Tương tự của bổ đề Siu-Yeung trong trường hợp P-Adic

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 13, 2002
TƯƠNG TỰ CỦA BỔ ĐỀ SIU - YEUNG 
TRONG TRƯỜNG HỢP P-ADIC
Nguyễn Thành Quang, 
Đậu Thị Hương Lan, Phan Đức Tuấn 
 Đại học Vinh 
1. GIỚI THIỆU
	Bổ đề Borel là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính hyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh. Với những mục đích khác nhau, nhiều tác giả đã tiến hành mở rộng bổ đề này và đã thu được nhiều kết quả tốt như Green, Masuda- Noguchi, Siu - Yeung ([2] , [3] , [7] ).
Chúng tôi nhắc lại một kết quả gần đây của Siu - Yeung (xem [7] ).
BỔ ĐỀ SIU - YEUNG. Giả sử gj (x0, ... , xn) là các đa thức thuần nhất bậc dj với 0 £ j £ n. Giả sử tồn tại ánh xạ chỉnh hình f : C ® Pn(C) sao cho ảnh của f nằm trong siêu mặt bậc k
 = 0
và 	 
Khi đó, tồn tại một hệ thức tuyến tính không tầm thường của
trên ảnh của f.
Trong bài báo này, sử dụng các công cụ hàm độ caocủa đường cong chỉnh hình hàm đếmcủa hàm nguyên và định lý Nevanlinna - Cartan, chúng tôi tìm được một tương tự của bổ đề Siu - Yeung trong trường hợp p-adic và các ứng dụng của nó. Các ký hiệu trong bài báo này được sử dụng như ở [1].
2. TƯƠNG TỰ CỦA BỔ ĐỀ SIU - YEUNG TRONG TRƯỜNG HỢP P-ADIC
2.1. ĐỊNH LÝ NEVANLINNA - CARTAN P-ADIC (xem [1] ). Giả sử H1, H2, ... , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát và f = (f0, ... , fn+1) : Cp ® P n(Cp ) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Khi đó
,
trong đó là đại lượng giới nội khi t ® - ¥.
2.2 BỔ ĐỀ. Giả sử là một đa thức thuần nhất bậc d và f0 , ... , fn là các hàm chỉnh hình p-adic. Khi đó 
.
CHỨNG MINH. Trước hết ta chứng minh nếu là một đơn thức bậc thì 
.
Thật vậy, =
 = 
 =.
Mặt khác, là tổng của các đơn thức bậc , do đó từ tính chất của hàm đếm các không điểm của hàm chỉnh hình, suy ra điều phải chứng minh. 
2.3 ĐỊNH LÝ (Tương tự của Bổ đề Siu - Yeung trong trường hợp p-adic) Giả sử = là các đơn thức bậc dj với 0 £ j £ s, còn là các đa thức thuần nhất bậc với . Giả sử tồn tại ánh xạ chỉnh hình 
 f = (f0 , ... , fn ) : Cp ® P n(Cp )
 sao cho ảnh của f nằm trong siêu mặt bậc k
và	 
trong đó 	 # , .
 Khi đó, nếu hệ các hàm sau đây không có không điểm chung trên Cp thì chúng phụ thuộc tuyến tính : 
CHỨNG MINH. Từ giả thiết của định lý ta có 
Ta cần chứng tỏ hệ các hàm
phụ thuộc tuyến tính. Giả sử ngược lại rằng chúng độc lập tuyến tính, ta định nghĩa đường cong chỉnh hình g trong P n -1 (Cp ) như sau:
 .
Trong P n -1 -1 ( Cp ) ta lấy s+1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát là
Áp dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic đối với đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính g ta có
.
Mặt khác ta có 
+ 0 (1)
Từ đó suy ra
 (3)
Với j = 1, ..., n ta có
Với j = s+1 ta cũng có
	 .
Với j = n+1, ..., s, sử dụng bổ đề 2.2 ta có
	 + 
 + 
	 + 
 Đặt 	 , ta có 
	.
Từ các đánh giá trên kết hợp với (3) , ta suy ra 	
Do đó
Mặt khác ta có: 
Suy ra
 ,
hay
.
 Từ đây ta có mâu thuẫn với giả thiết (1) của định lý khi t ® -¥. Định lý được chứng minh.
2.3. HỆ QUẢ ( Tương tự p-adic của Định lý Green phức, xem [2] ) Giả sử f : Cp ® P n(Cp ) là đường cong chỉnh hình p-adic sao cho ảnh của f nằm trong siêu mặt có phương trình
.
Khi đó, nếu d ³ n2 -1 thì tồn tại một phân hoạch của tập hợp các chỉ số { 0, 1, ..., n } = È Iv sao cho
	(i) Mỗi Iv chứa ít nhất hai phần tử.
	(ii) Với mọi i, j Î Iv tỷ số là hằng số.
	(iii) Với mọi v ta có º 0.
CHỨNG MINH. Ta chứng minh Hệ quả bằng quy nạp theo số tự nhiên n.
Với n = 2 Hệ quả là tầm thường. Giả sử Hệ quả đúng với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n. Vì f nằm trong siêu mặt X nên ta có 
Áp dụng Định lý 2.3 với s = n, dj = 0 với mọi j = 0, 1, ..., n ta có f1d, ..., fnd phụ thuộc tuyến tính, do đó tồn tại các hệ số cj không đồng thời bằng không sao cho 
Áp dụng giả thiết quy nạp đối với hệ thức (5) sau khi đã bỏ đi các hạng tử cj = 0, ở đây các điều kiện của giả thiết quy nạp đòi hỏi đều thoả mãn. Do đó ta có thể giảm được số tự nhiên n ở hệ thức (4) về (n-1) hoặc nhỏ hơn. Áp dụng giả thiết quy nạp một lần nữa ta có điều phải chứng minh.
3. SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH P-ADIC 
TRÊN BIẾN DẠNG CỦA SIÊU MẶT FERMAT
3.1. ĐỊNH NGHĨA. Siêu mặt được xác định bởi phương trình dạng 
được gọi là siêu mặt Fermat trong không gian xạ ảnh P n(Cp ).
Giả sử là các đơn thức. Khi đó siêu mặtđược xác định bởi phương trình 
trong đó s ³ n, cj ¹ 0 với 0 £ j £ s, Mj = zjd với j = 0, ..., n được gọi là biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d của P n(Cp ).
3.2. ĐỊNH LÝ. Giả sử X là biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d trong P n(Cp ). Khi đó nếu với # , j = n+1, ..., s,
thì mọi đường cong chỉnh hình trong X đều suy biến.
CHỨNG MINH. Áp dụng Định lý 2.3 với dm = 0 " m = , " i = ta có hệ thức tuyến tính không tầm thường trên ảnh của f là
 .
 Từ đó suy ra f là đường cong suy biến .
3.3. HỆ QUẢ. Giả sử X là biến dạng Fermat bậc d trong P n(Cp ). Giả sử với mỗi j, Mj chứa biến zk bất kỳ với bậc 0 hoặc ít nhất là dj và 
	 .
Khi đó, mọi đường cong chỉnh hình trong X đều suy biến. 
CHỨNG MINH. Từ giả thiết ta có
	 .
Do giả thiết với mỗi j, đơn thức Mj chứa biến zk bất kỳ với bậc 0 hoặc ít nhất là dj nên 
	 d ³ dj lj ( j = n+1, ... , s) , 
hay 
 . 
Suy ra
.
Do đó
.
Theo Định lý 3.2 ta có f là đường cong chỉnh hình suy biến.
3.4. HỆ QUẢ. Giả sử X là một biến dạng siêu mặt Fermat được xác định bởi phương trình (6). Giả thiết rằng tồn tại một số nguyên k ³ 0 sao cho với mỗi j ³ n+1, m = 0, ..., n, có
ajm ³ d - k và .
Khi đó các đường cong chỉnh hình trong X đều suy biến. 
CHỨNG MINH. Từ giả thiết ta có 
hay	 
Áp dụng Hệ quả 3.3 với dj = d - k ta có điều phải chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, p-adic Nevanlinna - Cartan theorem, Inter. J. Math . 6(7), 719-731 (1995).
S. Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer – Verlag – New York – Berlin – Heidelberg, (1987).
K . Masuda and J . Noguchi , A construction of Hyperbolic hypersurfaces of 
P n ( Cp ) , Math. Ann. , 304 339-362 (1996).
Nguyen Thanh Quang, p-adic hyperbolicity of the complement of hyperplanes in P n ( Cp ) , Acta Math. Vietnamica, Vol. 23 , No.1, 143 - 149 (1998).
Nguyen Thanh Quang, Borel's lemma on the p-adic case, Viet nam J. Math, 26 : 4 , 311 – 313 (1998).
Nguyen Thanh Quang, Degeneracy of holomorphic curves in Pn, Acta Math. Vietnamica, 2002 (to appear). 
Y. T. Siu and S. K. Yeung, Defects for ample divisors of abelian varieties, Schwars lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degree, Amer. J. Math. 119, 1139 - 1172 (1997).
AN ANALOG OF SIU - YEUNG' S LEMMA IN P-ADIC CASE
 Nguyen Thanh Quang, 
Dau Thi Huong Lan, Phan Duc Tuan 
 Department of Mathematics, Vinh University
SUMMARY
 In this paper, by using the p-adic Nevanlinna - Cartan theory, we give an analog of Siu Yeung' s lemma in p-adic case and its applications in the study of hyperbolic hypersurfaces.