Tính r của tập nghiệm mạnh phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 1
TÍNH R CỦA TẬP NGHIỆM MẠNH 
PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA 
ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC 
LÊ HOÀN HÓA*, NGUYỄN NGỌC TRỌNG** 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh tập nghiệm mạnh S của phương trình vi 
tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic sau là tập R . 
0
0
, , , , , 0
t
t s
r
u t A t u t L t u V t u t K t s u s u ds f t t
u C 
 1 
Do đó S khác rỗng, compact, liên thông. Công cụ chính được sử dụng là định lý 
điểm bất động của toán tử dạng Krasnosel’skii trong không gian lồi địa phương, định lý về 
tính R của tập điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục. 
 Từ khóa: Tập R , phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại 
Hyperbolic 
ABSTRACT 
The R property of a set of strong solutions of the nonlinear hyperbolic Volterra 
integro-differential equation with deviating argument 
In this paper, we prove the R property of a set S of strong solutions of the 
following nonlinear Hyperbolic Voltera integro-differential equation with deviating 
argument 
0
0
, , , , , 0
t
t s
r
u t A t u t L t u V t u t K t s u s u ds f t t
u C 
 1 
Hence, S is a non empty, compact, connected set. The Theorem of a fixed point of the 
Krasnosel’skii-operator in a locally convex space and the Theorem about the R property 
of a set of fixed points of completely continuous maps are mainly used. 
 Keywords: R set, nonlinear Volterra integro-differential equation with deviating 
argument 
* PGS TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM 
** Học viên Cao học Trường Đại học Sư phạm TP HCM 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 2
1. Giới thiệu 
Khi khảo sát một phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm 
của nó. Khi phương trình đã có nghiệm thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu 
nghiệm đó có duy nhất hay không và trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm 
thì tập nghiệm có những tính chất gì? 
Năm 1942, N.Aronszajn đã chứng minh rằng tập nghiệm S của bài toán giá trị 
đầu 0, , 0x f t x x x (trong đó  , 0,nx t I T  , f bị chặn và liên tục trên 
nI  ) là một tập R trong không gian C I tất cả các hàm liên tục từ I vào n . 
Điều này suy ra S khác rỗng, compact, liên thông. Trong bài báo này, chúng tôi chứng 
minh tính R của tập nghiệm mạnh của phương trình 1 . Công cụ sử dụng là định lý 
điểm bất động của toán tử dạng Krasnosel’skii trong không gian lồi địa phương, định lý 
về tính R của tập điểm bất động của ánh xạ hoàn toàn liên tục và một số định lý khác. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
Định nghĩa: 
 Cho  là không gian metric đầy đủ. B là tập con khác rỗng của  . 
B gọi là co rút được (contractible) nếu tồn tại 0x B và ánh xạ liên tục 
 : 0,1h B B thỏa 00,h x x và 1,h x x với mọi x B . 
B gọi là R nếu B đồng phôi với giao của một dãy giảm n nB , trong đó nB là 
co rút được với mọi n  . 
Một tập R thì khác rỗng, compact, liên thông. 
Định nghĩa: 
 Cho ,X Y là không gian metric và ánh xạ :f X Y . f gọi là ánh xạ riêng 
(proper map) nếu f liên tục và với mọi tập compact M của Y ta có 1f M là tập 
compact của .X 
Điều kiện A [2] . Cho X là không gian lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn 
tách trên ,X D là một tập con của X và :U D X . Với bất kỳ a X , ta định nghĩa 
:aU D X bởi aU x U x a . 
Toán tử :U D X gọi là thỏa điều kiện A trên tập con  của X nếu 
 .1A Với bất kỳ : aa U D D   . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 3
 .2A Với bất kỳ a  và p P , tồn tại 0ak  với tính chất: Với mọi 0 , 
tồn tại r  và 0 sao cho với mọi ,x y D thỏa ,pa x y   thì 
 ,p r ra a aU x U y  . 
Ở đây 
  , max : , 0,1,2,..., , 1,2,... ,p i ja a a ax y p U x U y i j k  0 0,1,2,...  . 
Định lý B [2] . Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa 
chuẩn tách P và giả sử ,U C là toán tử trên X sao cho 
 .1B U thỏa điều kiện A trên X . 
 .2B Với bất kỳ p P , tồn tại 0pk ( pk phụ thuộc vào )p sao cho: 
 pp U x U y k p x y với mọi ,x y X . 
 .3B Tồn tại 0x X với tính chất: Với mọi p P tồn tại r  và 
 0,1 ( ,r  phụ thuộc vào )p sao cho 0 0r rx xp U x U y p x y với mọi 
,x y X . 
 .4B C hoàn toàn liên tục và p C A với ,A X p A 
trong đó sup : .p A p x x A 
 .5B
 ( )
lim 0
p x
p C x
p x 
với mọi p P . 
Khi đó U C có điểm bất động. 
Chú ý 1: Từ chứng minh của định lý B ta thấy: Trong trường hợp X là không gian 
Banach, tồn tại quả cầu mở 0 ,B x r của X thỏa mãn 
 1 0 0, ,I U C B x r B x r  , U C có điểm bất động trong 0 ,B x r và mọi 
điểm bất động của U C đều thuộc 0 ,B x r , trong đó 0 ,B x r là quả cầu đóng tâm 
0x , bán kính r . 
Định lý C [2] . Cho X là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách P, D 
là tập con đầy đủ theo dãy của X . Cho U là một toán tử liên tục đều trên D (tức là với 
p P và 0 , tồn tại 0 sao cho nếu p x y  thì dẫn đến 
 p U x U y  ). 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 4
Giả sử U thỏa điều kiện A trên một tập con  của X . Khi đó toán tử 
 1I U được định nghĩa tốt và liên tục trên  . Với bất kỳ a  , toán tử aU có duy 
nhất một điểm bất động trên D là 1I U a và 1lim nan U x I U a
 với mọi 
x D . 
Chú ý 2: [2] . Nếu trong điều kiện A ,  được chọn độc lập với a  thì với các 
giả thiết của định lý trên ta có 1I U liên tục đều trên  . 
Định lý D [1] . Cho X là không gian metric, ,E là không gian Banach và ánh 
xạ riêng :f X E . Giả sử rằng có một dãy các ánh xạ riêng :kf X E thỏa 
 .1D 1kf x f x k
 với mọi x X . 
 .2D Với mọi k  và u E thỏa 1u
k
 , phương trình kf x u có nghiệm 
duy nhất. 
Khi đó tập 1 0M f là R . 
Định lý E ([1]). Cho , ,pn nX  là một hệ ngược. Nếu mỗi nX là R thì giới hạn 
ngược lim nX cũng là R . 
3. Kết quả chính 
3.1. Giới thiệu bài toán 
Cho 0.r Ta ký hiệu là chuẩn của không gian Banach E và  0,  . 
  ,0 ,rC C r E với chuẩn   sup : ,0u u t t r . 
 , ,C r E là không gian các hàm liên tục từ  ,r vào E với họ nửa 
chuẩn n n được định nghĩa như sau:   sup : , ,nx x t t r n n  . 
Với mọi  , ,u C r E và 0t đặt t ru C định nghĩa bởi 
 tu u t  với  ,0r . 
Với mọi   , ,u C r d E và  0,t d đặt t ru C định nghĩa bởi 
 tu u t  với  ,0r . 
Với u X , đặt  : ,u r E được định nghĩa như sau 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 5
  
0 0 , 0
, ,0
u s u s
u s
s s r
Với   0, ,u C d E , đặt  : ,u r d E được định nghĩa như sau 
  
  
0 0 , 0,
, ,0
u s u s d
u s
s s r
Với mỗi n  , đặt   0, ,nX C n E là không gian Banach gồm các hàm liên 
tục  : 0,u n E với chuẩn   sup : 0,nu u t t n . 
 ,X C E  là không gian Frechet các hàm liên tục từ  vào E với họ nửa 
chuẩn n n được định nghĩa như sau:   sup : 0,nu u t t n với n  . 
Xét phương trình 
0
0
, , , , , 0
t
t s
r
u t A t u t L t u V t u t K t s u s u ds f t t
u C 
 1 
trong đó  0tA t là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E vào  0, tE L t là họ toán tử 
tuyến tính liên tục từ rC vào E , :f E  liên tục, hơn nữa 
 i t A t liên tục và t L t liên tục. 
 :ii V E E  liên tục và tồn tại hàm liên tục :   sao cho 
 , ,V t x V t y t x y với mọi ,x y E và t  . 
 : riii K E C E   hoàn toàn liên tục. 
 , , ,
lim 0
x y
K t s x y
iv
x y 
 đều theo ,t s trên mỗi đoạn bị chặn tùy ý của 
   . 
Định nghĩa: 
 : ,u r E gọi là nghiệm mạnh của phương trình 1 nếu 
  
1
0,
0, ,u C E
 và u thỏa phương trình 1 , ở đây  1 0, ,C E là không 
gian các hàm khả vi liên tục  : 0,u E . 
3.2. Các định lý 
Định lý 1. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 6
 Cho ,E là không gian Banach, D là tập con mở, bị chặn của E và ánh xạ 
hoàn toàn liên tục :L D E . Giả sử rằng có một dãy các ánh xạ hoàn toàn liên tục 
:kL D E thỏa 
(1.1) 1kL x L x k
 với mọi x D . 
(1.2)Với mọi k  và u E thỏa 
1u
k
 , phương trình kx L x u có 
nghiệm duy nhất. 
Khi đó tập điểm bất động của L là R . 
Chứng minh: Ký hiệu :i D E định bởi i x x . Đặt ,f i L k kf i L với 
.k  Theo định lý D ta có điều phải chứng minh. 
Định lý 2. 
 Cho tập đóng, khác rỗng ,M X C E   . Với n  , đặt 
  0, :n nM x x M . Nếu mỗi nM là R thì M cũng là R . 
Chứng minh : Với m p , đặt :pm p mM M định bởi  0,
p
m m
x x . Ta có 
 , ,pn nM  là hệ ngược và M đồng phôi với lim nM . Theo định lý E , M là .R 
Định lý 3. 
 Nếu các điều kiện , , ,i ii iii iv được thỏa mãn thì tập nghiệm mạnh của bài 
toán 1 là R . 
Chứng minh : 
Đặt : rg C E  định bởi , 0g t u A t u L t u . 
Ta thấy I tương đương với phương trình tích phân sau 
0 0 0
0
, , , , , 0 , 0
t t s
su t g s u V s u s f s ds K s u u d ds t
u
   
Đặt , , , :P H U C X X định bởi , ,sP u s g s u V s u s f s , 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 7
0 0 0
, , , , , 0 .
t t t
s
H u t K t s u s u ds U u t Pu s ds C u t Hu s ds 
 Đặt là tập điểm bất động của U C và  là tập nghiệm mạnh của 1 . 
Khi u thì 0 0u nên 
  
, 0
, ,0
u t t
u t
t t r 
Đặt :F  định bởi F u u . Khi đó F là phép đồng phôi. 
Vậy ta sẽ chứng minh là tập R .Ta cần các bổ đề sau. 
Bổ đề 1. [3] . : rg C E  liên tục và với mọi n  tồn tại 0nk sao cho với 
mọi , rx y C và  0,t n ta có , , ng t x g t y k x y . 
Bổ đề 2. [3] . Với mọi  0,s n và ,x y X ta có 2 ns sx y x y và 
 2 nsx x . 
Bổ đề 3. [3] . Ta có C liên tục. Với n  đặt   max : 0,nd s s n và 
2n n nc k d . Khi đó ta có 
!
j
nj j
z z nn
nc
U x U y x y
j
 với mọi j  và 
, ,x y z X . Do đó U thỏa điều kiện .1 .3B B của định lý B . 
Bổ đề 4. C hoàn toàn liên tục và 
lim 0
n
n
u
n
C u
u 
 với mọi n  . Khi X  thỏa 
mãn 
n
 thì ta có nC  . 
Chứng minh bổ đề 4 : 
Theo bổ đề 3 ta có C liên tục. Lấy X  bị chặn. Đặt 
   : , 0,P x s x s n  ,   : , 0,sQ x x s n  . Khi đó ,P Q bị chặn. Vì K 
hoàn toàn liên tục nên   2: 0,B K n P Q compact. Do đó tồn tại 0 sao cho 
 , , , sK t s u s u  với mọi  
2, 0,t s n và u  . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 8
Vậy lấy 0 thì tồn tại 
n



 sao cho với mọi u  và  1 2, 0,t t n mà 
1 2t t  thì 
 1 2
1 2
max ,
1 2
min , 0
, , ,
t t s
t t
Cu t Cu t K s u u d ds

  
1 2 .n t t n   
Do đó   0, :nCu u  đẳng liên tục. 
Lấy nửa không gian đóng *:u E b u r chứa B , với * *b E và 0r . 
Theo tính chất của tích phân Bochner và tính tuyến tính của *b ta có : 
 * *2 2
0 0 0 0
1 1, , , , , ,
t s t s
b K s u u d ds b K s u u d ds r
n n 
     
với mọi u  và với mọi  0,t n . 
Vậy *2
0 0
1 , , , :
t s
K s u u d ds u E b u r
n 
  
 với mọi u  và 
 0,t n . 
Vì giao của tất cả các nửa không gian đóng chứa B là bao lồi đóng conv B của 
B nên ta có 2
0 0
, , , conv
t s
K s u u d ds n B

  
 với mọi u  và  0,t n . 
Với mỗi  0,t n đặt   0,: :n nC t Cu t u  . 
Khi đó 2 conv 0nC t n B   . Do B là tập compact nên ta có 
 nC t là tập compact tương đối. Vậy C  là tập compact tương đối. Suy ra C 
hoàn toàn liên tục. 
Do iv nên với mọi 0 tồn tại 0m sao cho với mọi x E và ry C mà 
x y m thì 2, , , 12K t s x y x yn

 với mọi  2, 0,t s n . 
Do K hoàn toàn liên tục nên tồn tại 0 sao cho với mọi x E và ry C mà 
x y m thì , , ,K t s x y với mọi  
2, 0, .t s n 
Vậy 2, , , 12K t s x y x yn

 với mọi  2, 0, , , rt s n x E y C . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 9
Khi đó với mọi  0,t n và u X ta có : 
0 0
2
0 0
2
, , , 0
0
12
0 .
4 12
t s
t s
n
Cu t K s u u d ds
u u d ds
n
n u


   

   
 
Chọn 
 2 4 04max , ,
3n
n 

 
  
 
. Khi nnu  thì 
n
n
Cu
u
 . 
Lấy X  thỏa n . Đặt   : , 0,P x s x s n  và 
   : , 0,sQ x x s n  . Do n nên ,P Q bị chặn. Vì K hoàn toàn liên tục 
nên tồn tại 0 sao cho , , , sK t s u s u  với mọi  
2, 0, ,t s n u  . 
Vậy 2 0
n
C u n 
với mọi u  . Do đó 
n
C  . 
Ta chứng minh định lý 3 qua hai bước. 
Bước 1. Ta chứng minh  . Theo bổ đề 3 và bổ đề 4 ta có ,U C thỏa các điều kiện 
của định lý B .Vậy  . 
Bước 2. Ta chứng minh là tập R . 
Đặt   0, :n nu u . Ta chứng minh n là R . Để đỡ nặng nề về mặt ký 
hiệu ta đặt , , , : n nP H V G X X định bởi 
0
, , , , , , ,
t
s s
Pu s g s u V s u s f s Hu t K t s u s u ds 
0 0
, 0
t t
V u t Pu s ds G u t Hu s ds với  0,t n . 
Tương tự chứng minh đối với ,U C ta có ,V G thỏa kết luận của bổ đề 3 và bổ 
đề 4. Vậy với , , nz u v X ta có 
!
j
nj j
z z nn
nc
V u V v u v
j
 với mọi j  . Do 
đó V thỏa điều kiện .1 .3B B của định lý B , V liên tục đều, 1I V được 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 10
định nghĩa tốt và liên tục đều trên nX . Đặt 
1A I V G . Khi đó A hoàn toàn liên tục. 
Ta gọi tập điểm bất động của A là  . 
Bổ đề 5. n 
Chứng minh bổ đề 5 : 
Khi u thì  0,nu là điểm bất động của A . Vậy 

n  . 
Lấy y . Ta có 
0 0
0
t t
y t Py s ds Hy s ds với  0,t n . 
Xét phương trình 
  
0
, , , , , ,
, ,
t
t su t g t u V t u t K t s u s u ds f t t n
u t y t t r n
 2 
 Tương tự phương trình 1 ta thấy phương trình 2 có một nghiệm là u . Đặt 
  
, 0,
, 0
y t t n
x t
u t t
. Khi đó x và  0,nx y . Do đó ny . Tức là 

n  . 
Bởi 
 lim 0
!
j
n
j
nc
j 
 nên tồn tại p  sao cho 1
!
j
nnc
j
 với mọi j p . Đặt 
 1
!
p
nnc
p
 và nnc . Theo định lý C tồn tại điểm bất động duy nhất 0z của V . 
Đặt 
1
1
0
1 0
p
i
i
  
 . Ta có 
0
lim 0
n
n
x
n
G x
x z 
 nên tồn tại 1 0R sao 
cho khi 0 1nx z R thì 0
1
2 nn
G x x z

 . 
Đặt 0 1:n nM x X x z R . Khi đó nG M nên tồn tại 2 0R sao 
cho 2nG x R với mọi nx X thỏa mãn 0 1nx z R . 
Lấy 0 , vì 1I V liên tục đều trên nX , nên tồn tại 0 thỏa mãn 
 1 1
n
I V x I V y  với mọi , nx y X mà nx y  . 3 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 11
Chọn 3 1 2R R R  thì tương tự phần chứng minh định lý B trong [2] ta 
thấy 1 0 3 0 3, ,I V G B z R B z R  , V G có một điểm bất động trong 
 0 3,B z R và mọi điểm bất động của V G đều thuộc 0 3,B z R , tức là 0 3,n B z R  . 
Đặt      0 3 0 3: 0, , , , : 0, , ,n n sP u s s n u B z R Q u s n u B z R .Ta có 
,n nP Q bị chặn. Do K liên tục nên tồn tại mở rộng liên tục 
*K của  20, n nn P QK lên 
2
rE C  sao cho   2* 2 conv 0,r n nK E C K n P Q   . 
Khi đó tồn tại toán tử Lipschitz địa phương K xác định trên 
2
rE C  sao 
cho * 2, , , , , , 2
K t s x y K t s x y
n

 với mọi 2, , , rt s x y E C  và 
   22 * 2conv conv 0,r r n nK E C K E C K n P Q     . 
Vì K hoàn toàn liên tục và ,n nP Q bị chặn nên 2 rK E C  compact tương 
đối. Vậy K hoàn toàn liên tục. 
Đặt : n nC X X định bởi 
0 0
, , , 0
t s
C u t K s u u d ds     
 với 
 0,t n . Vì K hoàn toàn liên tục nên chứng minh hoàn toàn tương tự bổ đề 4 ta có 
C hoàn toàn liên tục. Đặt 
1A I V C 
 . Khi đó A cũng hoàn toàn liên tục. 
Với mọi  0,t n và 0 3,u B z R ta có 
0 0
*
0 0
2
0 0
, , , , , ,
, , , , , ,
.
2 2
t s
t s
t s
C u t G u t K s u u K s u u d ds
K s u u K s u u d ds
d ds
n
   
  
    
    
 

Do đó 
2n
C u G u

 với mọi 0 3,u B z R . 4 
Từ 3 , 4 ta có 
n
A u A u  với mọi 0 3,u B z R . 
Lấy nh X , ta xét phương trình u A u h với nu X . 5 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 12
Ta thấy phương trình 5 tương đương phương trình sau 
 u V u h V h C u . Đặt W u V u h V h . 
Bổ đề 6. W C có điểm bất động. 
Chứng minh bổ đề 6 : 
Với , , nz u v X ta có 
!
j
nj j
z z nn
nc
V u V v u v
j
 với mọi j  . 
Lại có h cố định và z h V h zW V nên với mọi , , nz u v X ta cũng có 
!
j
nj j
z z nn
nc
W u W v u v
j
 với mọi j  . 
Tương tự phần chứng minh định lý B trong [2] ta có 
 0 0
pm
C x nn
W z z C x
 
 với mọi nx X và m  , trong đó 
1
1
0
1
p
i
i
  
 . 
Vậy 0 0pmC x n n nnW z z C x C x G x G x    với mọi 
nx X và m  . 
Do đó với mọi 0 3,x B z R và m  ta có: 0 0 2
pm
C x nn
W z z G x


 
. 
Lấy 0 3,x B z R . Ta xét hai trường hợp 
TH1. 0 1nx z R . 
Khi đó 0 0 2 32 2
pm
C x nn
W z z G x R R

 
  
. Điều này cho ta 
 0 0 3,
pm
C xW z B z R . 
TH2. 1 0 3nR x z R . Ta có: 
 0 0 0
3 3
0 3
1
2 2 2
1 .
2 2 2 2
pm
C x nnn
n
W z z G x x z
R Rx z R

 
 


Điều này cho ta 0 0 3,
pm
C xW z B z R . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 13
Vậy 0 0 3,
pm
C xW z B z R với mọi 0 3,x B z R và m  . 
Theo định lý C ta có 
1
0lim
pm
C xm
W z I W C x
 
 với mọi nx X . Do đó 
 1 0 3,I W C x B z R
 với mọi 0 3,x B z R . 
Như vậy 1 0 3 0 3, ,I W C B z R B z R  . 
Theo định lý C ta có 1I W liên tục nên 1I W C
 liên tục. Do C hoàn 
toàn liên tục nên 1 0 3,I W C B z R là tập compact tương đối. Vậy theo định lý 
điểm bất động Schauder ta thấy 1I W C
 có điểm bất động trong 0 3,B z R . Đó 
cũng chính là điểm bất động của W C . 
Vậy phương trình 5 có nghiệm thuộc 0 3,B z R .Ta chứng minh nghiệm đó là 
duy nhất. Giả sử ,x y là hai nghiệm của phương trình 5 tức ,x y là hai điểm bất 
động của W C . Khi đó 0 0 0 0x y h . 
Đặt     max 0, : , 0,b n x t y t t  . Ta chứng minh b n . 
Giả sử trái lại b n . Do K Lipschitz địa phương trên  
20, rn E C nên tồn tại 
0 sao cho K Lipschitz trên  
2
1 20,n B B với hằng số Lipschitz là m , trong đó 
  1 2: , :r bB z E z x b B z C z x . 
Đặt n n nk d .Với mỗi nu X cố định thì các ánh xạ ss u và s u s 
liên tục nên tồn tại 1 0 sao cho 1 1
1 ,
2 2n
b n
mn
 

 ; 1,x s y s B và 
 2,s sx y B với mọi  1,s b b  . 
Vậy với mọi  0,s n và  1,b b  ta có 
 , , , , , ,K s x x K s y y m x y x y          . 
Đặt   1, ,bX C b b E với chuẩn   1max : ,bu u s s b b  . 
Ta thấy với mọi  1,b b  thì bx y x y  . Do đó 
 , , , , , , 2 bK s x x K s y y m x y      . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 14
Với  0,b thì , .x y x y
 
  
Vậy 
0
, , , , , , 0
t b
b
K s x x K s y y d ds      
 . 
Ta lại có ,x y là điểm bất động của W C nên với  1,t b b  ta có 
0
, , ,
t t s
b b
x t Px s ds K s x x d ds x b   
 và 
0
, , ,
t t s
b b
y t Py s ds K s y y d ds y b   
 . Do đó 
, , , ,
, , , , , , .
t t
s s
b b
t s
b b
x t y t g s x g s y ds V s x s V s y s ds
K s x x K s y y d ds      
Vậy 
 12 2n nb b bx t y t x y t b mn x y t b mn x y   
 1
2 b
x y với mọi  1,t b b  . 
Do đó 
1
2b b
x y x y . Vậy 0bx y . 
Do vậy x t y t với mọi  1,t b b  . Vậy x t y t với mọi 
 10,t b  . Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của b .Vậy b n . Do đó x y . 
Vậy phương trình 5 có nghiệm duy nhất thuộc 0 3,B z R . 
Đặt 
 0 3,B z R
L A và 0 3,B z RL A  . Ta thấy n là tập điểm bất động của L và 
L thỏa các điều kiện của định lý 1 nên n là tập R . Do ,U C liên tục nên tập điểm 
bất động của U C là đóng và theo bước 1 thì  . Vậy theo định lý 2 ta có 
là R . 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. G. Gabor (1999), “On the acyclicity of fixed point sets of multivalued maps”, 
Topological Methods in Nonlinear Analysis, vol.14, pp. 327-343. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Hoàn Hóa và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 15
2. L. H. Hoa, K. Schmitt (1994), “Fixed point theorems of Krasnosel’skii type in 
locally convex space and applications to integral equation”, Results in Mathematics, 
vol.25, pp. 291-313. 
3. L. H. Hoa, N. N. Trong, L. T. K. Anh (2010), “Nghiệm mạnh của phương trình vi 
tích phân với đối số lệch”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TP HCM, 24 , tr. 104 -114.