Trích xuất thông tin dao động hạt nhân từ phổ sóng điều hòa bậc cao của ion phân tử H+ 2 , D+ 2 , T2

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 14, Số 12 (2017): 12-21 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY
Vol. 14, No. 12 (2017): 12-21
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
12 
TRÍCH XUẤT THÔNG TIN DAO ĐỘNG HẠT NHÂN 
TỪ PHỔ SÓNG ĐIỀU HÒA BẬC CAO CỦA ION PHÂN TỬ +2H , +2D , +2T 
Phan Thị Ngọc Loan* 
Khoa Vật lí - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh 
Ngày nhận bài: 22-9-2017; ngày nhận bài sửa: 09-10-2017; ngày duyệt đăng: 20-12-2017 
TÓM TẮT 
Bằng phương pháp giải số phương trình Schӧdinger phụ thuộc thời gian của 2H
 và các 
đồng vị trong trường laser mạnh, chúng tôi thu được phổ sóng điều hòa bậc cao (HHG) tính đến 
dao động hạt nhân. Trong phổ HHG xuất hiện những đỉnh phụ, cách đỉnh chính đúng bằng tần số 
dao động của hạt nhân. Chúng tôi chỉ ra rằng, cấu trúc tinh tế này vẫn xuất hiện khi hạt nhân dao 
động ở trạng thái kích thích, hoặc chồng chập của các trạng thái với hệ số đóng góp khác nhau. 
Hơn nữa, tần số dao động trích xuất được từ phổ HHG không phụ thuộc vào trạng thái dao động 
ban đầu của hạt nhân. Tuy nhiên, cấu trúc tinh tế chỉ quan sát được khi laser tương tác có cường 
độ thích hợp. 
Từ khóa: HHG, dao động hạt nhân, cấu trúc tinh tế, tần số dao động, đồng vị. 
ABSTRACT 
Extraction of the nuclear vibration from the high-order harmonic spectra 
in molecular ions +2H , 
+
2D , 
+
2T 
By numericalli solving the time-dependent Schӧdinger equation for vibrating molecular ion 
2H
 and its isotopes in strong laser field, we have obtained the high-order harmonic generation 
(HHG) spectra. In these spectra, the satellite peaks appear and surround the odd peaks with space 
of nuclear vibration frequency. We show that, this fine structure exists even when the nuclei initialli 
vibrate in the excited states, or in a coherent superposition of states with various populations. 
Moreover, the extracting vibration frequency from the HHG spectra is not affected by the initial 
vibrational states. However, the fine structure is onli observed by the laser with appropriate 
intensities. 
Keywords: HHG, nuclear vibration, fine structure, vibration frequency, isotopes. 
1. Giới thiệu 
Phát xạ sóng điều hòa bậc cao (HHG) là một trong những hiệu ứng phi tuyến xảy ra 
khi nguyên tử, phân tử tương tác với trường laser mạnh [1, 2]. Từ phổ HHG cho phép tạo 
xung có độ dài cực ngắn (~ 10-18 giây), mở ra hướng nghiên cứu mới – vật lí atto giây, hiện 
đang thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học trên thế giới [3, 4]. Ngoài ra, HHG 
* Email: loanphan@hcmup.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phan Thị Ngọc Loan 
13 
còn được ứng dụng như là một công cụ hữu hiệu nhằm trích xuất thông tin cấu trúc phân tử 
[5, 6], hay theo dõi chuyển động của điện tử và hạt nhân [7-10]. 
Bức tranh phát xạ HHG được mô tả trong gần đúng bán cổ điển bằng mô hình ba 
bước được đề xuất lần đầu tiên bởi Corkum [1] và sau đó là nhóm Lewenstein [2]. Theo 
đó, đầu tiên, dưới tác dụng của trường mạnh, điện tử bị ion hóa xuyên hầm ra vùng liên 
tục; sau đó điện tử được gia tốc bởi điện trường của laser; cuối cùng khi laser đổi chiều, 
điện tử bị kéo ngược trở về, tái kết hợp với ion mẹ và phát xạ HHG. Sự phát xạ HHG gây 
ra bởi chuyển động của điện tử, hơn nữa, điện tử chuyển động nhanh hơn rất nhiều so với 
hạt nhân, do đó thông thường khi tính phát xạ HHG, chuyển động của hạt nhân thường bị 
bỏ qua [5, 6]. Tuy nhiên, chu kì dao động của hạt nhân (~20 fs) có thể so sánh được với độ 
dài của xung laser tương tác, do đó, các công trình thực nghiệm đã chỉ ra rằng, dao động 
của hạt nhân gây ảnh hưởng tới phổ HHG [11,12]. Khi hạt nhân dao động càng mạnh, hiệu 
suất phát xạ HHG càng tăng [13, 14]. Trong [7, 9, 15], các tác giả đã chỉ ra khả năng thu 
được các thông tin như khoảng cách liên hạt nhân, vận tốc ban đầu của hạt nhân từ phổ 
HHG. Năm 2005, Lein [8] đã chứng minh mối liên hệ giữa hiệu suất phát xạ HHG và dao 
động hạt nhân. Từ đó, các tác giả theo dõi được sự dao động của hạt nhân từ sự phổ HHG 
của các đồng vị [8]. Kết quả này đã được kiểm chứng trong công trình của nhóm Baker 
[11]. Gần đây, Nhóm Bian [10] nhận thấy, dao động hạt nhân còn gây ra sự dịch chuyển 
tần số phát xạ HHG về phía đỏ so với các bậc lẻ, đồng thời, chỉ ra khả năng thu nhận thông 
tin chuyển động của hạt nhân trực tiếp từ sự dịch chuyển đỏ trong phổ HHG. Corso và các 
cộng sự [16,17] đã nghiên cứu phổ HHG phát ra từ ion 2H
 , 2D
 , phân tử 2H , 2D trong 
trường laser nhiều chu kì, và phát hiện rằng, ngoài các đỉnh chính tại các bậc lẻ thường 
thấy trong phổ HHG, còn xuất hiện hàng loạt các đỉnh phụ, cách đều đỉnh chính với 
khoảng cách chính bằng tần số dao động của hạt nhân, hình thành cấu trúc tinh tế trong 
phổ HHG. Như vậy, các tác giả cho rằng, có thể thu trực tiếp thông tin tần số dao động của 
hạt nhân từ phổ HHG. Tuy nhiên, trong công trình trên [16,17], các tác giả mới tính cho 
trạng thái dao động cơ bản của hạt nhân. 
Trong công trình này, chúng tôi sẽ đánh giá khả năng trích xuất thông tin tần số dao 
động hạt nhân của 2H
 và các đồng vị từ phổ HHG khi hạt nhân dao động ở trạng thái kích 
thích, và trong trường hợp hạt nhân dao động với chồng chập các trạng thái với hệ số đóng 
góp khác nhau. Phương pháp giải số phương trình Schӧdinger phụ thuộc thời gian (TDSE) 
được sử dụng để thu được HHG. Trước tiên, chúng tôi kiểm chứng kết quả của nhóm 
Corso [16,17], và thảo luận về việc sử dụng laser thích hợp nhằm thu được các đỉnh phụ 
trong phổ HHG của 2H
 . Sau đó, dùng gần đúng Born-Oppenheimer, chúng tôi sẽ thu được 
phổ HHG khi hạt nhân dao động ở trạng thái kích thích, và chồng chập của các trạng thái. 
Cuối cùng, ảnh hưởng của đồng vị lên cấu trúc tinh tế trong phổ HHG được nghiên cứu. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 12 (2017): 12-21 
14 
Đây là bài toán tiền đề cho những nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi cho các phân tử phức 
tạp hơn, như phân tử bất đối xứng và các phân tử lớn. 
2. Phương pháp TDSE cho phân tử +2H xét đến dao động hạt nhân 
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng mô hình phân tử 2H
 đơn giản với một chiều 
chuyển động của điện tử, dọc theo hướng vectơ phân cực của trường laser. Hai hạt nhân 
dao động dọc theo trục này. Chuyển động quay của phân tử được coi như rất chậm so với 
dao động hạt nhân nên sẽ được bỏ qua. Trong hệ quy chiếu khối tâm, phương trình 
Schӧdinger phụ thuộc thời gian của ion phân tử 2H
 trong trường laser (trong hệ đơn vị 
nguyên tử với 1ee m  ) có dạng 
2 2
1 1( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ),
2 2 C L
i x R t V x R V x t x R t
t x R
   
     
 (1) 
với x là tọa độ của điện tử tính từ khối tâm của hệ; R là khoảng cách giữa hai hạt nhân. 
 là khối lượng rút gọn của hai hạt nhân. 
Thế Coulomb của hệ 
2 2 2
1 1 1( , ) - ,
( /2) +α ( /2) +α
CV x R
x - R x+ R R 
 (2) 
với hệ số làm mềm Coulomb ,  lần lượt nhận các giá trị bằng 1 và 0.03 [17]. Ban đầu, 
khoảng cách liên hạt nhân ở trạng thái cân bằng 2.59equiR a.u. với năng lượng -0,781a.u. 
Thế tương tác của trường laser với điện tử được viết trong định chuẩn dài như sau 
0 0( , ) ( )sin ,LV x t E f t t (3) 
với 0E và 0 lần lượt là cường độ đỉnh và tần số của laser. ( )f t là hàm bao của laser. 
Hàm sóng phụ thuộc vào thời gian của hệ được giải bằng phương pháp tách toán tử 
[18] 
 3( , , ) ( , , )ˆ( , , ) exp exp exp ( , , ) ( ),2 2
V x R t V x R tx R t t i t iT t i t x R t O t   
 (4)
với , ,V x R t là tổng thế năng, và Tˆ là tổng toán tử động năng của hệ. 
 Vì khối lượng của hạt nhân lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của điện tử, nên 
trong gần đúng Born-Oppenheimer có thể tách riêng chuyển động của hạt nhân và điện tử. 
Hàm sóng ban đầu , ,0x R của hệ được được cho bởi 
 ( , ,0) ( , ) ,n n
n
x R C x R R   (5) 
trong đó, n là chỉ số lượng tử đặc trưng cho mức dao động của hạt nhân. nC là hệ số đóng 
góp của các mức dao động hạt nhân vào hàm sóng toàn phần của ion phân tử. ,x R , 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phan Thị Ngọc Loan 
15 
 n R lần lượt là hàm sóng của điện tử và hạt nhân được giải bằng phương pháp thời gian 
ảo [19]. 
Phổ HHG được tính từ gia tốc lưỡng cực Ct = - V  a E bằng biến đổi 
Fourier 
2
( ) .i tHHGS a t e dt

 (6) 
Trong bài báo này, lưới tính toán với tọa độ không gian 0 50R a.u. và 
512 512x a.u với bước nhảy tương ứng lần lượt là 0.05R a.u. và 0.25x a.u. 
Để tránh sự phản xạ của hàm sóng do giới hạn của lưới tính toán, chúng tôi sử dụng hàm 
mặt nạ hấp thụ dạng 1/4 max min/ 2cutcos x x x x khi cutx x cho điện tử, và 
 1/4 max min/ 2cutcos R R R R cho khoảng cách liên hạt nhân với 350cutx a.u. và 
45cutR a.u. Bước nhảy thời gian 0.1t a.u. Những thông số này đã được kiểm tra 
nhằm bảo đảm sự hội tụ khi tính HHG. 
3. Kết quả và thảo luận 
Hình 1. (a) Phổ HHG của phân tử +2H dao động với trạng thái n=0. 
Hình nhỏ (lồng trong hình (a)) thể hiện cấu trúc tinh tế của bậc 17 trong phổ HHG. 
(b) Sự thay đổi theo thời gian của khoảng cách liên hạt nhân phân tử +2H . 
Laser có cường độ 141×10 W.cm-2, bước sóng 800 nm, độ dài xung 256 chu kì. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 12 (2017): 12-21 
16 
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày phổ HHG phát ra từ phân tử 2H
 và các đồng 
vị dao động trong trường laser. Để nghiên cứu dao động hạt nhân và tránh hiệu ứng dịch 
chuyển đỏ của phổ HHG khi sử dụng xung laser ngắn [10], chúng tôi sử dụng xung laser 
dài 256 chu kì, có hàm bao dạng hình thang, với 8 chu kì bật và 8 chu kì tắt. 
Hình 1a. biểu diễn phổ HHG của 2H
 với trạng thái dao động ban đầu n=0 khi tương 
tác với laser có cường độ 141 10 W.cm-2, bước sóng 800 nm. Dễ dàng nhận thấy, sóng 
HHG phát ra có các đỉnh rõ nét, tương ứng với tần số là bội số lẻ của tần số laser chiếu 
vào. Trong hình vẽ lồng trong Hình 1a, chúng tôi chỉ cụ thể các đỉnh HHG tương ứng với 
bậc HHG 17. Các đỉnh này cách nhau với khoảng cách tương ứng 00,121 0,0069 a.u., 
hình thành cấu trúc tinh tế trong phổ HHG. Hơn nữa, sử dụng laser có số chu kì càng tăng, 
cấu trúc tinh tế càng thể hiện rõ nét. Kết quả này tương tự các kết quả được nhóm của 
Corso tính toán bằng phương pháp bán cổ điển [16] và lượng tử phi Born-Oppeinheimer 
[17]. Cấu trúc tinh tế hoàn toàn biến mất khi dao động hạt nhân bị bỏ qua. 
Hình 2. Cấu trúc tinh tế trong phổ HHG tại bậc 23 (a) và 
dao động của khoảng cách liên hạt nhân (b) của +2H với trạng thái n=0 trong trường laser 
có cường độ khác nhau. Laser có bước sóng 800nm và độ dài 256 chu kì. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phan Thị Ngọc Loan 
17 
Để giải thích hiện tượng này, dao động của hạt nhân được biểu diễn thông qua sự 
phụ thuộc của khoảng cách liên hạt nhân theo thời gian được thể hiện trong Hình 1b. 
Chúng tôi nhận thấy khoảng cách liên hạt nhân dịch chuyển khỏi vị trí ban đầu, sau đó dao 
động điều hòa với chu kì bằng 8,4 chu kì laser (tức ~ 22 fs), tương ứng với tần số dao động 
là 0 0/ 8,4 0,12  . Như vậy, chúng tôi xác nhận lại kết quả thu được trong [16, 17]. 
Trong công trình [16], các tác giả cho rằng, sự dịch chuyển của khoảng cách liên hạt nhân 
khỏi vị trí cân bằng là tương đối nhỏ, do đó hạt nhân dao động trong hố thế của điện tử với 
dạng xấp xỉ hố thế điều hòa với tần số tỉ lệ nghịch với khối lượng hạt nhân. Sự dịch chuyển 
nhỏ của khoảng cách liên hạt nhân làm phá vỡ đối xứng của thế Coulomb khi 
( , ) ( , / 2)x t x t T , với T là chu kì của laser [16], làm xuất hiện các đỉnh phụ trong 
phổ HHG. 
Hình 3. Cấu trúc tinh tế trong phổ HHG (cột trái) và dao động của khoảng cách 
liên hạt nhân (cột phải) khi phân tử +2H dao động với trạng thái n=1 (hình a,b) và n=2 
(Hình c, d). 
Tiếp theo, chúng tôi sẽ khảo sát cấu trúc phổ HHG khi ion phân tử 2H
 tương tác với 
laser có cường độ khác nhau (Hình 2). Chúng tôi nhận thấy cấu trúc tinh tế vẫn xuất hiện 
trong phổ HHG. Tuy nhiên, khi cường độ laser giảm, khoảng cách giữa cách đỉnh phụ tăng 
dần. Với cường độ laser là 141 10 W.cm-2, 140,9 10 W.cm-2, 140,8 10 W.cm-2, 140,6 10 
W.cm-2 khoảng cách giữa cách đỉnh lần lượt là 00,12 , 00,127 , 00,132 , 00,14 . 
Nguyên nhân là do cường độ laser càng giảm, chu kì dao động của khoảng cách liên hạt 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 12 (2017): 12-21 
18 
nhân giảm tương ứng là 8, 4T , 8T , 7.5T , 7T (Hình 2b). Cường độ laser tương tác càng 
nhỏ, khoảng cách liên hạt nhân dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng càng ít, do đó dạng thế 
năng điện tử càng giống dạng hố thế điều hòa. Tuy nhiên, nếu tiếp tục giảm cường độ laser 
tương tác thì hiệu suất phát xạ HHG thấp, và miền phẳng của phổ HHG càng hẹp gây khó 
khăn trong việc quan sát cấu trúc tinh tế. Mặt khác, nếu laser quá mạnh (> 141.5 10 
W.cm2), sự phân li giữa hai hạt nhân chiếm ưu thế, do đó, trong phổ HHG không còn xuất 
hiện các đỉnh phụ tương ứng với dao động hạt nhân. Như vậy, chúng tôi kết luận rằng, chỉ 
có một vùng cường độ laser thích hợp cho phép quan sát cấu trúc tế trong phổ HHG. 
Hình 4. Cấu trúc tinh tế trong phổ HHG khi phân tử 2H
 dao động với chồng chập 
các trạng thái n=0 và n=1 với xác suất lần lượt là 10% và 90% (đường đậm màu đen); 
50% và 50% (đường màu xanh); 64% và 36% (đường mảnh màu đỏ). 
Ở trên, chúng tôi đã thảo luận cấu trúc tinh tế của phổ HHG khi hạt nhân phân tử 2H
dao động ở mức cơ bản n=0. Tiếp theo, chúng tôi mở rộng khảo sát xem cấu trúc này có 
xuất hiện cho trường hợp hạt nhân dao động với mức cao hơn không. Hình 3a và 3c lần 
lượt thể hiện cấu trúc trong phổ HHG tại bậc HHG cụ thể cho trạng thái dao động n=1 và 
n=2. Ngoài các đỉnh chính tại các bậc lẻ, trong phổ vẫn có những đỉnh phụ cách đỉnh chính 
lần lượt là 00,132 và 00,138 (tương ứng chu kì dao động 7,5T và 7,2T (Hình 3b,3d)) 
cho trạng thái n=1 và n=2. Có thể thấy rằng, trạng thái dao động ban đầu của hạt nhân 
không ảnh hưởng nhiều đến chu kì dao động của hạt nhân. Điều này dễ hiểu vì năng lượng 
ban đầu chỉ làm thay đổi biên độ dao động (tức khoảng cách liên hạt nhân), mà không ảnh 
hưởng tới tần số dao động của hệ. Lưu ý rằng cường độ laser được chọn sao cho độ dịch 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phan Thị Ngọc Loan 
19 
chuyển của khoảng cách liên hạt nhân khỏi vị trí cân bằng đủ nhỏ và hạt nhân còn dao 
động. Bậc dao động càng cao, thế ion hóa của phân tử càng giảm, dẫn đến xác xuất ion hóa 
càng tăng, hiện tượng phân li càng dễ dàng xảy ra. Mặt khác, bậc dao động càng tăng, miền 
phẳng của phổ HHG càng bị thu hẹp lại. Do đó, bậc dao động tăng, miền cường độ laser 
cho phép quan sát cấu trúc tinh tế càng giảm. Trong trường hợp ban đầu, hạt nhân dao 
động với chồng chập của hai trạng thái n=0 và n=1, chúng tôi thu được kết quả tương tự 
(Hình 4). Khoảng cách giữa các đỉnh phụ và đỉnh chính (tại bậc lẻ) trong phổ HHG không 
phụ thuộc vào hệ số đóng góp của các trạng thái. 
Hình 5. Cấu trúc tinh tế trong phổ HHG (a) và khoảng cách liên hạt nhân (b) của 
các đồng vị +2H , 
+
2D , 
+
2T trong trường laser. Laser có cường độ 
141×10 W.cm-2, bước 
sóng 800 nm, độ dài xung 256 chu kì. 
Cuối cùng, chúng tôi khảo sát phổ HHG cho các đồng vị 2H
 , 2D
 , 2T
 tính đến dao 
động hạt nhân (Hình 5). Phổ HHG được tính bằng phương pháp phi Born-Oppenheimer. 
Khoảng cách giữa các đỉnh trong cấu trúc tinh tế (Hình 5a) cách nhau lần lượt là 00,12 , 
00,09 , 00,075 , tương ứng với chu kì dao động (Hình 5b) là 8, 4T , 10,9T , 13,3T cho 
2H
 , 2D
 và 2T
 . Hạt nhân càng nặng thì chu kì dao động càng tăng, hạt nhân dao động càng 
chậm. Theo lí thuyết cổ điển, tần số dao động tỉ lệ nghịch với  [16,17], phù hợp với tần 
số dao động trích xuất trực tiếp được từ phổ HHG. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 12 (2017): 12-21 
20 
4. Kết luận 
Như vậy, trong bài báo này, chúng tôi đã chỉ ra khả năng trích xuất tần số dao động 
hạt nhân từ phổ HHG không chỉ cho trường hợp hạt nhân dao động ở trạng thái cơ bản, mà 
cả cho trường hợp hạt nhân ở trạng thái kích thích, và chồng chập các trạng thái với hệ số 
đóng góp khác nhau. Trong phổ HHG xuất hiện những đỉnh phụ, cách đỉnh chính tại bậc lẻ 
bằng tần số dao động của hạt nhân. Cấu trúc tinh tế chỉ quan sát được khi laser tương tác 
có cường độ thích hợp.Trạng thái dao động ban đầu của hạt nhân càng cao, vùng cường độ 
laser cho phép quan sát cấu trúc tinh tế càng hẹp. Từ những kết luận này, chúng tôi đặt ra 
hướng phát triển tiếp theo của chúng tôi là khảo sát cấu trúc tinh tế trong phổ HHG cho 
những phân tử phức tạp hơn như +HD , +HT , 2+HeH  
 Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: 
 Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh qua đề tài cấp 
Trường, mã số CS2016.19.09. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Corkum P. B., “Plasma perspective on strong field multiphoton ionization,” Phys. Rev. 
Lett. 71(13), pp. 1994, 1993. 
[2] Lewenstein M., Balcou P., Ivanov M. Y., L’huillier A. and Corkum, P. B., “Theory of high-
harmonic generation by low-frequency laser fields,” Phys. Rev. A 49(3), pp. 2117, 1994. 
[3] Hu S. X. and Collins L. A., “Attosecond pump probe: exploring ultrafast electron motion 
inside an atom,” Phys. Rev. Lett. 96(7), pp. 073004, 2006. 
[4] Calegari F., Ayuso D., Trabattoni A. et al., “Ultrafast electron dynamics in phenylalanine 
initiated by attosecond pulses,” Science 346(6207), pp. 336-339, 2014. 
[5] Lein M., Hay N., Velotta R., Marangos J. P. and Knight P. L., “Role of the intramolecular 
phase in high-harmonic generation,” Phys. Rev. Lett. 88(18), 183903, 2002. 
[6] Itatani J., Levesque J., Zeidler D., Niikura H., “Tomographic imaging of molecular orbitals,” 
Nature 432(7019), 867, 2004 
[7] Nguyen N. T., Hoang V. H., Le V. H., “Probing nuclear vibration using high-order harmonic 
generation,” Phys. Rev. A 88(2), 023824, 2013. 
[8] Lein M., “Attosecond probing of vibrational dynamics with high-harmonic generation,” 
Phys. Rev. Lett. 94(5), pp. 053004, 2005. 
[9] Nguyen N. T., Le T. T. and Phan N. L., “Probing nuclear vibration using high-order 
harmonic generation beyond two-level model,” Comput. Theor. Chem. 1094, pp.8-12., 
2016. 
[10] Bian X. B. and Bandrauk A. D., “Probing nuclear motion by frequency modulation of 
molecular high-order harmonic generation,” Phys. Rev. Lett. 113(19), 193901, 2014. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Phan Thị Ngọc Loan 
21 
[11] Baker S., Robinson J. S., Lein M., et al., “Dynamic two-center interference in high-order 
harmonic generation from molecules with attosecond nuclear motion,” Phys. Rev. Lett. 
101(5), pp. 053901, 2008. 
[12] Kanai T., Takahashi E. J., Nabekawa Y. and Midorikawa K., “Observing the attosecond 
dynamics of nuclear wavepackets in molecules by using high harmonic generation in mixed 
gases,” New J. Phys. 10 (2), pp. 025036, 2008. 
[13] Guo Y. H., He H. X., Liu J. Y. and He G. Z., “Sensitiviti of high-order harmonic generation 
to nuclear motion,” J. Mol. Struct. THEOCHEM, 947(1), pp.119-122, 2010. 
[14] Phan N. L., Truong T. C. and Nguyen N. T., “Ionization and high-order harmonic generation 
from highli vibrational,” Comput. Theor. Chem. 1057, pp. 39-42, 2015. 
[15] Zhao J., and Zhao Z., “Probing H2+ vibrational motions with high-order harmonic 
generation,” Phys. Rev. A 78(5), pp.053414, 2008. 
[16] Corso P. P., Fiordilino E., and Persico F., “Direct theoretical evidence of nuclear motion in 
H+ 2 by means of high harmonic generation,” J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 40(7), pp. 
1383, 2007. 
[17] Daniele R., Castiglia G., Corso P. P., Fiordilino E., Morales F., and Orlando G., “Nuclear 
molecular dynamics investigated by using high-order harmonic generation spectra,” J. Mod. 
Opt. 56(6), pp.751-757, 2009. 
[18] Feit M.D., Fleck J.A., Steiger A., “Solution of the Schrödinger equation by a spectral 
method,” J. Comput. Phys. 47, pp. 412-433, 1982. 
[19] Kosloff R., Tal-Ezer H., “A direct relaxation method for calculating eigenfunctions and 
eigenvalues of the Schrödinger equation on a grid,” Chem. Phys. Lett. 127, pp. 223-230, 
1986.