Thuật toán tìm cơ sở của giao và tổng hai modun con trong modun tự do hữu hạn sinh trên vành chính

Mệnh đề 3:

Trong môđun X, phần tử a e X là đon từ khi và chi khi a là phần từ của một cơ sở nào đó trong X.

Chứng minh:

(<=) hiển="" nhiên="" mồi="" phần="" tử="" trong="" một="" cơ="" sở="" của="" x="" là="" đơn="">

(=>) Neu a e X là một đơn tử, theo mệnh đề 2, tồn tại toàn cấu f: X —> R với /(«) = 1. Vì R là R-môđun tự do nên X - Ra © Kerf với Ra là môđun cyclic sinh bởi a: Ra = {ra : r e R} = R . Hệ thức tổng trực tiếp trên có nghĩa là cơ sở bất kì của Kerf khi bổ sung thêm a sẽ là một cơ sở của X.

Nhận xét: Theo mệnh đề 3, mồi phần tử trong cơ sở một môđun là đơn tử trong môđun đó. Như vậy, phần tử a e A < x,="" có="" thể="" không="" là="" đơn="" từ="" của="" x,="" song="" nếu="" a="" thuộc="" một="" cơ="" sở="" nào="" đó="" của="" a="" thì="" a="" đơn="" tử="" trong="" a.="" tức="" khái="" niệm="" đơn="" tử="" có="" tính="" chất="" tương="" đối,="" đơn="" tử="" theo="" từng="">

Áp dụng mệnh đề 3 nhiều lần sẽ cho ta thuật toán xây dựng một cơ sở của môđun X chứa một đơn tử a eX cho trước.