Thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm và biến dạng của vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 197
THIẾT LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC NGHIÊN CỨU VA CHẠM VÀ 
BIẾN DẠNG CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG HÌNH NÓN CỤT 
VÀO MẶT CỨNG TUYỆT ĐỐI 
Ngô Phi Hùng1*, Đỗ Đình Lào1, Bùi Ngọc Hồi2 
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm 
và biến dạng của vật rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối. Thiết lập 
phương trình chuyển động mặt cắt của vật hình nón cụt, các biểu thức tính dịch 
chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, các tham số lan truyền sóng cùng tốc 
độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) trong vật do va đập và biến dạng tạo ra. 
Từ khóa: Chóp nón; Tường chắn; Va đập; Biến dạng. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Yếu tố quan trọng tạo ra hiệu ứng giảm thanh của đạn có kết cấu theo nguyên lý piston-
xi lanh chính là khi piston va đập vào gờ chặn của xi lanh ở cuối hành trình chuyển động, 
tại đó piston biến dạng, bịt kín xi lanh, không cho khí thuốc thoát ra ngoài. Tuy giảm được 
âm thanh do khí thuốc áp suất cao tạo ra nhưng khi va đập piston vào xi lanh lại tạo ra âm 
thanh cơ khí va đập. Kết cấu của piston có phần côn vát (nón cụt) ở đầu, bởi vậy để nghiên 
cứu âm thanh do va đập cơ khí của piston và xi lanh tạo ra, ta nghiên cứu quá trình hình 
thành và lan truyền sóng do va đập và biến dạng của vật hình nón cụt (sau này gọi tắt là 
chóp nón cụt) vào mặt cứng tuyệt đối (sau này gọi tắt là tường chắn). 
2. VA ĐẬP, BIẾN DẠNG VÀ QUÁ TRÌNH LAN TRUYỀN SÓNG TRONG CHÓP 
NÓN CỤT CHUYỂN ĐỘNG VÀO TƯỜNG CHẮN 
Để nghiên cứu bài toán va đập và biến dạng của chóp nón cụt chuyển động vào tường 
chắn, ta nghiên cứu quá trình hình thành và lan truyền sóng thẳng và sóng ngược biến 
dạng từ mặt cắt này đến mặt cắt khác dọc theo chiều dài trục của chóp nón cụt. 
2.1. Các giả thiết và ký hiệu để xây dựng mô hình bài toán 
- Giả sử vật (1) chóp nón cụt có đường kính đáy là D, đường kính đầu (đáy trên) là d, 
chiều dài (cao) là l, góc vát (góc đường sinh tạo với trục) là α, chuyển động với vận tốc là 
vo tới va đập vào tường chắn (vật 2) (Hình 1); 
- Vật liệu chóp nón cụt đồng nhất, đàn hồi, có mật độ là ρ, mô đun đàn hồi vật liệu là E. 
Ta chỉ khảo sát vật trong giới hạn đàn hồi; 
Hình 1. Sơ đồ va đập của cơ hệ. 
1- Chóp nón cụt, 2 - Tường chắn. 
- Chọn hệ toạ độ khảo sát gắn với vật chuyển động, điểm gốc toạ độ O là tâm của mặt 
đầu chóp nón cụt và hướng Ox trùng với hướng chuyển động và trùng với trục tâm của 
chóp nón cụt; 
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực 
N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học  vào mặt cứng tuyệt đối.” 198 
- x - tọa độ mặt cắt; 
- S(x) - diện tích mặt cắt nón cụt tại vị trí x; 
- u(x,t) - dịch chuyển dọc trục của mặt cắt x; 
- t - thời gian dịch chuyển của mặt cắt; 
- 
2
2
( , )u x t
t


 - gia tốc dịch chuyển mặt cắt; 
- 
( , )
( , )
u x t
x t
x



 - biến dạng dọc trục trong mặt cắt; 
- Tường chắn (vật 2) đứng yên có độ cứng tuyệt đối; 
- Vật 1 (chóp nón cụt) chuyển động theo hướng vuông góc với bề mặt vật 2. 
2.2. Phương trình chuyển động của mặt cắt chóp nón 
Với các giả thiết và ký hiệu như trên, ta thiết lập được phương trình chuyển động của 
mặt cắt x của chóp nón như sau [1]: 
2
2 2 2
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) 0
u x t S x u x t S x u x t
S x
x x x a t
   
   
   
, 0 ≤ x ≤ l (1) 
trong đó: 
2
( ) ,
4
D d E
S x D x a
l
  
Điều kiện ban đầu xác định giá trị dịch chuyển và tốc độ mặt cắt khi t = 0 là: 
u(x,0) = 0; 0
( ,0)u x
v
t


 (2) 
Giới hạn biên xác định không có biến dạng ở vị trí ban đầu mặt cắt x=0 (ε(0,t)=0), 
không có sự dịch chuyển ở mặt cắt x=l (nếu xảy ra có sự tác động lẫn nhau của chóp nón 
cụt với tường chắn); Không có biến dạng trong mặt cắt va đập x=l (nếu như xảy ra phá 
hủy tại vị trí tiếp xúc của chóp nón cụt với tường chắn): 
u(0,t)
0 , u( l ,t ) 0
x


 nếu 
u( l ,t )
0;
x


( , )
0
u l t
x


 nếu 
u( l ,t )
0
x


(3) 
Khối lượng chóp nón cụt phụ thuộc vào đường kính mặt cắt va đập d, chiều dài l và góc 
vát α được xác định bằng công thức: 
l
2 2 2
c
0
l 4
m S( x )dx ( d 2dltg l tg )
4 3
 (4) 
Nếu như khảo sát ảnh hưởng của góc α tới tính chất va đập và biến dạng của chóp nón 
cụt thì đối với các giá trị khác nhau của góc α cần giữ nguyên giá trị của tốc độ vo cũng 
như khối lượng mc của nó. Trong trường hợp đó động năng và động lượng của vật sẽ được 
giữ nguyên. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 199
2.3. Thiết lập mô hình toán nghiên cứu va đập và biến dạng của vật hình chóp nón 
cụt với mặt cứng tuyệt đối 
Giả sử khối lượng chóp nón cụt tương ứng với khối lượng vật hình trụ có chiều dài là l, 
đường kính Dt, khối lượng là 
2
4
c t
l
m D
 . Khi đó tương quan giữa các tham số đường 
kính d, đường kính Dt, chiều dài l và góc α được xác định bằng biểu thức [1]: 
2 2 2 2 24. . .
3
td l tg D l tg l tg 
Đường kính đáy chóp nón D (đường kính cắt ban đầu của chóp nón) [1]: 
D = d + 2l.tgα 
Để khảo sát biến dạng và dịch chuyển mặt cắt chóp nón cụt (quá trình lan truyền sóng 
va đập trong chóp nón cụt), ta biểu diễn chóp nón cụt dưới dạng tổ hợp liên tục của các 
chóp nón cụt phân tố (hình 2) và tổ hợp các đoạn hình trụ tương ứng. 
Hình 2. Tổ hợp chóp nón cụt phân tố. 
Với cách biểu diễn như trên, để đảm bảo xấp xỉ tổng các chóp nón cụt phân tố bằng với 
chóp nón cụt, chiều dài các phần tử chóp nón phân tố phải ngắn (ví dụ Δl = 0,025.l sai số 
sẽ không quá 2%). Đường kính mặt cắt cần phải tính đến sự thay đổi đường kính chóp nón 
cụt theo chiều dài, khối lượng vật hình trụ phải bằng khối lượng đoạn chóp nón cụt phân tố 
tương ứng. 
Trên hình 3 biểu diễn đoạn chóp nón j có chiều dài là Δl giới hạn bởi mặt cắt j-1 và j, 
đường kính tương ứng của đoạn chóp nón là Dj-1 và Dj; hình trụ tương đương có đường 
kính Dt(j). 
Hình 3. Đoạn chóp nón j. 
Điều kiện ban đầu để khảo sát [1]: 
 j 0
j
0
u x,0 u x ;
u ( x,0 )
v ( x ), j 1,2, ,n.
t
 
  
 
(5) 
Xác định dịch chuyển và tốc độ dịch chuyển mặt cắt ở thời điểm ban đầu. 
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực 
N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học  vào mặt cứng tuyệt đối.” 200 
Điều kiện biên xác định dịch chuyển mặt cắt và điều kiện cân bằng lực dọc trục trên 
đoạn khảo sát là [1]: 
1
1 1
( , ) ( , )
0j j j jj j j j
u x t u x t
E S E S
x x
 
 
 (6) 
do vật đồng nhất về vật liệu nên Ej-1= Ej nên (6) được viết lại là: 
1
1
( , ) ( , )
0j j j jj j
u x t u x t
S S
x x
 
 
 (6’) 
 1( , ) ( , ), 1, 2,..., 1j j j ju x t u x t j n 
1
n n
u (0,t )
0,u ( x ,t ) 0
x


 nếu 
( , )
0n n
u x t
x


 (7) 
( , )
0n n
u x t
x


 nếu 
( , )
0n n
u x t
x


Trong đó, uj-1(xj,t), uj(xj,t) là dịch chuyển của mặt cắt j-1 và j của đoạn khảo sát, vị trí 
của chúng được xác định bằng tọa độ xj; Ej-1 và Ej là mô đun đàn hồi vật liệu tương ứng với 
đoạn j-1 và j; 1
u (0,t )
t


 là biến dạng dọc trục trên đoạn l của mặt cắt x=0; un(xn,t) là dịch 
chuyển dọc trục của mặt cắt va đập, vị trí của nó được xác định bằng tọa độ xn; 
( , )n nu x t
x


là biến dạng dọc trục trong mặt cắt va đập của chóp nón cụt. 
Theo Đalambe, dịch chuyển của mặt cắt bất kỳ j được biểu diễn dưới dạng tổng của hai 
hàm số [2]: 
1( , ) ( ) ( ), ,j j j j j j ju x t f a t x a t x x x x 
trong đó, hàm số thứ nhất fj(ajt-x) biểu thị các tham số của sóng thuận, hàm thứ hai 
φj(ajt+x) biểu thị các tham số của sóng ngược; aj là tốc độ lan truyền sóng dịch chuyển của 
mặt cắt j, cũng chính là tốc độ lan truyền âm thanh trong chóp nón cụt (tốc độ này không 
đổi aj = a). 
Sóng thuận fj(at-x) trên đoạn j của vật lan truyền dọc theo hướng trục Ox với tốc độ a, sóng 
ngược φj(at+x) lan truyền trên đoạn j của vật với tốc độ a theo hướng ngược với trục Ox. 
Các giá trị ban đầu của các hàm fj(ato-x), φj(ato+x) và các đạo hàm của chúng f’j(ato-x), 
φ’j(ato+x) được xác định từ điều kiện ban đầu (2) và với t0 = 0, fj(ato-x)=0, φj(ato+x) = 0, 
f’j(ato-x) =
0v1
2 a
 , φ’j(ato+x) = 
0v1
2 a
 , xj-1 ≤ x ≤ xj. 
Để thuận lợi trong khảo sát, ta sử dụng các giá trị tương đối xác định đặc tính của sóng 
thuận và sóng ngược [2]: 
' '
' '
( ) ( )
( ) , ( )j jj j
o o
f at x at x
f at x at x
v v
a a
   
Đặc tính biến dạng: ' '( , ) ( ) ( ),x t f at x at x   
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 201
Đặc tính tốc độ: ' '( , ) ( ) ( ).v x t f at x at x   
Khi đó các giá trị đặc tính ban đầu của sóng thuận và sóng ngược sẽ là: 
' '
0 0( ) 0,5 ; ( ) 0,5.f at x at x 
  
Biểu đồ đặc tính sóng thuận và sóng ngược ban đầu được biểu diễn trên hình 4. 
Hình 4. Sóng thuận và sóng ngược trong chóp nón cụt trước khi va đập. 
Khi trùng lặp các đoạn chóp nón j và j+1 trong mặt cắt j, ở đó sóng thuận ( )jf at x 
 
từ hướng đoạn j và sóng ngược 1( )j at x  từ hướng đoạn (j+1) va vào nhau sẽ hình 
thành sóng thuận 1( )jf at x 
 và sóng ngược ( ).j at x  
Các tham số của các sóng đó thỏa mãn các điều kiện biên (6) và (7). Từ các điều kiện 
đó ta có: 
' ' '
1 1( ) ( ) ( )j j j j j jf j jf at x r at x q f at x 
  , j=1,2,,n-1; 
' ' '
1( ) ( ) ( )j j jf j j j j jat x r f at x q at x 
  , j=1,2,,n-1, 
trong đó: rjφ - hệ số phản xạ từ mặt cắt j của sóng ngược 
'
1( );j jat x  qjf - hệ số đi qua 
mặt cắt j của sóng thuận ' ( );j jf at x 
 rjf - hệ số phản xạ từ mặt cắt j của sóng thuận 
' ( );j jf at x 
 qjφ - hệ số đi qua mặt cắt j của sóng ngược 
'
1( ).j jat x  
Giá trị các hệ số đi qua và phản xạ của các sóng trong mặt cắt j được xác định bằng các 
công thức: 
, 1 , 1
, 1 , 1
2r 2r
, ,
r 1 r 1
j f j f
jf j
j f j f
q q 
, 1 1,
, 1 1,
r 1 r 1
, ,
r 1 r 1
j f j f
jf j
j f j f
r r 
1
, 1 1,
1
, ,
j j
j f j f
j j
S S
r r
S S
Cơ kỹ thuật & Kỹ thuật cơ khí động lực 
N. P. Hùng, Đ. Đ. Lào, B. N. Hồi, “Thiết lập mô hình toán học  vào mặt cứng tuyệt đối.” 202 
trong đó rj,f+1 là tỷ số sóng cản của đoạn j với sóng cản của đoạn (j+1), rj+1,f là tỷ số sóng 
cản của đoạn (j+1) với sóng cản của đoạn j. 
Trong mặt cắt x=0 của đoạn thứ nhất, từ điều kiện biên (7), ta có: 
' '1
1 1
(0, )
0, ( 0) ( 0) 0.
u t
f at at
x


Từ các biểu thức trên cho thấy, trong mặt cắt đó hình thành sóng thuận 
' '
1 1( ) ( )f at -0 at +0 
  , các tham số của chúng tương ứng với các tham số của sóng 
ngược '1( )at +0  rơi vào mặt cắt đó. 
Trong mặt cắt va đập x=xn của đoạn n, từ các điều kiện biên: 
( , )
0n n
u x t
t


 nếu 
( , )
0n n
u x t
x


( , )
0n n
u x t
x


 nếu 
( , )
0n n
u x t
x


cho thấy, trong mặt cắt đó hình thành sóng ngược: 
' '( ) ( )n n n nat x f at x nếu 
( , )
0n n
u x t
x


' '( ) ( )n n n nat x f at x nếu 
( , )
0n n
u x t
x


Các tham số của chúng được xác định bằng các tham số của sóng thuận ' ( )n nf at x 
trong mặt cắt đó. 
3. KẾT LUẬN 
Trên đây đã thiết lập mô hình toán học nghiên cứu va chạm và biến dạng của vật 
rắn chuyển động hình nón cụt vào mặt cứng tuyệt đối (tường chắn) bằng việc nghiên 
cứu quá trình hình thành và lan truyền sóng thuận và sóng ngược biến dạng từ mặt cắt 
này sang mặt cắt khác (tiết diện này sang tiết diện khác) dọc theo chiều dài trục của 
chóp nón cụt. 
Bài báo đã trình bày cách thiết lập phương trình chuyển động mặt cắt chóp nón cụt, các 
biểu thức tính dịch chuyển, tốc độ dịch chuyển, biến dạng dọc trục, cùng các tham số lan 
truyền sóng thuận và sóng ngược, tốc độ lan truyền sóng (tốc độ âm thanh) trong chóp nón 
cụt do va đập với tường chắn tạo ra. 
Từ cơ sở lý thuyết này, giúp ta biết được quy luật hình thành và lan truyền sóng do va 
đập và biến dạng của vật chuyển động với tường chắn cùng tốc độ lan truyền sóng (tốc độ 
âm thanh) trong vật va đập. Ta có thể ứng dụng nghiên cứu nguyên nhân phát sinh âm 
thanh do va đập của hai vật tạo ra như âm thanh do piston va đập vào xi lanh (đối với đạn 
giảm thanh theo nguyên lý piston-xi lanh, va chạm mặt đầu) - đây là vấn đề mà tác giả sẽ 
tiếp tục nghiên cứu trong các bài báo sau. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. В.К.Манжосов. “Продольный ударцзд”. Ульяновск - 2006. 
[2]. В.К.Манжосов, В.В.Слепухин. “Мoдeлирoвaниe продольнного удара в 
стержневыx cистeмax нeoдноpoдной стpyктypы”. Ульяновск Улгтy 2011. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 61, 6 - 2019 203
ABSTRACT 
THE ESTABLISHMENT OF MATHEMATICAL MODELS TO RESEARCH THE 
IMPACT AND DEFORMATION OF A MOVING SOLID TRUNCATED CONE-
SHAPED OBJECT CRASHING ONTO AN ABSOLUTELY RIGID SURFACE 
In this paper, the result of the establishment of mathematical models to research 
the impact and deformation of a moving solid truncated cone-shaped object 
crashing onto an absolutely rigid surface is presented. Furthermore, motion 
equations, formulas of displacement, velocity, axial deformation, parameters about 
wave transmission, and wave velocity (sound velocity) inside the object during the 
impact are formulated. 
 Keywords: Truncated cone-shaped object; Blocking wall; Impact; Deformation. 
Nhận bài ngày 08 tháng 01 năm 2019 
Hoàn thiện ngày 05 tháng 03 năm 2019 
Chấp nhận đăng ngày 17 tháng 6 năm 2019 
Địa chỉ: 1 Viện Vũ khí - Tổng cục Công nghiệp Quốc phòng; 
 2 Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự. 
 *Email: hungnp1978@gmail.com.