mj j
j
u w u 
   mạnh trong 1 20 ,H H (2.16) 
 ( )1 1
1
k
k
k mj j
j
u w u
   mạnh trong 10.H (2.17) 
Từ giả thiết 1 1( , ) mu W M T ta suy ra hệ phương trình (2.14), (2.15) có duy 
nhất nghiệm ( ) ( )kmu t trong khoảng 0 . t T 
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm. 
Bổ đề 2.5. Với các giả thiết 1 4( ) ( )H H là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số 
dương M và T độc lập với ,k m sao cho 
 ( ) 2( ) , 0 , kmS t M t T (2.18) 
trong đó 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 68 
2( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ( ), ( )) 2 ( ) ,
( ) ( ( ), ( )) ( ) 2 ( ) .
t
k k k k
m m m m
t
k k k k k
m m m m m
t
k k k k k
m m m m m
S t X t Y t u s ds
X t u t a u t u t u s ds
Y t a u t u t u t u s ds


 

 
  
 (2.19) 
Chứng minh. Bổ đề 2.5 được chứng minh qua nhiều bước với đánh giá tiên 
nghiệm khá dài dòng. 
Các hằng số dương M và T trên đây được chọn như sau: 
Đầu tiên ta chọn 0M , độc lập với ,k m sao cho 
2
2 2( )
1 0 0 1 1 0(0) ( , ) ( , ) 2
k
m k k k k k k
MS u a u u a u u u       (2.20) 
với mọi , .k m Sau đó chọn 0T đủ nhỏ sao cho 
2
2 2
1( , ) exp( (8 3 ) ),2
M D M T M T (2.21) 
trong đó 
 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2(0, ; ) (0, ; )
20 20( , ) ( 2 ) .
3 3L T L L T L
D M T T F T F M T K K MK 
  
 (2.22) 
Vậy ta có 
 ( ) ( , ) , .kmu W M T m k  (2.23) 
Từ (2.23) ta có thể trích ra từ dãy ( ){ }kmu một dãy con 
( ){ }ikmu sao cho: 
 ( )ikm mu u trong 1 20(0, ; )L T H H  yếu*, (2.24) 
 ( )ikm mu u   trong 10(0, ; )L T H yếu*, (2.25) 
 ( )ikm mu u   trong 2 ( )TL Q yếu, (2.26) 
 ( , ).mu W M T (2.27) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 69 
Qua giới hạn trong (2.14), (2.15) bởi (2.23) – (2.27), ta có mu thỏa (2.9), 
(2.10) trong 2 (0, )L T yếu. 
Mặt khác, ta suy ra từ (2.9) rằng 
 21 1( , , , ) (0, ; ).m m m m mu u u f x t u u L T L    (2.28) 
Do đó 1( , ).mu W M T Vậy định lí 2.4 được chứng minh xong  
Chú ý rằng 
 1 21 0( ) (0, ; ) : (0, ; ) .W T v L T H v L T L  (2.29) 
là một không gian Banach đối với chuẩn: 
 2 2
1 ( ) (0, ; ) (0, ; )
.xW T L T L L T Lv v v  (2.30) 
Định lí 2.6. Giả sử 1 4( ) ( )H H là đúng. Khi đó tồn tại các hằng số 
0, 0M T sao cho bài toán (2.4) có duy nhất nghiệm yếu 1( , ).u W M T 
Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính mu được xác định bởi (2.9) – (2.11) hội 
tụ mạnh về u trong không gian 1( ).W T 
Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số 
1 ( )
,mm TW Tu u Ck m  (2.31) 
trong đó 1 22 ( 2) 1,Tk K MK T và C là một hằng số chỉ phụ thuộc vào 
0 1, , T u u và .Tk 
Chứng minh. 
a) Sự tồn tại nghiệm. Ta sẽ chứng minh { }mu là một dãy Cauchy trong 
1( ).W T 
Đặt 1m m mv u u . Khi đó mv thỏa bài toán biến phân sau: 
1
1 0, ( , ) , ( ) ( ), ,
(0) (0) 0.
m m m m m
m m
v v a v v v v F t F t v v H
v v
        


 (2.32) 
Ta lấy mv v  trong (2.32)1 rồi sau đó tích phân theo t, ta được 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 70 
1 1
1( ) ( )m T mW T W Tv k v với mọi .m (2.33) 
Do đó 
11
1 0 ( )( )
, .
1
m
T
m p m W TW T
T
ku u u u m p
k 
 
 (2.34) 
Từ (2.34) ta suy ra { }mu là dãy Cauchy trong 1( ).W T Do đó tồn tại 1( )u W T 
sao cho 
 mu u mạnh trong 1( ).W T (2.35) 
Ta chú ý rằng 1( , )mu W M T , khi đó có thể lấy từ { }mu một dãy con { }jmu 
sao cho 
jm
u u trong 1 20(0, ; )L T H H  yếu*, (2.36) 
jm
u u   trong 10(0, ; )L T H
 yếu*, (2.37) 
jm
u u   trong 2 ( )TL Q yếu, (2.38) 
(2.39) ( , ).u W M T 
Ta chú ý rằng 
2
1
1 2 1(0, ; ) ( )
( , , , ) ( 2) .
j jm x mL T L W T
F f x t u u K MK u u
  (2.40) 
Từ (2.35) và (2.40) ta thu được 
 ( ) ( , , , )
jm x
F t f x t u u  mạnh trong 2(0, ; )L T L . (2.41) 
Khi đó qua giới hạn trong (2.9), (2.10), (2.11) khi ,jm m ta thu được 
từ (2.36) – (2.38) và (2.41) rằng 
 10( ), ( ( ), ) ( ), ( , , , ),xu t v a u t v u t v f x t u u v v H         , (2.42) 
và các điều kiện đầu 
 0 1(0) , (0) . u u u u    (2.43) 
Mặt khác, từ (2.39) và (2.42) ta có 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 71 
 2( , , , ) (0, ; ).xx xu u u f x t u u L T L   (2.44) 
Vậy ta thu được 
 1( , ).u W M T (2.45) 
Sự tồn tại nghiệm được chứng minh hoàn tất.  
b) Sự duy nhất nghiệm. Giả sử 1 2,u u là hai nghiệm yếu của bài toán (2.4) 
sao cho 
 1( , ), 1,2.iu W M T i (2.46) 
Khi đó 1 2( ) ( ) ( )u t u t u t thỏa bài toán biến phân sau: 
 11 2 0( ), ( ( ), ) ( ), ( ) ( ),u t v a u t v u t v F t F t v v H          , , (2.47) 
và các điều kiện đầu 
 (0) (0) 0,u u  (2.48) 
trong đó 
 ( ) ( , , , )( 1,2).i i ixF t f x t u u i  (2.49) 
Lấy v u  trong (2.47) rồi tích phân theo t, ta được 
 2 1 2
0
( ) ( ) ( ( ), ( )) ( 2) ( ) , [0, ].
t
t u t a u t u t K MK s ds t T     (2.50) 
Áp dụng bổ đề Gronwall ta thu được 2 2( ) ( ) 0,xu t u t  có nghĩa 1 2 .u u 
Vậy định lí 2.6 được chứng minh hoàn tất. 
3. Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé . 
3.1. Dáng điệu của nghiệm khi . 0 
Ta xét bài toán nhiễu ( )Q dưới đây theo một tham số bé , *,0   với 
* 0 là một số cố định 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 72 
 ( ) ( , ), , ,
( , ) ( , ) ,
( , ) ( ), ( , ) ( ).0 1
0 1 0
0 1 0
0 0
tt x t
t
u u f u u F x t x t T
x
u t u t
u x u x u x u x
 
  
 
 ( )Q 
với , , , 0 1u u F f  thỏa các giả thiết 2 4( ) ( ).H H Khi đó theo định lí 2.6, bài toán 
( )Q có duy nhất nghiệm yếu phụ thuộc vào , kí hiệu là .u Ta có thể chứng 
minh rằng giới hạn 0u trong các không gian hàm thích hợp của họ u khi 
,0 là nghiệm yếu duy nhất của bài toán 0( )Q tương ứng với 0 thỏa 
0 1( , ).u W M T 
Hơn nữa, ta có định lí sau. 
Định lí 3.1. Giả sử các giả thiết 2 4( ) ( )H H là đúng. Khi đó tồn tại các 
hằng số 0,M 0T sao cho, với mọi , với *,0   bài toán ( )Q có duy 
nhất nghiệm yếu 1( , )u W M T thỏa mãn 
i) Bài toán 0( )Q tương ứng với 0 có duy nhất nghiệm yếu 0 1( , ).u W M T 
ii) Nghiệm yếu u của bài toán ( )Q hội tụ mạnh về 0u trong không gian 
( )1W T khi .0 
Hơn nữa, ta có đánh giá 
1
0 1( )
,
W T
u u C   (3.1) 
trong đó 1C là hằng số chỉ phụ thuộc vào *, , .M T  
3.2. Khai triển tiệm cận theo tham số  đến cấp 1.N 
Ta định nghĩa một số kí hiệu sau: 
Với mỗi đa chỉ số 1( ,..., ) NN  và 1( ,..., ) ,NNx x x  ta đặt 
 11 1 1... , ! !... !, ... . NN N Nx x x
 (3.2.) 
Trước hết ta sử dụng bổ đề sau 
Bổ đề 3.2. Cho 1, , ( ,..., ) , . NNm N x x x     Khi đó 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 73 
 [ ]
1
( ) ,
mN mN
i m k
i k
i k m
x P x 
  (3.3) 
trong đó hệ số [ ]( ), mkP x m k mN phụ thuộc vào 1( ,..., )Nx x x được xác định 
bởi công thức 
( )
[ ]
( )
1
!( ) , ,
!
: , .
m
k
m
k
A
N
m N
k i
i
mP x x m k mN
A m i k
    


 (3.4) 
Việc chứng minh bổ đề 3.2 được nghiệm lại từ các phép tính đại số thông 
thường nên chúng tôi bỏ qua chi tiết. 
Bây giờ, chúng tôi giả thiết thêm 
 2 ( ).Nf C  ( )H5 
Ta cũng xét các hàm , 1,2,...,iu i N trong đó 1( , ),iu W M T (với 0,M 
0T được chọn thích hợp), là nghiệm của bài toán sau: 
, 0 1, 0 ,
(0, ) (1, ) 0,
( ,0) ( ,0) 0, 1,..., ,
i i i
i i
i i
u u F x t T
u t u t
u x u x i N


 ( )iQ 
trong đó 
( ) [ ]
1 0
1
1
1 ( ) ( ) , 1,..., ,
!
( ,..., ).
i
m m
i i i
m
N
F u f u P u i N
x m
u u u
 
  
  
  
 (3.5) 
Giả sử 1( , )u W M T là nghiệm yếu của bài toán ( ).Q Khi đó 
0
N
i
i
i
v u u u h 
  (3.6) 
thỏa bài toán 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 74 
 ( ) ( ) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (1, ) 0,
( ,0) ( ,0) 0,
v v v f v h f h E x t x t T
x
v t v t
v x v x
 
 
 

 (3.7) 
trong đó 
 0
1
( , ) ( ) ( ) .
N
i
i
i
E x t h f h f u F
x
  

 
  (3.8) 
Khi đó ta thu được đánh giá sau. 
Bổ đề 3.3. Giả sử 1,N và ( ) ( ),2 3H H ( )H5 là đúng. Khi đó 
 2 1 *(0, ; ) , (0, ). 
N
NL T LE C    
   (3.9) 
Chứng minh. Việc chứng minh bổ đề 3.3 được trình bày chi tiết trong [14]. 
Ta cũng có kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán ( )Q 
theo  đến cấp 1N như sau: 
Định lí 3.4. Giả sử các giả thiết 2 3( ) ( ),H H ( )H5 là đúng. Khi đó tồn tại 
các hằng số 0, 0M T sao cho, *[0, ],  bài toán ( )Q có duy nhất nghiệm 
yếu ( , )1u W M T và thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 theo  như sau 
1
1
( )
0
|| ||
N
i N
i W T T
i
u u K  
   .  (3.10) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 75 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. G. Andrews (1980), On the existence of solutions to the equation 
( ) ,tt xxt x xu u u J. Differential Equations 35, 200 – 231. 
[2]. H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie Applications, Masson 
Paris. 
[3]. J. Clements (1975), On the existence and uniqueness of solutions of the 
equation ( ) ,
itt i x N t
i
u u u f
x



 Canad. Math. Bull. 18, 181 – 187. 
[4]. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy, V. J. Mizel (1968), On the existence, 
uniqueness and stability of solutions of the equation 
0( ) ,x xx xtx ttu u u u  J. Math. Mech. 17, 707 – 728. 
[5]. J. M. Greenberg (1969), On the existence, uniqueness and stability of 
solutions of the equation 0 ( ) ,tt x xx xtxX E X X X  J. Math. Anal. 
Appl. 25, 575 – 591. 
[6]. J. M. Greenberg, R.C. MacCamy (1970), On the exponential stability 
of solutions of ( ) ,x xx xtx ttE u u u u J. Math. Anal. Appl. 31, 406 – 
417. 
[7]. J.L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux 
limites non-linéaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris. 
[8]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the 
quasilinear wave equation ( , ) 0ttu u f u u associated with a mixed 
nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (7), 613 – 623. 
[9]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm 
(2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated 
with the Kirchhoff – Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267 (1), 
116 – 134. 
[10]. Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc 
(2005), On the nonlinear wave equation with the mixed 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 76 
nonhomogeneous condition: Linear approximation and asymptotic 
expansion of solution, Demonstratio Math. 38 (2), 365 – 386. 
[11]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear 
boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J. 
Math. 37 (2 – 3), 141 – 178. 
[12]. Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn 
Thành Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed 
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic 
expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & 
Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819. 
[13]. Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Alain Phạm Ngọc Định, 
Nguyễn Thành Long, The regularity and exponential decay of solution 
for a linear wave equation associated with two-point boundary 
conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications (to 
appear) 
[14]. Nguyễn Văn Ý (2008), Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu: Xấp xỉ 
tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, Luận văn Thạc sĩ, Đại 
học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, 59 trang. 
Tóm tắt 
Trong bài này, chúng tôi xét bài toán biên và ban đầu cho phương trình 
sóng phi tuyến 
(1) 
0 1
( ( )) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (1, ) 0,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ),
tt x t
t
u u f u u F x t x t T
x
u t u t
u x u x u x u x
 
  
 
trong đó 0,  là hai hằng số cho trước và 0 1, , ,f F u u  là các hàm cho trước. 
Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán, và thu 
được khai triển tiệm cận của nghiệm ( ) u u  theo tham số bé . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Nguyễn Văn Ý 
 77 
Abstract 
On a nonlinear wave equation ),())(( txFuufu
x
u txtt 

  
associated with the pure dirichlet non-homogeneous conditions 
In this paper, we consider the initial and boundary problem for the 
nonlinear wave equation 
(1) 
0 1
( ( )) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (1, ) 0,
( ,0) ( ), ( ,0) ( ),
tt x t
t
u u f u u F x t x t T
x
u t u t
u x u x u x u x
 
  
 
where 0,  are two given constants and 0 1, , ,f F u u  are given functions. 
We prove the existence and uniqueness of weak solution to the problem, and 
obtain an asymptotic expansion of the solution ( ) u u  in accordance with the 
small parameter .