Về một phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết 
 53 
VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN 
LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN 
CHỨA TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH 
Trương Thị Nhạn*, Trần Minh Thuyết† 
1. Giới thiệu 
Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp các hàm ( , )u P 
thỏa 
( ) 2
0 1
( , ) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (0, ) ( ), (1, ) 0,
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
p
tt x t tx
x
t
u x t u u u F x t x t T
t u t P t u t
u x u x u x u x
m l
m
-
¶
¶
ìïï - + = < < < <ïïï = =íïï = =ïïïî
% %
 (1) 
trong đó 2, 0p l³ ³ là các hằng số cho trước; ,m 0,u% 1,u% F là các hàm cho 
trước thoả các điều kiện sẽ đặt ra sau. Hàm chưa biết ( , )u x t và giá trị biên ( )P t 
thoả một phương trình tích phân tuyến tính sau đây: 
 0 0
0
( ) ( ) (0, ) (0, ) ( ) (0, ) ,
t
tP t g t k u t u t k t s u s dsl= + + - -ò (2) 
trong đó 0 0, k l là các hằng số cho trước và , g k là các hàm cho trước. Bài toán 
(1) được quan tâm và khảo sát bởi nhiều tác giả (xem [1], [5] – [16]) và các tài 
liệu tham khảo trong đó. 
Một bài toán khác cùng loại bài toán này được thành lập từ bài toán (1), 
trong đó, 0 0,l = 0 0, ( , ) 1,k x tm³ º hàm chưa biết ( , )u x t và giá trị biên chưa biết 
( )P t thoả bài toán Cauchy sau đây cho phương trình vi phân thuờng 
2
0 1
( ) ( ) (0, ), 0 ,
(0) , (0) ,
ttP t P t hu t t T
P P P P
ìï ¢¢ + w = < <ïïí ¢ï = =ïïî
 (3) 
trong đó, 0 0 10, 0, , k P P³ w> là các hằng số cho trước. 
* ThS, Khoa Khoa học Tự nhiên - Học viện Hải quân; 
† TS, Đại học Kinh tế Tp.HCM. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 54 
Các tác giả Long và Alain Phạm [5, 6], Long và Thuyết [9] đã xét bài toán 
(1) với điều kiện biên tại 0x = có dạng 
0
(0, ) ( ) ( (0, )) ( ) (0, ) ,
t
xu t g t H u t k t s u s ds= + - -ò (4) 
trong đó , , g H k là các hàm cho trước. 
Long, Định, Diễm [10] nghiên cứu sự tồn tại, tính trơn và khai triển tiệm 
cận nghiệm của bài toán (1) trong trường hợp ( , ) 1,x tm º (0, )xu t ( ),P t= 
1( ) (1, )Q t K u t= (1, ),tu t+ l trong đó ( )P t xác định ở (3) cùng với (1, )ttu t thay thế 
bởi (0, ).ttu t 
Báo báo này gồm ba phần chính. Trong phần 1, trước hết chúng tôi liên kết 
bài toán (1), (2) với một dãy quy nạp tuyến tính bị chặn trong không gian hàm 
thích hợp. Từ đó, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được thiết lập nhờ phương pháp 
Galerkin, phương pháp compact và bổ đề Gronwall. Phần 2 nghiên cứu dáng điệu 
tiệm cận của nghiệm yếu ( , )u Pl l của bài toán (1), (2) khi 0 .l +® Trong phần 3, 
chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (1), (2) 
đến cấp 1N + theo một tham số bé .l 
2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 
Đặt (0,1),W= để ngắn gọn chúng tôi không nhắc lại định nghĩa các không 
gian hàm thông dụng ( ),mC W ( ),pL W ( )mH W và lần lượt kí hiệu các không gian 
trên là ,mC ,pL mH (có thể xem trong [2]). Kí hiệu | | | |X× dùng để chỉ chuẩn trên 
không gian Banach .X 
Trên 2L tích vô hướng thông thường và chuẩn sinh bởi nó lần lượt là: 
1
0
, ( ) ( ) ,v w v x w x dxá ñ= ò 
1
1 2
2
0
| | | | , ( ) .v v v v x dx
æ ö÷ç ÷ç ÷= á ñ = ç ÷ç ÷ç ÷è ø
ò 
Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trên 1H lần lượt là: 
 , ', ' ,v w v wá ñ+ á ñ 1| | | | , ', 'Hv v v v v= á ñ+ á ñ
2 2| | | | | | ' | | .v v= + 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết 
 55 
Đặt 1{ : (1) 0}.V v H v= Î = 
Trước tiên ta có bổ đề sau: 
Bổ đề 2.1. Phép nhúng V 0( )C W là compact và 
 0( )) | | | | | | ' | | , ,Ci v v v VW £ " Î (5) 
 1) | | | | | | ' | | , .
2
ii v v v V£ " Î (6) 
Việc chứng minh bổ đề này là đơn giản, vì vậy chúng tôi bỏ qua. 
Các kí hiệu ( ),u t ( )u t¢ ( )tu t= ( ),u t= & ( )u t¢¢ ( )ttu t= ( ),u t= & ( )xu t ( ),u t= Ñ ( )xxu t 
( )u t= D được sử dụng để lần lượt chỉ ( , ),u x t ( , ),u x t
t
¶
¶
2
2
( , ),u x t
t
¶
¶
 ( , ),u x t
x
¶
¶
2
2
( , ).u x t
x
¶
¶
Ta chú ý rằng { 21( ) (0, ; ) : (0, ; )}tW T v L T V v L T L¥ ¥= Î Î là một không gian 
Banach đối với chuẩn 2
1( ) (0, ; ) (0, ; )
| | | | | | | | | | | | .W T tL T V L T Lv v v¥ ¥= + 
Đặt 
 ( ) { (0, ; ) : (0, ; ),tW T v L T V v L T V
¥ ¥= Î Î% 2(0, ; )}.ttv L T L
¥Î 
Khi đó nghiệm yếu của bài toán (1), (2) là cặp hàm 1( , ) ( ) (0, )u P W T H TÎ ´% 
thoả mãn bài toán biến phân sau: 
2
0 0
0
0 1
, ( ) , ( ) (0) | | , ( ), , ,
( ) ( ) (0, ) (0, ) ( ) (0, ) ,
( , 0) , ( , 0) .
p
tt t t
t
t
t
u v t u v P t v u u v F t v v V
P t g t k u t u t k t s u s ds
u x u u x u
m l
l
-ìï á ñ+ á Ñ Ñ ñ+ + á ñ= á ñ " Îïïïïïï = + + - -íïïïï = =ïïïî
ò
% %
 (7) 
Ta thành lập các giả thiết: 
(A1) ( ) ( )2 10 1, (0,1) (0,1),u u V H HÎ Ç ´ 
(A2) 2, ( ), t TF F L QÎ TQ = (0,1) (0, ), 0,T T´ " > 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 56 
(A3) ( )1 0[0,1] , ( , ) 0,C x tm m m+Î ´ ³ >¡ ( , ) [0,1] ,x t +" Î ´ ¡ ( )1 0, ; ,tt L T Lm ¥Î 
0,T" > 
(A4) 1, g (0, ), 0,k H T TÎ " > 
(A5) 0 0p 2, 0, 0, 0.kl l³ > > ³ 
Cho trước * 0.T > Với mọi 0M > và *(0, ],T TÎ ta đặt 
2
1
(0, ; ) (0, ; ) (0, ; )
2
1
1
(0, )
( , ) { ( ) :| | | | , || | | , | | | | },
( , ) { ( , ) : (0, ; )},
( , ) { (0, ) :| | | | }.
t t tL T V L T V L T L
tt
H T
W M T v W T v M v M v M
W M T v W M T v L T L
M T P H T P M
¥ ¥ ¥
¥
ìï = Î £ £ £ïïïï = Î Îíïïï = Î £ïïî
%
P
 (8) 
Ta xây dựng dãy quy nạp tuyến tính ( ) ( ){( , )}n nu P trong ( , ) ( , )W M T M T´ P 
sao cho dãy này hội tụ mạnh trong không gian hàm thích hợp về nghiệm yếu của 
bài toán (1), (2) với sự lựa chọn 0M > và 0T > thích hợp. 
Trước hết, chọn bước lặp ban đầu 
 (0) (0)0, .u P g= = (9) 
Giả sử rằng 
 ( 1) ( 1) 1( , ) ( , ) ( , ).
n nu P W M T M T- - Î ´ P (10) 
Ta tìm ( ) ( ) 1( , ) ( , ) ( , )
n nu P W M T M TÎ ´ P là nghiệm của bài toán: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
, ( ) , ( ) (0) ( ), , ,
(0) , (0) ,
n n n n
n n
u v t u v P t v f t v v V
u u u u
mìï á ñ+ á Ñ Ñ ñ+ = á ñ " Îïïíï = =ïïî
&
&% %
 (11) 
trong đó 
 ( ) ( ) ( )0 0( ) ( ) (0, ) (0, )
n n nP t g t k u t u tl= + + & ( )
0
( ) (0, ) ,
t
nk t s u s ds- -ò (12) 
 2( ) ( 1) ( 1)( ) ( ) .
pn n nf t F t u ul
-- -= - & & (13) 
Khi đó ta có định lí sau: 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết 
 57 
Định lí 2.1. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương ,M 
T sao cho tồn tại dãy ( ) ( ) 1( , ) ( , ) ( , )
n nu P W M T M TÎ ´ P xác định bởi (11) – (13). 
Chứng minh chi tiết của định lí có thể tìm thấy trong [16]. 
Tiếp theo, chúng tôi chứng minh được ( ) ( ){( , )}n nu P xác định bởi (11) – (13) 
hội tụ mạnh về ( , )u P trong không gian hàm thích hợp và sau đó kiểm chứng 
được rằng ( , )u P là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (1), (2). Kết quả cho bởi 
định lí sau: 
Định lí 2.2. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương ,M 
T sao cho bài toán (7) có duy nhất nghiệm ( , )u P thỏa mãn 
2
1
2 1
(0, ; ) ( , ),
(0, ) (0, ), (0, ).
u L T V H W M T
u H T P H T
¥ìï Î Ç Çïïíï × Î Îïïî
 (14) 
Hơn nữa, dãy quy nạp ( ) ( ){( , )}n nu P được xác định như trong định lí 2.1 hội 
tụ mạnh về ( , )u P trong không gian 21( ) (0, ),W T L T´ trong đó 
{ 21( ) (0, ; ) : (0, ; )}.tW T v L T V v L T L¥ ¥= Î Î 
Mặt khác ta cũng có đánh giá sau: 
 2
1
( ) ( )
( ) (0, )
| | | | | | | | , 1,n n nW T TL Tu u P P Ck n- + - £ " ³ (15) 
ở đây 0 1Tk là hằng số chỉ phụ thuộc ,T ,ou 1,u ,m 0l và .Tk 
Chứng minh chi tiết có thể xem trong [16]. 
3. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 0l +® 
Trong phần này, giả sử rằng giả thiết (A1) – (A5) đúng, chúng tôi thu được 
0 0( , )u P là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (1.1), (1.2) ứng với 0.l = Theo định 
lí 2.2, bài toán biến phân (7) tương ứng với mỗi 0l > , có nghiệm duy nhất 
( , ).u Pl l 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 58 
Lấy bất kì dãy { }ml sao cho 0ml +® khi m ® ¥ , ta chứng minh được 
{( , )}
m m
u Pl l là dãy Cauchy trong không gian hàm thích hợp, từ đó thu được đánh 
giá tiệm cận của nghiệm ( , )u Pl l khi 0 ,l +® kết quả cho bởi định lí sau: 
Định lí 3.1. Giả sử (A1) – (A5) đúng. Khi đó tồn tại các hằng số dương ,M 
T sao cho 
i) Bài toán (1), (2) tương ứng với 0l = có duy nhất nghiệm yếu 0 0( , )u P 
thỏa mãn 
2
0 1
2 1
0 0
(0, ; ) ( , ),
(0, ) (0, ), (0, ).
u L T V H W M T
u H T P H T
¥ìï Î Ç Çïïíï × Î Îïïî
 (16) 
ii) Hơn nữa, chúng ta có đánh giá tiệm cận: 
 2 2
1
*
0 ( ) 0 (0, ) (0, )
| | || | | (0, ) (0, ) || | | | | , W T L T L Tu u u u P P Cl l l l¢ ¢- + × - × + - £ (17) 
với 0l > đủ nhỏ, trong đó * 0C > là hằng số chỉ phụ thuộc ,T ,ou 1,u 0, , k km 
và 0l . 
4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé l 
Phần này, ta giả sử 0 1( , , , , , )u u F g km thỏa các giả thiết (A1) – (A5). Từ định lí 
2.2, bài toán (1), (2) có duy nhất nghiệm yếu ( , )u P phụ thuộc vào l : 
 , .u u P Pl l= = 
Bây giờ, ta bổ sung thêm giả thiết: 
(A6) 1, 2.P N N³ + ³ 
Trước hết, ta cần có bổ đề sau 
Bổ đề 4.1. Cho , ,m N Î ¥ và 1, , ..., .Nu ul Î ¡ Khi đó 
 ( )
1
[ ] ,
mN mN
i m i
i i
i i m
u T ul l
= =
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷è øå å (18) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết 
 59 
trong đó các hệ số ( )[ ],miT u m i mN£ £ phụ thuộc 1( , ..., ),Nu u u= được xác 
định bởi công thức truy hồi 
{ }
( )
(1)
( ) ( 1)
( )
[ ] , 1 ,
[ ] [ ], , 2,
: , 1 , 1 ( 1) .
m
i
i i
m m
i i j j
j A
m
i
T u u i N
T u u T u m i mN m
A j j i i j N m j m N
-
-
Î
+
ìïïï = £ £ïïïïïï = £ £ ³íïïïïïïï = Î £ £ - £ - £ £ -ïïî
å
¢
(19) 
Việc chứng minh bổ đề 4.1 là đơn giản, chúng tôi bỏ qua chi tiết. 
Xét bài toán nhiễu dưới đây theo tham số bé l thỏa *0 ,l l£ £ ( *l là hằng 
số cố định). 
( ) 2
0 1
0 0
0
( , ) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (0, ) ( ), (1, ) 0,
( ) ( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
( ) ( ) (0, ) (0, ) ( ) (0, ) ,
p
tt x t tx
x
t
t
t
u x t u u u F x t x t T
t u t P t u t
Q u x u x u x u x
P t g t k u t u t k t s u s ds
l
m l
m
l
-
¶
¶
ìïï - + = < < < <ïïï = =ïïïí = =ïïïïï = + + - -ïïïî
ò
% % 
Gọi 0 0( , )u P là nghiệm yếu duy nhất của bài toán ( )Ql (như trong định lí 
3.1) ứng với 0,l = tức là 
( )0 0
0 0 0
0
0 0 0 1
0 0 1
( , ) ( , ), 0 1, 0 ,
(0, ) (0, ) ( ) ( ), (1, ) 0,( )
( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
( , ) ( , ) ( , ),
xx
x
u x t u F x t x t T
t u t P t g t u tQ
u x u x u x u x
u P W M T M T
m
m
¶
¶
ìï ¢¢- = < < < <ïïïï = = =ïíï ¢= =ïïï Î ´ïïî
%
% %
P
Xét dãy hữu hạn các nghiệm yếu ( , ), 1, ...,i iu P i N= được xác định bởi các 
bài toán sau 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 60 
( )
0 0
0
1
( , ) , 0 1, 0 ,
(0, ) (0, ) ( ), (1, ) 0,
( ) ( , 0) ( , 0) 0,
( ) (0, ) (0, ) ( ) (0, ) ,
( , ) ( , ) ( , ),
i ix ix
ix i i
i i i
t
i i i i
i i
u x t u F x t T
t u t P t u t
Q u x u x
P t k u t u t k t s u s ds
u P W M T M T
m
m
l
¶
¶
ìï ¢- = < < < <ïïïïïïï = =ïïïï ¢= =íïïïï ¢ï = + - -ïïïïï Î ´ïïî
ò
%
P
trong đó , 0,1, ...,iF i N= được xác định bởi công thức truy hồi sau 
0
1
( ) ( )
0
1
, 0,
( ), 1,
1 ( ) [ ], 2, ..., ,
!
i
i
m m
i
m
F i
F H u i
H u T u i N
m
-
=
ìï =ïïïïïï= ¢í - =ïïïï ¢ ¢- =ïïïî
å
 (20) 
ở đây, ta ký hiệu ( )mH là đạo hàm cấp m của hàm số ,H với 2( ) | | ,pH z z z-= 
( )[ ]miT u¢ biểu thức phụ thuộc vào 1( , ..., ),Nu u u¢ ¢ ¢= như trong công thức (18). 
Khi đó ta có kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu cho bởi định lí 
sau: 
Định lí 4.1. Giả sử 1 6( ) ( )A A- thỏa. Khi đó, mỗi *[0, ],l lÎ bài toán ( )Ql 
có duy nhất nghiệm yếu ( , ) ( , )u P u Pl l= thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp 
1N + như sau 
2
1( ) (0, )
0 0
|| | | | | (0, ) (0, ) | |
N N
i i
i W T i L T
i i
u u u ul l
= =
¢ ¢- + × - ×å å 
2
1
(0, )
0
| | | | ,
N
i N
i NL T
i
P P Cl l +
=
+ - £å (21) 
với NC là hằng số dương độc lập với ,l cặp hàm ( , )i iu P là nghiệm yếu của bài 
toán ( ),iQ% 0, ..., .i N= 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trương Thị Nhạn, Trần Minh Thuyết 
 61 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều (1991), Schok between absolutely 
solid body and elastic bar with the elastic viscous fristional resistance 
at the side, J. Mech NCSR. Việt Nam, 13 (2), 1 – 7. 
[2]. H. Brézis (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Paris. 
[3]. S. Lang (1969), Analysic II, Addison-Wesley, Reading, Mass, 
California London. 
[4]. J. L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux 
limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris. 
[5]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1992), On the 
quasilinear wave equation ttu u- D ( , ) 0tf u u+ = associated with a 
mixed nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19, 613 – 623. 
[6]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear 
wave equation associated with a linear differential equation with 
Cauchy data, Nonlinear Anal. 24,1261 – 1279. 
[7]. Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave 
equation tt xxu u- = ( , , , , )x tf x t u u u associated with the mixed 
nonhomogeneous conditions, Nonlinear Anal, 29, 1217 – 1230 . 
[8]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (1999), On the existence, 
uniqueness of solutions of a nonlinear vibration equation, Demonstratio 
Math. 32 (4), 749 – 758. 
[9]. Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết (2003), A semilinear wave 
equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio 
Math. 36 (4), 915 – 938. 
[10]. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm (2005), 
On the On the shock problem involving a linear viscoelastic bar, 
Bound. Value Probl. 2005 (3), 337 – 358. 
[11]. Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the 
shock problem involving a linear viscoelastic bar. Nonlinear Analysis. 
63, 198 – 224. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 62 
[12]. Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc 
(2005), On the nonlinear wave equation with the mixed 
nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic 
expansion of solution, Demonstratio Math. 38 (2), 365 – 385. 
[13]. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and 
asymptotic expansion of solution to a nonlinear wave equation with a 
memory condition at the boundary, Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007, 
No. 48, p. 1 – 19. 
[14]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2007), On a Nonlinear 
Kirchhoff – Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic 
convergence and asymptotic expasion of solutions, Demonstratio Math. 
40 (2), 365 – 392. 
[15]. Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc (2009), On nonlinear 
boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J. 
Math. 37 (2 – 3), 141 – 178. 
[16]. Trương Thị Nhạn (2009), Thuật giải xấp xỉ tuyến tính liên kết với 
phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích chập, Luận 
văn Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp, Hồ Chí Minh, 62 trang. 
Tóm tắt 
Bài báo này nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của một phương 
trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa tích phân tuyến tính. Dáng điệu tiệm 
cận và khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1 theo một tham số bé 
cũng được khảo sát. 
Abstract 
On a nonlinear wave equation associated with 
boundary conditions involving a linear integral 
The paper is about the study of existence and uniqueness of a weak solution 
of nonlinear weave equation with boundary conditions involving a linear 
integral, asymptotic behavior and expansion of weak solutions to N + 1 order in 
accordance with a small parameter is also investigated.